19.8(1)直角三角形的性质1

19.8（1）直角三角形的性质一、填空题1．若直角三角形的两个锐角之差为24度，则较大的锐角的度数是_________ ． 2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， (1)若∠B ＝50°，则∠A ＝__________； (2)若∠B －∠A ＝50°，则∠A ＝__________； (3)与∠A 互余的角有________________；(4)与∠A 相等的角有________________． 第2题图3．已知直角三角形面积等于24平方厘米，斜边上的高为4厘米，则斜边上的中线长 为 厘米．4．等腰直角三角形中，若斜边和斜边上的高的和是6cm ，则斜边长是 cm ． 5. 若直角三角形的斜边上的高与斜边上的中线长分别为2 cm 和3 cm ，则这个直角三角形的面积为__________cm 2.6. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，周长为24 cm ，三边长的比为3∶4∶5，则斜边上的中线长为__________cm ，斜边上的高为__________cm.二、解答题7．如图，已知△ABC 中，∠ ABC=∠ ACB ，D 、E 为△ABC 外两点，AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，F 、G 分别为AB 、AC 的中点．求证：DF ＝GE .8．如图，已知：在ABC ∆中，D BC AC AD C B 于交，，⊥=∠=∠2040． 求证：AB CD 2=．ABCD9. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，M 是AB 的中点，AM ＝AN ，MN ∥AC . 求证：MN ＝AC .10. 如图，已知HE 、AG 相交于点D ，点B 、C 、F 分别是线段DG 、HD 、AE 的中点，若AH ＝AD ，DE ＝EG .求证：CF ＝BF .三、提高题11．如图，已知：在ΔABC 中, ∠ABC=2∠C,AD ⊥BC 于D,E 是AC 中点,ED 的延长线与AB 的延长线交于点F ．求证：BF=BD ．ＣＢＡＥＤＦ19.8（2）直角三角形的性质一、填空题1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，若BC＝4 cm，则AB＝__________cm.2. 在△ABC中，若∠C∶∠B∶∠A＝1∶2∶3，BC＝16,则AB＝__________.3.在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠A＝30°，若BD＝4cm，则BC＝__________cm，AD＝__________cm.4. 等腰三角形的顶角为30°，腰长为4 cm，则这个等腰三角形的面积为__________cm 5．△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD= cm.．6.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的顶角度数是__________．7.如图，在Rt△ABC中，∠A<∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿CM翻折，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A＝__________度．二、解答题8．已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAC=90° , AD= 12 CD．求：∠BAC的度数．9．已知：如图，在△ABC中，BD＝DC，若AD⊥AC，∠BAD＝30°．求证：AC＝12 AB．AB CDAB CD10. 如图，已知等边三角形中，E 是AC 上的一点，CE ＝14AC ，过E 作DE ⊥AC 交BC 于点D . 求证：D 是BC 的中点．11. 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CE 为AB 边上的中线，若AC ＝AE .求证：BC ＝2CD .三、提高题12．已知：等腰三角形一腰上的高是另一腰长度的12，求这个等腰三角形的底角的度数。

