一题多解

《数学一题多解的例题》同学们，今天咱们来看看一道有趣的数学题，它可有好多解法呢！题目是这样的：小明有10 块糖，小红的糖比小明多 5 块，问小红有多少块糖？第一种解法很简单，直接用加法，10 + 5 = 15 块，这一下就得出小红有15 块糖啦。

再想想，咱们还可以这样做。

先假设小红和小明的糖一样多，那就是10 块，可小红比小明多5 块，所以10 + 5 = 15 块。

还有一种办法哦，咱们画个图。

画10 个小圆圈代表小明的糖，然后再多画5 个小圆圈，数一数，一共15 个，这也是小红的糖数。

一道题有这么多解法，是不是很有趣呀？《数学一题多解的例题》同学们，咱们来瞧瞧这道能一题多解的数学题。

题目是：一个长方形的长是8 厘米，宽是 5 厘米，求它的面积。

咱们先用最常见的方法，长乘以宽，8×5 = 40 平方厘米，这就求出面积啦。

换个思路想想，咱们把这个长方形分成两个小长方形，先算一个小长方形的面积，再乘以2 ，也能得出40 平方厘米。

还可以这样哦，假设这个长方形的长增加 2 厘米变成10 厘米，宽不变，面积就是10×5 = 50 平方厘米，再减去增加的那部分面积2×5 = 10 平方厘米，还是40 平方厘米。

怎么样，数学是不是很神奇？《数学一题多解的例题》同学们，一起来看看这道好玩的数学题，能有好多不同的解法哟！题目是：一桶水，爸爸用了一半，妈妈用了剩下的一半，还剩下8 升，这桶水原来有多少升？咱们可以从后往前想，妈妈用了剩下的一半后还剩8 升，那妈妈没用之前就是8×2 = 16 升。

爸爸用了一半后剩下16 升，那原来就有16×2 = 32 升。

再换个办法，咱们设这桶水原来有x 升，爸爸用了一半就是0.5x 升，剩下0.5x 升，妈妈又用了剩下的一半就是0.25x 升，最后剩下8 升，列出方程0.25x = 8 ，也能算出x = 32 升。

一道题能想出这么多办法，数学可真有意思！。

小学数学“一题多解”的教学分析“一题多解”是指一个数学题目有不同的解题方法和答案，是数学教育中非常重要的一种教学方式。

小学数学“一题多解”教学分析如下：一、“一题多解”教学有利于培养学生的创造思维在“一题多解”教学中，学生不仅可以通过书本上的标准解法来完成题目，还可以通过自己的思考和探究，寻找不同的解法。

这种过程可以提高学生的创造思维，在以后的学习和生活中也会更有创造力。

例如，在求解一道“30÷5”的命题时，我们可以列出：30÷5=6.但是，在“一题多解”的教学中，学生还可以通过其他方法来求解，比如：30-25=5，5÷5=1，1+6=7，从而得出答案7。

这种方法虽然有些繁琐，但却培养了学生的思维创新能力。

二、“一题多解”教学可以促进学生的沟通和合作能力在“一题多解”的教学中，学生可以互相交流和讨论各自的解法，这样可以促进学生之间的沟通和合作能力。

学生们在分享自己的想法时，可以从彼此的思路中得到启发，感受到思维能力的不同体验，同时也会更加自信。

例如，在求解“58÷29”的一题中，学生可以从不同的角度出发，互相交流得出各种不同的解法，并且在探讨过程中，不但可以加深对题目的理解，还可以激发出学生的合作和沟通能力。

三、“一题多解”教学可以让学生更好地掌握数学知识“一题多解”教学其实是一个更全面的学习过程。

在这个过程中，学生不但可以掌握各种解法，还可以在解题中更深入地理解数学概念和思想。

通过不同的解法，学生可以明确地了解到数学中的各种定律和规律，掌握进一步的知识和技能。

例如，在解决“135÷9”的一道题目时，学生如果使用1+3+5=9的解法，可以更好地理解数学中的数位和概念。

如果使用第二种解法，即在135与9之间增加一位，变为1350÷90，可以很好地理解在数学运算中，有些大数可以通过在后面多加几个零使运算更方便。

因此，“一题多解”的教学方式既有利于培养学生的创造思维和沟通合作能力，又有利于学生更好地掌握数学知识。

五年级数学一题多解哎呀，今天我们来聊聊一个特别有趣的数学问题，别急，听我慢慢道来。

这个问题你一看可能觉得“哎哟，这不是小学五年级的题目吗？怎么这么简单”，越简单的题目，往往越能考验咱们的思维方式。

咱们今天就来聊聊这种“巧妙多解”的题目，看看怎么从不同角度来理解它，咱就不信了，这些题目能难住我们！假设题目是：一个苹果和一个橙子的价格加起来是8元，苹果比橙子贵2元。

