上海交大附中高一上学期期中考试(数学).doc

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上海交大附中高一上学期期中考试（数学）

（满分 100 分， 90 分钟完成，同意使用计算器，答案一律写在答题纸上）

一．填空题：（共 12 小题，每题 3 分）

1. A={1},B={x|x A} ，用列举法表示会集 B 的结果为 _________ 。

2. 已知会集 A={(x,y)|y=x+3} ， B={(x,y)|y=3x-1} ，则 A ∩B=________ 。

3. 写出 x>1 的一个必要非充分条件__________ 。

4. 不等式 1 1 的解集为 _____________ 。（用区间表示） x

5. 命题“已知 x、 y∈ R，若是 x+y ≠ 2，那么 x≠ 0 或 y≠ 2. ”是 _____ 命题。（填

“真”或“假” ）

6. 2

会集 A={x|(a-1)x +3x-2=0} 有且仅有两个子集，则a=_________ 。

7. 若不等式 |ax+2|<6 的解集为（ -1 ， 2），则实数 a 等于 _________ 。

8. 不等式 4x x2 >x 的解集是 ____________ 。

9. 已知 a2 +b 2=1 ，则 a 1 b2 的最大值为 ___________ 。

10. 1 9

和 各代表一个自然数，且满足 + =1 ，则当这两个自然数的和取最小

值时，=_______, =_______.

11. 已知会集 A={-1 ， 2} ， B={x|mx+1>0} ，若 A ∪ B=B ，则实数 m 的取值范围

是 _________ 。

12. 若是关于 x 的三个方程 x2 +4ax-4a+3=0 ， x2+(a-1)x+a 2=0 ， x 2+2ax-2a=0 中，

有且只有一个方程有实数解，则实数 a 的取值范围是 _______________ 。

二．选择题： （共 4 小题，每题 3 分）

13. 设命题甲为“ 0

（ A ）充分非必要条件； （ B ）必要非充分条件；

（ C）充要条件； （ D ）既非充分又非必要条件

14. 以下命题中正确的选项是： （ ）

（ A ）若 ac>bc ，则 a>b (B) 若 a2>b 2，则 a>b

1 1 (D) 若 a b ，则 a

a b

15. 设 x>y>0 ，则以下各式中正确的选项是： （ ） 上海交大附中高一上学期期中考试(数学).doc 2 / 7

（ A ） x> x y > xy >y（ B ） x> xy > x y >y

2 2

（ C） x> x y > y >xy （ D ） x> xy > y > x y

2 2

16. 以下每 中两个函数是同一函数的 数共有： （ ）

（ 1 ） f(x)=x 2 +1 和 f(v)=v 2+1

（２） y 1 x2 和 y 1 x2

| x 2 | x 2

（３） y= 2x ， x∈ {0,1} 和 y= 1 x2 5 x 1， x∈ {0,1}

6 6

（４） y=1 和 y=x 0

（５） y= x 1 x 2 和 y x2 3x 2

（ 6 ） y=x 和 y 3 x3

（A）1（B）3 （C） 2 （D）4

三．解答题： （共 5 小 ，本大 要有必要的 程）

17. （本 8 分）已知会集 A x x a 1 ， B x x2 5x 4 0 ，且 A B ，

求 数 a 的取 范 。

18. （本 8 分）已知 a 非 数，解关于 x 的不等式 ax 2-(a+1)x+1<0.

19. （本 10 分）先 以下不等式的 法，再解决后边的 ：已知 a1 、 a2∈

R， a1+a2=1 ，求 ： a1 2+a2 2≥ 1 .

2

明：构造函数 f(x)=(x-a 1)2+(x-a 2 )2 ,

f(x)=2x 2-2(a 1+a2)x+a 1 2+a 2 2

因 所有 x∈ R, 恒有 f(x) ≥ 0 建立，所以=4-8(a1 2+a2 2)≤0,

从而 得 a1 2+a2 2≥1.

