高二数学正弦定理

当谈到三角函数的定理时，正弦定理和余弦定理是高中数学中的重要定理。

以下是它们的公式：
1. 正弦定理（Sine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，正弦定理给出了边长和角度之间的关系：
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
2. 余弦定理（Cosine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，余弦定理给出了边长和角度之间的关系：
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
b² = a² + c² - 2ac·cos(B)
a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
这些定理在解决三角形中的边长、角度关系问题时非常有用。

通过应用正弦定理和余弦定理，可以计算未知边长或角度，以及解决各种涉及三角形的几何问题。

正(一)1．正弦定理：A a sin =B b sin = Ccsin ∙ 正弦定理适合任意三角形，是勾股定理的推广。

2．利用正弦定理，可解决两类三角形问题：（1）已知两角与一边，求另两边与另一角。

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角。

∙ 三角形有三条边和三个角，可看成是六个元素，则最少几个元素可能确定一个三角形。

∙ 由其中三个元素求另外三个元素的过程叫解斜三角形。

∙ 类型（2）的解的情况不唯一。

2．正弦定理的变形①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== ②C B A c b a sin :sin :sin ::= 2．三角形面积公式： A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆基础试题：例1．① 在ΔABC 中 已知23,45,7500===c B A ，求b a C ,,②在ΔA BC 中 ，已知060,67,14===B b a ，解三角形ABC 。

③在ΔABC 中 ，已知045,332,2===B b c ，解三角形ABC 。

例２．在ΔABC 中 ，已知,45,250==A c 试判断当a 分别取25,3310,5,10时解的个数。

例３．在ΔABC 中 ，已知0150,3,2===C b a ，求ABC S ∆四、课堂练习：１．在ΔABC 中 已知12,120,3000===b B A ，求b a C ,,２．在ΔABC 中 ，已知060,32,2===B b a ，解三角形ABC 。

3．在ΔABC 中 ，已知045,2,3===B b a ，解三角形ABC 。

三、例题分析：∙三角形中的边角计算，边角论证及形状判断。

例1 .在ΔABC 中，5:4:3sin :sin :sin =C B A ，且12=++c b a ，求c b a ,,例２．① 在ΔABC 中，证明B c C b a cos cos += ② 在ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，证明DCBDAC AB =例3．① 在ΔABC 中，已知CcB b A a cos cos cos ==，试判断ΔABC 的形状。

正弦定理主要知识点总结一、正弦定理的表述在任意三角形ABC中，我们可以得到正弦定理的表述如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示三角形的角度。

二、正弦定理的证明正弦定理的证明可以使用三角形的面积公式来进行推导。

我们知道，三角形的面积可以用边长和对应的角度的正弦函数来表示：S = 1/2 * a * b * sinCS = 1/2 * b * c * sinAS = 1/2 * c * a * sinB由于三角形的面积是固定的，所以我们可以得到以下等式：a *b * sinC = b *c * sinA = c * a * sinB进而推导得到正弦定理的表述：a/sinA = b/sinB = c/sinC三、正弦定理的应用1. 求解三角形的边长正弦定理可以帮助我们求解三角形中的边长。

当我们已知三角形的一个角度和对边，以及另外两个角度之一时，我们就可以通过正弦定理来求解这个三角形的其它边长。

2. 求解三角形的角度正弦定理也可以帮助我们求解三角形中的角度。

当我们已知三角形的边长和对应的两个角度时，我们可以通过正弦定理来求解这个三角形的其它两个角度。

3. 解决实际问题正弦定理在解决实际问题中也有着广泛的应用。

比如在测量不便的情况下，可以利用正弦定理来计算物体的高度、距离等。

四、正弦定理的注意事项在使用正弦定理时，需要注意以下几点：1. 三角形的三个边长必须是正数，角度必须在0到180度之间。

2. 必须注意边长和角度之间的对应关系，确保使用正确的对应关系来求解未知量。

3. 在实际问题中，需要根据具体情况来选择使用正弦定理还是余弦定理。

五、正弦定理与余弦定理的比较正弦定理和余弦定理都是三角形中常用的定理，它们之间的区别在于求解的对象不同。

正弦定理适用于已知三角形的一个角和对边，以及另外两个角度之一的情况下求解三角形的其它边长或角度；而余弦定理适用于已知三角形的三个边长或两个边长和夹角的情况下求解三角形的其它边长或角度。

11.1 正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，其比值为外接圆的直径。

即（其中R 表示三角形的外接圆半径）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。

（从而进一步求出其他的边和角）已知a ，b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况:⑴若A 为锐角时:⑵若A 为直角或钝角时:ABC 中，，…1. 在ΔABC 中，已知a ＝，b ＝，B ＝45°，求A ，C 及边c 。

