相似矩阵的基本知识点

矩阵相似与合同

1. 矩阵相似

矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵之间的一种关系。在讨论矩阵相似之前，我们先来回顾一下什么是矩阵。

1.1 矩阵的定义

矩阵是由𝑚行𝑛列的数排成的一个矩形阵列，记作𝐴=(𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛。其中，𝑎𝑖𝑗表示矩阵𝐴中第𝑖行第𝑗列的元素。

1.2 矩阵相似的定义

给定两个𝑛阶矩阵𝐴和𝐵，如果存在一个可逆矩阵𝑃，使得𝐵=𝑃−1𝐴𝑃，则称矩阵𝐴和𝐵相似。

矩阵相似关系具有以下性质：

• 自反性：任意矩阵𝐴都与自身相似，即𝐴相似于𝐴。

• 对称性：如果矩阵𝐴与矩阵𝐵相似，则矩阵𝐵与矩阵𝐴相似。

• 传递性：如果矩阵𝐴与矩阵𝐵相似，矩阵𝐵与矩阵𝐶相似，则矩阵𝐴与矩阵𝐶相似。

矩阵相似关系可以看作是一种矩阵之间的等价关系，它保持了矩阵之间的某些性质不变。

2. 矩阵合同

矩阵合同是另一种描述矩阵之间关系的概念。与矩阵相似类似，矩阵合同也是通过一个可逆矩阵来表示两个矩阵之间的关系。

2.1 矩阵合同的定义

给定两个𝑛阶矩阵𝐴和𝐵，如果存在一个可逆矩阵𝑃，使得𝐵=𝑃𝑇𝐴𝑃，则称矩阵𝐴和𝐵合同。

矩阵合同关系具有以下性质：

• 自反性：任意矩阵𝐴都与自身合同，即𝐴合同于𝐴。

• 对称性：如果矩阵𝐴与矩阵𝐵合同，则矩阵𝐵与矩阵𝐴合同。

• 传递性：如果矩阵𝐴与矩阵𝐵合同，矩阵𝐵与矩阵𝐶合同，则矩阵𝐴与矩阵𝐶合同。 矩阵合同关系也可以看作是一种矩阵之间的等价关系，它同样保持了矩阵之间的某些性质不变。

3. 矩阵相似与矩阵合同的关系

矩阵相似和矩阵合同都是描述矩阵之间关系的概念，它们之间的区别在于变换矩阵的不同。

对于矩阵相似，变换矩阵是可逆矩阵𝑃，而对于矩阵合同，变换矩阵是可逆矩阵𝑃的转置𝑃𝑇。

矩阵相似和矩阵合同之间的关系可以通过以下定理来描述：

第１９卷第１１期　２０１１年ｌ１月　光学精密工程　Ｏｐｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｖｏ１．１９　Ｎｏ．１１　ＮＯＶ．２０１１　

文章编号１００４－９２４Ｘ（２０１１）１ｌ一２７５９－０８　

应用序贯相似检测的基本矩阵快速鲁棒估计　

唐永鹤　，胡旭峰，卢焕　

（国防科学技术大学ＡＴＲ实验室，湖南　童　

长沙４１００７３）　

摘要：提出了一种基于序贯相似检测（ＳＳＤＡ）的快速鲁棒基本矩阵估计算法来估计基本矩阵。在最大后验一致性　（ＭＡＰＳＡＣ）算法中引入ＳＳＤＡ搜索最优模型参数，通过及时剔除错误模型减少计算成本函数的累加次数，不仅保持了　ＭＡＰＳＡＣ的良好鲁棒性，而且有效减少了算法的计算量。用Ｍ估计算法对改进的ＭＡＰＳＡＣ算法获得的初始内点集进　行优化，剔除估计余差较大的内点，并用优化的内点集求解基本矩阵，进一步提高算法的估计精度和鲁棒性。实验结果　表明，该算法不仅估计精度较高，鲁棒性较好，而且平均处理速度比ＭＡＰＳＡＣ算法提高了３Ｏ　以上，基本满足三维重　建、匹配和跟踪、相机自标定等应用领域对实时性、鲁棒性和精度的要求。　关键词：序贯相似检测；基本矩阵估计；最大后验一致性；Ｍ估计算法　中图分类号：ＴＰ３９１　文献标识码：Ａ　ｄｏｉ：１０．３７８８／ｏＰＥ．２０１１１９１１．２７５９　

Ｆａｓｔ　ａｎｄ　ｒｏｂｕｓｔ　ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｍａｔｒｉｘ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ＳＳＤＡ　

ＴＡＮＧ　Ｙｏｎｇ—ｈｅ　。ＨＵ　Ｘｕ—ｆｅｎｇ。ＬＵ　Ｈｕａｎ—ｚｈａｎｇ　

（ＡＴＲ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ，Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｄｅｆｅｎｓｅ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ　４１００７３，Ｃｈｉｎａ）　

＊Ｃ０　ｒ】　Ｐｓ　０　，ｚｇ　ａｕｔｈｏｒ，Ｅ－ｍａｉｌ：ｔｙｈ～９８３＠１２６．ｃｏｍ　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｆａｓｔ　ａｎｄ　ｒｏｂｕｓｔ　ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ　ｍａｔｒｉｘ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ　Ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ　Ｄｅ—　

中小学1对1课外辅导专家

龙文教育·教育是一项良心工程 武汉龙文教育学科辅导讲义

授课对象 授课教师

授课时间 授课题目

课 型 复习 使用教具

教学目标 巩固复习相似三角形基本知识点

教学重点和难点 相似三角形的性质与判定

知识点1 相似图形

形状相同的图形叫相似图形，或者说是相似形,在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

知识点2 比例线段的相关概念

两条线段长度的比叫做这两条线段的比。

如果选用同一单位量得两条线段ba,的长度分别为nm,，那么就说这两条线段的比是nmba，或写成nmba::．

注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．

在四条线段dcba,,,中，如果ba和的比等于dc和的比，那么这四条线段dcba,,,叫做成比例线段，简称比例线段．

注意：

(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．

(2)比例线段是有顺序的，如果说a是dcb,,的第四比例项，那么应得比例式为：adcb．

例1.若AB=1m，CD=25cm，则AB∶CD= ；若线段AB=m, CD=n，则AB∶CD= .

例2.若MN∶PQ=4∶7，则PQ∶MN= ， MN= PQ， PQ= MN。

知识点3 比例的性质

基本性质：

(1)bcaddcba::；

(2)bacbcca2::．

注意：

由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bcad，除

相似三角形知识点

知识点1 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多

边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．

知识点2 比例线段的相关概念

（1）如果选用同一单位量得两条线段ba,的长度分别为nm,，那么就说这两条线段的比是nmba，或写成nmba::．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）在四条线段dcba,,,中，如果ba和的比等于dc和的比，那么这四条线段dcba,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a是dcb,,的第四比例项，那么应得比例式为：adcb．②()acabcdbd在比例式：：中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项, a、c叫比例前项，b、d叫比例后项，d叫第四比例项，如果b=c，即 abbd：：那么b叫做a、d的比例中项， 此时有2bad。

（3）黄金分割：把线段AB分成两条线段)(,BCACBCAC，且使AC是BCAB和的比例中项，即2ACABBC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ABAC215≈0.618AB．即512ACBCABAC 简记为：512长短＝＝全长

注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）

（1） 基本性质：

①bcaddcba::；②2::abbcbac．

注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bcad，除

了可化为dcba::，还可化为dbca::，badc::，cadb::，cdab::，bdac::，abcd::，acbd::．

（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()abcdacdcbdbadbca，交换内项，交换外项．同时交换内外项