最大流-最小割定理的运用

1. 最大流最小割定理介绍：把一个流网络的顶点集划分成两个集合S和T，使得源点s ∈S且汇点t ∈T，割(S,T)的容量C(S,T) =∑Cuv, 其中u∈S且v∈T。

从直观上看，截集(S,T)是从源点s到汇点t的必经之路，如果该路堵塞则流从s无法到达t。

于是我们可以得到下面的定理：最大流最小割定理：任意一个流网络的最大流量等于该网络的最小的割的容量。

这个定理的证明这里就不给出了，可以参考图论方面的资料。

2. 求最大流的Edmonds-Karp算法简介：若给定一个可行流F=(Fij)，我们把网络中使Fij=Cij的弧称为饱和弧，Fij<Cij的弧称为未饱和弧。

如果流网络中从i到j没有弧，我们添加一条从i到j且容量Cij=0的弧，这样整个流网络变成一个完全图。

如果从i到j有流量Fij，则从j到i的流量定义为Fji = -Fij 。

考虑一条从源点s出发到汇点t的路径p，如果对于每一段弧(i,j)属于p都有Fij < Cij，即每一条属于p的弧都是未饱和弧，则我们可以向这条路径上压入更多的流，使得其中的一条弧达到饱和。

这样的路径p叫做可改进路，可压入的流量叫做该可改进路的可改进流量。

重复这个过程，直到整个网络找不到一条可改进路，显然这时候网络的流量达到最大。

Edmonds-Karp算法就是利用宽度优先不断地找一条从s到t的可改进路，然后改进流量，一直到找不到可改进路为止。

由于用宽度优先，每次找到的可改进路是最短的可改进路，通过分析可以知道其复杂度为O(VE2)。

Edmonds-Karp算法的伪代码如下：设队列Q--存储当前未检查的标号点，队首节点出队后，成为已检查的标点；path -- 存储当前已标号可改进路经；repeatpath置空;源点s标号并进入path和Q;while Q非空and 汇点t未标号dobegin移出Q的队首顶点u;for 每一条从u出发的弧(u,v) doif v未标号and 弧(u,v)的流量可改进then v进入队列Q和path;end whileif 汇点已标号then 从汇点出发沿着path修正可改进路的流量;until 汇点未标号;Edmonds-Karp算法有一个很重要的性质：当汇点未标号而导致算法结束的时候，那些已经标号的节点构成集合S，未标号的节点构成集合T，割(S,T)恰好是该流网络的最小割；且这样求出的最小割(S,T)中集合S的元素数目一定是最少的。

最大流最小割定理Max-flow Min-cut Theorem在网络 G =(V , E , s , t , c ) 中，任何一个满足 s ∈S ，t ∈T =V -S 的顶点 V 的划分 {S , T } 称作一个 s -t 割（s -t cut ），简称割（cut ）一个 s -t 割的容量（capacity ）定义为 ， 记为 cap (S , T )如果图 G 的 s -t 割 (S , T ) 使得任意一个 G 的s -t 割 (S ’, T ’) 都有 cap ( S , T )≤cap (S ’, T ’)，则称 ( S , T ) 是图 G 的一个最小s -t 割，简称最小割（minimum cut ） (),,uv u S v Tu v E c ∈∈∈∑sabcdeft 15530151081596 1010101544sabcdeft 15530151081596 1010101544sabcdeft 15530151081596 1010101544一般而言，网络的最小 s -t 割不唯一sabt1111sab t1111sabt1111下面建立流与割之间的关系，首先引入一些符号的定义在网络 G =(V , E , s , t , c ) 中，假设 A , B 都是 V 的非空子集，定义，即从 A 穿出进入 B 的边的总流量，即从 A 穿出进入 B 的边的总容量()(),,,uvu A v Bu v Ef A B f ∈∈∈=∑()(),,,uvu A v Bu v Ec A B c ∈∈∈=∑T ’S ’T S 定理1假设 G =(V , E , s , t , c ) 是一个网络，令 f 是一个流，(S , T ) 是一个 s -t 割，则通过该割的流量等于由源 s 发出的流量。

