一元二次方程的解题技巧

一元二次方程竞赛解题方法

一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。以下是一些解题方法：

一、换元法

例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。

二、降次法

例如，考虑已知$\alpha。\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。

三、整体代入法

例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。将$S_{1993}$代入$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}$，可以发现所有项都抵消了，因此等式成立。

一元二次方程解题方法和技巧

一元二次方程解题方法和技巧

一元二次方程是指有以下形式：ax^2 + bx + c = 0

(a≠0)，其中a、b、c为常数。一元二次方程的解可以利用四则运算、平方根等解决，但也可以使用一些相关的方法和技巧，从而更容易地找到解。

首先，要正确理解一元二次方程的求解思想，即“将一元二次方程化为两个一元一次方程，再求解”。然后，按照一元二次方程的常用解法，可以将一元二次方程利用因式分解，求出两个一元一次方程，然后再求解。

此外，一元二次方程解题时，还可以使用公式法或者采用解析法。公式法是指利用一元二次方程的公式，将一元二次方程化为其特征根的格式，求解其特征根的值。解析法是指利用一元二次方程的解析解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，求解这两个一元一次方程的值，从而求出一元二次方程的解。

此外，对于一元二次方程解题，还可以采用图解法，即将一元二次方程的解放到坐标系上，从而找出解。另外，还可以通过不等式的思想，将一元二次方程转化为不等式，从而求出方程的解。 最后，一元二次方程解题还可以采用代入法。即利用一元二次方程的解的性质，对方程的解进行多重替换，求出一元二次方程的解。

总之，要正确解决一元二次方程，除了要正确理解求解思想外，还要熟练掌握以上几种方法和技巧，从而更容易地求出一元二次方程的解。

高考数学《一元二次方程的解》必背公式是什么

高考数学《一元二次方程的解》必背公式

-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系x1+x2=-b/ax1×x2=c/a注：韦达定理

判别式b2-4a=0注：方程有相等的两实根

b2-4ac0注：方程有两个不相等的个实根

b2-4ac0注：方程有共轭复数根

高考数学学习方法

1、转变为完成任务而做题的思想，把精力用于自主研究上，可以多看例题，遇到不懂的地方，就顺藤摸瓜，挖掘出问题的根源。一遍不行两边两边不行三遍。

2、能动手的就操作一下，因为人类知识的形成直观经验最重要，别人说的不如自己试试印象深刻。然后做一个明了的总结。

3、对于几何问题，重要的是关注性质定理是怎么得来的，像上面说的该动手的最好试试，对一些关键词弄懂意思。将有异同点的问题摘记在一起做好比较，找出它们的差别。

4、对代数问题，除了上面3说的外，采用数形结合的方法，目的还是为了直观好理解。特别是函数问题，不等式，方程。

高三数学怎么学 高三数学以复习为主，基本没有新知识了。而且高三一年基本就在各种试卷和练习册中度过，所以关键还是从做题下手。

第一：巩固基础。一定要熟练掌握高中数学中的各种公式、定理与性质。这样能确保在填空和选择题中拿到必要的分数，一般也能解决大题中的第一小问。在做题时，如果没有明确思路，可以先在脑海中想一遍题中所涉及的知识点，从已知推断未知。

第二：把握重点。有些题目类型是常考甚至必考的。在平时的考试与练习中，注意知识点的出现频率，把握重点知识，这样，即使不能全面学好高中数学，也会增加你高考成功的几率。

第三：端正学习态度，这是最重要的一点。高三是非常紧张和难过的一年，很多同学在这一年会觉得心很累，从而有投机心理，总想给自己放个假，休息一下。劳逸结合是必要的，但一定要把握好这个度。不能因为遇到挫折困难就退缩，不能放任自己得过且过，要保持紧张，严肃认真的对待每一道题，每一节课。

一元二次方程的解法（公式法3种题型）

1.了解求根公式的推导过程.（难点）

2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）

3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.

4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况

一、公式引入

一元二次方程20axbxc++=（0a），可用配方法进行求解： 得：2

2

24

()

24bbac

x

aa−

+=．

对上面这个方程进行讨论：因为0a，所以240a

①当240bac−时，2

24

0

4bac

a−



利用开平方法，得：2

24

24bbac

x

aa−

+=，

即：24

2bbac

x

a−−

=

②当240bac−时，2

24

0

4bac

a−



这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程2

2

24

()

24bbac

x

aa−

+=左右两边的值相等，所以原方

程没有实数根．

二、求根公式

一元二次方程20axbxc++=（0a），当240bac−时，有两个实数根：

2

14

2bbac

x

a−+−

=

，2

24

2bbac

x

a−−−

=

这就是一元二次方程20axbxc++=（0a）的求根公式．

三、用公式法解一元二次方程一般步骤

①把一元二次方程化成一般形式20axbxc++=（0a）；

②确定a、b、c的值；

③求出24bac−的值（或代数式）；

④若240bac−，则把a、b、c及24bac−的值代入求根公式，求出

1x、

2x；若240bac−，则方程

无解．

四、 根的判别式

1.一元二次方程根的判别式：我们把24bac−叫做一元二次方程20(0)axbxca++=的根的判别式，通

常用符号“”表示，记作2=4bac−

．

2.一元二次方程20(0)axbxca++=，

当2=40bac−时，方程有两个不相等的实数根；

当2=40bac−=时，方程有两个相等的实数根；

当2=40bac−时，方程没有实数根．

五、根的判别式的应用

（1）不解方程判定方程根的情况；

（2）根据参数系数的性质确定根的范围；