1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义

1 第一章 集合与常用逻辑用语

1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定

【课程标准】

1. 能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定

2. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定

【知识要点归纳】

1.全称量词命题和存在量词命题的否定

1) 命题的否定：一般的，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作p“”，读作“非p”或“p的 否定”（举例）

2) 全称量词命题和存在量词命题的否定

全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，

它的否定p：

存在量词命题p：∃x0∈M，p(x0)，

它的否定p：

3) 总结：改量词，否结论；p与p必定一真一假

【知识辨析】

(1)存在量词命题的否定是一个全称量词命题．( ) 2 (2)∃x∈M，使x具有性质p(x)与∀x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反．( )

(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．( )

(4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．( )

【经典例题】

例1 写出下列全称量词命题的否定，并判断真假。

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)1xxx对所有正数， ；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0.

例2写出下列存在命题的否定，并判断其否定的真假.

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形； 3 (3)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.

(4)有的素数是偶数；

2:,250,pxRmxxpm例3 已知命题若为假命题，求实数的取值范围

2,+210xRxaxa例4若命题p:使得3是假命题，则实数的取值范围是________

【当堂检测】

一．选择题（共5小题）

1．命题“xR，2210xx”的否定是( )

A．xR，2210xx B．xR，2210xx

C．xR，2210xx D．xR，2210xx 4 2．命题2:210paxx有实数根，若p是假命题，则实数a的取值范围是( )

A．{|1}aa B．{|1}aa C．{|1}aa D．{|1}aa

3．已知命题“xR，使214(2)04xxa”是假命题，则实数a的取值范围是( )

A．0a B．04a C．4a D．94a

4．命题:PxR，211x，则P是( )

A．xR，211x B．xR，211x

C．200,11xRx D．200,11xRx

5．已知命题:paR，一元二次方程210xax有实根；若p是真命题，则实数a的取值范围是( )

A．(,2) B．(2,2) C．(4,4) D．(2,4)

二．填空题（共2小题）

6．命题“0xR，200410xax”为假命题，则实数a的取值范围是 ．

7．已知“21[,2],102xxmx”是假命题，则实数m的取值范围为 ．

三．解答题（共1小题）

8．写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1）:pmR，方程20xxm必有实根；

（2）:qxR，使得210xx．

5 当堂检测答案

一．选择题（共5小题）

1．命题“xR，2210xx”的否定是( )

A．xR，2210xx B．xR，2210xx

C．xR，2210xx D．xR，2210xx

【分析】因为命题“xR，2210xx”为全称命题，其否定为特称命题，将“”改为“”，“ “改为“”即可．

【解答】解：命题“xR，2210xx”为全称命题，

命题的否定为：xR，2210xx，

故选：C．

【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题，注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．

2．命题2:210paxx有实数根，若p是假命题，则实数a的取值范围是( )

A．{|1}aa B．{|1}aa C．{|1}aa D．{|1}aa

【分析】因为方程最高项系数含参，所以需分类讨论，结合命题的真假，即可求出答案．

【解答】解：p是假命题，则p是真命题，2210axx有实数根，

当0a时，方程为210x，解得12x，有根，符合题意；

当0a时，方程有根，等价于△440a，1a且0a，

综上所述，a的可能取值为1a．

故选：B． 6 【点评】本题考查命题的真题，考查一元二次方程根的存在问题，考查分类讨论，属于中档题．

3．已知命题“xR，使214(2)04xxa”是假命题，则实数a的取值范围是( )

A．0a B．04a C．4a D．94a

【分析】根据特称命题的真假关系即可得到结论．

【解答】解：命题“xR，使214(2)04xxa”是假命题，

命题“xR，使214(2)04xxa”是真命题，

即判别式△21144(2)04a，

即94a，

故选：D．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的真假应用，利用一元二次不等式的性质是解决本题的关键．

4．命题:PxR，211x，则P是( )

A．xR，211x B．xR，211x

C．200,11xRx D．200,11xRx

【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其特称命题可得答案．

【解答】解：命题的否定是：0xR，2011x，

故选：C．

【点评】本题考查了全称命题的否定． 7 5．已知命题:paR，一元二次方程210xax有实根；若p是真命题，则实数a的取值范围是( )

A．(,2) B．(2,2) C．(4,4) D．(2,4)

【分析】根据命题p与p的真假性相反得出p是假命题，

利用△0求出a的取值范围．

【解答】解：命题:paR，一元二次方程210xax有实根；

若p是真命题，则命题p是假命题，

所以一元二次方程210xax没有实根；

即△240a，解得22a；

所以实数a的取值范围是(2,2)．

故选：B．

【点评】本题考查了命题与它的否定命题真假性相反的应用问题，是基础题．

二．填空题（共2小题）

6．命题“0xR，200410xax”为假命题，则实数a的取值范围是 [4，4] ．

【分析】写出特称命题的否定，可得全称命题为真命题，再由判别式小于等于0求解．

【解答】解：命题“0xR，200410xax”为假命题，

则其否定“xR，2410xax”为真命题，

△2160a，可得44a．

实数a的取值范围是[4，4]．

故答案为：[4，4]． 8 【点评】本题考查特称命题的否定，考查数学转化思想方法，是基础题．

7．已知“21[,2],102xxmx”是假命题，则实数m的取值范围为 2m ．

【分析】根据特称命题的性质进行求解即可．

【解答】解： “21[,2],102xxmx”是假命题，对任意的1[2x，2]，210xmx恒成立，

1mxx，对任意的1[2x，2]恒成立，

1122xxxx，当且仅当1xx即1x时等号成立，

2m，

故答案为：2m．

【点评】本题主要考查特称命题的应用，将条件转化为求函数的最值是解决本题的关键．

三．解答题（共1小题）

8．写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1）:pmR，方程20xxm必有实根；

（2）:qxR，使得210xx．

【分析】命题的否定即命题的对立面．可根据如下规则书写：“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．

【解答】解：（1）:pmR．方程20xxm无实数根；

由于当1m时，方程20xxm的根的判别式△0， 9 方程20xxm无实数根，故其是真命题．

（2）:qxR，使得210xx；

由于22131()024xxx，

故其是真命题．

【点评】本题考查了命题的否定的写法与判断．属于基础题．