2018年北京市初三数学各区一模27题汇编(共11个区)

尺规作图 东城区16．已知正方形ABCD .求作：正方形ABCD 的外接圆. 作法：如图，（1）分别连接AC ，BD ，交于点O ;(2) 以点O 为圆心，OA 长为半径作O .O 即为所求作的圆.请回答：该作图的依据是_____________________________________. 16. 正方形的对角线相等且互相平分，圆的定义西城区16．阅读下面材料：在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理．已知：直线和直线外的一点P ．求作：过点P 且与直线垂直的直线PQ ，垂足为点Q P 某同学的作图步骤如下：请你根据该同学的作图方法完成以下推理: ∵PA PB =，APQ ∠=∠__________， ∴PQ l ⊥．（依据：__________）．【答案】BPQ ，等腰三角形三线合一 【解析】BPQ ，等腰三角形三线合一．海淀区16．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.请回答尺规作图的依据是．16．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；两点确定一条直线.丰台区16．下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．16．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．或：同圆半径相等，三条边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等．石景山区16．小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的做法是这样的：如图，（1）利用刻度尺在AOB ∠的两边OA ，OB 上分别取OM ON =；（2）利用两个三角板，分别过点M ，N 画OM ，ON 的垂线，交点为P ； （3）画射线OP ．则射线OP 为AOB ∠的平分线．请写出小林的画法的依据 ． 16．（1）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等； （2）全等三角形的对应角相等．朝阳区16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.请回答：该尺规作图的依据是 ．16. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角是直角燕山区16． 在数学课上，老师提出如下问题：曈曈的作法如下：老师说：“曈曈的作法正确．”请你回答：曈曈的作图依据是________________________．16．①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）门头沟区请回答：该尺规作图的依据是__________．等圆的半径相等，直径所对的圆周角是直角，三角形定义平谷区16．下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是．16．答案不唯一：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；等腰三角形三线合一．怀柔区16. 阅读下面材料：请回答：该尺规作图的依据是16. 到角两边距离相等的点在角平分上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.延庆区15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：．15．△ABC沿y轴翻折后，再向上平移4个单位得到△DEF顺义区16．在数学课上，老师提出一个问题“用直尺和圆规作一个矩形”．小华的做法如下：老师说：“小华的作法正确” ．请回答：小华的作图依据是．16．同圆半径相等，对角线相等且互相平分的四边形是矩形．（或直径所对的圆周角是直角，三个角是直角的四边形是矩形．等等）。

解四边形专题东城区21．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE= AB，连接DE，AC. （1）求证：四边形ACDE为平行四边形;1cos B ，求线段CE的长. （2）连接CE交AD于点O. 若AC=AB=3，321.(1) 证明：∵平行四边形ABCD，∴AB=DC，A B∥DC.∵AB=AE，∴AE=DC，AE∥DC.∴四边形ACDE为平行四边形. -------------------2分(2) ∵AB=AC，∴AE=AC. ∴平行四边形ACDE为菱形.∴AD⊥CE.∵AD∥BC，∴BC⊥CE.在Rt△EBC中，BE=6,∴BC=2 .cos BBC 1,BE 3根据勾股定理，求得BC=4 2 .----------------------5分西城区21．如图，在△ABD中，ABDADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，分别连接BC，DC，AC，记AC与BD的交点为O．（1）补全图形，求AOB的度数并说明理由;3（2）若AB 5 ，cos ABD，求BD 的长．51BAD【解析】（1）补全的图形如图所示．AOB90．证明：由题意可知BC AB，DC AB，∵在△ABD中，ABD ADB，∴AB AD，∴BC DC AD AB，∴四边形ABCD为菱形，∴AC BD，∴AOB90．（2）∵四边形ABCD为菱形，∴OB OD．3在Rt△ABO中，AOB90，AB 5 ，ABD，cos5∴OB AB cos ABD 3 ，∴BD2OB 6 ．BCOAD海淀区221．如图，□ABCD的对角线AC, BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE = CD.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AD=2，则当四边形ABCD的形状是__________时，四边形AOBE的面积取得最大值是_______.C BO ED A21．（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形. ………………1分∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC AB.∵OE CD,∴OE AB.∴平行四边形AEBO是矩形. ………………2分∴BOA 90. ∴AC BD.∴平行四边形ABCD是菱形. ………………3分(2) 正方形；………………4分2. ………………5分丰台区21．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF = BA，BE = BC，连接AE，EF，FC，CA．（1）求证：四边形AEFC为矩形；（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB = 4，求DE的长．DA CBE F21．（1）证明：∵BF=BA，BE=BC，∴四边形AEFC为平行四边形. ………………………1分D ∵四边形ABCD为菱形，∴BA=BC.∴BE=BF.∴BA + BF = BC + BE，即AF=EC.AGBC∴四边形AEFC为矩形. ………………………2分（2）解：连接DB.E F由（1）知，AD∥EB，且AD=EB.∴四边形AEBD为平行四边形∵DE⊥AB，3∴四边形AEBD为菱形.∴AE EB，AB2AG，ED2EG. ………………………4分∵矩形ABCD中，EB AB，AB=4，∴AG2，AE 4.∴Rt△AEG中，EG=2 3 .∴ED=4 3 . ………………………5分（其他证法相应给分）石景山区21．如图，在四边形ABCD中，A BCD90°，BC CD 2 10 ，CE AD于点E．（1）求证：AE CE；（2）若tan D3，求AB的长．CBA E D21．（1）证明：（法一）过点B作BH⊥CE于H，如图1．∵CE⊥AD，∴∠BHC＝∠CED＝90°，1D90．∵∠BCD＝90°，∴1 290，∴ 2D．又BC＝CD∴△BHC≌△CED．∴BH CE．∵BH⊥CE，CE⊥AD，∠A＝90°，∴四边形ABHE是矩形，∴AE BH．∴AE CE．………………3分（法二）过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H．图略，证明略．（2）解：∵四边形ABHE是矩形，∴AB HE．