苹果和橙子分别多少钱呢？看，题目是不是很简单？看似没什么难度，但如果你认真想想，怎么解这个问题？你可能会发现，原来解法也能五花八门！第一种解法，最直接的就是代数解法。

咱们可以设苹果的价格是x元，橙子的价格就是x2元（因为题目说苹果比橙子贵2元）。

然后呢，苹果和橙子加起来的价格就是8元，我们就可以列个方程：x + (x 2) = 8。

解这个方程，咱们就可以得到x = 5，这样苹果是5元，橙子就是52=3元。

嘿，简单吧！有了这个方程式，一下子就能把答案搞定。

你看，代数的魅力是不是就这么让人觉得神奇？不过，别以为就只有这么一种解法哦！第二种解法，你可以用猜的办法。

咱们知道苹果比橙子贵2元，而且它们的总价是8元。

那你说，假如苹果是6元，橙子应该是62=4元，加起来是10元，超了！那是不是说明苹果不能是6元呢？再来试试5元，苹果5元，橙子3元，加起来是8元，完美匹配！通过这种猜数字的方法，也能很快找到答案。

这是不是有点像小时候玩的“猜谜语”？直觉一下就能点破玄机。

你还可以换一种更加“接地气”的方法，那就是用实际物品来模拟。

比如，你有一个苹果和一个橙子，咱们可以拿出两个小道具，假装它们的价格分别就是8元。

然后告诉自己，苹果贵2元，那我们就试试把这两样物品分开看，试着一边是5元，另一边是3元，合起来是不是正好8元？这样一来，问题就解开了，能不能理解为“实物演绎法”呢？不管你怎么看，结果是一样的，苹果就是5元，橙子就是3元。

如果你还觉得这样太简单，那咱们来一点不一样的思路，来个图形化解法。

七年级上册数学一题多解在数学中，一题多解是非常有价值的学习方法，它不仅能提高学生的解题能力，还能培养学生的思维灵活性和创造性。

七年级上册的数学题目中，很多题目都可以采用多种解法来解答。

以下是对一题多解的简述：一题多解的意义加深理解：通过尝试不同的解题方法，学生可以更加深入地理解数学概念和原理。

培养思维：一题多解有助于培养学生的发散性思维，使他们能够从多个角度看待问题。

提高能力：学生在掌握多种解题方法后，能够更灵活地应对各种数学问题，提高解题效率。

示例：解一元一次方程以解一元一次方程为例，除了常规的移项、合并同类项等方法外，还可以采用以下方法：方法一：直接计算法对于简单的一元一次方程，如 2x=4，可以直接通过除法得到x=2。

方法二：移项法对于形如 3x+2=5x−3 的方程，可以通过移项将未知数集中在方程的一边，然后解出 x 的值。

方法三：合并同类项对于含有多个未知数项的方程，如 2x+3x=5，可以先合并同类项得到 5x=5，然后再解出 x。

方法四：乘除法对于系数不为1的一元一次方程，如 0.5x=2，可以通过乘法将系数化为1，从而解出 x。

实际应用在实际解题过程中，学生可以根据题目的特点和自己的掌握情况，选择最合适的解法。

通过一题多解的训练，学生可以逐渐提高解题的灵活性和准确性，为后续的数学学习打下坚实的基础。

总之，一题多解是数学学习中非常有价值的方法，值得学生在日常学习中多加实践和应用。

在数学中，一题多解是非常有价值的学习方法，它不仅能提高学生的解题能力，还能培养学生的思维灵活性和创造性。

七年级上册的数学题目中，很多题目都可以采用多种解法来解答。

以下是对一题多解的简述：一题多解的意义加深理解：通过尝试不同的解题方法，学生可以更加深入地理解数学概念和原理。

培养思维：一题多解有助于培养学生的发散性思维，使他们能够从多个角度看待问题。

提高能力：学生在掌握多种解题方法后，能够更灵活地应对各种数学问题，提高解题效率。

1.已知y x ,为正实数，且4142=++y x xy ，则y x +的最小值为.解法一：消元因为⎪⎭⎫⎝⎛∈+-=241,04241x x x y ，所以()8644944492449424241≥-+++=++-=+++-+=+-+=+x x x x x x x x x x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。

