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研究生数值分析考试

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工科研究生《数值分析》复习练习

一．填空（共4分，每空44分）

（1）设ix

i=（ni,,2,1,0⋯=）插值结点，)(xl

i是相应的n次Lagrange插

值基函数，则

0()n

i

ilx

==∑（）,=∑

=n

iiixlx

0)(（）.

（2）用简单迭代法求方程3()10fxxx=−−=的正实根，迭代格式（

）至少是二阶收敛的。

(3)求解非线性方程01=−xxe的牛顿迭代公式是（）

（4）在所有首项系数为1的n次多项式中，首项系数为1的n次（

）多项式在[-1，1]上与零的平方逼近误差最小。

（5）设211

314

122A−⎛⎞

⎜⎟=⎜⎟

⎜⎟−⎝⎠，则

1||||A=（），||||A

∞=（）.

（6）32()272fxxx=−+，则[1,2,3,4]f=（），[1,1,1]f=（）

（7）n次Chebyshev多项式在[-1，1]上的零点为（）

（8）插值型求积公式

0()()nb

kkakAfxfxdx

=≈∑∫至少具有（）次代数精度，

求积系数之和

0n

k

kA

==∑（）,而Gauss求积公式至少具有（）次代数精度。

（9）初值问题'24,

(0)2,yyx

y=−−

=，则显式Euler格式，隐式Euler格式和梯

形格式分别为（），

（），（）。

(10)已知数据对),,2,1)(,(nkyx

kk⋯=，用直线cbxaxy++=2拟合这n个

点，则参数cba,,满足的法方程组是（）

（11）第一种幂法迭代格式为（）二（10分）求一个次数不高于4次的代数多项式()px，使它满足

(0)'(0)0,(1)'(1)1,(2)1ppppp=====，并写出其余项表达式。（利用Newton插

值公式，制作带重节点的差商表）

三（10分）证明：区间[a,b]上带权()xρ的正交多项式()

ngx的零点都是实数，

相异的，且全部落在开区间(,)ab内部。

四（10分）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所

构造出的求积公式所具有的代数精确度：

012()()(0)()h

hfxdxAfhAfAfh

−≈−++∫

五（14分）设有方程组13

23

123321

21

221xx

xx

xxx−=

+=

−++=

试考察解此方程的Jacobi迭代法及G-S迭代法的收敛性，写出迭代格式，判断

哪种迭代收敛较快。

六（12分）对于GAUSS积分公式

0()()()nb

kkakxfxdxAfxρ

=≈∑∫，

证明：（1）当0(0,1,,)

kAkn>=⋯时，求积公式是稳定的。

（2）GAUSS

积分公式是稳定的。

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研究生数值分析答案

研究生数值分析答案

（1）

jacobi的M函数文件如下：

function [y,n] = jacobi(A,b,x0,eps)

D=diag(diag(A)); %求A的对角阵

L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵

U=-triu(A,1); %求A的上三角阵

B=D\(L+U);

f=D\b;

y=B*x0+f;

n=1; %迭代次数

while norm(y-x0)>=eps

x0=y;

y=B*x0+f;

n=n+1;

end

在command window输入如下程序：

A=hilb(10);

b=[1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10]';

[x,n]=jacobi(A,b,[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]',1.0e-4)

运行结果如下x =[-Inf -Inf NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN] ‘

迭代次数为：n = 348

(2)

Gauseidel的M函数文件如下：

function [y,n] = gauseidel(A,b,x0,eps)

D=diag(diag(A)); %求A的对角阵

L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵 U=-triu(A,1); %求A的上三角阵

G=(D-L)\U;

f=(D-L)\b;

y=G*x0+f;

n=1; %迭代次数

while norm(y-x0)>=eps

x0=y;

y=G*x0+f;

n=n+1;

end

在command window输入如下程序：

A=hilb(10);

b=[1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10]';

研究生数值分析试卷

研究生数值分析试卷

2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A卷）

科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：

注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、（15分）设求方程 0cos2312xx 根的迭代法

kkxxcos3241

(1) 证明对Rx0,均有*limxxkk,其中*x为方程的根.

(2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论.

