高中数学人教A版选修4-4课时跟踪检测(六) 球坐标系 Word版含解析

[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝1B ．9x 2＋25y 2＝1C ．25x ＋9y ＝1D.x 225＋y 29＝1解析：∵经过伸缩交换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y 后，曲线C 变为x ′2＋y ′2＝1，∴(5x )2＋(3y )2＝1，∴25x 2＋9y 2＝1.答案：A2．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14 B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝14C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14 解析：由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 答案：D3．在极坐标系中，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的点到极点和极轴的距离分别为( )A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,2解析：点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sin θ|，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到极点和极轴的距离分别为2,2sin π6＝1.答案：C4．(2017届皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3 解析：ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程：3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，故选A.答案：A5．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析：解法一：圆的极坐标方程ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ，所以直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.选项A ，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程为y ＝2，代入圆的方程，得x 2＝4，∴x ＝±2，不符合题意；选项B ，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，代入圆的方程，得(y －2)2＝0，∴y ＝2，符合题意．同理，C 、D 都不符合题意．解法二：如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA |＝4，直线l 和圆相切，l 交极轴于点B (2,0)，点P (ρ，θ)为l 上任意一点，则有cos θ＝|OB ||OP |＝2ρ，得ρcos θ＝2.答案：B6．在极坐标系中，曲线ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于( )A. 3 B ．2 3 C ．215D ．4解析：化极坐标方程为直角坐标方程得x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0，易知此曲线是圆心为(3,1)，半径为2的圆，如图所示．可计算|AB |＝2 3.答案：B7．(2017届广东肇庆一模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(0≤θ<2π)，曲线C 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为________________．解析：根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x 2＋y 2＝4，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4⇒(2，2)．因为点(2，2)在圆x 2＋y 2 ＝4上，故圆在点(2，2)处的切线方程为2x ＋2y ＝4⇒x ＋y －22＝0，故填x ＋y －22＝0.答案：x ＋y －22＝08．(2017届河北冀州月考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________________．解析：直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12.设所求的弦长为l ，则12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22，解得l ＝ 3.答案： 39．(2018届南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ， 即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －22k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22k 2＝k 2，所以圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ，－22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎨⎧ k >0，k ＝2k ＋3或⎩⎨⎧k <0，－k ＝2k ＋3. 解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22.10．(2017届唐山模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2；l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 则由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1 ＝ρ22.又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．[能 力 提 升]1．(2018届陕西宝鸡金台区期中)在极坐标系中，设圆C 1：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点．(1)求以AB 为直径的圆C 2的极坐标方程；(2)在圆C 1上任取一点M ，在圆C 2上任取一点N ，求|MN |的最大值． 解：(1)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，圆C 1：ρ＝4cos θ化为ρ2＝4ρcos θ，所以圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，直线l 的直角坐标方程为y ＝x .由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－4x ＝0，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，∴A (0,0)，B (2,2)，从而圆C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝2x ＋2y .将其化为极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，即ρ＝2cos θ＋2sin θ. (2)∵C 1(2,0)，r 1＝2，C 2(1,1)，r 2＝2，∴|MN |max ＝|C 1C 2|＋r 1＋r 2＝2＋2＋2＝2＋2 2.2．(2017届成都模拟)在直角坐标系xOy 中，半圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ1＝1，θ1＝π3，设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2(sin θ2＋3cos θ2)＝53，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝5，θ2＝π3，由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ 的长为4.3．(2016年全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝a 0，其中a 0满足tan a 0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.4．(2017届广州五校联考)在极坐标系中，圆C 是以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6为圆心，2为半径的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)求圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长． 解：(1)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，如图：在Rt △OAM 中，∠OMA ＝π2， ∠AOM ＝2π－θ－π6，|OA |＝4.因为cos ∠AOM ＝|OM ||OA |， 所以|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ， 即ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－θ－π6＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，验证可知，极点O 与A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π6的极坐标也满足方程，故ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6为所求．(2)设l ：θ＝－5π12(ρ∈R )交圆C 于点P ，在Rt △OAP 中，∠OP A ＝π2，易得∠AOP ＝π4，所以|OP |＝|OA |cos ∠AOP ＝2 2.。

