武汉大学研究生数值分析考试试题
- 格式：doc
- 大小：202.50 KB
- 文档页数：4
武 汉 大 学
2013~2014学年第一学期硕士研究生期末考试试题
科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：
1、（10分）已知方程 32cos120xx--=.
（1）估计出含根的区间；
（2）讨论迭代格式 12cos43nnxx+=+ 的收敛性；
（3）写出求解此方程的牛顿迭代格式，并讨论初值0x取何值时迭代收敛。
2、（10分）用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程 bAx，其中
1514227135A轾犏犏=犏犏臌 146116b轾犏犏=犏犏臌
3、（14分）设线性方程组Axb=的系数矩阵()ijnnAa´=，0,1,,iiain?L.()12,,,Tnbbbb=L
（1）分别写出Jacobi迭代格式及 Gauss-Seidel迭代格式；
（2）证明：Gauss-Seidel迭代格式收敛的充分必要条件是方程
1112121222120nnnnnnaaaaaaaaallllll=LLMMML的根的模1l<.
4、（12分）已知 )(xfy 的数据如下：
ix 1 2 3
)(ixf 2
4 12
)(ixf 3
求)(xf的Hermite插值多项式)(3xH及其余项。
5、（10分）已知数据
xi -2 -1 0 1 2
yi 0 1 2 1 0
求形如 2yabxcx=++ 的拟合曲线。 6、（10分）确定常数 a，b 的值，使积分
[]220(,)sinIababxxdxp=+-ò
取得最小值。
7、（10分）已知三次Legendre(勒让德)多项式331()(53)2Lxxx=-，[1,1]x?
试确定常数,(1,2,3)iiAxi=,使求积公式
31122333()()()()fxdxAfxAfxAfx-?+ò
有尽可能高的代数精度，并判断它是否为高斯型求积公式。
8、（12分）对于下面求解常微分方程初值问题
00)(),(yxyyxfdxdy 的单步法：
112121(3)4(,)22(,)33nnnnnnhyykkkfxykfxhyhk+ìïï=++ïïïï=íïïïï=++ïïïî
（1）验证它与微分方程相容；
（2）确定此单步法的绝对稳定域
9、（12分）设初值0x充分接近*xa=（0a>为常数），证明：迭代格式
212(3),0,1,3nnnnxxaxnxa++==+L
三阶收敛于*x，并求13lim()nnnxaxa+-- 参考答案（2014-1-10）
1、 含根区间：[π，4]；
因为2()sin13gxx¢=<，所以迭代收敛；
在含根区间[π，4]，f的一阶导数恒正，二阶导数恒负，所以取初值为π时牛顿必收敛。
2、分解为
100151410023111007ALU轾轾犏犏犏犏==犏犏犏犏-臌臌
,(14,5,7)TLyby==
,(8,1,1)TUxyx==
3、见教材略
4、22()376Lxxx=-+，令23()376(1)(2)(3)Hxxxaxxx=-++---
得到3232,()29156aHxxxx==-+-
5、111112101242024TA轾犏犏=--犏犏臌 法方程yAbaAATT为：
5010401000100342abc轾骣骣鼢珑犏鼢珑鼢珑犏鼢=珑鼢犏珑鼢珑鼢犏鼢珑桫桫臌 a=58/35=1.657, b=0，c=-3/7=-0.429
6、011,xjj==，2231281824abpppp轾犏轾轾犏犏犏犏=犏犏犏臌臌犏犏臌，
224(1)0.11453app=-=， 396(1)0.66434bpp=-=
7、三次Legendre(勒让德)的根为 30,5±
令换元3xt=，31123312727()3(3)3[()(0)()]55fxdxftdtafafaf--=?++蝌
再分别取2()1,,fxxx=代入得到3258,33AAA=== 有5次代数精度，是高斯型积分公式。
8、见教材
9、（1）令22(3)()3xxagxxa+=+，求导得()()0gagaⅱ?==，所以三阶收敛。
极限中的分子31()()()()3!nnngxagxgaxax+ⅱ?-=-=-，其中x介于nx与a之间。所以原极限()()1lim3!3!4nggaaxⅱⅱⅱ===