CE∵在Rt△CED中，tan D3,DE设DE x,CE3x，∴CD10x 2 10 ．4∴x 2 ．∴DE 2,CE 6．………………4分∵CH DE 2 ．∴AB HE 6 2 4 ．………………5分朝阳区21. 如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）若∠FDB=30°，∠ABC=45°，BC=42，求DF的长．21.（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ECF＝∠EBD.∵E是BC中点，∴CE＝BE.∵∠CEF＝∠BED，∴△CEF≌△BED.∴CF＝BD.∴四边形CDBF是平行四边形. ………………………2分C （2）解：如图，作EM⊥DB于点M，FE ∵四边形CDBF是平行四边形，BC＝4 2 ，1∴ 2 2BE BC，DF 2DE. AD2在Rt△EMB中，EM BE sin ABC 2. (3)分M B在Rt△EMD中，DE 2EM 4 . …………………4分∴DF＝8. ………………………………………………………5分燕山区23．如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，BE=2DE,延长DEA到点F，使得EF=BE,连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若∠BCF=120°，CE=4，求菱形BCFE的面积．D E F23. （1）证明：∵点D,E, 是AB,AC 中点1∴DE∥BC, DE= BC……………………….1′2B C5又 BE=2DE,即 DE=12 B E∴BC=BE 又 EF=BE ∴EF ∥BC, EF=BC∴四边形 BCFE 是平行四边形……………………….2′ 又 EF=BE∴四边形 BCFE 是菱形 ……………………….3′（2）∵四边形 BCFE 是菱形∴BC=BE 又∠BCF =120° ∴∠BCE=60°∴△BCE 是等边三角形∴连结 BF 交 EC 于点 O ．∴BF ⊥EC在 Rt △BOC 中，BO= BC 2OC 2 4 2 2 2 2 3 ……………………….4′11 SBO OC2 23BOC22 2 3S菱形BCFE42 3 8 3∴∴……………………….5′门头沟区21.在矩形 ABCD 中，连接 AC ,AC 的垂直平分线交 AC 于点 O ,分别交 AD 、BC 于点 E 、F ，连接 CE 和 AF ．EAD（1）求证：四边形 AECF 为菱形；（2）若 AB =4，BC =8，求菱形 AECF 的周长．OBCF21. （1）证明：∵EF 是 AC 的垂直平分线，∴AO =OC ，∠AOE =∠COF =90°，……………………1分 ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∴∠EAO =∠FCO ，在△AEO 和△CFO 中， ∵∠EAO =∠FCO ，AO =CO ，∠AOE =∠COF ，EAD∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴OE =OF ． ……………2分 又∵OA =OC ，∴四边形 AECF 是平行四边形，O又∵EF ⊥AC ，∴平行四边形 AECF 是菱形；……………3分 （2）设 AF =x ，∵EF 是 AC 的垂直平分线，BCF∴AF =CF =x ，BF =8﹣x ， ………………………………………4分在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，∴AF=5，∴菱形AECF的周长为20．…………………5分6大兴区21. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O ，且 DE=O C ，CE=O D ． （1）求证：四边形 OCED 是菱形；（2）若∠BAC ＝30°，AC ＝4，求菱形 OCED 的面积． 21.（1）证明：∵DE =OC ，CE =OD ，∴四边形 OCED 是平行四边形 ………………………………1分∵矩形 ABCD ，∴AC =BD ，OC = ∴OC =OD .12 AC ，OD = 1 2BD .∴平行四边形 OCED 是菱形………………………………2分 （2）解：在矩形 ABCD 中，∠ABC =90°，∠BAC =30°，AC ＝4， ∴BC =2.∴AB =DC =2 3 .…………………………………………………3分 连接 OE ，交 CD 于点 F .∵四边形 OCED 为菱形，∴F 为 CD 中点. ∵O 为 BD 中点，∴OF = 12BC =1.∴OE ＝2OF ＝2 …………………………………………………4分∴S 菱形 OCED ＝ 12 O E·CD = 1 2×2×2 3＝ 2 3 …………………………………………………5分平谷区k21．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数y k的图象与直线 y =x +1交于点 A （1，a ）．x（1）求 a ，k 的值；k（2）连结 OA ，点 P 是函数y k上一点，且满足 OP=OA ，直接写出点 P 的坐标（点 Ax除外）．721．解：（1）∵直线 y =x +1经过点 A （1，a ），∴a =2． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 ∴A （1,2）．k∵函数yk的图象经过点 A （1，2），x∴k =2． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2（2）点 P 的坐标（2,1），（-1，-2），（-2，-1）．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5怀柔区21.直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，D 是斜边 BC 上一点，且 AB=AD ，过点 C 作 CE⊥AD ，交 AD 的延长线于点 E ，交 AB 延长线于点 F. (1)求证：∠ACB=∠DCE ； (2)若∠BAD=45°， AF 2+ 2 ，过点 B 作 BG⊥FC 于点 G ，连接 DG ．依题意补全图形，并求四边形 ABGD 的面积．21.(1)∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ，………………………………1分 ∵∠ADB=∠CDE ，∴∠ABD=∠CDE.A∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠ACB=90°. ∵CE⊥AE ，∴∠DCE+∠CDE=90°.∴∠ACB=∠DCE. …………………………………2分BDC（2）补全图形,如图所示: …………………………3分 E∵∠BAD=45°, ∠BAC=90°,G ∴∠BAE=∠CAE=45°, ∠F=∠ACF=45°,AF∵AE⊥CF, BG⊥CF,∴AD∥BG.∵BG⊥CF, ∠BAC=90°，且∠ACB=∠DCE, ∴AB=BG.BH DC∵AB=AD ，∴BG=AD.∴四边形 ABGD 是平行四边形. ∵AB=ADFGE∴平行四边形 ABGD 是菱形.………………4分设 AB=BG=GD=AD=x ，∴BF= 2BG= 2x.∴AB+BF=x+ 2x=2+ 2.∴x=2，过点B作BH⊥AD于H.8∴BH=22A B=1.∴S四边形ABDG=AD×BH=2. ……………………………………………………………………5分延庆区21．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．（1）求证：四边形DBEC是菱形；（2）若AD=3，DF=1，求四边形DBEC面积.CD EBA F21．（1）在Rt△ABC中，∵CE//DC，BE//DC∴四边形DBEC是平行四边形∵D是AC的中点，∠ABC=90°∴BD=DC ……1分∴四边形DBEC是菱形……2分（2）∵F是AB的中点∴BC=2DF=2,∠AFD=∠ABC=90°在Rt△AFD中,AF = 퐴퐷2 ―퐷퐹2 = 32 ―1 = 2 2 ……3分1 1∴푆∆퐷퐵퐶= 2BC × BF = 2 × 2 × 2 2 = 2 2 ……4分∴푆菱形DBEC = 2푆∆퐷퐵퐶= 4 2……5分顺义区21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形BCFD是菱形；A DF（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．EB C 21．（1）证明：∵BD=BC，点E是CD的中点，∴∠1=∠2．…………………………………………………… 1分∵AD∥BC，∴∠2=∠3．DA F3E9 12B C∴∠1=∠3．……………………………2分∴BD=DF．∵BD=BC，∴DF=BC．又∵DF∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形．∵BD=BC，∴□BCFD是菱形．…………………………………………………… 3分（2）解：∵∠A =90，AD=1，BD=BC=2，∴AB BD2 AD2 3 ．∵四边形BCFD是菱形，∴DF=BC=2．………………………………………………………… 4分∴AF=AD+DF=3．∴BF AB2 AF2 39 2 3 ．………………………………5分10。

