泰州市靖江实验学校2019-2020学年八年级(下)第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列图案，既是轴对称又是中心对称的是()A. B. C. D.2.下列运算中，正确的是()A. √(−5)2=−5B. 3√2−√2=3C. (√2+√3)2=5D. (−√3)2=33.下列各式12π、n2m、a5、c6ab、2xx+y、a+b3中分式有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.下列命题中正确的有()个．①直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方；②一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；③两条对角线互相垂直的四边形是菱形；④三角形的中位线平行于三角形的第三边；⑤对角线相等且互相平分的四边形是矩形．A. 2B. 3C. 4D. 55.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是()A. 菱形B. 对角线互相垂直的四边形C. 矩形D. 对角线相等的四边形6.如图，▱ABCD中，BD=CD，∠C=70°，AE⊥BD于点E，则∠DAE=()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）7.当√−a+1a+1有意义时，a的取值范围是________．8.已知(a−2)2+|b+3|=0，则√3a−b=．9.若分式方程x+1x−2−2=mx−2的解为非负数，则a的取值范围是______．10.如图，在▱ABCD中，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC=______．11.已知菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，则这个菱形ABCD的面积S=______．12.如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是米.13.已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，则DEBC=_____．14.如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD.其中正确的答案是______；15.在直线y=12x+1上，且到x轴或y轴距离为2的点的坐标是______ ．16.如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，则菱形ABCD的面积是_______．三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）17.解分式方程；(1)2x−1=5x−3；(2)x−2x+2−16x2−4=118. 先化简，再求值：(1x −1x+3)⋅x 2−93，其中x 为整数且满足不等式组{2−x <12x −1≤3四、解答题（本大题共8小题，共84.0分）19. 计算(1)(2√3+1)(2√3−1)(2)√32−6√12+√2 (3)(√24−√16)÷√2 (4)√12×√27√3−√24×√220. 如图，在▱ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 在AB 上，点F 在CD 上，EF 经过点O.求证：四边形BEDF 是平行四边形．21.如图，在▱ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，AC⊥AB，AC=10，BD=26.求AB的长及▱ABCD的面积．22.某水果商贩用了300元购进一批水果，上市后销售非常好，商贩又用了700元购进第二批这种水果，所购水果数量是第一批购进数量的2倍，但每箱进价多了5元．(1)求该商贩第一批购进水果每箱多少元；(2)由于储存不当，第二批购进的水果中有10%腐坏，不能卖售，该商贩将两批水果按同一价格全部销售完毕后获利不低于400元，求每箱水果的售价至少是多少元．23.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5.求线段EF 的长．24.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O．(1)连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形；(2)求AF的长．25.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB、AD交于点E、F，且∠EOF与∠BAD互补．(1)若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；(2)若四边形ABCD是菱形，那么(1)中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；(3)若AB：AD=m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论．x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，动点Q在线段AB上以每秒1个单位长度26.如图，直线y=43的速度从点A向终点B运动，过点Q作AB的垂线交x轴于点P，设点Q的运动时间为t秒．(1)求证：△AQP∽△AOB；(2)是否存在t值，使△POQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.答案：D解析：解：A、√(−5)2=|−5|=5，所以A选项错误；B、3√2−√2=2√2，所以B选项错误；C、(√2+√3)2=5+2√6，所以C选项错误；D、(−√3)2=3，所以D选项正确．故选D．根据二次根式的性质对A进行判断；根据合并同类二次根式对B、D进行判断；根据完全平方公式对C进行判断．本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．3.答案：C解析：解：分式的为n2m 、c6ab、2xx+y共3个，故选C利用分式的定义判断即可．此题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解本题的关键．4.