2022年初中数学《圆周角定理与推论》精品教案(公开课)

OBA CE F 24.1 .4 圆教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题． 重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：〔1〕我们把顶点在圆心的角叫圆心角．〔2〕在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如下图的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门，如下图的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠E CF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言． 老师点评：O BACO BA C D 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．〞〔1〕设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如下图 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12∠AOC 〔2〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程． 老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．〔3〕如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的． 从〔1〕、〔2〕、〔3〕，我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD 理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC又∵AC=AB ∴BD=CDOBAD OBAC DOB ACD三、稳固练习1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展例2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin c C=2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin cC=2R ，即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2cR，因此，十清楚显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin aA同理可证：sin b B =2R ，sin cC =2R∴sin a A =sin b B =sin cC=2R五、归纳小结〔学生归纳，老师点评〕 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业1．教材P95 综合运用9、10、11 拓广探索12、13． 2．选用课时作业设计．第三课时作业设计 一、选择题1．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，那么∠ABC 等于〔 〕． A ．140° B ．110° C ．120° D ．130°OBA 2143OB(1) (2) (3)2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是〔〕A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠23．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，假设OB=5，且∠CAD=30°，那么BC 等于〔〕．A．3 B．3+3 C．5-123 D．5二、填空题1．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为23a，那么弦AB所对的圆周角的度数是________．2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，那么∠1+∠2=_______．•O BAC 21EDOBAC(4) (5)3．如图5，△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•那么⊙O•半径为_______．三、综合提高题1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两局部，⊙O半径为1，求弦长AB．OBA2．如图，AB=AC，∠APC=60°〔1〕求证：△ABC是等边三角形．〔2〕假设BC=4cm，求⊙O的面积．OBP3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为〔0，4〕，M是圆上一点，∠BMO=120°．〔1〕求证：AB 为⊙C 直径．〔2〕求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．OBA C y xM答案:一、1．D 2．B 3．D二、1．120°或60° 2．90° 3．33三、1．3 2．〔1〕证明：∵∠ABC=∠APC=60°，又AB AC ，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形． 〔2〕解：连结OC ，过点O 作OD ⊥BC ，垂足为D ， 在Rt △ODC 中，DC=2，∠OCD=30°， 设OD=x ，那么OC=2x ，∴4x 2-x 2=4，∴OC=4333．〔1〕略 〔2〕4，〔-23，2〕15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕b a ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． 〔二〕能力训练要求1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． 