圆简答题专题东城区23．如图，AB为O的直径，点C，D在O上，且点C是BD的中点.过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E.（1）求证：EF是O的切线；（2）连接BC. 若AB=5，BC=3，求线段AE的长.23. （1）证明：连接OC.∵CD CB=∴∠1=∠3.∵OA OC=，∴∠1=∠2.∴∠3=∠2.∴AE OC∥.∵AE EF⊥，∴OC EF⊥.∵OC是O的半径，∴EF是O的切线. ----------------------2分（2）∵AB为O的直径，∴∠ACB=90°.根据勾股定理，由AB=5,BC=3,可求得AC=4.∵AE EF⊥，∴∠AEC=90°.∴△AEC∽△ACB.∴AE AC AC AB=.∴4 45 AE=.∴165AE =. ----------------------5分 西城区24．如图，⊙O 的半径为r ，ABC △内接于⊙O ，15BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，D 为CB 延长线上一点，AD 与⊙O 相切，切点为A ．（1）求点B 到半径OC 的距离（用含r 的式子表示）． （2）作DH OC ⊥于点H ，求ADH ∠的度数及CBCD的值． AB C【解析】（1）如图4，作BE OC ⊥于点E ． ∵在⊙O 的内接ABC △中，15BAC ∠=︒， ∴230BOC BAC ∠=∠=︒．在Rt BOE △中，90OEB ∠=︒，30BOE ∠=︒，OB r =， ∴22OB rBE ==， ∴点B 到半径OC 的距离为2r． （2）如图4，连接OA ．由BE OC ⊥，DH OC ⊥，可得BE DH ∥． ∵AD 于⊙O 相切，切点为A ， ∴AD OA ⊥， ∴90OAD ∠=︒． ∵DH OC ⊥于点H ， ∴90OHD ∠=︒．∵在OBC △中，OB OC =，30BOC ∠=︒， ∴180752BOCOCB ︒-∠∠==︒．∵30ACB ∠=︒，∴45OCA OCB ACB ∠=∠-∠=︒． ∵OA OC =，∴45OAC OCE ∠=∠=︒， ∴180290AOC OCA ∠=︒-∠=︒， ∴四边形AOHD 为矩形，90ADH ∠=︒， ∴DH AO r ==．∵2r BE =， ∴2DHBE =．∵BE DH ∥， ∴CBE CDH ∽△△， ∴12CB BE CD DH ==． 图4CB A海淀区23．如图，AB 是O 的直径，弦EF AB ⊥于点C ，过点F 作O 的切线交AB 的延长线于点D .（1）已知A α∠=，求D ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）取BE 的中点M ，连接MF ，请补全图形；若30A ∠=︒，MF =，求O 的半径.DA23．解：（1）连接OE ，OF ．∵EF AB ⊥，AB 是O 的直径，∴DOF DOE =∠∠． ∵2DOE A =∠∠，A α=∠，∴2DOF α=∠． ………………1分 ∵FD 为O 的切线， ∴OF FD ⊥.∴90OFD ︒=∠.∴+90D DOF ︒=∠∠. 902D α∴∠=︒-． ………………2分（2）图形如图所示.连接OM .∵AB 为O 的直径，∴O 为AB 中点， 90AEB ∠=︒． ∵M 为BE 的中点，∴OM AE ∥，1=2OM AE . ………………3分∵30A ∠=︒，∴30MOB A ∠=∠=︒． ∵260DOF A ∠=∠=︒ ，∴90MOF ∠=︒. ………………4分 ∴222+OM OF MF =．设O 的半径为r ．∵90AEB ∠=︒，30A ∠=︒，∴cos30AE AB ︒=⋅=.∴OM ． ………………5分∵FM∴222)+r =.解得=2r ．（舍去负根）∴O 的半径为2． ………………6分 丰台区DADA23．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，过点D 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点F ． （1）求证：EF =ED ；（2）如果半径为5，cos∠ABC =35，求DF 的长．23．（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2.∵DE ∥AB ，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3. ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠BDF ＝90°. ∴∠1+∠F ＝90°，∠3+∠EDF ＝90°.∴∠F ＝∠EDF .∴EF =DE . …….…….……………2分 （2）解：连接CD .∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BCD ＝90°. ∵DE ∥AB ，∴∠DEF ＝∠ABC . ∵cos∠ABC =35，∴在Rt△ECD 中，cos∠DEC =CE DE =35. 设CE =3x ，则DE =5x .由（1）可知，BE = EF =5x .∴BF =10x ，CF =2x. 在Rt△CFD 中，由勾股定理得DF =． ∵半径为5，∴BD =10. ∵BF ×DC = FD ×BD ， ∴1041025x x x =，解得2x =∴DF ==5. …….…….……………5分 （其他证法或解法相应给分.）石景山区23．如图，AB 是⊙O 的直径，BE 是弦，点D 是弦BE 上一点，连接OD 并延长交⊙O 于点C ，连接BC ，过点D 作FD ⊥OC 交⊙O 的切线EF 于点F ．（1）求证：12CBE F ∠=∠；（2）若⊙O的半径是，点D 是OC 中点，15CBE ∠=°，求线段EF 的长．23．（1）证明：连接OE 交DF 于点H ，∵EF 是⊙O 的切线，OE 是⊙O 的半径， ∴OE ⊥EF . ∴190F ∠+∠=°. ∵FD ⊥OC ， ∴3290∠+∠=︒. ∵12∠=∠，∴3F ∠=∠. ………………1分 ∵132CBE ∠=∠，∴12CBE F ∠=∠. ………………2分（2）解：∵15CBE ∠=°，∴3230F CBE ∠=∠=∠=°.∵⊙O 的半径是D 是OC 中点， ∴OD = 在Rt ODH ∆中，cos 3OD OH∠=，∴2OH =. ………………3分 ∴2HE =. 在Rt FEH ∆中，tan EHF EF∠=. (4)分∴6EF ==-………………5分 朝阳区23. 如图，在⊙O 中，C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的切线于点E ． （1）求证：AE ⊥CE ． （2）若AE =，sin ∠ADE =31，求⊙O 半径的长．23. （1）证明：连接OA ，∵OA 是⊙O 的切线，∴∠OAE ＝90º. ………………………………1分 ∵ C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点， ∴CD 为△AOB 的中位线. ∴CD ∥OA ． ∴∠E ＝90º.∴AE ⊥CE . …………………………………2分（2）解：连接OD ，∴∠ODB ＝90º. ……………………………………………………3分 ∵AE =，sin ∠ADE =31， 在Rt △AED 中，23sin =∠=ADEAEAD .∵CD ∥OA ， ∴∠1＝∠ADE . 在Rt △OAD 中，311sin ==∠OA OD .…………………………………4分 设OD ＝x ，则OA ＝3x ， ∵222OA AD OD =+， ∴()()222323x x =+.