【解析】 解：由正弦定理得：sinA ＝， 因为B ＝45°<90°且b<a ， 所以有两解A ＝60°或A ＝120°(1)当A ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B)＝75°，c ＝， (2)当A ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B)＝15°， c ＝ 思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情R C c B b A a 2sin sin sin ===⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ),( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a ⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a B A B A sin sin <⇔<3223245sin 3sin =⋅= b B a 22645sin 75sin 2sin sin +=⋅=BC b 22645sin 15sin 2sin sin -=⋅=B C b况的讨论。

2. △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2＝b （b ＋c ），求证：A ＝2B 。

【解析】分析：研究三角形问题一般有两种思路。

正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明正弦定理概述：正弦定理是三角形的一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的正弦值之间的关系。

正弦定理可以用于求解任意三角形的边长或角度。

正弦定理表达式：在一个三角形ABC中，有以下正弦定理的表达式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C表示三角形的角度。

正弦定理表明，三角形的任意一边的长度与这条边相对的角的正弦值成正比。

正弦定理的证明：可以使用数学推导来证明正弦定理。

这里给出一种较为详细的证明方法。

证明：1. 通过三角形的边长关系：a = b * sin(A) / sin(B)和c = b *sin(C) / sin(B)，可得到以下关系式：a * sin(B) = b * sin(A)和c * sin(B) = b * sin(C)2.利用向量叉积原理知识，假设D为线段BC上的一点，则由向量的垂直性知：向量BD与向量AD是垂直的，向量CD与向量AD是垂直的。

3. 记向量AD为向量a，向量BD为向量b，向量CD为向量c，由向量b与向量a的垂直性可得：向量b·向量a = ，b， * ，a， *sin(∠BA) = b * AD * sin(∠BA)。

4. 同理，由向量c与向量a的垂直性可得：向量c·向量a = ，c，* ，a，* sin(∠CA) = c * AD * sin(∠CA)。

5. 因为∠C + ∠A = ∠BA，即∠CA + ∠BA = 180°，所以sin(∠BA) = sin(∠CA)。

所以有b * AD * sin(∠BA) = c * AD *sin(∠CA)。

6. 即有b * AD * sin(∠BA) = c * AD * sin(∠BA)，那么b = c，所以定理得证。

余弦定理概述：余弦定理是三角形的另一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的角之间的关系。

【知识梳理】1、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

正弦定理的变形应用：(1)sin sin sin sin sin sin a b b c a cA B B C A C===或或 （2）sin sin ,sin sin ,sin sin a B b A b C c B a C c A === (3)2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===,常用于边化角。