〔三〕情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． [师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．〔演示课件〕1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．[生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕．〔演示课件〕等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．〔投影仪演示学生证明过程〕[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．〔演示课件〕[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕．设∠A=x ，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习D CA BD CABDC A B〔一〕课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：〔1〕72° 〔2〕30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ，∠BAC=90°〕，AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．〔二〕阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题． 〔二〕1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．D C A BE DCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质．结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中， 12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ，∴∠4=∠P ．∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1．等边对等角2．三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔 〕A ．某一条边上的高B ．某一条边上的中线C ．平分一角和这个角对边的直线D ．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔 〕A ．80°B ．20°C ．80°和20°D ．80°或50°答案：1．C 2．C3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm ，那么其腰长为〔x+2〕cm ，根据题意，得2〔x+2〕+x=16．解得x=4．E DC A B P所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解 〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.四、随堂练习计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习1．计算：(1))1)(1(y x x y x y +--+ (2)22242)44122(aa a a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xy z y x ++⋅++)111( 2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案： 四、〔1〕2x 〔2〕ba ab - 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。

1[实验名称] 圆周角定理及其推论证明实验目标：1.理解圆周角的概念．2.经历探索圆周角定理及其推论的过程，体验实验、汇总、猜想、证明的方法．3．贯彻数学分类讨论、数形结合、一般到特殊再到一般、化归等数学思想．实验方式：自主探究，合作交流，教师指导．实验步骤：一、设置情景：1.∠BAC 的顶点在圆上．．．．．，它的两边都和圆相交．．．．．．．，像这样的角叫做圆周角（inscribed angle ）． 2.作线段OB ，以O 为圆心，OB 为半径构造圆．3.在圆周上任取两点A 、C ，连接AB 、AC ，∠BAC 即圆周角，如图一．4. 连接OB 、OC ，∠BOC 即圆周角∠BAC 所对弧BC 所对的圆心角，如图二．5. 选中圆O 和点B 、C 构造弧BC ，如图三．6. 分别度量∠BAC 、∠BOC 、弧BC ，计算∠BAC 除以∠BOC 的值，如图四．二、观察与猜想：7. 拖动点B ，观察圆周角∠BAC 、圆心角∠BOC 、弧BC 的度数和比值的变化，发现圆周角∠BAC 和同弧所对圆心角∠BOC 的大小关系是 ，发现圆周角∠BAC 和所对弧BC 的度数大小关系是 ．8. 拖动点O ，使其落在∠BAC 边AB 上，如图五．拖动点O ，使其落在∠BAC 内，如图六． 拖动点O ，使其落在∠BAC 外，如图七．9. 再猜想：圆周角∠BAC 和同弧所对圆心角∠BOC 的大小关系是 ．三、验证10. 在五、六、七的情况下拖动点C ，发现圆周角∠BAC 和同弧所对圆心角∠BOC 的大小关系始终成立．四、概括：11．表达您的重大发现： ；五、证明：12．利用图五、图六、图七，证明你得到的结论．（教师预设证明并设计成隐藏显示）六、变式和应用13．利用几何画板说明圆周角定理的推论成立．14．利用几何画板作出课本P90页例1的图形，并度量出弧BD 、DE 和AE 的度数．图一 图二 图三 图四 图五 图六 图七证：当圆心O在圆周角∠BAC的外部时连接AO并延长交⊙O于D由1已证可知：∠BAD=12∠BOD ,∠CAD=12∠COD∴∠CAD-∠BAD=12(∠COD-∠BOD)即∠BAC=12∠BOC2。