答案：B解析：解：①直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，故①正确；②一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，所以②错误；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以③错误；④三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半，所以④正确；⑤对角线相等且互相平分的四边形是矩形，⑤正确；故选B．①由勾股定理判定；②直接利用全等三角形的判定与性质以及利用平行四边形的性质求出即可；本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．也考查了特殊四边形的判定方法；判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5.答案：D解析：本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点．根据三角形的中位线定理得到EH//FG，EH=FG，得到四边形EFGH是平行四边形，要使四边形为菱形，需得AC=BD，再次利用三角形的中位线定理，得到EH=12AC，EF=12BD，从而得到EF=EH，即可得到答案．解：如图：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EH=12AC，EH//AC，FG=12AC，FG//AC，∴EH//FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形，假设AC=BD，∵EH=12AC，EF=12BD，则EF=EH，∴平行四边形EFGH是菱形，即只有具备AC=BD可推出四边形是菱形，故选D．6.答案：A解析：此题主要考查了平行四边形的基本性质，以及等腰三角形的性质，难易程度适中．因为BD=CD，所以∠DBC=∠C=70°，又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，所以∠ADB=∠DBC= 70°，因为AE⊥BD，所以在直角△AED中，∠DAE即可求出．解：在△DBC中，∵BD=CD，∠C=70°，∴∠DBC=∠C=70°，又∵在▱ABCD中，AD//BC，∴∠ADB=∠DBC=70°，又∵AE⊥BD，∴∠DAE=90°−∠ADB=90°−70°=20°．故选A．7.答案：a≤0且a≠−1解析：本题考查了二次根式有意义的条件：式子√a有意义的条件为a≥0.也考查了分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到−a≥0且a+1≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可．解：根据题意得−a≥0且a+1≠0，所以a≤0且a≠−1．故答案为a≤0且a≠−1．8.答案：3解析：本题考查了算术平方根、平方数非负数，绝对值非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可求解．解：根据题意得，a−2=0，b+3=0，解得a=2，b=−3，∴原式=√3×2+3=3．故答案为3．9.答案：m≤5且m≠3解析：本题考查了解分式方程和解一元一次不等式，能根据题意求出关于m的不等式是解此题的关键．先解分式方程，求出方程的解，根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．解：x+1x−2−2=mx−2，方程两边都乘以x−2得：x+1−2(x−2)=m，解得：x=5−m，∵分式方程x+1x−2−2=mx−2的解为非负数，∴5−m≥0且5−m≠2，解得：m≤5且m≠3，故答案为m≤5且m≠3．10.答案：2√2．解析：本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ACD是等腰直角三角形是解决问题的关键．证明出△ACD是等腰直角三角形，由勾股定理求出AD，即可得出BC的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=2，BC=AD，∠D=∠ABC=∠CAD=45°，∴AC=CD=2，∠ACD=90°，即△ACD是等腰直角三角形，∴BC=AD=√22+22=2√2，故答案为2√2．11.答案：96解析：解：∵菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，∴其面积为：12×12×16=96．故答案为：96．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得其面积．此题考查了菱形的性质．注意熟记①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab.(a、b是两条对角线的长度)．12.答案：ba+1解析：本题主要考查了列代数式(分式)的知识，解决本题的关键是读懂题意，找出所求的量的等量关系．首先根据长度=质量÷每米的质量求得剩余的长度，最后不要忘记加1，即可求解．解：根据题意知，剩余电线的长度为ba 米，故原来这卷电线的总长度是(ba+1)米．故答案为ba+1．13.答案：12解析：本题考查了三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．根据三角形的中位线定理求解即可．解：由D、E分别是AB、AC边的中点，可得DE为△ABC的中位线，所以DEBC =12．故答案为：12．14.答案：①②③④解析：证明：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，∴AE=DE，∠BAD=∠CDA=90°，AB=CD，∴△BAE≌△CDE(SAS)，∴∠ABE=∠DCE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，DH=DH，∴△ADH≌△CDH(SAS)，∴∠HAD=∠HCD，∵∠ABE=∠DCE∴∠ABE=∠HAD，∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AGB=180°−90°=90°，∴AG⊥BE，故①正确；设AE=x，则AB=2x，∴BE=√AB2+AE2=√5x，∵12×AB×AE=12×BE×AG，∴AG=2√55x，∴GE=√AE2−AG2=√55x，即BG=BE−GE=4√55x，∴BG=4EG，故②正确；∵AD//BC，∴S△BDE=S△CDE，∴S△BDE−S△DEH=S△CDE−S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正确；∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD=∠CHD，∴∠AHB=∠CHB，∵∠BHC=∠DHE，∴∠AHB=∠EHD，故④正确；故答案为①②③④．