19.8（1）直角三角形的性质一、填空题1．若直角三角形的两个锐角之差为24度，则较大的锐角的度数是_________ ．2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，(1)若∠B＝50°，则∠A＝__________；(2)若∠B－∠A＝50°，则∠A＝__________；(3)与∠A互余的角有________________；(4)与∠A相等的角有________________．第2题图3．已知直角三角形面积等于24平方厘米，斜边上的高为4厘米，则斜边上的中线长为厘米．4．等腰直角三角形中，若斜边和斜边上的高的和是6cm，则斜边长是 cm．5. 若直角三角形的斜边上的高与斜边上的中线长分别为2 cm和3 cm，则这个直角三角形的面积为__________cm2.6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为24 cm，三边长的比为3∶4∶5，则斜边上的中线长为__________cm，斜边上的高为__________cm.二、解答题7．如图，已知△ABC中，∠ ABC=∠ ACB，D、E为△ABC外两点，AD⊥BD，AE⊥CE，F、G 分别为AB、AC的中点．求证：DF＝GE.8．如图，已知：在ABC ∆中，D BC AC AD C B 于交，，⊥=∠=∠2040． 求证：AB CD 2=．9. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，M 是AB 的中点，AM ＝AN ，MN ∥AC . 求证：MN ＝AC .10. 如图，已知HE 、AG 相交于点D ，点B 、C 、F 分别是线段DG 、HD 、AE 的中点，若AH ＝AD ，DE ＝EG .求证：CF ＝BF .ABCD三、提高题11．如图，已知：在ΔABC 中, ∠ABC=2∠C,AD ⊥BC 于D,E 是AC 中点,ED 的延长线与AB 的延长线交于点F ．求证：BF=BD ．19.8（2）直角三角形的性质一、填空题1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，若BC ＝4 cm ，则AB ＝__________cm.2. 在△ABC 中，若∠C ∶∠B ∶∠A ＝1∶2∶3，BC ＝16,则AB ＝__________.3.在Rt △ABC 中，若∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，∠A ＝30°，若BD ＝4cm ，则BC ＝__________cm ，AD ＝__________cm.4. 等腰三角形的顶角为30°，腰长为4 cm ，则这个等腰三角形的面积为__________cm 5．△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC 边上的高AD= cm.．ＣＢＡＥＤＦ6.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的顶角度数是__________．7.如图，在Rt△ABC中，∠A<∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿CM翻折，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A＝__________度．二、解答题8．已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAC=90° , AD= 12 CD．AB CD1 2AB．9．已知：如图，在△ABC中，BD＝DC，若AD⊥AC，∠BAD＝30°．求证：AC＝AB CD10. 如图，已知等边三角形中，E 是AC 上的一点，CE ＝14AC ，过E 作DE ⊥AC 交BC 于点D . 求证：D 是BC 的中点．11. 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CE 为AB 边上的中线，若AC ＝AE .求证：BC ＝2CD .三、提高题12．已知：等腰三角形一腰上的高是另一腰长度的12，求这个等腰三角形的底角的度数。

直角三角形的性质直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形，它具有独特的性质和特点。

本文将从角度、边长、三角函数以及勾股定理等角度对直角三角形的性质进行探讨。

一、角度性质直角三角形的一个内角为90度，另外两个内角相加为90度。

其中，直角对边是指直角三角形中与直角相对的一边，而其他两条边则是直角对边的两条边。

二、边长性质直角三角形的两条直角边分别为a和b，则斜边c的长度可由勾股定理计算得出，即c² = a² + b²。

而根据直角三角形定义，斜边为直角三角形的最长边。

三、三角函数在直角三角形中，我们可以利用三角函数来表示各个角度之间的关系。

其中，正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）是最常用的三角函数。

1. 正弦函数：sinθ = 对边/斜边 = a/c2. 余弦函数：cosθ = 临边/斜边 = b/c3. 正切函数：tanθ = 对边/临边 = a/b这些三角函数在解决直角三角形相关问题时非常有用。

