2018版高考数学理一轮复习题库：选修系列 选修4-1 第1
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选修4-1 几何证明选讲
第1讲 相似三角形的判定及有关性质
一、填空题
1．如图，已知M是▱ ABCD的边AB的中点，CM交BD于E，图中阴影部分面积与▱ABCD的面积之比为________．
解析 S△BMD＝12S△ABD＝14S▱ABCD，
由BM∥CD，得△DCE∽△BME，
则DE∶BE＝CD∶BM＝2∶1，
所以S△DME∶S△BMD＝DE∶BD＝2∶3，
即S△DME＝23S△BMD，又S△DME＝S△BCE，
所以S阴影＝2S△DME＝43S△BMD
＝43×14S▱ABCD＝13S▱ABCD，
即S阴影∶S▱ABCD＝1∶3.
答案 1∶3
2．梯形ABCD中，AD∥BC，AD∶BC＝a∶b.中位线EF＝m，则MN的长是________．
解析 易知EF＝12(AD＋BC)，
EM＝12AD.FN＝12AD.
又AD∶BC＝a∶b，设AD＝ak.则BC＝bk.
∵EF＝12(AD＋BC)，∴m＝k2(a＋b)，∴k＝2ma＋b.
∴MN＝EF－EM－NF＝m－12ak－12ak
＝m－ak＝m（b－a）a＋b.
答案 m（b－a）a＋b
3. 如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________.
解析 ∵AB∥CD∥EF，
∴ABEF＝BCCF，BCBF＝CDEF，
∴4EF＝BCBC－BF，BCBF＝12EF，
∴4(BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF，
∴BCBF＝14＝12EF，∴EF＝3.
答案 3
4. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交于BC于F，则BFFC＝________.
解析 如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC，又在三角形BDG中，BE＝DE，即EF为三角形BDG的中位线，故BF＝FG，因此BFFC＝12.
答案 12
5. 如图，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．
解析 ∵E为AB中点，∴AEAB＝12，即AE＝12AB，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝32AB，
又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为AEAC＝13.
故△ADE与△ABC的相似比为1∶3.
答案 1∶3
6. 如图，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝12BC＝CD，AE＝12，
DH＝16，AH交BF于M，则BM＝________，CG＝________.
解析 ∵AE∥BF∥CG∥DH，AB＝12BC＝CD，AE＝12，DH＝16，∴ABAD＝14，BMDH＝ABAD.∴BM16＝14，∴BM＝4.
取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于Q，如图，则PQ是梯形ADHE的中位线，
∴PQ＝12(AE＋DH)＝12(12＋16)＝14.
同理：CG＝12(PQ＋DH)＝12(14＋16)＝15.
答案 4 15
7．如图所示，已知点D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，则AE的长为________．
解析 ∵AE∥BC，AD＝DC，
∴AECF＝ADDC＝1，∴AE＝CF.
∵AE∥BF，BG∶GA＝3∶1，∴BFAE＝BGGA＝31，∴BCAE＝21.∵BC＝8，∴AE＝4.
答案 4
8. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.若DB＝9，则BM＝________.
解析 ∵E是AB的中点，
∴AB＝2EB.
∵AB＝2CD，∴CD＝EB.
又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．
∴CB∥DE，∴ ∠DEM＝∠BFM，∠EDM＝∠FBM，
∴△EDM∽△FBM.∴DMBM＝DEBF.
∵F是BC的中点，∴DE＝2BF.
∴DM＝2BM.∴BM＝13DB＝3.
答案 3
二、解答题
9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝13AC，BD＝13AB，点F在BC上，且CF＝13BC.求证：
(1)EF⊥BC；
(2)∠ADE＝∠EBC.
证明 设AB＝AC＝3a，则AE＝BD＝a，CF＝2a.
(1)CECB＝2a32a＝23，CFCA＝2a3a＝23.
又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°.
∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC.
(2)由(1)得EF＝2a，
故AEEF＝a2a＝22，ADBF＝2a22a＝22，
∴AEEF＝ADFB.∵∠DAE＝∠BFE＝90°，
∴△ADE∽△FBE，
∴∠ADE＝∠EBC.
10．如图，已知B在AC上，D在BE上，且AB∶BC＝2∶1，ED∶DB＝2∶1，求AD∶DF.
解 如图，过D作DG∥AC交FC于G(还可过B作EC的平行线)．
∵DGBC＝EDEB＝23，
∴DG＝23BC.
∵BC＝13AC，∴DG＝29AC.
∴DFAF＝DGAC＝29，∴DF＝29AF，
从而AD＝79AF，故AD∶DF＝7∶2.
