高考数学一轮复习 第六章 等比数列及其前n项和学案30 文(含解析)

1 学案30 等比数列及其前n项和

导学目标： 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．

自主梳理

1．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．

2．等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________.

3．等比中项：

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．

4．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·________ (n，m∈N*)．

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则__________________________．

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan} (λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．

(4)单调性： a1>0，q>1或 a1<000，01⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数列．

5．等比数列的前n项和公式

等比数列{an}的公比为q (q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；

当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1qn－1q－1＝a1qnq－1－a1q－1.

6．等比数列前n项和的性质

公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．

自我检测

1．“b＝ac”是“a、b、c成等比数列”的

( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是

( )

A．3 B．1 C．0 D．－1

3．(2011·温州月考)设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N*)，则f(n)等于

( )

A.27(8n－1) B.27(8n＋1－1)

C.27(8n＋2－1) D.27(8n＋3－1)

4．(2011·湖南长郡中学月考)已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a＋8， 2 则an等于

( )

A．8·32n

B．8·23n

C．8·32n－1 D．8·23n－1

5．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1 (n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.

探究点一 等比数列的基本量运算

例1 已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.

变式迁移1 在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n和q.

探究点二 等比数列的判定

例2 (2011·岳阳月考)已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.

(1)证明数列{an＋1}是等比数列；

(2)求{an}的通项公式以及Sn.

变式迁移2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．

(1)求a2，a3的值；

(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．

探究点三 等比数列性质的应用

例3 (2011·湛江月考)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝2，求a3.

变式迁移3 (1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7， 3 求b5＋b9的值；

(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.

分类讨论思想与整体思想的应用

例 (12分)设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6 560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项．

【答题模板】

解 设数列{an}的公比为q，

若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn.

∵S2n＝6 560≠2Sn＝160，∴q≠1，[2分]

由题意得

a11－qn1－q＝80， ①a11－q2n1－q＝6 560. ②[4分]

将①整体代入②得80(1＋qn)＝6 560，

∴qn＝81.[6分]

将qn＝81代入①得a1(1－81)＝80(1－q)，

∴a1＝q－1，由a1>0，得q>1，

∴数列{an}为递增数列．[8分]

∴an＝a1qn－1＝a1q·qn＝81·a1q＝54.

∴a1q＝23.[10分]

与a1＝q－1联立可得a1＝2，q＝3，

∴a2n＝2×32n－1 (n∈N*)．[12分]

【突破思维障碍】

(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,00且q≠1)常和指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，a11－q当成整体求解．

本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将qn和a11－qn1－q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．

1．等比数列的通项公式、前n项公式分别为an＝a1qn－1，Sn＝ na1， q＝1，a11－qn1－q， q≠1.

2．等比数列的判定方法： 4 (1)定义法：即证明an＋1an＝q (q≠0，n∈N*) (q是与n值无关的常数)．

(2)中项法：证明一个数列满足a2n＋1＝an·an＋2 (n∈N*且an·an＋1·an＋2≠0)．

3．等比数列的性质：

(1)an＝am·qn－m (n，m∈N*)；

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an；

(3)设公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.

4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．

5．等差数列与等比数列的关系是：

(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；

(2)若{an}是等比数列，且an>0，则{lg an}构成等差数列．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2010·辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于

( )

A.152 B.314 C.334 D.172

2．(2010·浙江)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2等于

( )

A．－11 B．－8 C．5 D．11

3．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5等于( )

A．33 B．72 C．84 D．189

4．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是

( )

A．T10 B．T13 C．T17 D．T25

5．(2011·佛山模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则S10S5等于( )

A．－3 B．5 C．－31 D．33

题号 1 2 3 4 5

答案

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．

7．(2011·平顶山月考)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.

8．(2010·福建)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.

三、解答题(共38分)

9．(12分)(2010·陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．

(1)求数列{an}的通项；

(2)求数列{2an}的前n项和Sn. 5

10．(12分)(2011·廊坊模拟)已知数列{log2(an－1)}为等差数列，且a1＝3，a2＝5.

(1)求证：数列{an－1}是等比数列；

(2)求1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an的值．

11．(14分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)设数列{cn}对n∈N*均有c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 010.

答案 自主梳理

1．公比 q 2.a1·qn－1 4.(1)qn－m (2)ak·al＝am·an

(4)递增 递减 常 摆动 6.qn

自我检测

1．D 2.B 3.B 4.C 5.－9

课堂活动区

例1 解题导引 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；

(2)本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．

解 方法一 由已知得：

 a21q4＋2a21q6＋a21q8＝100，a21q4－2a21q6＋a21q8＝36. ①②

①－②，得4a21q6＝64，∴a21q6＝16.③

代入①，得16q2＋2×16＋16q2＝100.

解得q2＝4或q2＝14.

又数列{an}为正项数列，∴q＝2或12.

当q＝2时，可得a1＝12，

∴an＝12×2n－1＝2n－2，

Sn＝12(1－2n)1－2＝2n－1－12；