解法二：因式分解因为4142=++y x xy ，所以()()9424=++y x ，()()()()86242624=-++≥-+++=+y x y x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。

解法三：判别式法设0,>=+t t y x ，则x t y -=代入条件得，()()4142=-++-x t x x t x ，化简得,()041422=-+-+-t x t x ,方程有根的必要条件是0≥∆，()0016-12164-16222≥+=+-=∆t t t t 解得8≥t ，经检验，8=t 时，5,3==y x 可以取得。

2.若将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f 的图象沿x 轴向右平移()0>ϕϕ个单位后所得的图象与()x f 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为.解法一：图象法实线是原函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f ，虚线是新图象，很明显，当实线向右至少平移半个周期2π即可.解法二：特殊值法由图可知，要使得新图象()⎪⎭⎫⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，只要原图象的最高点对应新图象的最低点。

于是取原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 在12π=x 处取得1，此时-112=⎪⎭⎫⎝⎛πg ，即12cos 22sin 12-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛ϕϕππg ，Z k k ∈+=,22ππϕ，Z k k ∈+=,2ππϕ，所以ϕ的最小正值为2π.解法三：函数对称关系若()()x g x f -=，则函数()x f 与()x g 关于x 轴对称.新图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕππ232sin -32sin x x ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32-2sin 32sin πϕπx x 只要Z k k ∈+=,22ππϕ即可，所以ϕ的最小值正值为2π.3.在ABC ∆中，BC =+，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为.解法一：建系，研究动顶点A 的轨迹建立如图坐标系，设a BC =，()y x A a C a B ,,0,2,0,2⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-，=+，所以2226a y a x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，即当顶点位于最远离x 轴位置时，此时高为a ，2212max ==a S ，所以2=a 。

题目：已知实数 \(x, y\) 满足 \(x^2 + y^2 = 1\)，求 \(x + y\) 的最大值。

解法一（三角代换）：
设 \(x = \cos \theta, y = \sin \theta\)，其中 \(\theta \in [0,
2\pi)\)。

则 \(x + y = \cos \theta + \sin \theta\)
\(= \sqrt{2} (\frac{\cos \theta}{\sqrt{2}} + \frac{\sin
\theta}{\sqrt{2}})\)
\(= \sqrt{2} \sin (\theta + \frac{\pi}{4})\)。

因为 \(\sin\) 函数的值域是 \([-1, 1]\)，所以 \(x+y\) 的最大值为
\(\sqrt{2}\)。

解法二（柯西不等式）：
由柯西不等式，我们有
\((x^2 + y^2)(1^2 + 1^2) \geq (x + y)^2\)，即 \(2 \geq (x + y)^2\)。

因此，\(x+y\) 的最大值为 \(\sqrt{2}\)。

解法三（线性规划）：
考虑单位圆 \(x^2 + y^2 = 1\)，目标函数 \(z = x + y\)。

平移目标函数，直到与单位圆相切。

此时，\(z\) 的最大值即为 \(x+y\) 的最
大值。

经计算，最大值为 \(\sqrt{2}\)。

此题通过以上三种解法展示了不同的数学方法在处理同一问题时的应用。

三角代换利用了三角函数的性质，柯西不等式提供了一种简洁的不等式证明方法，而线性规划则通过几何直观来解决问题。

B一题多解之五种方法解一道经典数学题一题多解是我们学习数学的特好方法！通过一题多解，我们可以多角度、多方位地去思考解题的方案，这样不仅能加强知识间的联系，同时也增添新颖性和趣味性，优化我们的思维结构，提升我们的思维能力。

更重要的是，一题多解让我们不仅只满足解题目标的实现，而是让我们拥有了研究学问的态度！例题 如图，在平面直角坐标系中，点A (－1，0)，B (0，3)，直线BC 交坐标轴于B ，C 两点，且∠CBA ＝45°.求直线BC 的解析式．【分析】要求BC 解析式，现在已经知道了B 点坐标，所以只要求到C 点坐标就好了。