即 f (S , T ) - f (T , S ) = | f | 。

特别地有 f (∙, t )=| f |证明（大意） 对 |S | 进行归纳证明。

图论是离散数学中研究图的性质和关系的一个重要分支，而网络流与最大流最小割定理则是图论中非常重要的概念和定理之一。

本文将介绍什么是网络流，以及网络流与最大流最小割定理的理论和应用。

什么是网络流？网络流是一种图论中独特的概念，它描述了一个图中的物体（例如液体、汽车等）在路径之间的流动。

其中，图的每条边都有一个容量的限制，表示这条边能够传输的最大流量。

网络流问题就是要在给定的图中找到从源点到汇点的最大流量。

例如，考虑一张图，其中有源点S和汇点T，图中的边表示物体传输的路径，边上的数字表示该边的容量。

我们的目标是找到从源点到汇点的最大流量。

在这个问题中，我们需要根据每条边的容量限制，找到一条路径从源点S到汇点T，并计算出经过该路径的最大流量。

然后，我们将这个最大流量转移到其他路径上，然后再找到从源点到汇点的最大流量。

最终，我们能够找到图中从源点到汇点的最大流量。

那么，如何确定最大流量呢？这就引入了网络流与最大流最小割定理。

最大流最小割定理是图论中一个基本而强大的定理，它指出了最大流与最小割之间的关系。

最小割是图中将图分成两部分的边的集合，这样将源点和汇点划分到不同的部分中。

割的容量定义为割中所有边的容量之和。

最大流最小割定理的核心内容是：在一个图中的最大流等于该图中的最小割。

这一定理的证明非常有趣。

首先，我们假设已经存在一个最大流，并找到了对应的最小割。

那么，我们可以证明这个最小割的容量与最大流的流量相等。

其次，我们还可以证明，如果找到了一个最小割，并计算出割的容量，那么图中的一个最大流就是这个割的容量。

这个定理不仅在图论中具有重要的理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。

例如，在交通规划领域中，可以将道路网络描述为一个图，并通过最大流最小割定理计算出最大的交通流量。

此外，该定理还在电路设计、流水线优化等领域有着重要的应用。

总之，网络流与最大流最小割定理是图论中的重要概念和定理。

网络流问题描述了图中物体在路径之间的流动，而最大流最小割定理则指出最大流与割的容量之间存在着严格的关系。

最小割定理
欧拉的最小割定理是一个定理，它解释了如何将一个图中的边按一定的方式分割成相互单独的子图，这些子图没有共有的边或顶点，同时满足了每条被分割的边尽可能少，这种费用最小的分割称为最小割 (mincut)。

欧拉最小割定理是由著名的欧拉于1835年提出的，他定理说：任意一个连通图中，必有顶点关联度为2的顶点，即每一个简单图中必有至少两个度数为2的顶点。

这个定理表达了一个抽象的观点，直观地理解就是可以以最小的代价分割一张图，使得其分割出的两个不相交的子图都是连通的。

欧拉最小割定理被用于解决许多有关图论理论，例如最短路径问题，最小生成树问题，最大流量问题等。

这个定理也被广泛应用在存储系统，网络传输等多个领域中，为其设计了许多的求解算法，因此得以广泛利用。

欧拉的最小割定理是一个特殊而重要的定理，它解决了许多重要的图论问题，由于其巨大的实用价值，在实际的应用开发中得到广泛的应用，如网络传输，数据存储等。

最大流算法解决最小割问题及网络流问题最大流算法（maximum flow algorithm）是解决网络流问题的一种常用方法。

网络流问题是指在一个有向图中，每条边都有一个容量限制，要求在源点和汇点之间找到一条路径，使得路径上每条边的流量都不超过其容量限制，同时保证从源点流出的总流量最大。

