消元法

8．2 消元

-------加减消元

一、 教材分析

在学习本节课之前，学生已经学过代人消元法解二元一次方程组，理解“消元”是核心，化归是目标，因此本节课再学习加减消元法就有了理论基础。

二、 教学目标

1、 知识技能：会运用加减消元法解二元一次方程组。

2、 过程与方法：经历探究加减消元法解二元一次方程组的过程，领会“消元”法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法。

3、 情感态度与价值观：让学生在探究中感受数学知识的实际用价值，养成良好的学习习惯。

三、 重点：加减消元法解二元一次方程组。

四、 难点：如何运用加减法进行消元。

五、 教学方法：本节课采用“探索------发现-------比较”的教学法。

六、 教学过程：

（一） 温故而知新

1、根据等式性质填空:

<1>若a=b,那么a±c= .（ ）

<2>若a=b,那么ac= .（ ）

2、解二元一次方程组的基本思路是什么？ 3、用代入法解方程组的主要步骤是什么？

（二）问题引入

3x+5y=21①

2x-5y=-11②

用我们学过的方法如何解？

思考：还有别的方法吗？认真观察此方程组中各个未知数的系数有什么特点，并分组讨论还有没有其他的解法，并尝试一下能否求出它的解。

师生互动：3x+5y=21①

2x-5y=-11②

分析：（3x+5y）+(2x-5y)=21+(-11)

① 左边+②左边=①右边+②右边

3x+5y+2x-5y=10

5x=10

X=2

思考：联系上面的解法，想一想怎样解方程组。

4x+5y=3①

2x+5y=-1②

观察上面两个方程组，引出加减消元法的概念：

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（板书课题） （三） 范例学习,应用所学

初一数学教学设计

消元——二元一次方程组的解法（代入消元法）

教学设计思路

在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。

教学目标

1.知识目标

通过探索，领会并总结解二元一次方程组的方法。根据方程组的情况，能恰当地应用“代入消元法”解方程组；

会借助二元一次方程组解简单的实际问题；

提高逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力。

2.能力目标

通过大量练习来学习和巩固这种解二元一次方程组的方法。

3.情感目标

体会解二元一次方程组中的“消元”思想，即通过消元把解二元一次方程组转化成解两个一元一次方程。由此感受“划归”思想的广泛应用。

教学重点难点疑点及解决办法

重点是用代入法解二元一次方程组。

难点是代入法的灵活运用，并能正确地选择恰当方法（代入法）解二元一次方程组。

疑点是如何“消元”，把“二元”转化为“一元”。

解决办法是一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形。

教学方法：

引导发现法，谈话讨论法，练习法，尝试指导法

教学过程

教 师 活 动 学生活动 设 计 意 图

（一） 创设情境，激趣导入

香蕉的售价为5元\千克，苹果的售价为3元\千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，共付款33元，香蕉和苹果各几千克？

1、思考交流：用初中学过的知识，怎么解决这个问题？你有几种方法？

动手实践：（至少两种方法）

第一种：解设买了香蕉x千克，则苹果（9-x）千克，

根据题意得：5x+3（9-x）=33

第二种：解设买了香蕉x千克，苹果y千克，

根据题意得： x+y=9

5x+3y=33

2、小组讨论：这个两式子之间存在怎样的联系？

高斯约当消元法

高斯约当消元法是一种用于解决线性方程组的算法。它是高斯消元法的改进版，用于处理方程组中出现的系数矩阵不是方阵的情况。

该算法的基本思想是在每一步操作中，将系数矩阵中较大的元素作为主元素，然后通过消元操作将其它行的相应元素消为0。在消元过程中，需要使用倍乘和加减法来改变行的系数。

在实际应用中，高斯约当消元法需要先将系数矩阵和常数向量合并成一个增广矩阵。然后，按照每一行的主元素大小将增广矩阵进行排序，以确保每一步操作都能找到正确的主元素。接着，通过一系列的消元操作，将增广矩阵化简成上三角形式。

最后，通过回代操作求解出未知数的值。回代操作是指从最后一行开始，逐行求出未知数的值，然后将其带入到前面的方程中，直到求出所有未知数的值为止。

总之，高斯约当消元法是一种常用的解决线性方程组的方法，它可以在一定程度上提高计算的精度和效率。

例1根据图2.1高斯列主元消去法的计算框图编制程序，求解下列方程组。

（1）73621712111121234541114321xxxx

#include

#include

#include

void main()

{

int i,j,ii,k,I0;

float a[4][5]={1,-1,1,-4,-2,5,-4,3,12,-6,2,1,1,11,3,2,-1,7,1,-7};

float p,w,s,m[3][3],x[3];

for(ii=0;ii<=3;ii++)

{ k=ii;

p=a[k][k];

for(i=k+1;i<=3;i++) /* 选主元 */

{ if(fabs(a[i][k])>fabs(p)) I0=i; }

if(k!=I0) /* 交换行 */

for(j=k;j<=4;j++)

{ w=a[k][j]; a[k][j]=a[I0][j];a[I0][j]=w; }

for(i=k+1;i<=3;i++) /* 消元 */

{ m[i][k]=a[i][k]/a[k][k];

for(j=k+1;j<=4;j++)

a[i][j]=a[i][j]-m[i][k]*a[k][j];

}

}

x[3]=a[3][4]/a[3][3]; /* 回代 */

for(k=2;k>=0;k--)