首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE，再证△ADH≌△CDH，求得∠HAD=∠HCD，推出∠ABE=∠HAD；求出∠ABE+∠BAG=90°；最后在△AGB中根据三角形的内角和是180°求得∠AGB=90°即可得到①正确．设AE=x，则AB=2x，根据勾股定理求出BE=√5x，根据△ABE 面积不变，表示出AG，再根据勾股定理得到GE，进而求得BG，可得BG=4GE，故②正确；根据AD//BC，求出S△BDE=S△CDE，推出S△BDE−S△DEH=S△CDE−S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正确；由∠AHD=∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB=∠EHD，故④正确．本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．15.答案：(2,2)或(−2,0)或(−6,−2)解析：m+1)根据点到x轴或y轴距离为2得本题考查一次函数图象上点的坐标特征，设所求的点为(m,12m+1|=2即可求解．到|m|=2或|12m+1)解：设所求的点为(m,12∵点到x轴或y轴距离为2m+1|=2∴|m|=2或|12当|m|=2时，①m=2，12m+1=2，此时坐标为(2,2)②m=−2，12m+1=0，此时坐标为(−2,0)当|12m+1|=2时，①m=2，12m+1=2，此时坐标为(2,2)②m=−6，12m+1=−2，此时坐标为(−6,−2)∴所求的点为：(2,2)或(−2,0)或(−6,−2)故答案为：(2,2)或(−2,0)或(−6,−2)．16.答案：8√3解析：本题考查了利用菱形的性质求面积有关知识，根据菱形的性质可得AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，∠DBC=12∠ABC=30°，根据直角三角形的性质可得CO=12BC=2，BO=√3CO=2√3，即可求菱形ABCD的面积．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，∠DBC=12∠ABC=30°．∴CO=12BC=2，BO=√3CO=2√3．∴AC=4，BD=4√3．∴S菱形ABCD=12×AC×BD=8√3．故答案为8√3．17.答案：解：(1)去分母得：2x−6=5x−5，解得：x=−13，经检验x=−13是分式方程的解；(2)去分母得：x2−4x+4−16=x2−4，解得：x=−2，经检验x=−2是增根，分式方程无解．解析：(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．18.答案：解：原式=[x+3x(x+3)−x x(x+3)]⋅(x+3)(x−3)3 =3x(x +3)⋅(x +3)(x −3)3 =x−3x ，解不等式组{2−x <12x −1≤3得1<x ≤2， ∴不等式组的整数解为x =2，则原式=2−32=−12．解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求得其整数解，代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组．19.答案：解：(1)原式=12−1=11；(2)原式=4√2−3√2+√2=2√2；(3)原式=√24÷2−√16×12=2√3−√36 =11√36； (4)原式=√3×3√3√3−√24×2=6√3−4√3=2√3．解析：(1)利用平方差公式计算；(2)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；(3)利用二次根式的除法法则计算；(4)先把二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的乘除法则运算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20.答案：证明：∵在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，∴DC//AB，OD=OB，∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO．∴△ODF≌△OBE，∴OF=OE，∴四边形BEDF是平行四边形．解析：本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，属于中档题．想办法证明OE=OF，OD=OB即可解问题；21.答案：解：∵AC⊥AB，∴∠BAO=90°，∵▱ABCD，AC=10，BD=26，∴AO=5，BO=13，在Rt△BAO中，由勾股定理得：AB=√132−52=12，∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD的面积=AB×AC=12×10=120．解析：本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理有关知识.先利用平行四边形的性质求出OA、OB 的长，再根据AC⊥AB得出∠BAO=90°，然后利用勾股定理求出AB，最后利用平行四边形的面积公式求出面积即可．22.答案：解：(1)设该商场第一批购进了这种水果x箱，则第二批购进这种水果2x箱，可得：7002x −300x=5，解得：x=10，经检验：x=10是原分式方程的解，30010=30，答：该商贩第一批购进水果每箱30元；(2)设水果的售价为y元，根据题意得：30y−(300+700)−20×10%y≥400，解得：y≥50，则水果的售价为50元．答：水果的售价至少为50元．解析：此题主要考查了分式方程，以及不等式的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系以及不等关系，列出方程与不等式．(1)设该商场第一批购进了这种水果x箱，则第二批购进这种水果2x箱，根据关键语句“每箱进价多了5元”可得方程，解方程即可；(2)设水果的售价为y元，根据题意可得不等关系：水果的总售价−成本−损耗≥利润，由不等关系列出不等式即可．