最小割问题（minimum cut problem）是网络流问题的一个相关概念。

在一个有向图中，边上的容量表示其最大流量限制，我们需要找到一条割（cut），将图分为两个部分，并使得割的容量最小。

割的容量是指割中每条边的容量之和。

最大流算法可以解决最小割问题。

常用的最大流算法包括Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。

Ford-Fulkerson算法是一种经典的最大流算法。

它通过不断寻找增广路径来更新流的值，直到无法找到增广路径为止。

增广路径是一条从源点到汇点的路径，其上每条边的剩余容量都大于0，并且路径上的流量不超过容量限制。

Edmonds-Karp算法是基于Ford-Fulkerson算法的一种优化方法。

它使用广度优先搜索（BFS）来寻找增广路径，可以保证在每次寻找增广路径时更新的流量最小。

最大流算法的应用非常广泛。

例如，可以使用最大流算法来优化交通流量，解决作业分配问题，以及在计算机网络中进行路由和流量控制等。

总结起来，最大流算法是解决最小割问题和网络流问题的一种常用方法。

通过寻找增广路径来更新流的值，最大流算法可以在保证路径上每条边的流量不超过容量限制的前提下，使得从源点流出的总流量最大化。

网络流是图论中的一个重要概念，在许多实际问题中具有广泛的应用。

在网络中，可以将流量看作是物质的流动，通过研究网络中的流量分布和最大流量限制，可以帮助解决一些实际问题，如最优路径选择、网络优化等。

网络流问题的求解需要使用到最大流最小割定理。

最大流问题是指在一个有向图中，有两个特殊的节点源点S和汇点T，每条边都有一个最大流量的限制，求解从源点S到汇点T的最大流量。

而最小割问题，则是指将网络分成两个部分：一个包含源点S，另一个包含汇点T。

最小割是指将这两个部分之间的边的总流量最小的一个割。

最大流最小割定理指出了最大流和最小割之间的关系。

该定理的主要内容是：一个网络中的最大流等于网络中的最小割。

最大流最小割定理实际上是基于边流的守恒原理，在一个图中，流量的增加必然导致某些边的流量减少，而减少的边必然是横跨最小割的边。

最大流最小割定理不仅仅只是对于图的求解有重要意义，对于许多实际问题的建模也具有指导意义。

以网络中的物质流动为例，最大流最小割定理可以帮助我们找到流量的瓶颈，从而确定如何增加流量的方法。

另外，最大流最小割定理也可以应用于电力网络、通信网络等领域，帮助我们解决一些优化问题。

在实际问题中，求解最大流最小割问题可以使用多种算法。

其中，最著名的算法是Ford-Fulkerson算法。

该算法通过不断调整流量，使得源点到汇点的流量逐渐增大，直到无法再增加为止。

Ford-Fulkerson算法的核心思想是寻找增广路径，即从源点到汇点的一条路径，沿着这条路径增加流量。

最大流最小割定理是图论中的一个重要定理，对于解决网络流问题有着重要的指导意义。

通过该定理，我们可以将网络流问题转化为最大流问题，并通过多种算法求解。

最大流最小割定理在实际问题中有着广泛的应用，帮助我们解决一些优化问题，提高系统的效率。

总之，图论中的网络流与最大流最小割定理为解决网络流问题提供了理论基础，通过寻找最大流和最小割之间的关系，可以有效地解决实际问题。

最⼤流问题的⼏种经典解法综述⼀、什么是最⼤流问题假设现在有⼀个地下⽔管道⽹络，有m根管道，n个管道交叉点，现在⾃来⽔⼚位于其中⼀个点，向⽹络中输⽔，隔壁⽼王在另外⼀个点接⽔，已知由于管道修建的年代不同，有的管道能承受的⽔流量较⼤，有的较⼩，现在求在⾃来⽔⼚输⼊的⽔不限的情况下，隔壁⽼王能接到的⽔的最⼤值？为解决该问题，可以将输⽔⽹络抽象成⼀个联通的有向图，每根管道是⼀条边，交叉点为⼀个结点，从u流向v的管道能承受的最⼤流量称为容量，设为cap[u][v]，⽽该管道实际流过的流量设为flow[u][v]，⾃来⽔⼚称为源点s，隔壁⽼王家称为汇点t，则该问题求的是最终流⼊汇点的总流量flow的最⼤值。

⼆、思路分析关于最⼤流问题的解法⼤致分为两类：增⼴路算法和预流推进算法。

增⼴路算法的特点是代码量⼩，适⽤范围⼴，因此⼴受欢迎；⽽预流推进算法代码量⽐较⼤，经常达到200+⾏，但运⾏效率略⾼，如果腹⿊的出题⼈要卡掉⼤多数⼈的code，那么预流推进则成为唯⼀的选择。

( ⊙ o ⊙ )咳咳。

先来看下增⼴路算法：为了便于理解，先引⼊⼀个引理：最⼤流最⼩割定理。

在⼀个连通图中，如果删掉若⼲条边，使图不联通，则称这些边为此图的⼀个割集。

在这些割集中流量和最⼩的⼀个称为最⼩割。

最⼤流最⼩割定理：⼀个图的最⼤流等于最⼩割。

⼤开脑洞⼀下，发现此结论显⽽易见，故略去证明（其实严格的证明反⽽不太好写，但是很容易看出结论是对的，是吧）。

这便是增⼴路算法的理论基础。

在图上从s到t引⼀条路径，给路径输⼊流flow，如果此flow使得该路径上某条边容量饱和，则称此路径为⼀条增⼴路。

增⼴路算法的基本思路是在图中不断找增⼴路并累加在flow中，直到找不到增⼴路为⽌，此时的flow即是最⼤流。

可以看出，此算法其实就是在构造最⼩割。

增⼴路算法⽽预流推进算法的思路⽐较奇葩（没找到⽐较好的图，只能⾃⾏脑补⼀下了。

= =#）：先将s相连的边流⾄饱和，这种边饱和的结点称为活动点，将这些活动点加⼊队列，每次从中取出⼀个点u,如果存在⼀个相邻点v是⾮活动点，则顺着边u->v 推流，直到u变为⾮活动点。