2017-2018学年高中物理选修3-4教师用书：第1章 第3节

第3节 单摆

单 摆 的 运 动

1．单摆模型

把一根细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可以忽略不计，这种装置叫做单摆．

2．单摆的回复力

(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力．

(2)回复力的特点：在偏角很小时(通常θ<5°)，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－mglx.

(3)运动规律

单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律．

1．单摆模型中对细线的要求是细线的伸缩可忽略，质量可忽略．(√)

2．单摆模型中对小球的要求是密度较大，其直径与线的长度相比可忽略．(√)

3．单摆回复力不符合简谐运动．(×)

(1)单摆做简谐运动的条件是什么？

【提示】 单摆做简谐运动的条件是偏角很小，通常应在5 °以内．

(2)单摆做简谐运动的回复力是否等于小球所受的合力？

【提示】 小球的重力沿圆弧切线方向上的分力提供回复力，而不是小球所受的合力．

1．单摆的回复力

(1)单摆受力：如图1­3­1所示，受细线拉力和重力作用．

(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力．

(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力．

图1­3­1

2．单摆做简谐运动的推证

在偏角很小时，sin θ≈xl，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－mglx(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动．

1．下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是( )

A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力

B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力

C．单摆经过平衡位置时合力提供向心力

D．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力

E．在摆角很小的情况下，单摆回复力符合简谐运动特点

【解析】 单摆运动的回复力不是由重力与摆线拉力的合力提供，平衡位置时，重力和摆线拉力的合力提供向心力，A错误，C正确；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B正确，D错误；当θ＜5 °时，单摆回复力符合简谐运动特点，E正确．

【答案】

BCE

图1­3­2

2．一单摆做小角度摆动，其振动图象如图1­3­2所示，以下说法正确的是

( )

A．t1时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大

B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小

C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小

D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大

E．t1到t3摆球的回复力先减小后增大

【解析】 由振动图象知，t1和t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大，此时摆球的速度为零，摆球的回复力最大；A正确C错误；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，由于摆球做圆周运动(一部分)，由牛顿第二定律得出悬线对摆球拉力最大，故D正确，B错误；t1到t3摆球位移先减小再增大，故回复力先减小后增大，E正确．

【答案】 ADE

3．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( )

【导学号：78510007】

A．摆球受重力、摆线的张力两个力作用

B．摆球的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C.摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大

D．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向

E．摆球由最大位移处向平衡位置运动时回复力逐渐减小，向心力逐渐增大

【解析】 单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A正确．重力垂直于摆线的分力提供回复力．当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故C、D错，B对．摆球由最大位移处向平衡位置运动时，回复力逐渐减小，向心力逐渐增大，E正确．

【答案】

ABE

单摆中的“回复力”

1．单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力．单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处．

2．在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是回复力．

3．在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合外力不为零．

单 摆 的 周 期

1．实验探究

(1)探究方法：控制变量法．

(2)实验结论：

①单摆振动的周期与摆球质量无关．

②摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小．

2．周期公式

(1)公式：T＝2πlg.

(2)单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关．

1．摆球质量越大，周期越长．(×)

2．摆动幅度越大，周期越长．(×)

3．摆线越长时，单摆的周期越长．(√)

摆钟的结构如图1­3­3所示，发现它走时不准时，为什么要调整摆锤下面的螺母？

图1­3­3

【提示】 调整摆锤下面的螺母，以改变摆钟的摆长，从而改变摆钟周期，以调整摆钟的走时快慢．

1．摆长的确定

(1)图1­3­4(a)中，甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为lsin

α，这就是等效摆长，其周期T＝2πlsin αg.图1­3­4(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙摆等效．

图1­3­4

(2)如图1­3­4(c)所示，小球在光滑的半径较大的圆周上做小幅度(θ很小)的圆周运动时，可等效为单摆，小球在A、B间做简谐运动，周期T＝2πRg.

2．公式中重力加速度g的变化与等效

(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝GMR2，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化．另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值．

图1­3­5

(2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值．如图1­3­5所示，球静止在O时，FT＝mgsin θ，等效加速度g′＝FTm＝gsin

θ.

4．图1­3­6为甲、乙两单摆的振动图象，则(

)

图1­3­6

A．由图象可知两单摆周期之比为2∶1

B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1

C．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1

D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1

E．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4

【解析】 由题中图象可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆摆长之比l甲∶l乙＝4∶1，若两摆摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4.

【答案】 ACE

5．一个单摆的长为l，在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P(如图1­3­7所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ＜5°，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期．

图1­3­7

【解析】 释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动．摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和．

小球在左边的周期为T1＝2πlg

小球在右边的周期为T2＝2π 0.81lg

则整个单摆的周期为

T＝T12＋T22＝πlg＋π 0.81lg＝1.9πlg.

【答案】 1.9πlg

求单摆周期的方法

1．明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件．

2．在运用T＝2πlg时，要注意l和g是否发生变化，

如果发生变化，则分别求出不同l和g时的运动时间．

3．改变单摆振动周期的途径是：

(1)改变单摆的摆长．

(2)改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)．

4．明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系．

利 用 单 摆 测 定 重 力 加 速 度

1．实验原理

由单摆周期公式T＝2πlg，得g＝4π2lT2，只要测出单摆的摆长l和振动周期T，就可以计算出当地的重力加速度．

2．实验步骤

(1)做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一比孔大的结．然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，在平衡位置处做上标记．如图1­3­8所示．

图1­3­8

(2)测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度l线，用游标卡尺测量出摆球的直径d，则单摆的摆长l＝l线＋d2.

(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°的角，然后释放摆球，当单摆振动稳定后，过平衡位置时开始用秒表计时，测量N次(一般取30～50次)全振动的时间t，则周期T＝tN.

(4)改变摆长，重复实验多次．

3．数据处理

(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝4π2lT2中求出g值，最后求出g的平均值．设计如表所示实验表格．

实验

次数 摆长

l/m 周期

T/s 加速度

g/m·s－2 g的平均值

1

g＝g1＋g2＋g33 2

3