23.答案：解：如图所示，连接AD，∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，∴AD=DC=DB，AD⊥BC，∴∠BAD=∠C=45°，∵∠EDA+∠ADF=90°，∠CDF+∠ADF=90°，∴∠EDA=∠CDF．在△AED与△CFD中，{∠EDA=∠FDC AD=CD∠EAD=∠C，∴△AED≌△CFD(ASA)．∴AE=CF=5.∵AB=AC，∴BE=AF=12．在Rt△AEF中，∵∠EAF=90°，∴EF2=AE2+AF2=52+122=169，∴EF=13．解析：本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的判定与性质，本题中求证△ADE≌△CDF是解题的关键．本题首先连接AD，由△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，可得：AD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC，从而可证：△AED≌△CFD；根据全等三角形的性质得到AE=CF=5，进而得出BE=AF=12.然后在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的值求出．24.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠AEO=∠CFO，∵AC的垂直平分线是EF，∴AO=OC，AC⊥EF，在△AEO和△CFO中∵{∠AEO=∠CFO ∠AOE=∠COF AO=OC，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE=OF，∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形；(2)解：设AF=acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF=CF=acm，∵BC=8cm，∴BF=(8−a)cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+(8−a)2=a2，解得：a=5，即AF=5cm．解析：本题考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)根据矩形的性质得出AD//BC，求出∠AEO=∠CFO，根据全等三角形的判定得出△AEO≌△CFO，根据全等三角形的性质得出OE=OF，根据菱形的判定推出即可；(2)设AF=acm，根据菱形的性质得出AF=CF=acm，在Rt△ABF中，由勾股定理得出42+(8−a)2=a2，求出a即可．25.答案：解：(1)如图1，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME=∠ONF=90°，∴∠BAD+∠MON=180°，∵∠BAD+∠EOF=180°，∴∠MON=∠EOF，∴∠EOM=∠FOM，∵O是正方形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO=∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM=ON，∴OE=OF；(2)(1)的结论成立；理由：如图2，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME=∠ONF=90°，∴∠BAD+∠MON=180°，∵∠BAD+∠EOF=180°，∴∠MON=∠EOF，∴∠EOM=∠FOM，∵O是菱形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO=∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM=ON，∴OE=OF；(3)如图3，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴∠OGE=∠OHF=90°，∴∠BAD+∠GOH=180°，∵∠BAD+∠EOF=180°，∴∠GOH=∠EOF，∴△EOG∽△FOH，∴OEOF =OGOG，∵O是▱ABCD的对角线的交点，∴S△AOB=S△AOD，∵S△AOB=12AB⋅OG，S△AOD=12AD⋅OH，∴AB⋅OG=AD⋅OH，∴OGOH =ADAB=nm，∴OEOF =nm．解析：(1)先利用同角的余角相等判断出∠MON=∠EOF，再判断出OM=ON，进而得出△OME≌△ONF(AAS)，即可得出结论；(2)同(1)的方法即可得出结论；(3)先用同角的余角相等判断出∠GOH=∠EOF，进而得出△EOG∽△FOH，即OEOF =OGOG，再用S△AOB=S△AOD，得出AB⋅OG=AD⋅OH，即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了正方形，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出全等三角形和相似三角形是解本题的关键．26.答案：解：(1)∵PQ⊥AB，∴∠AQP=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AQP=∠AOB=90°．∵∠QAP为公共角，∴△AQP∽△AOB；(2)∵直线y=43x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A(−3,0)，B(0,4)，∴OA=3，OB=4，AB=√32+42=5，∵△AQP∽△AOB，∴AQOA =APAB=QPOB，即t3=AP5=QP4，∴AP=5t3，QP=4t3，当QP=OP时，4t3=3−5t3，解得t=1；∵点Q在直线y=43x+4上，AQ=t，∴Q(3−3t5,4t5 )，∴OQ=√(3−3t5)2+(4t5)2，∴当OQ=QP时，√(3−3t5)2+(4t5)2=4t3，解得t1=95(舍去)，t2=−457(舍去)；当OQ=OP时，√(3−3t5)2+(4t5)2=3−5t3，解得t3=185．综上所述，t的值为1或185．解析：(1)根据PQ⊥AB可得出∠AQP=90°，再由∠AOB=90°即可得出结论；(2)先求出A、B两点的坐标，再分QP=OP，OQ=QP，OP=OQ三种情况进行讨论．本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、等腰三角形的判定与性质等知识，解答此题时要注意进行分类讨论．。