（4）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===，常用于角化边。

(5)::sin :sin :sin a b c A B C =2、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（3）一边及其邻角【典型例题分析】例1、在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，求B 的度数解：由定理得sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －2sin A sin C cos B ， ∴－2sin A sin C cos B ＝3sin A sin C∵sin A sin C ≠0 ∴cos Β＝－23∴B ＝150°例2、在△ABC 中，已知2cos B sin C ＝sin A ，试判定△ABC 的形状解：在原等式两边同乘以sin A 得：2cos B sin A sin C ＝sin 2A ，由定理得sin 2A ＋sin 2C －sin 2Β＝sin 2A ，∴sin 2C ＝sin 2B ∴B ＝C 故△ABC 是等腰三角形变式练习：1、在△ABC 中已知a ＝2b cos C ，求证：△ABC 为等腰三角形证法一：欲证△ABC 为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a ＝BAb sin sin ∴2b cos C ＝BAb sin sin ，即2cos C ·sin B ＝sin A ＝sin （B ＋C ）＝sin B cos C ＋cos B sin C ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0即sin （B －C ）＝0，∴B －C ＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）∵B 、C 是三角形的内角，∴B ＝C ，即三角形为等腰三角形证法二：根据射影定理，有a ＝b cos C ＋c c os B ， 又∵a ＝2b cos C ∴2b cos C ＝b cos C ＋c cos B∴b cos C ＝c cos B ，即.cos cos CB c b = 又∵.sin sin C B c b =∴,cos cos sin sin CB C B =即tan B ＝tan C ∵B 、C 在△ABC 中，∴B ＝C ∴△ABC 为等腰三角形证法三：∵cos C ＝,2cos 2222b a C ba c b a =-+及∴,22222baab c b a =-+ 化简后得b 2＝c2∴b ＝c ∴△ABC 是等腰三角形2、在任一△ABC 中求证：0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a证：左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+- =]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边 例3、在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c解一：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===BC b c当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解二：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+= 将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x 当226+=c 时 2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A从而A=60︒ ，C=75︒ 当226-=c 时同理可求得：A=120︒ ，C=15︒ 变式练习：在△ABC 中，已知2a =，22b =，15C =，求A ．错解： 由余弦定理，得2222cos15c a b ab =+-62482222+=+-⨯⨯843=- ∴62c =．又由正弦定理，得sin 1sin 2a C A c ==，而0180A <<， ∴30A =或150A =．辨析： 由题意b a >，∴B A >．因此150A =是不可能的．错因是没有认真审题，未利用隐含条件．在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生．正解： 同上62c =，1sin 2A =，∵b a >， ∴B A >，且0180A <<，∴30A =．例5、如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒, ∠BCD=135︒ 求BC 的长解：在△ABD 中，设BD=x则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222即60cos 1021014222⋅⋅-+=x x 整理得：096102=--x x解之：161=x 62-=x （舍去） 由余弦定理：BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135sin 16=⋅=BC 例6 、△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1︒求最大角 ;2︒求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积解：1︒设三边1,,1+==-=k c k b k a *∈N k 且1>k∵C 为钝角 ∴0)1(242cos 222<--=-+=k k ac c b a C 解得41<<k ∵*∈N k ∴2=k 或3 但2=k 时不能构成三角形应舍去 当3=k 时 109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a 2︒设夹C 角的两边为y x , 4=+y xS )4(415415)4(sin 2x x x x C xy +-⋅=⋅-== 当2=x 时S 最大=15例7、 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，D 为B C 中点，且AD ＝4，求B C 边长分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC 为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D 为BC 中点，所以BD 、DC 可表示为2x，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程解：设BC 边为ｘ，则由D 为BC 中点，可得BD ＝DC ＝2x，在△ADB 中，cos ADB ＝,2425)2(42222222x xBDAD AB BD AD ⨯⨯-+=⋅⋅-+在△ADC 中，cos ADC ＝.2423)2(42222222x x DCAD AC DC AD ⨯⨯-+=⋅⋅-+又∠ADB ＋∠ADC ＝180°∴cos ADB ＝cos （180°－∠ADC ）＝－cos ADC∴2423)2(42425)2(4222222x x x x ⨯⨯-+-=⨯⨯-+ 解得，ｘ＝2, 所以，BC 边长为2评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sin A ，思路如下：由三角形内角平分线性质可得35==DC BD AC AB ，设BD ＝5ｋ，DC ＝3ｋ，则由互补角∠ADC 、∠ADB 的余弦值互为相反数建立方程，求出BC 后，再结合余弦定理求出cos A ，再由同角平方关系求出sin A 例8、若,,a b c 是三角形的三边长，证明长为,,a b c 的三条线段能构成锐角三角形．错解： 不妨设0a b c <≤≤，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可．()()()222cos 22a b c a b ca babθ+-+-==．由于,,a b c 是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有a b c +>， 即cos 0θ>．∴长为,,a b c 的三条线段能构成锐角三角形．辨析： 三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角．显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件．正解： 由错解可得cos 0θ>．又∵a b c +-＝()()a b ca b ca b c+-++++＝2()a b c a b c +-++＝2a b c aba b c a b c+-+++++>0． 即长为,,a b c 的三条线段能构成锐角三角形． 例9、在△ABC 中，62c =+，30C =，求a b +的最大值．错解： ∵30C =，∴150A B +=，150B A =-． 由正弦定理，得()62sin sin 30sin 150a b A A +==-， ∴()262sin a A =+，()()262sin 150b A =+-．又∵sin 1A ≤，()sin 1501A -≤，∴()()262262a b +≤+++()462=+．故a b +的最大值为()462+．辨析： 错因是未弄清A 与150A -之间的关系．这里A 与150A -是相互制约的，不是相互独立的两个量，sin A 与()sin 150A -不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的．正解： ∵30C =，∴150A B +=，150B A =-． 由正弦定理，得()62sin sin 30sin 150a b A A +==-． 因此()()262sin sin 150a b A A ⎡⎤+=++-⎣⎦ ()()262sin 75cos 75A =+⋅-()()62462cos 754A +=+- ()()843cos 75843A =+-≤+．∴a b +的最大值为843+．【课堂小练】1在△ABC 中，已知B =30°,b =503,c =150，那么这个三角形是( )A 等边三角形B 直角三角形C 等腰三角形D 等腰三角形或直角三角形 2在△ABC 中，若b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bc cos B cos C ，则此三角形为( )A 直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形 3在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，则sec A =4△ABC 中，BAB A sin sin tan tan =，则三角形为在△ABC 中，角A 、B 均为锐角且cos A ＞sin B ，则△ABC 是6已知△ABC 中，A bB a c cb ac b a cos cos 2222==-+-+且，试判断△ABC 的形状 7在△ABC 中，（a 2+b 2）sin(A -B )=(a 2-b 2)sin(A +B )，判断△ABC 的形状参考答案：1D 2A 3 8 4等腰三角形5钝角三角形6等边三角形 7等腰三角形或直角三角形【课堂总结】进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力 解斜三角形基本类型 一般解法一边两角 先由内角和定理求第三角，再由正弦定理求另两边 两边夹角 先用余弦定理求第三边，再由正弦定理与内角和定理求角 三边由余弦定理和内角和定理求角两边和其中一边的对角先由正弦定理求另一边的对角，再由内角和定理与正弦定理求其余的边和角或者由余弦定理和解一元二次方程求边（解的情况可以确定）【课后练习】1、在△ABC 中，已知)sin()sin(sin sin C B B A C A --=，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列 证明：由已知得sin （B ＋C ）sin （B －C ）＝sin （A ＋B ）·sin （A －B ）cos2B －cos2C ＝cos2A －cos2B ⇒2cos2B ＝cos2A ＋cos2C22cos 122cos 122cos 12BA B -+-=-⋅∴2sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C由正弦定理可得2b 2＝a 2＋c 2, 即a 2，b 2，c 2成等差数列2、 在△ABC 中，A ＝30°，cos B ＝2sin B －3sin C(1)求证：△ABC 为等腰三角形；(提示B ＝C ＝75°)(2)设D 为△ABC 外接圆的直径BE 与AC 的交点，且AB ＝2，求AD ∶DC 的值答案：（1）略 （2）1∶33、在△ABC 中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的 三边长分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系其中αααcos sin 22sin =利用正弦二倍角展开后出现了cos α，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则ααααcos sin 222sin 2sin ⋅+=+=x x x ,xx 22cos +=∴α①又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cos α将①代入②整理得：ｘ2－3ｘ－4＝0 解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍) 所以此三角形三边长为4，5，6评述： 此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程4、已知三角形的一个角为60°，面积为103c ｍ2，周长为20c ｍ，求此三角形的各边长分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC ＝21ab sin C 表示面积，其三是周长条件应用解：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，B ＝60°，则依题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=︒⋅-+=︒2031060sin 21260cos 222c b a ac ac b c a ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==++∴4020222ac ac c a b c b a 由①式得：b 2＝［20－（a ＋c ）］2＝400＋a 2＋c 2＋2ac －40（a ＋c ） ④ 将②代入④得400＋3ac －40（a ＋c ）＝0 再将③代入得a ＋c ＝13由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+588540132211c a c a ac c a 或解得 ∴b 1＝7，b 2＝7所以，此三角形三边长分别为5c ｍ，7c ｍ，8c ｍ评述： (1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用(2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力5、已知△ABC 中，C=3B,求cb的取值范围。