这就要用到条件∠CBA ＝45°。

但这个条件如何用呢？这是本题的难点，也是关键点。

考虑到这个角是45°，我们可以尝试做垂线，构造等腰直角三角形。

如图①，作AD ⊥BC 于D ，由A 、B 的坐标可知1OA =，3OB =，根据勾股定理2210AB OA OB =+=，5BD AD ==AC x =，则1OC x =+，25DC x =-255BC x =-，在RT OBC ∆中，根据勾股定理得出222OC OB BC +=，即()222213(55)x x ++=-，解得152x =-（舍去），25x =，求得6OC =，得出C （﹣6，0），然后根据待定系数法即可求得BC 的解析式．解法一：如图①，作AD ⊥BC 于D ，②∵点A （﹣1，0），B （0，3），∴1OA =，3OB =，∴AB =， ∵∠CBA =45°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴BD AD == 设AC x =，则1OC x =+， ∴25DC x =-，∴BC=+255BC x =-+，在152x =-中，222OC OB BC +=2，即()22213x ++=）， 解得x 1=﹣（舍去），25x =，∴5AC =，6OC =，∴C （﹣6，0）， 设直线BC 的解析式为3y kx =+，解得12k =，∴直线BC 的解析式为132y x =+． 【点评】虽然这种解法思路比较清晰，但是用勾股定理得出的方程比较复杂，解方程很繁，很费时，很累。

一题多解的题目可以锻炼人的思维能力和创新能力，同时也可以帮助人更好地理解和掌握知识。

以下是一道一题多解的题目：
题目：一个长方形的周长是20厘米，长是a厘米，则宽是多少厘米？
解题思路1：根据长方形的周长公式，周长= 2 × (长+ 宽)，可以推导出宽= 周长÷ 2 - 长。