解得 231=x ，232-=x （舍）. ∴293==x OA . ……………………………………………5分即⊙O 的半径长为29.燕山区25．如图，在△ABC 中,AB=AC ,AE 是BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交 AE 于点M ，经过 B ，M 两点的⊙O 交 BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 为⊙O 的直径． （1）求证：AM 是⊙O 的切线 （2）当BE =3，cosC=52时，求⊙O 的半径．25.解： (1)连结OM. ∵BM 平分∠ABC∴∠1 = ∠2 又OM=OB ∴∠2 = ∠3∴ OM ∥ BC …………………………………2′ AE 是BC 边上的高线∴AE ⊥BC,∴AM ⊥OM∴AM 是⊙O 的切线…………………………………3′ （2）∵AB=AC∴∠ABC = ∠C AE ⊥BC, ∴E 是BC 中点 ∴EC=BE=3 ∵cosC=52=AC EC ∴AC=25EC= 215…………………………………4′∵OM ∥ BC ，∠AOM =∠ABE∴△AOM ∽△ABE ∴ABAOBE OM =又∠ABC = ∠C ∴∠AOM =∠C 在Rt △AOM 中cos ∠AOM = cosC=52 52=AO OM ∴AO=OM 25AB=OM 25+OB=OM 27而AB= AC= 215门头沟区23. 如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，射线DC 切⊙O 于点C 、交AB 的延长线于点P ，连接AC 交DE 于点F ，作CH ⊥AB 于点H ． （1）求证：∠D =2∠A ；（2）若HB =2，cos D =35，请求出AC 的长．（1）证明：连接OC ，∵射线DC 切⊙O 于点C ， ∴∠OCP =90° ∵DE ⊥AP ，∴∠DEP =90° ∴∠P +∠D =90°，∠P +∠COB =90°∴∠COB =∠D …………………1分 ∵OA =OC , ∴∠A =∠OCA∵∠COB=∠A +∠OCA ∴∠COB =2∠A∴∠D =2∠A …………………2分 （2）解：由（1）可知：∠OCP =90°，∠COP =∠D ，∴cos ∠COP =cos ∠D =35， …………………3分 ∵CH ⊥OP ，∴∠CHO =90°， 设⊙O 的半径为r ，则OH =r ﹣2． 在Rt △CHO 中，cos ∠HOC =OH OC =2r r-=35，A∴r =5， …………………4分 ∴OH =5﹣2=3，∴由勾股定理可知：CH =4，∴AH =AB ﹣HB =10﹣2=8．在Rt △AHC 中，∠CHA =90°，∴由勾股定理可知：AC =…………………5分 大兴区23.已知：如图，在△OAB 中，OA OB =，⊙O 经过AB 的中点C ，与OB 交于点D,且与BO 的延长线交于点E ，连接EC CD ，．（1）试判断AB 与⊙O 的位置关系，并加以证明； （2）若1tan 2E =，⊙O 的半径为3，求OA 的长．23. （1）AB 与⊙O 的位置关系是相切 ···················· 1分证明：如图，连接OC ．OA OB =，C 为AB 的中点，OC AB ∴⊥．∴AB 是⊙O 的切线． （2）ED 是直径，90ECD ∴∠=．∴90E ODC ∠+∠=．又90BCD OCD ∠+∠=，OCD ODC ∠=∠， ∴BCD E ∠=∠． 又CBD EBC ∠=∠， ∴BCD BEC △∽△．BC BDBE BC∴=． ∴2BC BD BE =⋅． ························· 3分1tan 2E ∠=， ∴12CD EC =． BCD BEC △∽△，∴12BD CD BC EC ==．·························· 4分 设BD x =，则2BC x =． 又2BC BD BE =⋅， ∴2(2)(6)x x x =+． 解得10x =，22x =．0BD x =>，∴2BD =．235OA OB BD OD ∴==+=+=． ··················· 5分 平谷区24．如图，以AB 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的切线AC ，连结BC ，交⊙O 于点D ，点E 是BC 边的中点，连结AE ．（1）求证：∠AEB =2∠C ； （2）若AB =6，3cos 5B =，求DE 的长．24．（1）证明：∵AC 是⊙O 的切线，∴∠BAC =90°． ······················· 1 ∵点E 是BC 边的中点， ∴AE=EC ．∴∠C =∠EAC ， ······················· 2 ∵∠AEB =∠C +∠EAC ，∴∠AEB =2∠C ． (3)（2）解：连结AD ． ∵AB 为直径作⊙O ， ∴∠ABD =90°．∵AB= 6，3 cos5B=，∴BD=185． (4)在Rt△ABC中，AB=6，3 cos5B=，∴BC=10．∵点E是BC边的中点，∴BE=5． (5)∴75DE=． (6)怀柔区23.如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O内一点，且BA=BC，连结BO并延长线交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线CE，且BC平分∠DBE.(1)求证：BE=CE；(2)若⊙O的直径长8，sin∠BCE=45，求BE的长.23.(1)∵BA=BC，AO=CO,∴BD⊥AC.∵CE是⊙O的切线,∴CE⊥AC.∴CE∥BD. ……………………………………1分∴∠ECB=∠CBD.∵BC平分∠DBE,∴∠CBE=∠CBD.∴∠ECB=∠CBE.∴BE=CE. …………………………………………2分(2)解：作EF⊥BC于F. …………………………3分E∵⊙O 的直径长8，∴CO=4.∴sin∠CBD= sin∠BCE= 45=OCBC. …………………………………………………………4分∴BC=5，OB=3. ∵BE=CE,∴BF=15 22 BC=.∵∠BOC=∠BFE=90°，∠CBO=∠EBF, ∴△CBO∽△EBF.∴BE BF BC OB=.∴BE=256. ……………………………………………………………………………………5分延庆区23．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，点E是弧AD的中点，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F．连接AE并延长交BF于点C．（1）求证：AB BC=；（2）如果AB=5，1tan2FAC∠=，求FC的长．A23．证明：（1）连接BE．∵AB是直径，∴∠AEB=90°．∴∠CBE+∠ECB=90°∠EBA +∠EAB=90°．∵点E是AD的中点，∴∠CBE =∠EBA．∴∠ECB =∠EAB．……1分∴AB=BC．……2分（2）∵FA作⊙O的切线，A BCDEFO∴FA⊥AB．∴∠FAC+∠EAB=90°．∵∠EBA+∠EAB=90°，∴∠FAC=∠EBA．∵1tan2FAC∠=AB=5，∴AE=BE=．……4分过C点作CH⊥AF于点H，∵AB=BC∠AEB=90°，∴AC=2AE=25．∵1 tan2FAC∠=，∴CH=2．……5分∵CH∥AB AB=BC=5，∴255FCFC=+．∴FC=310．…6分顺义区24．如图，等腰△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，过点A作BC的平行线AD交BO的延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为15，sin∠D＝35，求AB的长．24．（1）证明：连接AO，并延长交⊙O于点E，交BC于点F．∵AB=AC，∴=AB AC．∴AE⊥BC．∵AD∥BC，∴AE⊥AD．∴AD是⊙O的切线．…………… 2分（2）解法1：∵AD∥BC，∴∠D=∠1．HA BCDEFO∵sin∠D=35，∴sin∠1=35．∵AE⊥BC，∴OFOB=35．∵⊙O的半径OB=15，∴OF=9，BF=12．∴AF=24．∴AB= 5分3解法2：过B作BH⊥DA交DA延长线于H．∵AE⊥AD，sin∠D=35，∴OAOD=35．∵⊙O的半径OA=15，∴OD=25，AD=20．∴BD=40．∴BH=24，DH=32．∴AH=12．∴AB= 5分。