正弦定理的公式是什么正弦定理的公式是什么sin^2(α/2)=(1-cosα)/2。

在直角三角形中，∠A(非直角)的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，故记作sinA，即sinA=∠A的对边/∠A的斜边古代说法，正弦是股与弦的比例。

古代说的“勾三股，四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边。

股就是人的大腿，长长的，古人称直角三角形中长的那个直角边为“股”;正方的直角三角形，应是大腿站直。

正弦是∠α(非直角)的对边与斜边的比值，余弦是∠A(非直角)的邻边与斜边的比值。

勾股弦放到圆里。

弦是圆周上两点连线。

最大的弦是直径。

把直角三角形的弦放在直径上，股就是长的弦，即正弦，而勾就是短的弦，即余弦。

按现代说法，正弦是直角三角形某个角(非直角)的对边与斜边之比，即：对边/斜边。

余弦定理是什么余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

高中数学正弦定理公式数学正弦定理公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R;余弦定理公式：cosA=(b?+c?-a?)/2bc。

正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

一、正弦定理推论公式1、a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC。

2、a:b=sinA:sinB;a:c=sinA:sinC;b:c=sinB:sinC;a:b:c=sinA:sinB:sinC。

二、余弦定理推论公式1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc;2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac;3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。

高二数学期末复习正弦定理和余弦定理知识点
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余弦定理定义及公式余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值干系的数学定理。

是勾股定理在一般三角形环境下的推广。

a=b+c-2bccosA
余弦定理证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以c得到：
运用同样的方法可以得到：
将两式相加：
向量证明
正弦定理和余弦定理正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
（1）已知三角形的两角与一边，解三角形
（2）已知三角形的双方和此中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC办理角之间的转换干系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理
是展现三角形边角干系的重要定理，直接运用它可办理一类已知三角形双方及夹角求第三边或者是已知三个边求角的标题，若对余弦定理加以变形并适当移于别的知识，则使用起来更为方便、灵敏。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值
以上便是正弦定理和余弦定理知识点的所哟内容，查字典数学网希望可以帮助大众进步成绩。