初中数学精品教案圆周角定理及其推论证明一、教学目标与要求1.知识与技能：（1）掌握圆周角的概念；（2）理解圆周角定理的含义；（3）掌握圆周角定理的证明方法；（4）能够运用圆周角定理解决相关问题。

2.过程与方法：（1）教师带领学生观察、发现和思考圆周角的性质；（2）提供引导性的问题，促使学生主动参与思考和讨论；（3）学生进行小组合作，互相讨论，共同解决问题；（4）课堂展示与分享，学生学习归纳总结。

3.情感态度与价值观：（1）培养学生的观察能力和发现问题的能力；（2）激发学生的兴趣和探究欲望；（3）培养学生的合作意识和团队协作精神；（4）培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学重点与难点1.教学重点：（1）圆周角的概念；（2）圆周角定理的证明。

2.教学难点：（1）圆周角定理的证明。

三、教学过程1.导入（5分钟）（1）通过展示一些有关圆周角的图片或视频，引起学生的兴趣，激发学生的思考；（2）提问：你们在这些图片或视频中有没有发现什么规律或性质？请说说你们的观察结果。

2.探究与总结（15分钟）（1）教师在黑板上画一个圆，标明圆心O，以A、B两点为弦，分别与圆上的两点C、D相交，连接OA、OB两线段；（2）提问：你们观察到了什么规律？（3）引导学生观察，并总结圆周角的概念：圆周角是顶点在圆上，两条边的一对相交弧所对面的角，符号为∠AOB。

（4）提问：你们能说出圆周角的一些性质吗？（5）学生提出并总结圆周角的性质：对于同一个圆上的两个圆周角，它们所对面的弧度一样长。

3.定理的证明（30分钟）（1）教师提出如下问题：如何证明圆周角的性质是对的？（2）教师引导学生思考，并提供一些提示：提示1：考虑$\angle COB$和$\angle COD$;提示2：考虑证明相等的两个角所对应的两条弧相等。

（3）学生根据思路进行讨论，合作解决问题，互相交流和分享思考结果；（4）教师指导学生将讨论的结果表达为公式形式：$\angleCOB=\angle COD$;（5）利用数学语言和图形表示，进行具体的证明过程；（6）师生共同完成证明。

3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角和圆心角的关系1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点) 2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)一、情境导入在以下图中，当球员在B, D, E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC ，∠AEC .这三个角的大小有什么关系？二、合作探究探究点：圆周角定理及其推论【类型一】 利用圆周角定理求角的度数如图，CD 是⊙O 的直径，过点D的弦DE 平行于半径OA ，假设∠D 的度数是50°，那么∠C 的度数是( )A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°解析：∵OA ∥DE ，∠D ＝50°，∴∠AOD ＝50°.∵∠C ＝12∠AOD ，∴∠C ＝12×50°＝25°.应选A.方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第2题【类型二】 利用圆周角定理的推论求角的度数如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A＝30°，那么∠B ＝( )A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等〞得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°.应选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第8题【类型三】 圆周角定理与垂径定理的综合如以下图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点D ，E 在⊙O 上．(1)∠AOD ＝52°，求∠DEB 的度数； (2)假设AC ＝7，CD ＝1，求⊙O 的半径．解析：(1)由OD ⊥AB ，根据垂径定理的推论可求得AD ︵＝BD ︵，再由圆周角定理及其推论求∠DEB 的度数；(2)首先设⊙O 的半径为x ，然后由勾股定理得到方程解答．解：(1)∵AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，∴AD ︵＝BD ︵，∴∠DEB ＝12∠AOD ＝12×52°＝26°；(2)设⊙O 的半径为x ，那么OC ＝OD －CD ＝x －1.∵OC 2＋AC 2＝OA 2，∴(x －1)2＋(7)2＝x 2，解得x ＝4，∴⊙O 的半径为4.方法总结：此题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第3题【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 在弧AB 上，连接CD 交AB 于点E ，点B 是CD ︵的中点，求证：∠B ＝∠BEC .解析：由点B 是CD ︵的中点，得∠BCE ＝∠BAC ，即可得∠BEC ＝∠ACB ，然后由等腰三角形的性质，证得结论．证明：∵B 是CD ︵的中点，∴BC ︵＝BD ︵，∴∠BCE ＝∠BAC .∵∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ，∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ，∴∠BEC ＝∠ACB .∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠BEC .方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第7题【类型五】 圆周角定理的推论与三角形知识的综合如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上四点，且∠APC ＝∠CPB ＝60°.