几何证明东城区19. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D . BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F . 求证：AE =AF .19.证明： ∵∠BAC =90°，∴∠FBA +∠AFB =90°. -------------------1分 ∵AD ⊥BC ，∴∠DBE +∠DEB =90°．---------------- 2分 ∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE =∠FBA . -------------------3分 ∴∠AFB =∠DEB . -------------------4分 ∵∠DEB =∠FEA ， ∴∠AFB =∠FEA .∴AE =AF . -------------------5分 西城区19．如图，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ，AE AC <． （1）求证：DE AC ∥．（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时，图中与ADF △全等的三角形是__________．EDCBA【解析】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∵BD AD ⊥于点D ， ∴90ADB ∠=︒， ∴ABD △为直角三角形． ∵AB 的中点为E ， ∴2AB AE =，2ABDE =， ∴DE AE =， ∴13∠=∠， ∴23∠=∠， ∴DE AC ∥． （2）ADE △．321EDCBA海淀区19．如图，△ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的平行线EF ，求证：BC 平分ABF ∠．FE DCB A19. 证明：∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点， ∴12CD AB BD ==. ∴ABC DCB ∠=∠. …………… ∵DC EF ∥，∴CBF DCB ∠=∠.∴CBF ABC ∠=∠. ∴BC 平分ABF ∠. 丰台区19．如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：DE = DF ．F E CBA19．证明：连接AD .∵AB ＝BC ，D 是BC 边上的中点，∴∠BAD =∠CAD . ………………………3分 ∵DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE ＝DF ． ………………………5分 （其他证法相应给分）石景山区19．问题:将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，5AB =，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.O H GFE DCB A（1）在AB 边上取点E ，使4AE =，连接OA ，OE ； （2）在BC 边上取点F ，使BF = ，连接OF ； （3）在CD 边上取点G ，使CG = ，连接OG ； （4）在DA 边上取点H ，使DH = ，连接OH ．由于AE = ＋ = ＋ = ＋ = . 可证S △AOE ==EOFB FOGC GOHD S S S ==四边形四边形四边形S △HOA .19．解：3，2，1； ………………2分EB 、BF ；FC 、CG ；GD 、DH ；HA. ………………4分朝阳区19. 如图，在△ACB 中，AC =BC ，AD 为△ACB 的高线，CE 为△ACB 的中线.求证：∠DAB =∠ACE.ABCEF19. 证明：∵AC＝BC，CE为△ACB的中线，∴∠CAB＝∠B，CE⊥AB. ……………………………………………2分∴∠CAB＋∠ACE＝90°. ………………………………………………3分∵AD为△ACB的高线，∴∠D＝90°.∴∠DAB＋∠B＝90°. ……………………………………………………4分∴∠DAB＝∠ACE. ………………………………………………………5分燕山区19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题。

2017——2018学年度北京初三各区一模26题汇总（东城区2017-2018学年度第一次模拟检测）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342≠-+-=a a ax ax y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a 的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a 的代数式表示）；（3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．（西城区2017-2018学年度第一次模拟检测）6. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221y mx mx m =++- (m ≠0)与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线l ：1y mx m =+-(m ≠0) ．（1）当1m =时，画出直线l 和抛物线G ，并直接写出直线l 被抛物线G 截得的线段长；（2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线l 上并说明理由；（3）若直线l 被抛物线G 截得的线段长不小于．．．2．，结合函数的图象，直接写出m 的 取值范围.（朝阳区2017-2018学年度第一次模拟检测）26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B . （1）求点A ，B 的坐标；（2）若方程有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围.（房山区2017-2018学年度第一次模拟检测）26. 23y ax bx 分别交x 轴于点A （－1,0），C （3，0），交y 轴于点B ，抛物线的对称轴与x轴相交于点D . 点P 为线段OB 上的点，点E 为线段AB 上的点，且PE ⊥AB.（1）求抛物线的表达式；（2）计算的值；()244=00ax ax a --≠（3）请直接写出的最小值为.（丰台区2017-2018学年度第一次模拟检测）26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x≤4之间的部分记为图象G1，将图象G1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G2，图象G1和G2组成图象G．过(0，b)作与y轴垂直的直线l，当直线l和图象G只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求b的取值范围和x1+ x2的值．（海淀区2017-2018学年度第一次模拟检测）26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线22y x ax b=-+的顶点在x轴上，1(,)P x m，2(,)Q x m（12x x<）是此抛物线上的两点．（1）若1a=，①当m b=时，求1x，2x的值；②将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c，使得11x c≤-，且27x c≥+成立，则m的取值范围是．（怀柔区2017-2018学年度第一次模拟检测）26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n ≠0)，与x轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线顶点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为（0，3），AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围． （平谷区2017-2018学年度第一次模拟检测） 26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2． （1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点P （0，m ），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点A （x 1，y 1），B （x 2 ，y 2），其中 12x x <．