教学过程一、知识讲解（一） 正弦定理1.正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即：在△ABC 中，若角A 、B 、C 、所对的边长分别为a 、b 、c ，则：R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 为△ABC 外接圆的半径）.2.正弦定理的证明:如图一：在ABC D中，111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A D === 所以sin sin ab C ac B =，sin sin ac B bc A =，sin sin ab C bc A =即：sin sin b c B C =，sin sin b a B A =，sin sin a cA C=如图二：ABC D内接与O ，取AB 的中点M ，连结OM则22AOBC AOM ???12sin sin 2cc C AOMOA R\=?= 即2sin c R C =，同理可得：2sin a R A =，2sin bR B= 综上所述：R CcB b A a 2sin sin sin === 3.定理的拓展与变形（1）ABC ∆的面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆(两边及其夹角的正弦值乘积的一半).（2）定理的变形:①边化角：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=，②角化边：R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin =， ③C B A c b a sin :sin :sin ::=，R AaB A b aC B A c b a 2sin sin sin sin sin sin ==++=++++， ④大边对大角B A b a B A sin sin >⇔>⇔>，⑤C B A sin )sin(=+4.正弦定理的应用（1） 已知三角形的任意两角与一边求其他两边和一角，则选取正弦定理解三角形； （2） 已知三角形的两边与其中一边的对角，求另一边的对角，选取正弦定理解三角形；（3） 已知条件给出的边角关系中，边关系是一次的或出现角的正弦值，选取正弦定理进行边角代换，整理成关于边的式子或关于角的式子；（4） 利用正弦定理判断三角形的形状，求三角形的面积，周长. 5.解斜三角形的几类问题注：当A b a sin <时，无解. （二）余弦定理1.余弦定理:在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，则A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=.2.余弦定理的证明如图，在ABC ∆中，CD AB ^,则有：sin ,cos CD b A AD b A == cos BD c b A \=-在Rt BDC D中，222BC BD CD =+即：222(cos )(sin )a c b A b A =-+2222222c o s c o s s i n a c b c A b A b A\=-++ 即：2222cos ab c bc A =+-同理可证：2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-3.余弦定理的变形:(1)bc a c b A 2cos 222-+=, ac b c a B 2cos 222-+=,abc b a C 2cos 222-+=；(2)在ABC ∆中，A ∠是钝角⇔222a c b <+，A ∠是直角⇔222a c b =+，A ∠是锐角⇔222a c b >+；4.余弦定理的应用（1）已知三边的长，求各角，选取余弦定理；（2）已知三角形的两边和一个角，求第三条边和各角，选取余弦定理； （3）已知给出的边角关系中，边是以二次形式给出的，选取余弦定理； （4）利用余弦定理判断三角形的形状； （5）C B A cos )cos(-=+. 5.三角形内的常考结论:（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=+-=+=+2sin 2cos ;2cos 2sin tan )tan(;cos )cos(;sin )sin(CB AC b a C B A C B A C B A （2）C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++（3）ABC ∆中，角C B A ,,成等差数列的充要条件是，︒=60B .6.角平分线定理的证明： 如图,在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的角平分线，求证：CDACBD AB =.解：如图，由正弦线定理，在ABD ∆中，有ADB AB BAD BD ∠=∠sin sin ；则A D BB A DAB BD ∠∠=sin sin .在ACD ∆中,有)sin(sin ADB AC CAD CD ∠-=∠π，则ADBC ADAC CD ∠∠=sin sin .又因为AD 是角平分线，即CAD BAD ∠=∠. 所以AC CD AB BD ADB CAD ADB BAD =⇒∠∠=∠∠sin sin sin sin ,取倒数即得到CDAC BD AB =.考点/易错点1:应用正弦定理解三角形的多解问题在已知三角形的两边一角（a b A Ð、、）应用正弦定理解三角形时，注意多解问题，可以根据sin b A 与a 的大小关系来判断：A Ð为锐角，sin b A a =时，有一解；sin b A a b <<时，有两解；a b ³时，有一解.A Ð为钝角或直角，a b >时，有一解；a b £时，无解.也可以根据三角形中大边对大角来判断. 例：在ABC ∆中，A B C 行?、、所对的边分别为a b c 、、，已知1,1,s i n 2a b B ===，求A Ð.AB CD解：由正弦定理得：sin sin a b A B =,112=，sin 2A \=1s i n 2B =，又a b >，则必有A B ??，6B p\= 3Ap\?或23A p ? 考点/易错点2：应用正弦定理进行边角转换在应用正弦定理进行边角转换，是根据：①边化角：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=，②角化边：R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin =进行转化.只有 保证等式的两边或分式的分子和分母是齐次时，才能直接进行边角转换. 例：（1）cos sin (2)cos a B b Cb c A +=+，等号左右两边是齐次式，所以可以直接进行边角转化得：sin cos sin sin (sin 2sin )cos A B B CB C A +=+.（2）2cos sin (2)cos a B b C b c A +=+，等号两边不是齐次式，所以不能直接进行边角转换.二、例题精析【例题1】【题干】在中ABC ∆,若15,45,sin ,3b B A =∠==则=a .