第26届全国中学生物理竞赛复赛试卷
一、填空（问答）题（每题5分，共25分）
1．有人设想了一种静电场：电场的方向都垂直于纸面并指向纸里，电场强度的大小自左向右逐渐增大，如图所示。这种分布的静电场是否可能存在？试述理由。
2．海尔-波普彗星轨道是长轴非常大的椭圆，近日点到太阳中心的距离为0.914天文单位（1天文单位等于地日间的平均距离），则其近日点速率的上限与地球公转（轨道可视为圆周）速率之比约为（保留2位有效数字） 。
3．用测电笔接触市电相线，即使赤脚站在地上也不会触电，原因是
；另一方面，即使穿绝缘性能良好的电工鞋操作，测电笔仍会发亮，原因是
。
4．在图示的复杂络中，所有电源的电动势均为E0，所有电阻器的电阻值均为R0，所有电容器的电容均为C0，则图示电容器A极板上的电荷量为 。
5．如图，给静止在水平粗糙地面上的木块一初速度，使之开始运动。一学生利用角动量定理来考察此木块以后的运动过程：“把参考点设于如图所示的地面上一点O，此时摩擦力f的力矩为0，从而地面木块的角动量将守恒，这样木块将不减速而作匀速运动。”请指出上述推理的错误，并给出正确的解释：
。
解答
一、参考解答：
1．以il表示第i个单摆的摆长，由条件（b）可知每个摆的周期必须是40s的整数分之一，即
iii402πlTgN （Ni为正整数） （1）
[(1)式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.]由(1)可得，各单摆的摆长
i22i400πglN （2）
依题意，i0.450m1.000ml，由此可得
i2020ππ0.45ggN （3）
即i2029N （4）
因此，第i个摆的摆长为
i22400π(19i)gl (i1,2,,10) （5）
2．20s
评分标准：本题15分．
第1小问11分．（2）式4分，（4）式4分，10个摆长共3分．
第2小问4分．
二、参考解答：
设该恒星中心到恒星－行星系统质心的距离为d，根据题意有
2Ld （1）
将有关数据代入（1）式，得AU1053d．又根据质心的定义有
Mdrdm （2）
式中r为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律有 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
li/m 0.993 0.901 0.821 0.751 0.690 0.635 0.588 0.545 0.507 0.472
第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为1R、2R，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点O为直角坐标系O-XYZ的原点，下侧柱面过切点O的母线为X轴，上侧柱面过切点O的母线为Y轴。一束在真空中波长为的可见光沿Z轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y平面的投影。1R和2R远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。空气折射率为01.00n。试推导第k级亮纹在X-Y平面的投影的曲线方程。
已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。任何情形下，折射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。b. sin, 1xxx当。
参考解答：
如图a所示，光线1在上侧柱面P点处傍轴垂直入射，入射角为，折射角为0，由折射定律有
00sinsinnn ①
其中n和0n分别玻璃与空气的折射率。光线在下侧柱面Q点处反射，入射角与反射角分别为i和i，由反射定律有
ii ②
光线在下侧柱面Q点的反射线交上侧柱面于P点，并由P点向上侧柱面折射，折射光线用1表示；光线1正好与P点处的入射光线2的反射光线2相遇，发生干涉。考虑光波反射时的半波损失，光线1与光线2在P点处光程差L为
p0p0pp()(PQPQ)()(PQPQ)()22Lnznnznnzz ③
式中为入射光线在真空中的波长，01.00n。由题意，1R和2R远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙；因而在傍轴垂直入射情况下有
第28届全国中学生物理竞赛复赛试题
一、（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年，1986年它过近日点P0时与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=72.0°。已知：1AU=1.50×1011m，引力常量G=6.67×10－11Nm2/kg2，太阳质量mS=1.99×1030kg，试求P到太阳S的距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。
二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦系数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l。
1、已知系统平衡时AB杆与墙面夹角为θ，求CD杆与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。
2、若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°。求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。
三、（25分）在人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称转轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴转，但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转，减慢或者消除卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法，其原理如图所示。
一半径为R，质量为M的薄壁圆筒，，其横截面如图所示，图中O是圆筒的对称轴，两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q、Q′（位于圆筒直径两端）处，另一端各拴有一个质量为2m的小球，正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P0、P0′处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转，卫星自转的角速度为ω0。若要使卫星减慢或者停止旋转（消旋），可瞬间撤去插销释放小球，让小球从圆筒表面甩开，在甩开的整个过程中，从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。当卫星转速逐渐减小到零时，立即使绳与卫星脱离，解除小球与卫星的联系，于是卫星转动停止。已知此时绳与圆筒的相切点刚好在Q、Q′处。