①当213x x -=时，结合函数图象，求出m 的值；②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在0≤x ≤5 时，44y -≤≤，求m 的取值范围．（石景山区2017-2018学年度第一次模拟检测）26．在平面直角坐标系中，将抛物线（）向右平移个单位长度后得到抛物线，点是抛物线的顶点． （1）直接写出点的坐标；（2）过点且平行于x 轴的直线l 与抛物线交于，两点．①当时，求抛物线的表达式；②若，直接写出m的取值范围．（延庆区2017-2018学年度第一次模拟检测）26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+3a(a＞0) 与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．（1）求抛物线的对称轴及点A，B的坐标；（2）点C（t，3）是抛物线上一点，（点C在对称轴的右侧），过点C作x轴的垂线，垂足为点D．①当时，求此时抛物线的表达式；②当时，求t的取值范围．（顺义区2017-2018学年度第一次模拟检测）26．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线2y x bx c=++顶点A的横坐标是-1，且与y轴交于点B（0，-1），点P为抛物线上一点．（1）求抛物线的表达式；（2）若将抛物线2y x bx c=++向下平移4个单位，点P平移后的对应点为Q．如果OP=OQ，求点Q的坐标．（通州区2017-2018学年度第一次模拟检测）。

函数操作专题东城区25. 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ,点D ,E 分别为BC ，AB 的中点，连接AD .在线段AD 上任取一点P ,连接PB ,PE .若BC =4,AD =6，设PD =x （当点P 与点D 重合时，x 的值为0），PB +PE =y .小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变换而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、计算，得到了x 与y 的几组值，如下表： （说明：补全表格时，相关数值保留一位小数）. （参考数据：1.414≈1.732≈2.236≈）(2) 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）函数y 的最小值为______________(保留一位小数)，此时点P 在图1中的位置为________________________.25.解：（1）4.5 . --------------------2分 （2）--------------------4分(3) 4.2，点P 是AD 与CE 的交点. --------------------6分 西城区25．如图，P 为⊙O 的直径AB 上的一个动点，点C 在»AB 上，连接PC ，过点A 作PC 的垂线交⊙O 于点Q ．已知5cm AB =，3cm AC =．设A 、P 两点间的距离为cm x ，A 、Q 两点间的距离为cm y ．BA某同学根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究． 下面是该同学的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x 与y 的几组值，如下表：（说明：补全表格对的相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：当2AQ AP =时，AP 的长度均为__________cm ．【解析】（1）（2）如图5图5（3）2.42． 海淀区25．在研究反比例函数1y x=的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析. 首先，确定自变量x 的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被y 轴分成两部分；其次，分析解析式，得到y 随x 的变化趋势：当0x >时，随着x 值的增大，1x的值减小，且逐渐接近于零，随着x 值的减小，1x的值会越来越大，由此，可以大致画出1y x=在0x >时的部分图象，如图1所示：利用同样的方法，我们可以研究函数y=的图象与性质. 通过分析解析式画出部分函数图象如图2所示.（1）请沿此思路在图2中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横坐标为0的点A；（画出网格区域内的部分即可）（2）观察图象，写出该函数的一条性质：____________________；（3）若关于x(1)a x=-有两个不相等的实数根，结合图象，直接写出实数a的取值范围：__________.25．（1）如图：………………2分x>时，y随着x的增大而减小；（答案不唯一）………………4分（2）当1a≥. ………………6分（3）1丰台区25．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点D为AB边上的动点（点D不与点A，点B重合），过点D作ED⊥CD交直线AC于点E．已知∠A = 30°，AB = 4cm，在点D由点A到点B运动的过程中，设AD = x cm，AE = y cm.CED小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在下面的平面直角坐标系xOy 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE =12AD 时，AD 的长度约为 cm ． 25．解：（1）1.2； ………………………2分 （2）如右图； ………………………4分 （3）2.4或3.3 ………………………6分 石景山区25．如图，半圆O 的直径5cm AB =，点M 在AB 上且1cm AM =，点P 是半圆O 上的动点，过点B 作BQ PM ⊥交PM （或PM 的延长线）于点Q .设cm PM x =，cm BQ y =.（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BQ与直径AB所夹的锐角为60 时，PM的长度约为cm.25.解：（1）4； 0. ………………2分（2）………………4分（3）1.1或3.7 . ………………6分朝阳区25.如图，AB是⊙O的直径，AB=4cm，C为AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=60°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=x cm，DE=y cm （当x的值为0或3时，y的值为2），探究函数y随自变量x的变化而变化的规律.（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F与点O重合时，DE长度约为 cm （结果保留一位小数）．25. 解：本题答案不唯一，如：（1）………………………………………………1分（2）…………………………………………4分（3）3.5．……………………… 6分燕山区26．已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x≠0的全体实数，下表是y与x的几组对应值．小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：(1)从表格中读出，当自变量是-2时，函数值是；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；(3)在画出的函数图象上标出x=2时所对应的点，并写出m = (4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：____________ ．26.解：(1)当自变量是-2时，函数值是 32…………………………………1′（2）如图,该函数的图象； (略) …………………………………3′(3)标出x=2时所对应的点 …………………………………4′ 且m= …………………………………5′(4)写出该函数的性质(一条即可)：_____ ． …………………………………7′ 门头沟区25.