【解析】由正弦定理得 sin sin 3==b A a B 【例题2】【题干】在∆ABC 中，已知22tan tan a B b A =, 试判断∆ABC 的形状. 【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】由已知的22tan tan a B b A =，由正弦定理得，2sin ,2sin a R A b R B ==，代入化简得sin cos sin cos A A B B =,sin 2cos 2A A = ,22或22180∠=∠∠+∠=︒A B A B或90∴∠=∠∠+∠=A B A B ∆ABC 等腰三角形或直角三角形【例题3】【题干】在ABC D中a b c 、、对应的角分别为A B C 、、，已知1a =，2b =，1cos 4C =.（1）求ABC D周长； （2）求cos()A C -的值.【答案】（1）5 （2）1116【解析】（1） 2222cos 4=+-=ca b ab C2c ∴=ABC ∴∆的周长为5a b c ++=（2）1cos ,sin 44C C =∴=sin 8A ∴=,,a c A C << 故A 为锐角 7cos =8A ∴11cos（A-C ）=16∴ 【例题4】【题干】在ABC D中a b c 、、对应的角分别为A B C 、、，且cos cos 2B bC a c=-+（1）求B ∠的大小；（2）若4,=+=b a c 求ABC D的面积.【答案】（1）23π（2【解析】（1）由余弦定理知：222222cos ,cos 22a c b a b c B C ac ab+-+-==将上式代入cos cos 2B b C a c =-+ ，得222-a c b ac +=-12cos 223ac B B ac π-∴==-∴∠=（2）因为4+=a c ，所以222()24+=++=a c a ac c即2242+=-a c ac 又2222cos =+-b a c ac B将2242+=-ac ac ，12==-b B三、课堂运用【基础】1. 在△ABC 中,若a =8,∠B =60°，∠C =75°则b= .【答案】【解析】由正弦定理得=sin sin a bA B60,75,45B CA∠=∠=∴∠=b ∴= 2. 在△ABC 中，若4,8,30,bc B ==∠=求,,∠∠C A a .【答案】90;60;C A a ∠=∠==【解析】由正弦定理得sin 1C =又3015090C C <<∴∠= 180903060∠=︒-︒-︒=Asin 8==⨯=a c A 3. 在ABC ∆中，已知7,3,5a b c ===，求这三角形最大角的度数.【答案】120【解析】a b b >> ，A ∴∠为最大角由余弦定理得2221cos =22b c a A bc +-=- 又0180120A A <∠<∴∠=即这三角形最大角为120︒. 4. 在ABC ∆中，已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，不解三角形判断三角形的形状. 【答案】钝角三角形【解析】4;5;6+=+=+=b c k c a k a b k则 3.5; 2.5; 1.5(0)===>a k b k c k ka 边最长，A ∴∠最大由余弦定理得2221cos =022b c a A bc +-=-<，ABC ∆为钝角三角形 【巩固】1. 在,、、ABC a b c ∆所对应的角分别为A 、B 、C ，且cos cos cos abcABC==，试判断ABC ∆的形状. 【答案】等边三角形【解析】由正弦定理得，2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C ===代入cos cos cos abcABC==中得：sin sin sin cos cos cos A B CA B C==tan tan tan A B C ∴==A B C ∴== 则为等边三角形2. 在ABC ∆中，b=a sin ,cos C c a B =，判断三角形形状. 【答案】等腰或直角三角形【解析】222cos ,又cos =2a c b cB B ac a+-=化简得：+-=22222a c b c代入化简：221sin cos C B -=C B ∴=或180C B +=ABC ∴∆为等腰或直角三角形3. 在△ABC 中，,、、a b c 对应的角分别为A 、B 、C ，若60,3.A c b ==求：（1）ca的值； （2）CB tan 1tan 1+的值.【答案】（1）（2）9314tan 1tan 1=+C B 【解析】（1）由余弦定理得22222211172cos 23329a b c bc A c c c c c ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故a c =. （2）CB tan 1tan 1+＝cos sin cos sin sin sin BC C B B C +＝ sin()sin ,sin sin sin sin B C AB C B C+=由正弦定理和（Ⅰ）的结论得227sin 19··1sin sin sin ·3cA aBC A bc c c ====故9314tan 1tan 1=+C B .【拔高】1.在ABC ∆中，已知（a+b+c ）(a+b-c)=3ab,且2cos sin sin A B C =，试三角形判断三角形的形状. 【答案】等边三角形【解析】2cos sin sin cos 2cA B C A b=∴=又由余弦定理得222cos =,代入的2b c a A bc+- 22（a+b+c ）(a+b-c)=3ab,（a+b)3c ab ∴-=b c ∴=,a b c ∴==所以三角形为等边三角形.2.在ABC D 中a b c 、、对应的角分别为A B C 、、，已知c o s 2c o s 2cos A C c aBb--=（1）求sin sin CA的值； （2）若1cos 4B =，ABC ∆的周长为5，求b 的长. 【答案】（1）2；（2）2b = 【解析】（1）由正弦定理，设,sin sin sin ===a b ck A B C则22sin sin 2sin sin ,sin sin ---==c a k C k A C A b k B B所以cos 2cos 2sin sin .cos sin --=A C C AB B即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-， 化简可得sin()2sin().A B B C +=+又A B Cπ++=，所以sin 2sin C A =因此sin 2.sin CA=（2）由sin 2sin =CA得2.c a =由余弦定得及1cos 4B =得22222222cos 14444.=+-=+-⨯=b a c ac Ba a a a所以2.b a =又5,a b c ++=从而1,a=因此b=2.3. 在△ABC中，a b c 、、对应的角分别为A B C 、、，且28s i n 2c o s 272B CA +-= (1) 求角A 的大小；（2）3,a b c =+=求b 和c 的值.