连接AB 、BC 、AC .(1)试判断△ABC 的形状，并给予证明；(2)求证：CP ＝BP ＋AP .解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC ，而∠APC ＝∠CPB ＝60°，所以∠BAC ＝∠ABC ＝60°，从而可判断△ABC 的形状；(2)在PC 上截取PD ＝AP ，那么△APD 是等边三角形，然后证明△APB ≌△ADC ，证明BP ＝CD ，即可证得．(1)解：△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC .又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形；(2)证明：在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD .又∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，即∠ADC ＝120°.又∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠ADC ＝∠APB .在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB ＝∠ADC ，∠ABP ＝∠ACD ，AP ＝AD ，∴△APB≌△ADC (AAS)，∴BP ＝CD .又∵PD ＝AP ，∴CP ＝BP ＋AP .方法总结：此题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 【类型六】 圆周角定理的推论与相似三角形的综合如图，点E 是BC ︵的中点，点A 在⊙O 上，AE 交BC 于D .求证：BE 2＝AE ·DE .解析：点E 是BC ︵的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE ＝∠CBE ，可证得△BDE ∽△ABE ，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．证明：∵点E 是BC ︵的中点，即BE ︵＝CE ︵，∴∠BAE ＝∠角)，∴△BDE ∽△DE ∶BE ，∴BE 2＝AE 方法总结：角形的问题常常考虑此定理．三、板书设计圆周角和圆心角的关系1．圆周角的概念2．圆周角定理3．圆周角定理的推论本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等〞这一性质较容易掌握，理解起来问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理解起来那么相对困难，因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出.第2课 伟大的历史转折1 教学分析【教学目标】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。

圆周角一、新课导入1.导入课题：情景：如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB.问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下个定义吗？由此导入课题.〔板书课题〕2.学习目标：(1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它.(2)探究并掌握圆周角定理及其推论.(3)体会“由特殊到一般〞“分类〞“化归〞等数学思想.3.学习重、难点：重点：圆周角定理及其推论.难点：圆周角定理的证明与运用.二、分层学习1.自学指导：〔1〕自学内容：教材第85页到第86页倒数第6行之前的内容. 〔2〕自学时间：10分钟.〔3〕自学方法：完成探究提纲.〔4〕探究提纲：1〕圆周角的概念①顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.②判别以下各图中的角是不是圆周角，并说明理由.②猜一猜：一条弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系？②量一量：用量角器量一量圆心角∠AOB和圆周角∠ACB.a.如图，∠ACB=12∠AOB.b.你可以画多少个AB所对的圆周角？这些圆周角与∠AOB之间有什么数量关系？∠AOB的一半.③想一想：在⊙O中任画一个圆周角∠BAC，圆心O与∠BAC可能会有几种位置关系？有3种位置关系.③证一证：∠BAC的一条边上时(如图1〕:∠BAC的内部时(如图2〕：作直径AD，同a，得.∠BAC的外部时(如图3〕.作直径AD,同a,得⑤归纳：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.自学：学生可根据自学指导自主学习，相互交流.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：关注学生能否探究、归纳和证明圆周角定理.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.〔2〕生助生：小组内交流、研讨.4.强化：〔1〕圆周角定理的内容.〔2〕证明圆周角定理所表达的数学思想.〔3〕练习：如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∵∠ACB=12∠AOB,∠BAC=12∠BOC,∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC.1.自学指导：〔1〕自学内容：教材第86页最后5行至第87页例4.〔2〕自学时间：10分钟.〔3〕自学方法：完成探究提纲.〔4〕探究提纲：①探究图中∠ACB ，∠ADB 和∠AEB 的数量关系.a.如图1，∵∠ACB=12∠AOB,∠ADB=12∠AOB,∠AEB=12∠AOB ，∴∠ACB = ∠ADB = ∠AEB.即同弧所对的圆周角 相等 .b.如图2，AB=AE,∵AB=AE,∴∠AOB = ∠AOE.∵∠ACB=12∠AOB, ∠ADE=12∠AOE, ∴∠ACB = ∠ADE. 