2019版高中数学人教B版选修4-4：第一章 坐标系 检测 含解析
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第一章检测
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1与极坐标(
-2
,𝜋
6)
不表示同一点的极坐标
是(
)
A.(
2
,7𝜋
6)
B.(
2
,-7𝜋
6)
C.(
-2
,-11𝜋
6)
D.(
-2
,13𝜋
6)
答案:B
2将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来
的1
3,
得到的曲线
方程为(
)
A.𝐹(
𝑥
2,3𝑦)
=0
B.𝐹(
2𝑥
,𝑦
3)
=0
C.𝐹(
3𝑥
,𝑦
2)
=0
D.𝐹(
𝑥
3,2𝑦)
=0
解析:设(x,y)经过伸缩变换变为(X,Y),
所以{
𝑋=2𝑥
,
𝑌=1
3𝑦
,则{
𝑥=1
2𝑋
,
𝑦=3𝑌
,
代入F(x,y)=0得𝐹(
1
2𝑋
,3𝑌)
=0,
即𝐹(
1
2𝑥
,3𝑦)
=0.
答案:A
3若ρ
1=ρ
2≠0,θ
1+θ
2=π,则点M
1(ρ
1,θ
1)与点M
2(ρ
2,θ
2)的位置关系是(
)
A.关于极轴所在的直线对称
B.关于极点对称
C.关于过极点垂直于极轴的直线对称
D.重合
答案:C
4以(
-2
,𝜋
4)
为圆
心,
半径为2
的圆
的极坐标
方程为(
)
A.ρ=-(sin θ+cos θ)
B.ρ=sin θ+cos θ
C.ρ=-2(sin θ+cos θ)
D.ρ=2(sin θ+cos θ)
答案:C
5极坐标方程4ρsin2𝜃
2=5
表示的曲线
是(
)
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析:∵4ρsin2𝜃
2=5,
∴4ρ·θ=5,化为直角坐标方程y2=5x1
-𝑐𝑜𝑠𝜃
2=2𝜌‒2𝜌𝑐𝑜𝑠
为2
𝑥2
+𝑦2
‒2𝑥=5,
即
.+25
4,该
方程表示抛物线
答案:D
6在极坐标系中有如下三个结论:①点P在曲线C上,则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程;
②tan θ=1(ρ≥0)与θ≥0)表示同一条曲线;③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.其中正确的是(
)=𝜋
4(𝜌
A.①③
B.①
C.②③
D.③
解析:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐
标不一定都适合方程,故①错误;tan θ=1不仅表示θ,还表示θ,故②错误;ρ=3=𝜋
4这
条射线=5𝜋
4这
条射线
与ρ=-3差别仅在于方向不同,但都表示圆心为极点,半径为3的圆,故③正确.
答案:D
7若点P的直角坐标为(1,‒3),则
点𝑃
的极坐标为(
)
A.(
2
,𝜋
3)
B.(
2
,4𝜋
3)
C.(
2
,-𝜋
3)
D.(
2
,-4𝜋
3)
解析:∵P(1,x轴的正方向所成的角P的一个极坐标‒3),𝜌=|𝑂𝑃|=2,𝑂𝑃
与为5𝜋
3,∴
点
P的一个极坐标.为(
2
,5𝜋
3)
,
故(
2
,-𝜋
3)
可为
点
答案:C
8极坐标方程ρ=cos θ与ρcos θ=1
2的图
形是(
)
解析:把ρcos θ,得x=1
2化为
直角坐标
方程=1
2,
又圆ρ=cos θ的圆心B正确.为(
1
2,0)
,
半径为1
2,
故选项
答案:B
9直角坐标为(3‒3,3+3)
的点的极坐标
可能是(
)
A.(
26
,-5𝜋
12)
B.(
26
,5𝜋
12)
C.(
-26
,7𝜋
12)
D.(
26
,7𝜋
12)
解析:∵ρ(3,tan θ=
(3
-3
)2
+
(3+3
)2
=26(𝜌>0),
点
‒3,3+3)
在第一象限
=3+3
3
-3=1+3
3
1
-3
3=𝑡𝑎𝑛5𝜋
12,
∴点(3‒3,3+3)
的极坐标为(
26
,5𝜋
12)
.