【答案】（1）60（2）1,2或2,1b c b c ====【解析】（1）180A B C ++= ，90sincos2222B CAB CA++∴=-∴=由28sin2cos 27,2B CA +-=得22cos 2cos 272AA -=24(1cos )2(2cos 1)7,A A ∴+--=即2(2cos 1)0A -=1cos 0180,602A A A ∴=<<∴= （2）60a A == 由余弦定理知222a 2cos b c bc A =+-2bc ∴=，又3,1,2b c b c +=∴==或2,1b c ==课程小结本节课所讲重点内容：1、正弦定理的定义和证明方法及变形2、正确应用正弦定理解三角形和边角转换进行化简求值3、余弦定理和余弦定理的证明及变形4、正确应用余弦定理解三角形和求周长、面积的最值问题课后作业【基础】1．已知△ABC 中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c若a c ==且75A ∠=o ，则b = ( )A.2 B ．4＋ C ．4- D【答案】A【解析】0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=由a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2ab B A=⋅==,故选A.2.在△ABC 中a b c 、、对应的角分别为A B C 、、，若6,45,60a A C =∠=︒∠=︒，求,b c 和B ∠.【答案】【解析】 60,45,180=∠=∠=∠+∠+∠C A C B A75180=∠-∠-=∠∴C A BCc B b A a sin sin sin ==sin sin 75sin 45cos 30cos 45sin 30sin sin 45sin 45B b a a a A +⋅∴=⋅=⋅=⋅3336231+=⨯+=6362223sin sin =⨯=⋅=a ACc3. 在ABC ∆中，若c=150,30,B b ∠== 判断三角形的形状. 【答案】直角三角形或等腰三角形【解析】由正弦定理2,得sin sin sin bcR C BC===又,60b c C <∴∠= 或120C ∠=当60C ∠= 时，90A ∠=，此时ABC ∆为直角三角形当120C ∠= 时，30A ∠=，此时ABC ∆为直角三角形【巩固】1. 在、、a b c 是△ABC 的三边，若45,B ∠= 求A 、C 和c .【答案】60，75A C == ，2c += 或120，15A C == ，2c -= 【解析】4590,B =<且sin a B b a ABC <<∴∆有两个解由正弦定理得sin =，2A 则A 为60 或120. ①60时，75A C ==sin sin b Cc B==②120时，15A C ==sin sin b Cc B ==2. 在△ABC 中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++（1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值. 【答案】（1）120A=︒ （2）30B =︒时，sin sin B C +取得最大值1【解析】（1）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++即 222a b c bc =++由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-故 1cos 2A =-，120A=︒（2）由（Ⅰ）得：sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-1sin 2sin(60)B BB =+=︒+ 故当30B=︒时，sin sin B C +取得最大值1.3. 在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 2A =，3AB AC⋅=．（1）求ABC ∆的面积； （2）若6b c +=，求a 的值． 【答案】（1） 2 （2）【解析】（1）因为cos 2A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ⋅=得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴==（2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，a ∴=【拔高】1. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=.（1）求sin sin CA的值；（2）若41cos =B ，2=b ，求△ABC 的面积S.【答案】（1） 2 （2）4S =【解析】（1）有正弦定理，设k CcB b A a ===sin sin sin ，则22sin sin 2sin sin sin sin c ak C k A C Abk B B---==,所以BA CBC A sin sin sin 2cos cos 2cos -=-.即B AC B C CA cos )sin sin 2(sin )cos (cos -=-，化简可得)sin(2)sin(C B B A +=+.又π=++C B A ，所以A C sin 2sin =.因此2sin sin =AC.（2）由2sin sin =AC得a c 2=，由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，及41cos =B ，2=b ，得41444222⨯-+=a a a .解得1=a ，从而2=c .又因为41cos =B ，且π<<B 0.所以415sin =B .因此4152121sin 21=⨯⨯==B ac S .2. 在△ABC 中，,BCa ACb ==，并且a ，b 是方程220x -+=的两个根，2cos()1A B +=，求AB的长.【答案】【解析】()21cos =+B A ，()[]()21cos cos cos -=+-=+-=∴B A B A C π 又由题意知2,32==+ab b a由余弦定理得()2222A 2cos 10B b a ab C a b ab =+-=+-=AB ∴=3. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(2)cos cos 0a c B b C++=．（1）求角B 的值；（2）若4a c +=，求ABC ∆面积S 的最大值．【答案】（1）23πB =（2【解析】（1）由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C++=，即2sin cos sin cos cos sin 0A B C B C B ++=得2sin cos sin()0A B B C ++=，因为A B C π++=，所以sin()sin B C A +=，得2sin cos sin 0A B A +=，因为sin 0A ≠， 所以1cos 2B =-，又B 为三角形的内角，所以23πB =（2）1sin 2S ac B =，由23πB =及4a c +=得12(4)sin 23S a a π=- 2)a a =-2(2)]a =--，又04a <<，所以当2a =时，S .。