即等弧所对的圆周角 相等 .c.由此可得，同弧或等弧所对的圆周角 相等 .d.练习：如图，点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把四个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？∠1=∠4，∠2=∠7，∠3=∠6，∠5=∠8②半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦是 直径 .为什么？因为半圆〔或直径〕所对的圆心角是180°，所以它所对的圆周角是90°，即直角.90°的圆周角所对的圆心角是180°，所以它所对的弦是直径.④ 如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？第二个工件是合格的.因为半圆所对的圆周角为直角.④如图, ⊙O 的直径AB 为10cm,弦AC 为6cm, ∠ACB 的平分线交⊙O 于D,求BC ，BD 的长.∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴在ACB Rt 中，（）BC AB AC cm =-=-=22221068. 同理∠ADB=90°，又CD 是∠ACB 的平分线，∴∠DCA=∠DCB=12∠ACB=45°, ∴∠DBA=∠DAB=45°,∴AD=BD.在ADB Rt 中，AD 2+BD 2=AB 2,∴BD AB cm ==21522. ⑤ 如图，你能设法确定一个圆形片的圆心吗？你有多少种方法？能，方法很多，例如：利用三角尺的直角可以找出两条直径〔90°的圆周角所对的弦是直径〕，两直径交点就是圆心.2.自学：学生可在自学指导的指引下自主学习，相互交流.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：关注学生是否会完成任务.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.〔2〕生助生：小组内交流、研讨.4.强化：〔1〕常规辅助线：遇直径，想直角.〔2〕点一名学生口答探究提纲中的问题②，点两名学生板演问题④，并点评.1.自学指导：〔1〕自学内容：教材第87页“思考〞到第88页“练习〞之前的内容.〔2〕自学时间：7分钟.〔3〕自学方法：阅读课文，完成自学参考提纲.〔4〕自学参考提纲：①什么叫圆内接多边形和多边形的外接圆？如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.②在图中标出BAD 和BCD 所对的圆心角，这两个圆心角有什么关系？∠BAD+∠BCD ＝ 180 度，同理可得：∠ABC+∠ADC ＝ 180 度.③圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.④练习：a.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，那么∠BAD＝50°，∠BCD＝130° .b.如图，四边形ABCD内接于⊙∠B=110°，求∠ADE的度数.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC=180°，又∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠B=110°.c.求证：圆内接平行四边形是矩形.∵圆内接四边形对角互补，而平行四边形对角相等，∴圆内接平行四边形四个角都是直角.∴圆内接平行四边形是矩形.d.：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2都经过A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，F．假设CD∥EF，求证：四边形EFDC 是平行四边形.连接AB.∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴∠C+∠ABE=180°.又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形.∴∠D+∠ABF=180°.又∵∠ABE+∠ABF=180°.∴∠C+∠D=180°.∴CE∥DF.又∵CD∥EF，∴四边形EFDC是平行四边形.2.自学：学生可结合自学指导自主学习.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：明了学生自学提纲的答题情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.〔2〕生助生：生生互动，交流研讨.4.强化：〔1〕圆内接四边形的性质.〔2〕让学生完成自学参考提纲中的第④题，并点评.〔3〕练习：圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是2∶3∶6，求四边形ABCD各内角的度数.解：∵∠A∶∠C＝2∶6,∠A+∠C＝180°,∴∠A＝45°，∠C＝135°.又∠A∶∠B＝2∶3,∴∠B＝67.5°，∠D＝180°-∠B＝112.5°.三、评价1.学生的自我评价〔围绕三维目标〕：这节课你学到了哪些知识？在哪些方面还感到比较困难？2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、小组探究协作情况以及存在的问题等.〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价〔教学反思〕：〔1〕这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探究圆周角与圆心角关系过程中，要求学生学会使用分类讨论以及转化的数学思想解决问题，同时也培养了学生勇于探究的精神.其次，本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质，通过例题和习题训练，可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些根底知识，从中获取成功的经验，建立学习的自信心.