2 （ 1 ）若 a1 、 a2、 ⋯ 、 an∈ R， a1+a2+⋯ +an=1 ， 写出上述 的实行形式；

（ 2 ）参照上述解法， 你实行的 加以 明。

20. （本 12 分）某商 在促 期 定：商 内所有商品按 价的 80% 销售；同 ，当 客

在 商 内消 必然金 后，按以下方案相 得第二次 惠： 上海交大附中高一上学期期中考试(数学).doc 3 / 7

消 金 （元）的范 [400 ） [400,500 ） [500,700 ） [700,900 ） ⋯

第二次 惠金 （元） 30 60 100 150 ⋯

依照上述促 方法， 客在 商 物可以 得双重 惠。比方： 价 600 元的商品，

消 金 480 元，480∈ [400,500), 所以 得第二次 惠金 60 元， 得的 惠 ： 600

× 0.2+60=180 （元）。

商品的 惠率 购买商品获得的优惠总数 = 。

商品的标价

：（ 1 ） 一件 价 1000 元的商品， 客获得的 惠率是多少？

（ 2） 客 价 x 元（ x∈ [250,1000]) 的商品 得的 惠 y 元 , 建立 y

关于 x 的函数关系式；

（ 3） 于 价在 [625 ， 800）（元）内的商品， 客 商品的 价的取 范 多少 ，

可获得不小于 1 的 惠率？（取 范 用区 表示）

3

21. （本 14 分）

已知关于 x 的不等式 kx 2 2x+6k<0 ，（ k>0 ）

（ 1 ）若不等式的解集 {x|2

（ 2 ）若不等式 所有 2

（ 3 ）若不等式的解集 会集 {x|2

参照答案

一．填空题：（共 12 小题，每题 3 分）

22. A={1},B={x|x A} ，用列举法表示会集 B 的结果为 _________ 。 { Φ , {1}}

23. 已知会集 A={(x,y)|y=x+3} ， B={(x,y)|y=3x-1} ，则 A ∩B=________ 。 { （ 2， 5） }

24. 写出 x>1 的一个必要非充分条件 __________ 。 x>0 （答案不唯一）

25. 不等式 1 1 的解集为 _____________ 。（用区间表示） （ -∞， 0 ）∪ [1,+ ∞ )

x

26. 命题“已知 x、 y∈ R，若是 x+y ≠ 2，那么 x≠ 0 或 y≠ 2. ”是 _____ 命题。（填“真”或“假” ）真

27. 会集 A={x|(a-1)x 2+3x-2=0} 有且仅有两个子集，则 a=_________ 。 0 或 1

8

28. 若不等式 |ax+2|<6 的解集为（ -1 ， 2），则实数 a 等于 _________ 。 -4

29. 不等式 4x x2 >x 的解集是 ____________ 。（ 0， 2）

30. 2 2

，则 a 1 b 2

已知 a +b =1 的最大值为 ___________ 。 1

31. 和 各代表一个自然数，且满足 1 9

+ =1 ，则当这两个自然数的和取最小

值时，=_______, =_______. 4和 12

32. 已知会集 A={-1 ， 2} ， B={x|mx+1>0} ，若 A ∪ B=B ，则实数 m 的取值范围

是 _________ 。 ( 1

,1)

2

33. 若是关于 x 的三个方程 x2 +4ax-4a+3=0 ， x2+(a-1)x+a 2=0 ， x 2+2ax-2a=0 中，

有且只有一个方程有实数解，则实数 a 的取值范围是 _______________ 。

(-2, 3 ]∪ [-1,0) ∪ ( 1, 1)

2 3 2

二．选择题： （共 4 小题，每题 3 分）

34. 设命题甲为“ 0

（ A ）充分非必要条件； （ B ）必要非充分条件；

（ C）充要条件； （ D ）既非充分又非必要条件

35. 以下命题中正确的选项是： （ ） D

（ A ）若 ac>bc ，则 a>b (B) 若 a2>b 2，则 a>b

1 1 (D) 若 a b ，则 a

a b

36. 设 x>y>0 ，则以下各式中正确的选项是： （ ） A 上海交大附中高一上学期期中考试(数学).doc 5 / 7

（ A ） x> x y > xy >y （ B ） x> xy > x

2 y >y

2

（ C） x> x y > y > xy （ D ） x> xy > y > x y

2 2

37. 以下每 中两个函数是同一函数的 数共有： （ ） D

（ 1 ） f(x)=x 2 +1 和 f(v)=v 2+1 （２） y 1 x2 和 y 1 x 2

| x 2 | x 2

（３） y= 2x ， x∈ {0,1} 和 y= 1 x2 5 x 1， x∈ {0,1} （４） y=1 和 y=x 0

6 6

（５） y= x 1 x 2 和 y x2 3x 2 （ 6 ） y=x 和 y 3 x3

（A）1（B）3 （C） 2 （D）4

三．解答题： （共 5 小 ，本大 要有必要的 程）

38. （本 8 分）已知会集 A x x a 1 ， B x x2 5x 40，且A B ，

求 数 a 的取 范 。

解： A=[a-1,a+1] ⋯⋯3分

B=(- ∞,1 )∪ (4,+ ∞) ⋯⋯3分

∵ A B，∴ a-1 ≥ 1 且 a+1≤ 4, ∴ a∈ [2,3] ⋯⋯2分

39. （本 8 分）已知 a 非 数，解关于 x 的不等式 ax 2-(a+1)x+1<0.

解：（ 1） a=0 ，原不等式即 -x+1<0 ，∴原不等式解集 （ 1， +∞）；⋯ 2 分

（ 2） a≠ 0 ，不等式 方程的两根 1和1。

a

当 01 ，原不等式解集 (1, 1 )；⋯⋯ 2 分

a a