答案:B
10极坐标系内曲线ρ=2cos θ上的动点P与定点𝑄(
1
,𝜋
2)
的最短距离等于(
)
A.2‒1
B.5‒1
C.1
D.2
解析:将ρ=2cos θ化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),
则点P到点Q的最短距离为点Q与圆心(1,0)的距离减去半径,即2‒1.
答案:A
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11在极坐标系内,点(
2
,𝜋
2)
关于直线𝜌𝑐𝑜𝑠 𝜃=1
的对
称点的极坐标为
.
解析:(0,2),直线ρcos θ=1的直角坐标方程为x=1,所以(0,2)关于x=1的对称点为点(
2
,𝜋
2)
的直角坐标为
(2,2),它的极坐标为(
22
,𝜋
4)
.
答案:(
22
,𝜋
4)
12两条直线ρsi𝑛(
𝜃+𝜋
4)
=2 016,𝜌𝑠𝑖𝑛(
𝜃
-𝜋
4)
=2 017
的位置关系是 .
解析:两直线方程可化为x+y=2 0101.62,𝑦‒𝑥=2 72,
故两条直线
垂直
答案:垂直
13在极坐标系中,圆ρ=2上的点到直线ρ(cos θ+3𝑠𝑖𝑛 𝜃)=6
的距离的最小值
是 .
解析:圆的直角坐标方程为x2+y2=4,直线的直角坐标方程为x+3𝑦‒6=0,
所以圆心到直线的距离1.为|-6
|
1+3=3,
所以圆
上的点到直线
的距离的最小值为
答案:1
14已知曲线C
1,C
2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=4cos
𝜃(
𝜌≥0
,0≤𝜃<𝜋
2)
,则
曲线𝐶1
与𝐶2
交点的极坐标为
.
解析:∵{
𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃=3
,
𝜌=4𝑐𝑜𝑠𝜃
,①
②
∴4cos2 θ=3,
∴2(1+cos 2θ)=3.
∴cos 2θ=1
2.
∵0≤2θ
∴θ①得ρ==𝜋
6.
代入
23.
∴曲线C
1与C
2交点的极坐标为(
23
,𝜋
6)
.
答案:(
23
,𝜋
6)
15在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=𝜋
3,𝜌𝑐𝑜𝑠 𝜃+𝜌𝑠𝑖𝑛 𝜃=1围
成的图
形的面积
是 .
解析:三条直线θ=0,θθ+ρsin θ=1在直角坐标系下对应的直线方程为y=0,y=𝜋
3,𝜌𝑐𝑜𝑠
=3𝑥,𝑥+𝑦=1.
三条直线围成的图形如图阴影部分所示.
则点A(1,0),𝐵(
3
-1
2,3
-3
2)
故S
△AOB=1
2×3
-3
2×1=3
-3
4.
答案:3
-3
4
三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变
换{
𝑋=2𝑥
,
𝑌=2𝑦后,
曲线𝐶变为
曲线(𝑋‒5)2+(𝑌+6)2=1,
求曲线𝐶
的方程,
并判断其形状.
解:(X-5)2+(Y+6)2=1,将{
𝑋=2𝑥
,
𝑌=2𝑦代入
得(2x-5)2+(2y+6)2=1,
即(
𝑥
-5
2)
2
+(𝑦+3)2=1
4,
故曲线C是.以(
5
2,-3)
为圆
心、半径为1
2的圆
17(8分)如图,在正方体OABC-D'A'B'C'中,|OA|=3,A'C'与B'D'相交于点P,分别写出点C,B',P的柱坐标.