〔2〕圆周角定理的证明分了三种情况探讨，这里蕴含着重要的数学思想——分类思想，教材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等，故教学过程中要整理相互交融的知识结构，加强分类思想的渗透.(时间：12分钟总分值：100分)一、根底稳固〔80分〕1.(10分)以下四个图中，∠x是圆周角的是〔C〕2.(10分)如图,⊙O 中，弦AB 、CD 相交于E 点，且∠A=40°，∠AED=75°，那么∠B=〔D 〕A.15°B.40°C.5°D.35°3.(10分)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 垂直，且∠BAC=40°，那么∠BOD= 80° . 4.(10分)如图，点B 、A 、C 都在⊙O 上，∠BOA ＝110°，那么∠BCA＝ 125° .5.(10分)如图，⊙O 中，弦AD 平行于弦BC ，∠AOC=78°，求∠DAB的度数．解：∵AD ∥BC ，∴∠DAB=∠B.又∵∠B=12∠AOC=39°. ∴∠DAB=39°.6.(10分)如图，⊙O 的半径为1，A,B,C 是⊙O 上的三个点，且∠ACB=45°，求弦AB 的长.解：连接OA 、OB.∵∠BCA=45°,∴∠BOA=2∠BCA=90°.又OA=OB,∴△AOB 是等腰直角三角形.∴AB OA OB OA OA =+===222222.7.(10分)如图，A,P,B,C 是⊙O 上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC 的形状并证明你的结论.解：△ABC 是等边三角形.证明如下：∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，∴△ABC 是等边三角形.8.(10分)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，延长DC ，AB 相交于点E ，假设BC=BE ．求证：△ADE 是等腰三角形．证明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.∴∠A=∠BCE.∵BC=BE,∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E,∴AD=DE,∴△ADE是等腰三角形.二、综合应用〔10分〕9.(10分)如图，EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC 放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，那么x的取值范围是30≤x≤60．三、拓展延伸〔10分〕10.(10分)如图，BC为半圆O的直径，点F是BC上一动点〔点F不与B、C重合〕，A是BF上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β．〔1〕当α=50°时，求β的度数;〔2〕猜想α与β之间的关系，并给予证明.解：〔1〕连接OA，交BF于点M.∵A是BF上的中点，∴OA垂直平分BF.∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.∴∠C=12∠AOB=12×40°=20°,即β=20°.〔2〕β=45°-1 2α.证明：由〔1〕知∠∠C＝β＝12∠AOB,∴β＝12〔90°-α〕＝45°-12α.三角形的稳定性【知识与技能】1.通知过观察、实践、想象、推理、交流等活动，让学生了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用.2.培养实事求是的学习作风和学习习惯.【过程与方法】1.通过提问、合作讨论以及小组交流方式探究三角形的稳定性.2.实物演示，激发学习兴趣，活泼课堂气氛.3.探究质疑，总结结果.和学生共同探究三角形稳定性的实例，答复课前提出的疑惑.【情感态度】1.引导学生通过实验探究三角形的稳定性，培养其独立思考的学习习惯和动手能力.2.通过合作交流，养成学生互助合作意识，提高数学交流表达能力.【教学重点】了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用.【教学难点】准确使用三角形稳定性于生产生活之中.一、情境导入，初步认识课前准备：木条〔用硬纸条代替〕假设干、小钉假设干、小黑板.问题1 工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，钢架桥，其中道理是什么？问题 2 盖房子时,在窗框未安装好之前.木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢? 活动挂架为什么做成四边形？【教学说明】问题设立要让学生体会三角形在生产和生活中的应用，并引导思考为什么要在这些地方用三角形，另一些地方又要用到四边形.注意接纳学生其他不同的思路.教师讲课前，先让学生完成“自主预习〞.二、思考探究，获取新知老师演示P6探究内容，也可叫学生亲手实验，通过实际操作加深学生印象，完后请学生们交流讨论后答复得出了什么？教师根据学生们的答复进行简要归纳.【归纳结论】三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.这是因为斜钉一根木条后，四边形变成了两个三角形，由于三角形有稳定性，窗框在未安装好之前也不会变形.三、运用新知，深化理解1.如图，一扇窗户翻开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是 .2.以下列图形中哪些具有稳定性?【教学说明】本节课的内容较少，题目比较简单，在学生独立完成后，要求学生说明理由.【答案】1.三角形具有稳定性.2.〔1〕〔4〕〔6〕中的图形具有稳定性.四、师生互动，课堂小结三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.1.布置作业：从教材“习题”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本节课学习三角形稳定性，并板书课题.完成的教学目标是通过观察、实践、想象、推理、小组交流合作，使同学们了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用，培养同学们实事求是的学习作风和学习习惯，以及自主学习和独立思考的能力.。

