高中数学 第三章 基本初等函数(ⅰ) 3.2.2 对数函数课件 b必修1b高一必修1数学课件

1 第二节对数函数第三课时

整体设计

教学目标

1．知识与技能

推导对数的换底公式，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．

2．过程与方法

让学生经历推导对数的换底公式的过程，归纳整理本节所学知识．

3．情感态度与价值观

通过对数的运算性质、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质；感受对数的广泛应用．

重点难点

重点：对数的运算性质、换底公式及其应用．

难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．

教学过程

导入新课

思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，logab＝logcblogca.教师直接点出课题：对数与对数运算(3)之对数的换底公式及其应用．

思路2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质，用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题：对数与对数运算(3)之对数的换底公式及其应用．

思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题：对数与对数运算(3)之对数的换底公式及其应用．

推进新课

新知探究

提出问题

①已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求log23的值；

②根据①，如a>0，a≠1，你能用含a的对数式来表示log23吗？

③更一般地，我们有logab＝abccloglog，如何证明？

3.1.2指数函数(一)学习目标1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象和

性质.3.会应用指数函数的性质求指数型函数的定义域、值域．

知识点一指数函数

思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分

裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系

式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？

答案y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好相反．

梳理一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0

时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，

且a≠1.(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须

位于指数的位置上；③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不

是指数函数．

知识点二指数函数的图象和性质

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质a>10

图象

定义域R

值域(0，＋∞)

性

质过定点过点(0,1)，即x＝0时，y＝1

函数值的变化当x>0时，y>1；

当x<0时，00时，0

当x<0时，y>1

单调性是R上的增函数是R上的减函数

1．y＝xx(x>0)是指数函数．(×)

2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．(×)

3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1)．(√)4．y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(×)

类型一求指数函数的解析式

例1已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．

解设f(x)＝ax，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，

即a3＝π，解得a＝π13，于是f(x)＝π3x.

反思与感悟根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数位置

3.4 函数应用(Ⅱ)

自主整理

指数函数y=ax(a>1)经复合可得到指数型函数，指数型变化较快，例如生活中经常接触储蓄问题，也就是增长率问题，就是指数型.

指数型增长随底数不同而不同.

复利是一种计算利息方法，即把前一期利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息.我国现行定期储蓄中自动转存业务类似复利计息储蓄.

对数函数y=logax(a>1)经复合可得到对数型函数，对数型增长特点是先快后慢.

如经济学家马尔萨斯提出人口增长模型y=y0ert，其中t表示经过时间，y0表示t=0时人口数，r表示人口年增长率.到了很多年以后，人口增长就很慢了.这种增长模型与直线型和指数爆炸型以及幂函数型增长都不同，增长趋势是先快后慢，最后几乎不大变化了.

幂函数y=xn(n>0)经过复合可以得到幂函数型函数，其增长变化率也较快.例如球体积V随半径R增大而变化关系就是幂函数关系，体积是半径函数V=34πR3.

随着x增大，假设y=xn(n>0)比起y=ax(a>1)增长速度来，是后者增长得快.

高手笔记

1.在实际问题中，常常遇到有关平均增长率问题，如果根底量为a，平均增长率为r，那么对于时间x总量y＝a〔1＋r〕x，解决平均增长率问题，可用此公式建立函数式.

2.在构建函数模型过程中，如果涉及变量较多，模型较为复杂，可采用层层分解方法去找出变量间较为简单对应关系，再解决较为复杂函数模型间关系.同时要注意借助于图形直观性去寻找问题答案.

3.由于“递增率〞问题多抽象为指数函数形式，而由指数函数形式来确定相关量值多需要使用计算器计算，如果问题要求不严格，就可以通过图象近似求解.用函数图象求解未知量值或确定变量取值范围，是数学常用方法之一.

4.数据拟合模型是指根据试题所给出一组相关数据，根据数据所呈现特点选择比拟适当函数来近似地模拟所给数据之间对应关系，这种模拟是粗略,只能起到估算作用.一般来说,需要根据所给数据描出其在坐标系中散点图，从图象上观察并选择适当函数，最后还需要检验.

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学习目标 1.尝试将实际问题转化为函数模型.2.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异.3.会根据函数的增长差异选择函数模型．

知识点一 函数模型

思考 自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？

答案 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数即为函数模型．函数模型通常用来解释已有数据和预测．

梳理 一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．

知识点二 三种常见函数模型的增长差异

比较三种函数模型的性质，填写下表.

函数

性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数

图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随n值而不同

增长速度 ax的增长快于xn的增长，xn的增长快于logax的增长

增长后果 总会存在一个x0，当x>x0时，就有ax>xn>logax

类型一 几类函数模型的增长差异

2 例1 (1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )

A．y＝50x B．y＝x50

C．y＝50x D．y＝log50x(x∈N＋)

答案 C

解析 四个函数中，增长速度由慢到快依次是y＝log50x，y＝50x，y＝x50，y＝50x.

(2)函数y＝2x－x2的大致图象为(

)

答案 A

解析 在同一平面直角坐标系内作出y1＝2x，y2＝x2的图象(图略)．易知在区间(0，＋∞)上，当x∈(0,2)时，2x＞x2，即此时y＞0；当x∈(2,4)时，2x＜x2，即y＜0；当x∈(4，＋∞)时，2x＞x2，即y＞0；当x＝－1时，y＝2－1－1＜0.据此可知只有选项A中的图象符合条件．