我们可以根据已知角度和边长，通过这些三角函数求解未知的角度或边长。

四、勾股定理直角三角形的边长之间存在着特殊的关系，即勾股定理。

勾股定理表达了直角三角形的三条边之间的关系，即斜边的平方等于两条直角边的平方和。

根据勾股定理可得到以下关系：1. 如果两条边的长度a和b已知，则斜边c的长度可以通过c² = a²+ b²计算得出。

2. 如果斜边c和一条直角边a已知，则另一边b的长度可以通过b²= c² - a²求解。

五、特殊直角三角形在直角三角形中，还有一些特殊的情况需要特别注意。

1. 等腰直角三角形：指有两条边长度相等的直角三角形。

在等腰直角三角形中，两个直角边的长度相等，斜边的长度则可通过勾股定理得到。

2. 45-45-90三角形：也称为等腰直角三角形，其中两个内角均为45度。

在45-45-90三角形中，两个直角边的长度相等，斜边的长度为直角边长度的平方根倍。

19.8 直角三角形的性质（1）课前导读从三角形的内角和等于180°，我们早已经知道了直角三角形的两个锐角互余，这就是这节课要学习的定理1．我们着重学习定理2．课本导学一、课本上证明定理2的过程太罗嗦了，用了21行．其实一句话就可以讲清楚：长方形ABCD是我们非常熟悉的图形，对角线交于点E，那么EA＝EB＝EC＝ED．我们把这个图形擦去一半，保留另一半，那么BE就是直角三角形ABC斜边上的中线，容易得到BE 等于AC的一半．这就是定理2，直角三角形斜边上的中线等于__________的一半．二、定理2的数学表达式更多的象文字表达式，这样写简明，连理由都省了：三、如果我们把课本第116页例题2改编一下，那么证明过程的差异，只在最后两行的因果互换一下，你来看看．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，E、F分别是AB、AC的中点，且DE＝DF①．求证：AB＝AC②．改编：如图，在△ABC中，AD⊥BC，E、F分别是AB、AC的中点，且AB＝AC②．求证：DE＝DF①．课堂导练四、课本第116页课后练习1，图文对应起来是不是有点头晕？给你一组备用图，再给你一个全景图，你来研究．五、课本第117页课后练习2，可能是这本书里图形最复杂，书写过程最简短的一道典型题了，因此它是上镜率也很高哦．我们把图形拆分开来好理解．∵MD、ME分别是Rt△DB C和Rt△EBC斜边上的中线，∴______________，______________．∴___________．又∵N是DE的中点，∴____________（等腰三角形的“____________”）．六、图解课本第117页课后练习3的思路．原图中点E，得BE＝DE全等，得OE＝OF三线合一，得BD⊥EF七、图解课本第117页课后练习4的思路：设F为Rt△CDE的斜边DE的中点．。

直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形，它具有独特的性质和特点。

本文将围绕直角三角形的性质展开，包括勾股定理、三角函数、特殊直角三角形等内容。

一、勾股定理直角三角形的一个重要性质就是勾股定理。

勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。

数学上可以表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两个直角边，c为直角三角形的斜边。

勾股定理的应用广泛，可以用于解决各种与直角三角形相关的问题。

例如，已知直角三角形的两个直角边长度，可以通过勾股定理求解斜边的长度。

同时，勾股定理也可以用于判断一个三边长度组成的三角形是否为直角三角形。

二、三角函数直角三角形的另一个重要性质是三角函数。

在直角三角形中，可以定义三角函数sinθ、cosθ、tanθ，它们分别表示对应角的正弦、余弦和正切。

其中，sinθ等于直角三角形的对边长度与斜边长度的比值，cosθ等于直角三角形的邻边长度与斜边长度的比值，tanθ等于直角三角形的对边长度与邻边长度的比值。

三角函数的应用非常广泛，可以用于解决各种三角形相关的问题。

例如，已知一个直角三角形的斜边长度和一个角的大小，可以通过三角函数求解其他两个角的大小和两个直角边的长度。

三、特殊直角三角形除了勾股定理和三角函数，直角三角形还有一些特殊性质。

其中包括45°-45°-90°直角三角形和30°-60°-90°直角三角形。

45°-45°-90°直角三角形是指直角三角形中两个直角边的长度相等，且两个锐角大小都为45°。

在该直角三角形中，斜边等于直角边乘以√2。

30°-60°-90°直角三角形是指直角三角形中两个锐角大小分别为30°和60°。

在该直角三角形中，较小的直角边等于斜边长度的一半，较大的直角边等于斜边长度乘以√3。

八年级数学上册《直角三角形的性质（1）》说课稿一、教材分析直角三角形的性质是初二年级上半学期第19章第8节的内容，共分为3个课时，一为直角三角形两个锐角互余和斜边上的中线等于斜边的一半两个性质定理；二为直角三角形30度所对的边等于斜边的一半及其逆定理，三为综合训练。