圆周角和圆心角的关系教学目标：1.掌握圆周角定理的三个推论．〔重点〕2.能熟练应用圆周角推论解决问题．〔重点〕3.理解推论的“题设〞和“结论〞，灵活运用推论进行问题的“转化〞． 教法及学法指导： 本课时的学习内容，是在已学圆周角定理的根底上进行推理，论证较为简单，学生易于接受，因此侧重于推论的总结表达与应用，帮助学生从直观感受到理性表述地提升，并能严谨地表达自己的见解.难点是灵活运用定理及推论进行灵活转化；关键是真正让学生交流讨论起来，发挥集体智慧，通过相互间的合作与交流，开展学生合作交流的能力和数学表达能力；教师通过组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，总结规律，充分发挥学生的主体作用.课前准备：圆规、三角板、相关图片 学生提前预习 教学过程：一、复习稳固，引入课题师：同学们请回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角？它们之间有什么关系？ 生：学习了圆心角和圆周角，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即圆周角定理．师：下面两个小练习,看谁算得又准又快： 1、：如图，∠BOC 是_______角，∠BAC 是_______角；假设∠BOC=80°那么∠BAC =_______2、：如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上， 假设∠BCO=65°那么∠BAC =_______ 生：40°、25°师：要求圆周角，由关系定理转化为圆心角来确定，这是在圆中常用的转化思想，请大家想着它并加以应用．师：圆周角定理应用的不错，今天我们继续学习圆周角和圆心角的关系．〔设计意图：回忆旧知，为本节课学习新的知识做铺垫，通过简单的应用，让学生感受知识 之间的互相联系，为后面学习推论的论证作好准备．〕 二、出示目标，确定学习内容 师：今天需要学习掌握的内容是： 1.掌握圆周角定理的三个推论．〔重点〕 2.能熟练应用圆周角推论解决问题．〔重点〕〔设计意图：明确目标，使学生明确这节课的学习任务，利于学生集中精力学习重点内容．〕 三、讨论交流，掌握新知师：同学们请看下面这个图形：在⊙O 中，以A 、C 为端点的弧所对的圆周角，我画出了三个，∠ABC 、∠ADC 、∠AEC ，这样的圆周角有多少个？它们的大小有什么关系？你是如何得到的？ 生1：以A 、C 为端点的弧所对的圆周角有无数个，它们的 大小相等，测量一下就可以得到的．师:测量是最直观的验证方法，但有误差，我们能否用推理验证的方法得O BCAO C A到上图中的∠ABC ＝∠ADC ＝∠AEC ？生2:连接AO ，CO 可以看出，∠ABC 、∠ADC 和∠AEC 是同弧所对的圆周角，它们都等于圆心角∠AOC 的一半，所以这几个圆周角相等．师:用一句话概括出此结论． 生: 同弧所对的圆周角相等．师:回到课本P108开头图3-13遗留下来的问题，看看它的结论，你找到依据了吗？生:找到了，它们属于同弧所对的圆周角，实景抽象出来就是我们所画的这个图．师：为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性． 生3：减少盲区．生4：那是要求后排比前排高的设计． 师：结合我们刚得到的结论．生：电影院的横排坐位排列呈圆弧形，是想尽量保证同排的观众视角相等．师: 对，保证同排的观众相对于舞台的张角相等；如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗？生：一样，等弧所对的圆心角相等，这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等． 师：补充完善我们刚刚的结论． 生：同弧或等弧所对的圆周角相等． 生5：好似要强调在同圆或等圆中吧． 师：这个问题提的不错，谁能答复？ 生6：不需要，“同弧〞只能在“同一个圆〞中；“等弧〞暗含“在同圆或等圆中〞． 师：真棒！一定要注意特殊词语里的暗含条件；这是我们所学的第一个推论．谁能改写成“如果---那么---〞的形式？生7：如果同弧或等弧所对的圆周角，那么相等． 师：分清了题设与结论，但太过简单了．生8:如果两个角是同弧或等弧所对的圆周角，那么这两个角相等．师：真不错；假设将上面推论中的“同弧或等弧〞改为“同弦或等弦〞，结论成立吗？ 请同学们先画一画，再议一议． 生9：“等弦〞不一定成立，它没有暗含等圆的条件，可能出现一大一小两个圆．图中∠C 与∠D 不相等．(师出示图片一)(图一〕〔图片二)师：同弦呢?生：结论不一定成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一种是在弦的同一侧，也是同弧所对的圆周角，此时相等；一种是圆周角分布在弦的两侧，就不再相等． 〔师出示图片二〕BDC C D师：两种状况，再次表达分类思想，你们能猜出∠C 与∠D 什么关系吗？ 提示一下，可以找一下和它们有关系的圆心角． 生：〔思考，讨论〕∠C +∠D =180°师：这是补充的第二个推论，同学们需要了解清楚． 在同圆中，同弦所对的圆周角要么相等要么互补．因此推论一中的“同弧或等弧〞不能改为“同弦或等弦〞． 接下来我们看下面的问题：如以以下图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角？你是如何判断的？(同学们互相交流、讨论)生10:直径BC 所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角 是∠BOC ＝180°，所以∠BAC ＝∠90°．师:反过来，在以以下图中，如果圆周角∠BAC ＝90°，那么它所对的弦BC 经过圆心O 吗？为什 么？生11:弦BC 经过圆心O ，因为圆周角∠BAC ＝90°．连结OB 、OC ，所以圆心角∠BOC ＝180°，即BOC 是一条线段，也就是BC 是⊙O 的一条直径．师:通过刚刚大家的交流，我们又得到了圆周角定理的第三个推论： 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．