将周长代入公式，得到宽= 20 ÷ 2 - a = 10 - a厘米。

解题思路2：根据长方形的性质，长和宽的和等于周长的一半，即长+ 宽= 周长÷ 2。

将周长代入公式，得到a + 宽= 20 ÷ 2，解出宽= 10 - a厘米。

解题思路3：根据长方形的性质，长和宽的差等于周长的一半减去2倍的长或宽。

即长- 宽= 周长÷ 2 - 2 × 长或宽。

由于题目中给出长为a厘米，因此宽= a - (20 ÷ 2 - 2 × a) = a - (10 - 2a) = 3a - 10厘米。

综上所述，这道题的答案可以是10 - a厘米、3a - 10厘米或直接通过周长公式推导出来。

高三数学一题多解一题多变试题及详解答案乐享集团公司，写于2021年6月16日高三一题多解 一题多变题目一题多解 一题多变一原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R,求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤,得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R,求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<,得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R,求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ,则要求t 能取到所有大于0的实数,∴当0=m 时,t 能取到所有大于0的实数当0≠m 时,0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,,求m,n 的值解：由题意,令[]911822,∈+++=x n x mx y ,得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时,Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根∴ 当m y =时,08==mn x - R x ∈ ,也符合题意 一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义,进行分类讨论求解 1当03-≥x 2时,不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒2当03-<x 2时,不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23,即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ,不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23,且小于25,由图得, 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 已知n s 是等比数列的前n 想项和,963s s s ,,成等差数列,求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=,因为963s s s ,,成等差数列,所以9632s s s =+且1≠q 则 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式qqa a s n n 一一11=,q q a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒,所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=解得213一=q 下略变题：已知54=αsin 且α是第二象限角,求αtan解：α是第二象限角,54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒变1：54=αsin ,求αtan解：054>=αsin ,所以α是第一或第二象限角若是第一象限角,则3453==ααtan ,cos若是第二象限角,则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ,所以当 10<<m 时,α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在 变3：已知)(sin 1≤=m m α,求αtan 解：当11一,=m 时,αtan 不存在 当0=m 时, 0=αtan当α时第一、第四象限角时,21mm α一=tan当α是第二、第三象限角时,21mm α一一=tan一题多解 一题多变三题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ,则01yx -=+2x ,由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时,2x -012=+x 1=⇒x , 因此当1=x 时,)()(01x xx x f +=有最小值2,即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ,则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时,即)()(21x f x f ,此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时,)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数,)(x f 在()∞,+1上是增函数,知 1=x时,)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ,当01=xx -时,1=x ,此时)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R,求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R,求实数a 的取值范围 解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R,求实数a 的取值范围 解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数,则 0=a 时,1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时,0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变四题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ,则01yx -=+2x ,由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时,2x -012=+x 