探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧

抛物线复习

【高考会这样考】

1．考查抛物线的定义、方程，常与求参数和最值等问题相结合．

2．考查抛物线的几何性质，常考查焦点弦及内接三角形问题．

3．多与向量交汇考查抛物线的定义、方程、性质等．

考点梳理

1．抛物线的定义

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．

2．抛物线的标准方程与几何性质

图形

标准

方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

性

质 顶点 O(0,0)

对称轴 y＝0 x＝0

焦点 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2

离心

率 e＝1

准线

方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2

范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口

方向 向右 向左 向上 向下

【助学·微博】

一个重要转化 一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．

六个常见结论

直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．

①y1y2＝－p2，x1x2＝p24.

②|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2x1x2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.

③1|AF|＋1|BF|为定值2p.

④弦长AB＝2psin2α(α为AB的倾斜角)．

⑤以AB为直径的圆与准线相切．

⑥焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.

考点自测

1．(陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是( )．

A．y2＝－8x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝4x

2018版高考数学 考点38 抛物线试题解读与变式

1 2018版高考数学 考点３8 抛物线试题解读与变式

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2018版高考数学 考点38 抛物线试题解读与变式

2 考点38 抛物线

【考纲要求】

（1)了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;

（2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.；

（3)了解抛物线的简单应用;

（4）理解数形结合的思想.

【命题规律】

抛物线是历年高考命题的重点热点,考查抛物线的定义、标准方程，常与求参数和最值等问题相结合；考查抛物线的几何性质,常考查焦点弦及内接三角形问题；多与平面向量交汇考查抛物线的定义、方程与几何性质．

预计2018年高考对抛物线的考查会以抛物线的定义与标准方程、几何性质、直线与抛物线位置关系三个为考点为主,在客观题中进行考查,难度中等偏低.也可能以解答题出现在大题,综合考查直线与抛物线的位置关系及与其它知识的交汇．

【典型高考试题变式】

（一)抛物线的定义及应用

【例1】【２014全国新课标Ⅰ卷】已知抛物线C：xy82的焦点为F，准线为l，Ｐ是l上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若FQPF4,则QF( ）

Ａ.27 B．3 C.25 D.2

【答案】B

【解析】如图所示，因为FQPF4，故34PQPF,过点Q作QMl，垂足为Ｍ，则//QMx轴，所以344MQPQPF,所以3MQ,由抛物线定义知,3QFMQ，选B. 2018版高考数学 考点38 抛物线试题解读与变式

九年级数学抛物线解题技巧

哎呀，大家好呀，今天咱们聊聊九年级数学里的抛物线，听起来是不是有点高大上，其实也就是一些简单的技巧，让我们轻松搞定这些看似复杂的题目。抛物线就像是个调皮的小家伙，它总是和我们玩捉迷藏，不过别怕，掌握了窍门后，咱们就能一眼识破它的小把戏。

抛物线的方程通常是 ( y = ax^2 + bx + c )。你可能会想，哎呀，这些字母是啥意思？其实就是我们在图形中找它的身影的关键。想象一下，( a ) 就像是这条线的性格，正的让它向上笑，负的则让它向下哭。就像人一样，有的人爱笑，有的人爱哭嘛。再说说 ( b )，它就像是个调皮的小朋友，让抛物线偏向左边或者右边，而 ( c ) 就是这个抛物线与 y 轴的交点，简简单单，真是个小可爱。

对了，说到这，大家有没有发现，抛物线的图形总是那么优雅动人？上面有个顶点，就像一颗星星，在天上闪闪发光。想找到这个顶点，其实也不难。顶点的横坐标是

( frac{b{2a )，再代入 ( y ) 的方程就能得到纵坐标。就像寻宝一样，挖出那个珍珠，心里是不是特别满足？不过要小心，如果 ( a ) 是负的，顶点就是个最低点，要是正的，那就最高点，真是反差萌呀。

说到这里，大家应该记得抛物线有对称性，简直就像是双胞胎兄弟，左边和右边一模一样。这个特性在解题时可是大大的加分项呀。如果你知道一个点的坐标，嘿嘿，另一边也能轻松算出来。真是省时省力，有时候就像是做数学魔法，变出两个一样的答案来。

哦，还有一个小秘密，那就是判断抛物线的开口方向。你说这跟做饭有什么关系？还真有呢，抛物线的开口方向就像是食物的味道，咸的还是甜的，( a ) 的符号决定了一

切。正的就是甜的，向上张开，负的就变成咸的，向下倾斜。记住这点，做题的时候就会心中有数。

解抛物线题目，别忘了要掌握它的根。也就是方程的解，想找到根，可以用求根公式。记住，根就是方程的解，能告诉你抛物线和 x 轴的交点。这就像是在跟你的朋友打招呼，碰到的地方就是他们的相聚之地。看，数学也可以这么有趣！

龙源期刊网

关于高中数学抛物线两个结论的推导研究

作者：贺雨曦

来源：《科学与财富》2019年第03期

摘 要： 高中数学抛物线知识中，有两个结论的推导在解题过程中应用，能够快速解题，将问题的多个角联系起来，从而实现角与角的转换，这一知识点也是大部分高中生在学习数学的难点。本篇文章基于此，从高中生的视角出发，首先简要介绍这两个抛物线结论，然后再提出推导方法和过程。

关键词： 高中数学；抛物线；推导过程

前言：抛物线有一些结论，能够帮助学习者在面对选择题、填空题，快速地完成解题，同时帮助他们打开解题思路。相比起传统解题方法，利用抛物线的两个结论能够节省许多的时间，特别是对于卷面分值较小的选择、填空题，采用这个方法既保证答题正确，又节省更多时间用于其他类型问题的解答。

一、抛物线的两个结论

结论一：若AB是抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦（过焦点的弦），且A（x1，y1），B（x2，y2），则：x2y2=p2/4，x1y2=p2

例题：已知直线AB是过抛物线y2=2px（p>0）焦点F，求证1/丨AF丨+1/丨BF丨为定值。

结论二：若（1）若AB是抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则丨AB丨=2P/sin2α（α≠0）。（2）焦点弦中通经（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

例题：已知抛物线y2=9x过焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为？

通过以上结论及其所举例题，可以明确问题所考察的内容，包括抛物线、曲线切线、直线的知识点，所涉及的函数与方程、数形结合的解题技巧。学习这两个结论，有助于锻炼学习者的化归和转化的数学思维、运算求解能力，从而站在更广阔的角度思考数学问题，并尽心解答[1]。

二、解题方法以及解题思路分析