高二数学正弦定理教案5篇最新正弦定理的证明方法很多，如利用三角形的面积公式、利用三角形的外接圆、利用向量证明等，本节课将斜三角形的边角关系转化为直角三角形的边角关系导出正弦定理，采用转化，分类讨论的的数学思想，是学生们易于接受的一种证明方法。

今天小编在这里整理了一些高二数学正弦定理教案5篇最新，我们一起来看看吧!高二数学正弦定理教案1一、教材分析“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，在这次课程改革中，被保留下来，并独立成为一章。

这部分内容从知识体系上看，应属于三角函数这一章，从研究方法上看，也可以归属于向量应用的一方面。

从某种意义讲，这部分内容是用代数方法解决几何问题的典型内容之一。

而本课“正弦定理”，作为单元的起始课，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理(重要的解三角形工具)，通过这一部分内容的学习，让学生从“实际问题”抽象成“数学问题”的建模过程中，体验“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。

同时在解决问题的过程中，感受数学的力量，进一步培养学生对数学的学习兴趣和“用数学”的意识。

二、学情分析我所任教的学校是我县一所农村普通中学，大多数学生基础薄弱，对“一些重要的数学思想和数学方法”的应用意识和技能还不高。

但是，大多数学生对数学的兴趣较高，比较喜欢数学，尤其是象本节课这样与实际生活联系比较紧密的内容，相信学生能够积极配合，有比较不错的表现。

三、教学目标1、知识和技能：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理解决一些简单的`解三角形问题。

过程与方法：学生参与解题方案的探索，尝试应用观察——猜想——证明——应用”等思想方法，寻求最佳解决方案，从而引发学生对现实世界的一些数学模型进行思考。

情感、态度、价值观：培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

正弦定理所有公式
正弦定理是数学中最重要的定理之一，也是三角函数的基础。

它描述了三角形内角度和边长之间的关系。

它是一种把三角形内角度和边长联系起来的定理，可以用来计算三角形内角度、边长和面积等。

正弦定理的第一个公式表明，三角形的两个内角比和为180度，即a+b=180°。

它表明了三角形内的角度总和为180度，也是三角形的基本特征。

第二个正弦定理的公式是sin a / a= sin b / b，它描述了三角形内角a和角b之间的比例关系。

这个关系表明，在三角形中，两个内角的正弦值比值相等。

最后一个正弦定理的公式是a = b = c，它表明三角形的三条边长是相等的。

它表明，如果三角形的三条边都是相等的，则三角形是等边三角形。

正弦定理也可以用来计算三角形的面积。

计算三角形面积的公式为S=1/2ab sin C，其中a和b分别是三角形的两条边长，C是三角形的夹角大小。

正弦定理的应用非常广泛，它可以用于计算三角形的角度、边长和面积，以及求解其他相关问题。

它是三角函数的基础，也是数学中最重要的定理之一。