一、选择题1．（理）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．0()R θρ=∈ 和cos 2ρθ= B ．()2R πθρ=∈和cos 2ρθ=C ．()2R πθρ=∈和cos 1ρθ= D ．0()R θρ=∈和cos 1ρθ=2．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．已知圆C 与直线l 的极坐标方程分别为6cos ρθ=，sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 到直线l 的距离是（ ） A ．1B ．2CD．24．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称5．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ） A ．14BCD ．136．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，则AB 等于（ ）A ．1BC ．2D．7．221x y +=经过伸缩变换23x xy y ''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A．B．C ．4D ．68．将2216x y +=的横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（ ）A ．22134x y +=B ．22213x y +=C ．222112x y +=D ．222134x y +=9．已知曲线C 与曲线5ρ=3cos?5sin?θθ-关于极轴对称，则曲线C 的方程为( )A ．10cos ρ=-π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10cos ρ=π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10cos ρ=-π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭D ．10cos ρ=π6θ⎛⎫+⎪⎝⎭10．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22162x y+=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36πρθ+=，射线M 的极坐标方程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2211OAOB+的最大值为（ ） A ．34B ．25C ．23D ．1311．极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是（ ） A ． B ． C ． D ．12．在同一平面直角坐标系中，将曲线1cos 23y x =按伸缩变换23x x y y ''=⎧⎨=⎩后为（ ）A ．cos y x ''=B ．13cos 2y x ''= C ．12cos3y x ''= D ．1cos32y x ''=二、填空题13．在极坐标系中，曲线C 的方程为28cos 10sin 320ρρθρθ--+=，直线l 的方程为0()R θθρ=∈，0tan 2θ=，若l 与C 交于A ，B 两点，O 为极点，则||||OA OB +=________．14．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4ρ=截得的弦长为______.15．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．16．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 30cos sin θθ-=，则圆C截直线l 所得弦长为___________． 17．两条直线sin 20164πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 20174πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的位置关系是_______ 18．点C 的极坐标是(2,)4π,则点C 的直角坐标为______________ 19．在极坐标系中0,02,ρθπ>≤<，曲线cos 1ρθ=-与曲线=2sin ρθ的交点的极坐标为_______________。

将直角坐标化为柱坐标
[例 1] 设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标． [思路点拨] 由公式求出 ρ，再由 tan θ＝xy求 θ.
已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和 θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限 确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．
1．点A的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标．
四
柱坐标系与球坐标系简介
1．柱坐标系
柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) (z∈R)表示．这 样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把 建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，其中_ρ_≥__0_,_0_≤__θ_＜__2_π_，__z_∈__R_.
解：ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，∴ρ＝ 2， 又tan θ＝1，x>0，y>0，点在第一象限．
∴θ＝π4，
∴点A的柱坐标为
பைடு நூலகம்
2，π4，1.
将点的柱坐标化为直角坐标
[例 2] 已知点 P 的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用公式求解．
已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z
即可．
3．点N的柱坐标为2，π2，3，求它的直角坐标．
x＝ρcos θ， 解：由变换公式y＝ρsin θ， 得
z＝z， x＝ρcos θ＝2cosπ2＝0，y＝ρsin θ＝2·sinπ2＝2， 故点 N 的直角坐标为(0,2,3)．

课时跟踪检测(二) 极坐标系一、选择题．在极坐标平面内，点，，，中互相重合的两个点是( )．和．和．和．和解析：选由极坐标的定义知，，表示同一个点．．将点的极坐标化成直角坐标是( )．() ．(，)．() ．(－，－)解析：选＝ρθ＝＝，＝ρθ＝＝.．在极坐标系中，ρ＝ρ且θ＝θ是两点(ρ，θ)和(ρ，θ)重合的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ与θ可相差π的整数倍．．若ρ＋ρ＝，θ＋θ＝π，则点(ρ，θ)与点(ρ，θ)的位置关系是( )．关于极轴所在直线对称．关于极点对称．关于过极点垂直于极轴的直线对称．两点重合解析：选因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ，θ)和(ρ，θ)满足ρ＋ρ＝，θ＋θ＝π，关于极轴所在直线对称．二、填空题．点关于极点的对称点为．解析：如图，易知对称点为.答案：．在极坐标系中，已知，两点，则＝.解析：＝＝.答案：．直线过点，，则直线与极轴的夹角等于．解析：如图所示，先在图形中找到直线与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点，的位置分析夹角大小．因为＝＝，∠＝－＝，所以∠＝＝，所以∠＝π－－＝.答案：三、解答题．在极轴上求与点的距离为的点的坐标．解：设()，因为，所以＝，即－＋＝.解得＝或＝.所以点的坐标为()或()．．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞≤θ＜π)．()(，)；()(－，－)；()(－)．解：()ρ＝＝θ＝＝.又因为点在第一象限，所以θ＝.所以点(，)的极坐标为.()ρ＝＝，θ＝.又因为点在第三象限，所以θ＝.所以点(－，－)的极坐标为.()ρ＝＝，画图可知极角为π，所以点(－)的极坐标为(，π)．．已知定点.()将极点移至′处极轴方向不变，求点的新坐标；()极点不变，将极轴顺时针转动角，求点的新坐标．。