1=⇒x , 因此当1=x 时,)()(01x xx x f +=有最小值2,即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性任取210x x ,则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时,即)()(21x f x f ,此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时,)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数,)(x f 在()∞,+1上是增函数,知 1=x时,)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ,当01=xx -时,1=x ,此时)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R,求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R,求实数a 的取值范围 解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R,求实数a 的取值范围 解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数,则0=a 时,1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时,0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变五题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、,椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥,下面结论正确的是——————————————————————— AP 点有两个 BP 点有四个 CP 点不一定存在 DP 点一定不存在 解法一：以21F F 为直径构圆,知：圆的半径b c r =<==43,即圆与椭圆不可能有交点;故选D 解法二：由题知124321)(21max 21=⨯=•⨯=∆b F F S F pF ,而在椭圆中：164tan221==∆πb S F PF ,∴不可能成立,1612>故选D解法三：由题意知当p 点在短轴端点处21PF F <最大,设α221=<PF F ,∴<⇒<=,4,143tan παα此时21PF F <为锐角,与题设矛盾;故选D 解法四：设)sin 4,5(θθcon P ,由,21PF PF ⊥知02121=•⇒⊥PF PF PF PF ,而⇒-=⇒=+-=+-=•970sin 16925)sin 4,35)(sin 4,35(22221θθθθθθθcon con con con PF PF 无解,故选D解法五：设θ=∠21F PF ,假设21PF PF ⊥,则26)4sin(26sin 66||||21≤+=+=+πθθθcon PF PF ,而102||||21==+a PF PF即：2610≤,不可能;故选D解法六：=-=--+=-+=<||||2|||264||||236||||2)|||(|||||36||||21212121222121222121PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF F con 025*******)2||||(321||||3222121≠=-=-+≥-PF PF PF PF ,故212190PF PF PF F ⊥∴≠< 不可能;故选D解法七：设),(00y x P 由焦半径知：∴⊥-=-=+=+=21002001,535||,535||PF PF x ex a PF x ex a PF 2212221||||||F F PF PF =+962550251810)535()535(202022020=⇒=⇒=-++⇒x x x x 而在椭圆中5||0≤x 而325||0=x >8,故不符合题意,故选D解法八.设圆方程为：922=+y x椭圆方程为：1162522=+y x两者联立解方程组得： 不可能故圆922=+y x 与椭圆1162522=+y x 无交点即 1PF 不可能垂直2PF 故选D一题多解 一题多变六一变题：课本P110 写出数列}{n a 的前5项：1-111,14n n a a a =-=- 变题：已知函数1()22,[,1]2f x x x =-+∈,设)(x f 的反函数为)(x g y =,)(,1211a g a a ==)(1-n n a g a =,求数列}{n a 的通项公式;解：由题意得,x x g y 211-)(==,1--n n a a 211=1212()323n n a a -∴-=-,令32-n n a b =,则}{n b 是以31为首项,21-为公比的等比数列,故)()-(1-12131≥=n b n n从而,)(23)-(1-n 1-11232≥×+=+=n b a n n n n 二、一题多解已知函数),[,)(+∞∈++=122x xax x x f 1当21=a 时,求函数)(x f 的最小值；-2若对于任意01>+∞∈)(),,[x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围, 解：1当21=a 时,222212+≥++=xx x f )(,当且仅当22=x 时取等号 由)()(0>+=k xkx x f 性质可知,)(x f 在),[+∞22上是增函数 ),[+∞∈1x ,所以)(x f 在)∞,[+1是增函数,)(x f 在区间)∞,[+1上的最小值为271=)(f2法一：在区间上)∞,[+1,022>++=xax x x f )(恒成立022>++⇔a x x 恒成立设a x x ++=22y ,),[+∞∈1x 11222-)(y a x a x x ++=++=在)∞,[+1上增 所以1=x 时,3min +=a y ,于是当且仅当03min >+=a y 时,函数0>)(x f 恒成立,故-3>a法二：),[,)(+∞∈++=12x xax x f当0≥a 时,函数)(x f 的值恒为正；当0<a 时,函数)(x f 为增函数,故当1=x 时,3min +=a y ,于是当且仅当03min >+=a y 时,函数0>)(x f 恒成,故-3>a法三：在区间)∞,[+1上,022>++=xax x x f )(恒成立022>++⇔a x x 恒成立 x x a 22- -⇔>恒成立,故a 应大于x x 22- -u =,)∞,[∈+1x 时的最大值-3,所以-3>a一题多解 一题多变七原题：:若)()(0112>++=x x x xf ,则=)(x f 分析:用倒数换元解: 令tx xt 11==则, 所以 将t 换成x 得到:变题1：设)(x f 满足关系式,)()(x xf x f 312=+求)(x f 的解析式 解：tx xt 11==则将t 换成x 得到:与原式联立方程组消去)(xf 