二、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。

.022,1,122321321321xxxxxxxxx

三、（8分）若矩阵aaaaA000002，说明对任意实数0a，方程组bAX都是非病态的。（范数用）

四、（15分）已知 )(xfy 的数据如下：

ix 0 1 2

)(ixf 0 2

6

)(ixf 1

求)(xf的Hermite插值多项式)(3xH，并给出截断误差)()()(3xHxfxR。

五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x（℃）的试验数据为

ix 1 2 3 4

iy 0．8 1．5 1．8 2．0

已知经验公式的形式为 2bxaxy ，试用最小二乘法求出 a，b。

六、（12分）确定常数 a，b 的值，使积分

dxxbaxbaI2112),(

取得最小值。

七、（14分）已知Legendre(勒让德)正交多项式)(xLn有递推关系式：

),2,1()(1)(112)()(,1)(1110nxLnnxxLnnxLxxLxLnnn

11级研究生数值分析考试知识点

11级研究生数值分析考试知识点

知识点

1有效数字，稳定性

2非线性方程求解：不动点法、牛顿法应用

3 Lagrange、牛顿插值及其余项、插商表的构造；样条概念；线性最小二乘拟合

4 代数精度、高斯型求积公式；龙贝格积分

5向量、矩阵范数；线性方程组的收敛性、J，GS方法求解；线性方程组的一般求解方法。

6 微分方程的改进欧拉法求解。

注：请同学们根据所列知识点，在教材上找到相应的例题或者习题认真进行练习。

下文所列习题仅备做题模式所用，请同学们补齐所有知识点例题。

1.1.412写出有效数字的概念，并计算近似有几位有效数字。**k12ni1xxx0.aa...a10x012...9a0解：设是的近似数，可表示为，每个均为，，，，中的数字，且，

*kn*1x-x10,xxn2.43如果则称近似具有位有效数字。11近似2有位有效数字。

0n1n0nn-1*08 x2.Idxx51 I5In1,2,...n I0.2 I求积分可得递推公式给定初始近似值，计算，计算到时，误差是多少？分析该递推式的稳定性。 0nn-1n-1n-1n-21*0000***nnn-12*n*nn-2000n8881Idx=0.1823 II0.0177x511II5I5I5IInn5II5II550.017750.0177=6914.0625I6914.06258390625解：，，因此计算到时误差为，利用递推公式步计算误差扩大了倍，故该公式数值计算不稳定。

3k1k2k631c3.cx2x,3x6510证明计算的牛顿迭代公式为并用此迭代公式计算，要求精确到。

33k3'2k1k'kk1k2k0k1k2k0123xcxc0fxfxxc,fx3xxxfx1cx2x3x165c65f40f50,x45x4x2x3xx4,x4.020833333,x4.020725761,x4.020725759x=4.02072解：令，则它是方程的根，取则，代入牛顿迭代公式-得，。=时，由于，故，，选代入故5。

研究生“数值分析”课程教学初探

研究生“数值分析”课程教学初探

高等理科教育　２００９年第５期（总第Ｂ７期）　

研究生“数值分析＂，课程教学初探　

涂俐兰　（武汉科技大学信息与计算科学系，湖北武汉４３００８１）　

摘要文章从研究生教学角度出发，分别对“数值分析”课程中的教材选择、教学手段、　考核方法进行了探讨，并且提出了一些方法和意见。　

关键词数值分析教材选择教学手段考核方法　

中图分类号Ｇ６４３　文献标识码Ａ　

一、引言　

“数值分析”（又名“数值计算方法”、“计算方法”）不仅是综合性大学信息与计算科学专　业、应用数学专业的一门主要专业基础课程，而且很多工科专业也开设了“数值分析”课。数　

值分析重点研究如何运用数值方法去处理实际工程问题。在信息科学和计算机技术飞速发展的今　天，这门课程中的数值方法更显得极其重要，到目前为止已经有很多的教学工作者在研究如何更　好地开展这门课程的教学工作，如何更好地让学生学好这门课－ｌ　］。数值分析这门课程与其他数　

学课程最明显的区别就在于——理论与实践的完美结合，它既包含严谨的数学理论，又具有较强　

的实用价值。　“数值分析”是我校工科硕士研究生的公共学位课。我校的“数值分析”课程伴随着研究生　教育从三年学制到两年学制的变化，在教学观念和形式上也发生了很大的变化。两年制工科硕士　研究生的培养目标，是培养具有竞争能力的工程师而不是科学家。所以，打基础、学理论，培养　

学生的动手能力和观察、想象、解决实际问题能力是我们现在培养研究生的目标。　目前，我校研究生数值分析课程还是沿袭传统的教学方法，主要由以下三部分构成：教材选　择、课堂讲授、期末考核。为了能够培养学生全面的素质，需要抓好研究生“数值分析”课程　

的整个教学过程。文章就我校研究生数值分析教学中需要继承和改进的方面谈一些心得体会，以　便更好的发挥我校的资源，创造更好的教学效果。　

二、教材的选择　

数值分析课程教学改革的第一步就是要选择好教材，或者说选择好该课程的教学内容是开好　这门课的关键。数值分析教学内容的创新实践研究一直是从事数值分析教学的同仁们的主攻方