在正方形ABCD 中,4AB cm = AC 为对角线，AC 上有一动点P ,M 是AB 边的中点，连接PM 、PB , 设A 、P 两点间的距离为xcm ，PM PB +长度为ycm .D A小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：PM PB 的长度最小值约为__________cm ．25.（本小题满分6分）（1）5 ……………………………………………………………………1分（2）坐标系正确……………………………………………………3分描点正确……………………………………………………4分连线正确……………………………………………………5分（3）4.5 ……………………………………………………………………6分大兴区25.如图，在△ABC中，AB=4.41cm,BC=8.83cm，P是BC上一动点，连接AP，设P，C两点间的距离为x cm，P，A两点间的距离为y cm．（当点P与点C重合时，x的值为0）小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整:（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当PA=PC时，PC的长度约为cm．（结果保留一位小数）25.（1）4.6 ………………………………………………………………1分（答案不唯一）（2）………………………………………………………………4分(3) 4.4 ………………………………………………………………6分（答案不唯一）平谷区25．如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=3厘米，AC=4厘米，点P从点B出发，沿B→C→A 以每秒1厘米的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y 厘米．B小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：经测量m的值是（保留一位小数）．（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在△ABC中画出点P所在的位置．25．解：（1）3.0； (1)（2）如图所示；··························4（3）如图 (5)怀柔区25、如图，在等边△ABC中， BC=5cm，点D是线段BC上的一动点，连接AD，过点D作DE⊥AD，垂足为D，交射线AC与点E．设BD为x cm，CE为y cm．小聪根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小聪的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了与y的几组值，如下表：(说明：补全表格上相关数值保留一位小数)(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：当线段BD是线段CE长的2倍时，BD的长度约为________cm.25.(1)约 1.1； (1)分(2)如图：xy –1123456–1123456O ……………………………………………………………4分(3)约 1.7. ………………………………………………………………………………………5分 延庆区25．如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB =6cm ，设弦AP 的长为x cm ，△APO 的面积为y cm 2，（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值为0）．A B小明根据学习函数的经验，对函数y 随 自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整；（1）通过取点、画图、测量、计算，得到了x 与y 的几组值，如下表：那么m = ；（保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数图象．（3）结合函数图象说明，当△APO 的面积是4时，则AP 的值约为 ．（保留一位小数）25．(1)m = 约4.3 ； ……1分(2)（画此函数图象时要体现出x 约为4.2时，y 有最大值，为4.5） ……4分 (3) 3.1或是5.1 ……6分-16123454321O顺义区25．如图，P是半圆弧AB上一动点，连接PA、PB，过圆心O作OC∥BP交PA于点C，连接CB．已知AB=6cm，设O，C两点间的距离为x cm，B，C两点间的距离为y cm．A小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)(2)建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：直接写出△OBC周长C的取值范围是．25．(1)4.6．……………………………………………………………………… 1分12(2)…………………………………………………………………………… 3分(3)6＜C ＜12． …………………………………………………………… 5分。

解不等式组专题东城区18． 解不等式组4+6,23x x x x ⎧⎪+⎨⎪⎩＞≥， 并写出它的所有整数解.18. 解：4+6,23x x x x ⎧⎪⎨+⎪⎩①②＞≥，由①得，-x ＞2，------------------1分 由②得，1x ≤， ------------------2分 ∴不等式组的解集为-1x 2＜≤.所有整数解为-1, 0, 1. ---------------------5分西城区18．解不等式组3(2)4112x x x ++⎧⎪⎨-<⎪⎩≥，并求该不等式组的非负整数解．【解析】解①得，364x x ++≥，22x -≥，1x -≥， 解②得，12x -<，3x <， ∴原不等式解集为13x -<≤， ∴原不等式的非负整数解为0，，2．海淀区18．解不等式组：()5331,263.2x x x x +>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩18.解：() 5331, 263. 2x x x x +>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩①②解不等式①，得3x >-. …2分解不等式②，得2x <. ………4分 所以 原不等式组的解集为32x -<<. ………5分丰台区18．解不等式组：341,51 2.2x x x x ≥-⎧⎪⎨->-⎪⎩18．解：解不等式①，得1x ≤， ……………………2分解不等式②，得1x >-. ……………………4分∴原不等式组的解集是11x -<≤．………5分石景山区18．解不等式组：3(1)45622x x x x +>++<⎧⎪⎨⎪⎩，． 18．解：原不等式组为3(1)45,62.2x x x x +>++<⎧⎪⎨⎪⎩解不等式①，得2x <-． ………………2分 解不等式②，得2x <． ………………4分 ∴原不等式组的解集为<2x -． ………………5分朝阳区18. 解不等式组 ：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x18. 解：原不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x① ②解不等式①，得 5<x . ………………………………………2分解不等式②，得 21>x .………………………………………………4分 ∴ 原不等式组的解集为521<<x . …………………………………5分 燕山区18．解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －32<1，2（x ＋1）≥x－1.18．解：由（1）得，x-3<2X<5 ……………………….2′（2） 得 2x+2≥x-1x ≥-3 ……………………….4′所以不等式组的解是-3≤x ＜5……………………….5′门头沟区18. 解不等式组：1031+1.xx x ⎧-<⎪⎨⎪-⎩，≤3(）18．（本小题满分5分）解不等式①得，x ＜3， …………………………………………2分 解不等式②得，x ≥﹣2， ………………………………4分 所以，不等式组的解集是﹣2≤x ＜3． ………………5分大兴区17.解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+x x x x 2274)3(2 并写出它的所有整数解.17. 