1得到变题2：已知()()af x f x bx +-=,其中12≠a 试求)(x f 的解析式解：用相反数换元 令,t x x t =-=-代入到原式当中得到： 将t 换成x 得到:与原式联立方程组,得到：变题3：已知22(43)(34)2,af x bf x x a b -+-=≠,试求)(x f 的解析式解：令43x t -=,则232+=t x 将()1 中t 换－t 得到: 与()1联立方程组得到：变题4：已知2()()1,n n af x f x bx a n +-=≠，其中为奇数，求)(x f解：设n n t x t x ==, 代入原式得： 将t 换成—t 得到:n t b t f t af ——=+)()( 与上式联立方程组得到∴ )(x f 的解析式为：()f x ==一题多解题目：设二次函数)(x f 满足，———)()(22x f x f =且函数图象y 轴上的截距为1,被x 轴截的线段长为22,求)(x f 的解析式分析：设二次函数的一般形式)()(02≠++=a c bx ax x f ,然后根据条件求出待定系数a,b,c解法一：设)()(02≠++=a c bx ax x f由，———)()(22x f x f = 得：04=b a — 又2284a ac b =∴— 由题意可知 1=c 解之得：解法二：，———)()(22x f x f =故函数)(x f y =的图象有对称轴2—=x 可设k x a y ++=22)(函数图象与y 轴上的截距为1,则14=+k a又被x 轴截的线段长为22,则2221==d x x Δ—整理得：02=+k a 解之得： 解法三：：，———)()(22x f x f =故 函数)(x f y =的图象有对称轴2—=x ,又2221=x x —∴ )(x y =与x 轴的交点为：∴故可设)(222++=x a y一题多解 一题多变八原题 设()x f y =有反函数)(-1x f y =,又)(2+=x f y 与)1-(-1x f y = 互为反函数,则__________)(-)(-1-1=01f f 教学与测试P 77变题 设()x f y =有反函数)(-1x f y =,又)(1+=x f y 的图象与)(-11+=x f y 的图象关于x y =对称（1） 求)(-)(01f f 及)(-)(-1-101f f 的值；（2） 若b a ,均为整数,请用b a ,表示()()f a f b 及)(-)(-1-1b f a f解1因)(-11+=x f y 的反函数是()1-x f y =,从而()11-)(x f x f =+,于是有()11--)(=+x f x f ,令1=x 得-1(0)-)(=f f 1；同样,)(1+=x f y 得反函数为()1--1x f y =,从而()11-)(-1-1x f x f =+,于是,()11--)(-1-1=+x f x f ．2 -11)(-)(=++x f x f 2,而()11--)(=+x f x f ,故()12-1)-(-)(=+x f x f ,即()22--)(=+x f x f , …()n x f n x f --)(=+,从而()[]()a b a f a b a f b f a f --)-(-)(=+=．同理,()-1-1()f a f b b a -=-．一题多解1．函数2(),(1)(3)f x x bx c f f =++-=,则 A (1)(1)f c f >>- B (1)(1)f c f <<- C (1)(1)c f f >-> D (1)(1)c f f <-<解法1. 由(1)(3)f f -=知()x f 的图象关于1=x 对称,得2b =-而22(1)1(2)11,(1)(-1)(2)(1)3f c c f c c =+-•+=--=+-•-+=+,且31c c c +>>-,因此(1)(1)f c f <<-.解法2.由(1)(3)f f -=知()x f 的图象关于1=x 对称,而)(0f c =,而()x f 在－1,1上递减,易得答案为B ．y-1 0 1x一题多解 一题多变九姜忠杰变 题原题：若在区间y =2a -ax -2x 在区间)3-,1∞-(是减函数,则a 的取值范围是多少变1：若函数y =2a -ax -2x 在)3-,1∞-(上是减函数,则a 的取值范围是多少变2、若函数y =)a -ax -(log 2221x 在)3-,1-(∞上是增函数,则a 的取值范围是多少变3、若函数y =)a -ax -(log 2221x 在)3-,1∞-(上是增函数,且函数的值域为R,则a 的取值范围是多少解： 函数2a -ax -2x y =的减区间为]-2a ，（∞,∴⊆)3-,1∞-(]-2a，（∞∴），∞32-2[+ -变1、设2a -ax -2x u =,则u 在)3-,1∞-(为减函数,且在)3-,1∞-(,u ≥0 所以有3-12a ≤且u 3-10≥,∴a 的取值范围是],[)51)(1-3()5-1)(1-(223+变2：设2a -ax -2x u =,则u 在为减函数,且在]3-,1∞-(,u ≥0- 所以有3-12a ≤且u 3-10≥,∴a 的取值范围是],[)51)(1-3()5-1)(1-(223+变3：设2a -ax -2x u =,则u 在)3-,1∞-(减区间,u 在)3-,1∞-(取到一切正实数3-12a ≤,01=)3-(u ,所以=a 23)5-1)(1-(或2)51)(1-3(+一题多解：设10=+a a lg ,1010=+b b ,求b a +的值;解法一构造函数：设x x x f lg )(+=,则)(lg )(b b b b f b a f 1010101010=+=+==,由于)(x f 在),(+∞0上是单调递增函数,所以b a 10=,故1010=+=+b b a b ; 解法二图象法因为a 是方程10=+x x lg 的一个根,也就是方程x x -lg 10=的一个根b 是方程1010=+x x 的一个根,也就是方程x -1010=x 的一个根令x x g lg )(=,x x h 10=)(,x x -)(10=Φ,在同一坐标系中作出他们的图象,如图所示：a 是方程)()(x x g Φ=的根,即图中OA=ab 是方程)()(x x h Φ=的根,即图中OB=b易得OA+OB=10,所以10=+b a解法三：方程10=+x x lg ,1010=+x x 的根为a ,b 由1010=+x x ,得x x -1010=,∴x)-lg(10=x ,又10=+x x lg 10lgx x)-lg(=+∴10, 1010x )-x (10=即,02=+101010x -x 即一题多解 一题多变十课本P 102 证明：222221212122121)()(≤)(,)()(;)()()(,)(x f x f x x f b ax x x f x f x f x x f b ax x f ++++=+=++=则若则）若（变题：1、如图所示,),,,)((4321=i x f i 是定义在0,1上的四个函数,其中满足性质：“对0,1中的任意的21x x ,,任意1212[0,1],[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλλ∈+-≤+-恒成立”的只有 