一元二次方程的解题步骤

1.2.2 一元二次方程的解法-配方法

考点一．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程

的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无

实数解.

要点：

（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

（3）配方法的理论依据是完全平方公式．

考点二、配方法的应用

1．用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比

较出大小.

2．用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定

字母的取值．

3．用于求最值：

“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．

4．用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也

有着广泛的应用．

题型1：配方法解一元二次方程

1．用配方法解一元二次方程2

620xx-+=，此方程可化为（ ）

A．2

(3)7x-=B．2

(3)11x-=C．2

(3)7x+=D．2

(3)11x+=

【答案】

A

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．222

2()aabbab±+=±

【解析】解：2

620xx-+=Q，

2

62xx\-=-，

则2

6929xx-+=-+，

即2

37x-=

，

故选：A．

一元二次方程练习题

1. 用直接开平方法解下列方程：

（1）2225x； （2）21440y．

2. 解下列方程：

（1）2(1)9x； （2）2(21)3x；

（3）2(61)250x． （4）281(2)16x．

3. 用直接开平方法解下列方程：

（1）25(21)180y； （2）21(31)644x；

（3）26(2)1x； （4）2()(00)axcbba，≥

4. 填空

（1）28xx（ ）（x ）2．

（2）223xx（ ）＝（x ）2．

（3）2byya（ ）＝（y ）2．

5. 用适当的数（式）填空：

23xx (x 2)；

2xpx ＝(x 2)

23223(xxx 2) ．

6. 用配方法解下列方程

1）．210xx 2）．23610xx 3）．21(1)2(1)02xx

7. 方程22103xx左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ．

8. 用配方法解方程．

23610xx 22540xx

9. 关于x的方程22291240xaabb的根1x ，2x ．

10. 关于x的方程22220xaxba的解为

11. 用配方法解方程

（1）210xx； （2）23920xx．

12. 用适当的方法解方程

一元二次方程解题步骤

解题步骤：在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。解题步骤：在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

1、直接开平方法

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的方程，其解为x=±√n+m.

2．配方法

用配方法解方程ax^2+bx+c=0(a≠0)

先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c

将二次项系数化为1：x^2+b/ax=-c/a

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+(b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2;

方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a)2=-c/a﹢﹙b/2a﹚2

当b2-4ac≥0时，x+b/2a=±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚2

∴x=﹛﹣b±[√﹙b2﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)

3．公式法

把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a),(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

4．因式分解法

把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

专题(一) 一元二次方程的解法

1．用直接开平方法解下列方程：

(1)x2－16＝0； (2)3x2－27＝0；

(3)(x－2)2＝9； (4)(2y－3)2＝16.

2．用配方法解下列方程：

(1)x2－4x－1＝0；

(2)2x2－4x－8＝0；

(3)3x2－6x＋4＝0；

(4)2x2＋7x＋3＝0.

3．用公式法解下列方程：

(1)x2－23x＋3＝0；

(2)－3x2＋5x＋2＝0；

(3)4x2＋3x－2＝0；

(4)3x＝2(x＋1)(x－1)．

4．用因式分解法解下列方程：

(1)x2－3x＝0；

(2)(x－3)2－9＝0；

(3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0；

(4)2(t－1)2＋8t＝0；

(5)3x＋15＝－2x2－10x；

(6)x2－3x＝(2－x)(x－3)．

5．用合适的方法解下列方程：

(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；

(2)5(x－3)2＝x2－9；

(3)t2－22t＋18＝0.

参考答案

1.(1)移项，得x2＝16，根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4.

(2)移项，得3x2＝27，两边同除以3，得x2＝9，根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3.

(3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x1＝5，x2＝－1.

(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即y1＝72，y2＝－12.

2.(1)移项，得x2－4x＝1.配方，得x2－4x＋22＝1＋4，即(x－2)2＝5.直接开平方，得x－2＝±5，∴x1＝2＋5，x2＝2－5.

(2)移项，得2x2－4x＝8.两边都除以2，得x2－2x＝4.配方，得x2－2x＋1＝4＋1.∴(x－1)2＝5.∴x－1＝±5.∴x1＝1＋5，x2＝1－5.

(3)移项，得3x2－6x＝－4.二次项系数化为1，得x2－2x＝－43.配方，得x2－2x＋12＝－43＋12，即(x－1)2＝－13.∵实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根．