〔设计意图：教师通过组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，总结规律，充分发挥学生的主体作用.〕 四、例题展示，学会应用师：为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题．[例]如图示，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC ＝AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？OCABD[师生共析]：有直径，就可以构造直角，得到垂直；此处AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD＝CD．下面哪位同学能表达一下理由？生：口述过程BD＝CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．又∵AC＝AB，∴BD＝CD．师：通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法？试举例说明．生：在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法．比方说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法．比方说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的根底，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决．再比方说，学习圆周角定义时，可由前面学习到的圆心角类比得出圆周角的概念……〔设计意图：通过例题的应用，直观地展示定理的应用过程，感受转化思想的具体应用方法；方法归类总结，利于学生灵活应用．〕五、自我测评，稳固新知1．如以以下图，哪个角与∠BAC相等？生答：∠BDC＝∠BAC．2．如以以下图，⊙O的直径AB＝10cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．生解：∵AB为⊙O的直径．∴∠ACB＝90°．又∵∠ABC＝30°，∴AC＝12AB＝12×10＝5(cm)．3．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．根据以以下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？生答：图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．〔设计意图：通过针对性的简单应用，加深理解本课新知，而不是仅仅停留在了解记忆的层面．〕六、分组讨论，合作探究师：下面我们一起来看一个问题：做一做船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如以以下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角〞．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角〞时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角〞时，就能防止触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角〞时，船位于哪个区域？为什么？(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角〞时，船位于哪个区域？为什么？生：就近四人一组，交流讨论，互相提示，感受不同的思维方法、角度．[师生共析]：这是一个有实际背景的问题．数学化以后就是：船在危险区域点在圆内∠α＞∠C船在临界区域点在圆上∠α=∠C船在平安区域点在圆外∠α＜∠C这也是“点与圆的位置关系〞的另一种判定方法；我们可采用反证法进行论证．解：(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角〞∠C时，船位于暗礁区域内(即⊙O内)．理由是：连结BE，假设船在⊙O上，那么有∠α＝∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，那么有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外．因此，船只能位于⊙O内．注意：1.“不在圆内〞包含“在圆上或圆外〞，要分类说明，表达分类思想．2.用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．师：模仿(1)的过程，口述(2)的推理过程．生：先相互口述，再由一名学生代表口述．〔设计意图：以这道题目来探究，使学生感受“学习数学效劳生活〞的目的；对于实际问地抽象，学生需要集思广益，充分讨论，充分质疑，然后通过师生的辩论、展示形成标准、合理的思路，最后进行严谨的表述．〕七、自我小结，归纳提高师：小结一下本节所学内容学生在自己座位上七嘴八舌的总结本课的学习重点及学习过程.八、作业：1.课本P116课后习题.2.助学P244知识梳理、稳固训练1、2、3.3.预习下一课时.本节课引导学生自主学习，通过讨论交流进行新知的总结归纳，教师在学生探究学习过程中尽力成为一个引导者、合作者、组织者，适当放开学生的手、口、脑，使学生充分表现总结的潜力与智慧，表现真实的思维和真实的自我，让数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与开展的过程．成功体验：本节课能充分利用现实生活和数学教材中的素材，激发学生学习的积极性，在得出结论的过程中，鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用的方法，如度量和证明、分类和转化、类比等. 存在问题：本节课容量较大，教学时要注意好节奏.字母表示数【学习目标】课标要求：1.能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式。