解：⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+xx x x 2274)3(2 由①，得21-≥x . ………………………………………………………1分由②，得2<x . …………………………………………………………2分 ∴原不等式组的解集为221<≤-x . ………………………………………4分它的所有整数解为0，1. …………………………………………………5分平谷区18．解不等式组3(1)45,513x x x x -≥-⎧⎪-⎨->⎪⎩，并写出它的所有整数解．．．． 18．解：3(1)4553 1x x x x -≥-⎧⎪⎨-->⎪⎩①② 解不等式①，得 x≤2． ....................... 1 解不等式②，得 x ＞-1． ...................... 3 ∴原不等式组的解集为12x -<≤． ................. 4 ∴适合原不等式组的整数解为0,1,2．.. (5)怀柔区18.解不等式组:()⎪⎩⎪⎨⎧<+-<-.1213,213x x x x18.解：由①得：3x < . ………………………………………………………………………2分由②得：9x >- …………………………………………………………………………4分 原不等式组的解集为93x -<< ………………………………………………………5分延庆区① ②18．解不等式组：523(2)53.2x x x x -<+⎧⎪⎨+≤⎪⎩， 并写出它的所有整数解．18．解：由①得，x<4． ……1分 由②得，x≥1 ． ……3分∴ 原不等式组的解集为1≤x<4． ……4分 ∴ 原不等式组的所有整数解为1，2，3． ……5分顺义区18．解不等式组：()7+1,2315 1.x x x x +⎧≥-⎪⎨⎪+<-⎩18．解不等式组：()7+12315x x x x +⎧≥-⎪⎨⎪+<-⎩解：解不等式①得 x ≥3- ……………………………………………………………2分 解不等式②得 2x > ………………………………………………………………4分 不等式组的解集是 2x > …………………………………………………………5分。

目录类型1：函数图像与运动变化过程 (2)类型2：坐标系与图形变换 (6)类型3：函数探究 (8)类型4：二次函数 (21)（1）二次函数图像与性质基础 (21)（2）二次函数综合 (22)类型5：一次函数、反比例函数 (27)（1）反比例、一次函数基础 (27)（2）反比例、一次函数综合 (28)类型1：函数图像与运动变化过程1. （18通州一模10）如图是我区某一天内的气温变化图，结合该图给出的信息写出一个正确的结论：__________________________________________________2.（18平谷一模7）“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是A．赛跑中，兔子共休息了50分钟B．乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟C．兔子比乌龟早到达终点10分钟D．乌龟追上兔子用了20分钟3.（18延庆一模8）某游泳池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的A，B两边，同时朝着另一边游泳，他们游泳的时间为（秒），其中0180t≤≤，到A边距离为y（米），图中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y与t的对应关系．下面有四个推断：①小明游泳的平均速度小于小林游泳的平均速度；②小明游泳的距离大于小林游泳的距离；③小明游75米时小林游了90米游泳；④小明与小林共相遇5次；25mA B小林小明25小林小明180150120906030y/米t/秒其中正确的是A．①②B．①③ C.③④D．②④4. （18石景山一模7）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的是（）B．轿车在行驶过程中进行了提速C．货车出发3小时后，轿车追上货车D．两车在前80千米的速度相等5.（18房山一模8）小宇在周日上午8：00从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动．11：00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12：00前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/时的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家 x 小时后，到达离家y 千米的地方，图中折线OABCD 表示 y 与 x 之间的函数关系．下列叙述错误．．的是（ ） A ．活动中心与小宇家相距22千米 B.小宇在活动中心活动时间为2小时 C.他从活动中心返家时，步行用了0.4小时 D.小宇不能在12：00前回到家6.（18东城一模8）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计）， A 为入口， F ，G 为出口，其中直行道为AB ，CG ，EF ，且AB =CG =EF ；弯道为以点O 为圆心的一段弧，且»BC ， »CD ，»DE所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A 口同时驶入立交桥，均以10m/s 的速度行驶，从不同出口驶出. 其间两车到点O 的距离y （m ）与时间x (s)的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误．．的是（ ）A. 甲车在立交桥上共行驶8sB. 从F 口出比从G 口出多行驶40mC. 甲车从F 口出，乙车从G 口出D. 立交桥总长为150m7.（18丰台一模8）如图1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距8cm 的A ，B 两点同时开始沿线段AB 运动，运动过程中甲光斑与点A 的距离S 1(cm)与时间t (s)的函数关系图象如图2，乙光斑与点B 的距离S 2(cm)与时间t (s)的函数关系图象如图3，已知甲光斑全程的平均速度为1.5cm/s ，且两图象中△P 1O 1Q 1≌△P 2Q 2O 2．下列叙述正确的是（ ）B A乙 甲8cmA.甲光斑从点A 到点B 的运动速度是从点B 到点A 的运动速度的4倍B.乙光斑从点A 到B 的运动速度小于1.5cm/sC.甲乙两光斑全程的平均速度一样D.甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次图1图3图28.（18门头沟一模8）甲、乙两人约好步行沿同一路线同一方向在某景点集合，已知甲乙二人相距660米，二人同时出发，走了24分钟时，由于乙距离景点近，先到达等候甲，甲共走了30分钟也到达了景点与乙相遇.在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y （米）与甲出发的时间x （分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．甲的速度是70米/分；B ．乙的速度是60米/分；C ．甲距离景点2100米；D ．乙距离景点420米.9.（18通州一模8）如图， 点O 为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处.柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出的线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t 秒，机器人到点A 距离设为y ，得到函数图象如图2.通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1； ②当3t =时，机器人一定位于点O ； ③机器人一定经过点D ； ④机器人一定经过点E ； 其中正确的有（ ）.A ．①④B. ①③C. ①②③D. ②③④10. （18燕山一模8）小带和小路两个人开车从 A 城出发匀速行驶至 B 城.在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开 A 城的距离 y （千米）与行驶的时间 t (小时)之间的函数关系如图所示。