本堂课为第一课时的内容。

在此之前学生已经学习过一般三角形的相关性质如内角和性质、外角性质、三边关系以及特殊三角形如等腰三角形和等边三角形的性质和判定，以及三角形全等等足够的知识基础。

本课为研究特殊三角形——直角三角形的入门，是以后综合图形证明的一个基础。

二、学生分析总体来说，绝大多数学生处于中等偏下水平，对几何证明的学习或多或少有些心里障碍，尤其是证题思路的形成，但是仍处于对于新事物好奇的阶段，所以可以通过老师课堂上得有效引导和阶梯是铺垫提示让学生学有所成。

三、教学目标1、掌握直角三角形两个锐角互余和斜边上的中线等于斜边的一半这两个性质定理，并能初步运用其解决简单的几何问题；2、经历定理推导过程，体会实验—猜想—论证的完整过程。

3、通过探究直角三角形的性质，培养学生的学习兴趣和严谨的学习态度。

四、教学难点、重点1、经历“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质定理的推导过程2、直角三角形两个性质定理的简单运用五、教学设计过程（一）性质1的引入和训练1、利用2分钟预备铃学生朗读自己整理的已经学过的有关三角形的知识点；2、开门见山，提问直角三角形两个锐角的关系，得出性质1：直角三角形两个锐角互余；重点强调几何书写，让学生了解在证明书写时如何规范应用这个性质3、性质1的应用，由易入难进行训练，准备习题如下：1、在直角三角形中，有一个锐角为480，那么另一个锐角度数为2、等腰直角三角形的一个锐角等于__________3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么图中有几个直角三角形？有几组角互余？有哪些角相等？第1小题是最简单的应用；第2小题为后面性质2的推导过程中特殊的直角三角形——等腰直角三角形中斜边上得中线等于斜边的一半打个小基础，而且这也是一个常识知识。

直角三角形的性质与定理直角三角形是指一个三角形中有一个内角为90度的三角形。

在数学中，直角三角形有许多独特的性质与定理。

本文将介绍直角三角形的一些重要性质与定理。

1. 勾股定理直角三角形的最著名与最基本的定理是勾股定理。

它描述了直角三角形的三条边之间的关系。

勾股定理表述如下：在一个直角三角形中，设直角边（斜边边角的对边）的长度为a，另外两条非直角边的长度分别为b和c，那么有以下的关系：a² = b² + c²这个定理可以用来求解直角三角形的边长，也是解决许多几何问题的关键。

2. 正弦定理正弦定理是另一个重要的直角三角形的定理，它描述了直角三角形中角度与边长之间的关系。

正弦定理可以用于求解直角三角形中的角度以及边长的比例。

正弦定理可以表述如下：在一个直角三角形中，设直角边（斜边边角的对边）的长度为a，另外两条非直角边的长度分别为b和c，那么有以下的关系：sinA = b / csinB = a / csinC = a / b其中A、B、C为直角三角形的三个角度。

3. 余弦定理余弦定理也是直角三角形的一个重要定理，它描述了直角三角形中角度与边长之间的关系。

余弦定理可以用于求解直角三角形中的角度以及边长的比例。

余弦定理可以表述如下：在一个直角三角形中，设直角边（斜边边角的对边）的长度为a，另外两条非直角边的长度分别为b和c，那么有以下的关系：cosA = b / ccosB = a / ccosC = a / b同样，A、B、C为直角三角形的三个角度。

4. 直角三角形的旋转对称性直角三角形具有旋转对称性，即围绕直角边旋转90度后，仍然得到一个与原直角三角形相似的三角形。

这个性质可以用来证明许多相关的定理以及进行相关的几何推导。

以上是直角三角形的一些重要性质与定理。

通过了解和应用这些定理，我们能够更好地理解和解决与直角三角形相关的问题。

直角三角形作为几何学中的基础形状，在数学和实际应用中具有广泛的应用价值。

直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形，具有独特的性质和特征。

在本文中，我们将讨论直角三角形的定义、性质以及与勾股定理的关系。

一、直角三角形的定义直角三角形是一种具有一个90度角（直角）的三角形。

直角通常被标记为一个小方块，也可以用字母“L”来表示。

在直角三角形中，直角边是直角的两条边，而斜边则位于直角的对面。

二、1. 勾股定理：勾股定理是直角三角形最重要的性质之一，它表示直角三角形的斜边的平方等于两个直角边平方和。

具体地说，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边的长度为c，则有c² = a² + b²。

2. 角度关系：直角三角形中的两个锐角是互补角，它们的和等于90度。

例如，如果一个锐角为30度，那么另一个锐角就是60度。

3. 边关系：在一个直角三角形中，直角边与斜边的关系是相互依存的。

当我们知道直角边的长度时，可以通过勾股定理计算出斜边的长度。

同样地，如果我们知道斜边的长度和一个直角边的长度，我们也可以用勾股定理计算出另一个直角边的长度。

4. 直角三角形的面积：直角三角形的面积等于直角边的乘积再除以2，即面积=（a * b）/ 2。

其中，a和b分别是两条直角边的长度。

5. 直角三角形的唯一性：在给定斜边长度的情况下，直角三角形的直角边长度是唯一确定的。

这意味着当我们知道一个直角三角形的斜边长度和一个直角边的长度时，我们可以唯一确定另一个直角边的长度。

三、直角三角形与勾股定理的关系勾股定理是直角三角形的核心性质，它建立了直角三角形的边长之间的关系。

根据勾股定理，我们可以计算直角三角形的边长、面积和角度，为解决实际问题提供了便利。

例如，假设我们知道直角三角形的两条直角边分别为3和4单位长度。

根据勾股定理，我们可以计算出斜边的长度为c = √(3² + 4²) = 5。

因此，这个直角三角形的斜边长度为5。

勾股定理也可以用于验证一个三角形是否为直角三角形。

直角三角形的特殊性质直角三角形是几何学中最基础、最重要的三角形之一。

它具有许多独特的性质和特征，本文将深入探讨直角三角形的特殊性质。

一、直角三角形的定义和性质直角三角形是指一个角为90度的三角形。

根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。

除此之外，直角三角形还有以下特殊性质：1. 直角三角形的两条直角边相等由于直角三角形中的直角为90度，根据垂直平分线定理，直角三角形的两条直角边相等。

这一性质使得直角三角形具有对称性，并且可以方便地进行计算和推导。

2. 直角三角形的两条直角边与斜边之间存在特殊关系根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。

这一性质使得我们可以根据已知条件计算未知边长，或者利用已知边长计算出其余边长。

3. 直角三角形的两个锐角是互补角由于直角三角形的一个角为90度，而三角形内角和为180度，所以直角三角形的两个锐角是互补角。

这一性质在解决相关问题时很有用，可以通过求解其中一个角来确定另一个角的大小。

二、直角三角形的特殊比例直角三角形中存在一些特殊的比例关系，这些比例在解决相关问题时具有重要意义。

以下是两个常见的特殊比例：1. 正弦定理对于直角三角形中的一个锐角A，其对边的长度与斜边的长度之比称为正弦，记作sin(A)。

根据正弦定理，直角三角形中一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值，即sin(A) = cos(B)，其中A和B为两个锐角。

这一比例关系在解决三角函数问题时特别有用。

2. 余弦定理对于直角三角形中的一个锐角A，其邻边的长度与斜边的长度之比称为余弦，记作cos(A)。

根据余弦定理，直角三角形中一个锐角的余弦值等于另一个锐角的正弦值，即cos(A) = sin(B)，其中A和B为两个锐角。

余弦定理可以帮助我们计算三角形的边长或角度大小。

三、直角三角形的应用直角三角形的特殊性质和比例关系在实际应用中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 测量不可达的高度或距离由于直角三角形的特殊比例关系，我们可以利用已知的边长和角度大小，通过三角函数的运算来计算出高度或距离。