AA 、 )(),(31x f x fB 、)(2x fC 、)(),(32x f x fD 、)(4x f变题2、定义在R 上的函数)(x f 满足：如果对于任意R x x ∈21,都有222121)()(≤)(x f x f x x f ++ 则称函数)(x f 是R 上的凹函数;已知二次函数),()(02≠∈+=a R a x ax x f 1求证：当0>a 时,函数)(x f 是凹函数；2如果],[10∈x 时,1≤|)(|x f ,试求实数a 的取值范围; 1证明：略2实数a 的取值范围是[2,0)- 二、一题多解不查表计算：5235233lg lg lg lg ++解法一：原式=3lg2lg55)lg lg2lg5-2lg )(lg (lg 22+++52 =523552222lg lg lg lg lg -lg ++ =5522222lg lg lg lg ++ =1522=+)lg (lg解法二：原式=322(lg 2lg5)3lg 2lg5-3lg 2lg 53lg 2lg5+-+=1-3lg 2lg5(lg 2lg51)+- =1解法三：原式=52352523523lg lg )lg (lg lg lg -)lg (lg +++=5235231lg lg lg lg -+ =1解法四：原式=52352352352352352222233lg lg lg lg -lg lg -lg lg lg lg lg lg ++++=)-lg (lg lg lg -)lg (lg 152523523++ =1解法五：原式=15235233×++lg lg lg lg=)lg (lg lg lg lg lg 525235233+×++ =352)lg (lg + =1一题多解 一题多变十一一题多解- 1． 已知212x x f -)(=-1)<x ,求-12()3f －的值解法1 先求反函数 由221xy =－得221y x =－ ∴ y2-1-=x 且0<y故原函数的反函数是x2-1-)(1-=x f )(0<x 解法2从互为反函数的函数的关系看 令32-x -2=12解得2±=x 即 -2)32-(1-=f变题2． 已知)(x f 对于任意实数y x .满足)()()(y f x f y x f +=+,当0>x 时,0<)(x f （1） 求证)-(-)(x f x f = （2） 判断)(x f 的单调性证明 1令,0==y x 得)()()(000f f f += -令-y =x ,得0-x)()()(=+=f x f f 02设21x x <,则)()-()()]-([)(11211212x f x x f x f x x x f x f <+=+= ∴ )(x f 在R 上是单调函数变题 1. 已知函数是定义R 在上的增函数,且满足-)()(x f yxf =)(y f（1） 求)(1f 的值（2） 若,)(16=f 解不等式215<+)(-)(xf x f 解 1 令1==y x ,得∴ 01=)(f -（3） 在)(-)()(y f x f yx f =中,令61==y x ,得 从而261636==)(-)()(f f f又原不等式可化为 )()]([365f x x f <+, 且)(x f 是),(+∞0上的增函数,∴ 原不等式等价于又 0>x 05>+x 解得 40<<x∴ 原不等式的解集为0,4一题多解 一题多变十二考查知识点：函数的对称中心原题：函数)lg(12++=x x y 的图象关于原点对称;解：该函数定义域为R,且))-(-lg()()-(12++=+x x x f x f +)lg(12++x x =))(-lg(1122++++x x x x =01=lg)(-)-(x f x f =∴,∴该函数图像关于原点对称变题1：已知函数)(x f y =满足)(-)-(11+=+x f x f 则)(x f y =的图象的关于),(01对称解： )(-)-(11+=+x f x f ∴)(1+=x f y 为奇函数,即)(1+=x f y 的图象关于原点),(00对称,故)(x f y =的图象关于),(01对称;变题2：已知函数)(x f y =满足2=+)-()(x f x f ,则函数)(x f y =的图象关于),(10对称解：由2=+)-()(x f x f 得,∴]-)([--)-(11x f x f =,)(x f y =－1为奇函数,即)(x f y =－1的图象关于0,0对称,∴)(x f y =的图象关于),(10对称变题3：已知函数)(x f y =满足22=++)()(x f x f ,则)(x f y =的图象关于1,1对称解：令1-t x =,则t x --1=,故由22=++)()(x f x f 得211=++)-()(t f t f ,即)(x f 满足211=++)-()(x f x f ,即]-)([--)-(1111+=+x f x f ,∴11-)(+=x f y 的图象关于原点0,0对称,故)(x f y =的图象关于1,1对称;结论：若函数)(x f y =满足b x c f x a f =++)-()(,则)(x f y =的图象关于()22bc a ,+对称;变题4：已知244+=x xx f )(求证：111=+)-()(x f x f 2指出该函数图象的对称中心并说明理由;3求)()()(100110001000210001f f f +++ 的值;1证明：1242244244244111=+++=+++=+xx x x x x x x f x f --)-()(,得证;- 2解：该函数图象的对称中心为），（2121,由11=+)-()(x f x f 得12121=++)-()(x f x f 即]-)([--)-(21212121+=+x f x f ,∴2121-)(+=x f y 的图象关于原点中心对称,故)(x f y =的图象关于），（2121对称; 3解：11=+)-()(x f x f ,故11001100010011=+)()(f f ,1100199910012=+)()(f f ,……,∴ )()()(100110001000210001f f f +++ =500变题5：求证：二次函数)()(02≠++=a c bx ax x f 的图象没有对称中心;证明：假设),(n m 是)()(02≠++=a c bx ax x f 的图象的对称中心,则对任意R x ∈,都有n x m f x m f 2=++)-()(,即n c x m b x m a c x m b x m a 222=+++++++)-()-()()(恒成立,即有n c bm am ax =+++22恒成立,也就是0=a 且02=++n c bm am -与0≠a 矛盾 所以)()(02≠++=a c bx ax x f 的图象没有对称中心;一题多解 一题多变十三题目：已知函数[)∞∈+++=，）（122x xax x x f 若对任意[)01）＞（，，x f x ∞+∈恒成立,试求实数a 的取值范围;解法一：在区间[)∞+，1上,022>++=xax x x f ）（恒成立022>++⇔a x x 恒成立,设a x x y ++=22在[)∞+，1递增 ,∴当x=1时a y +=3min ,于是当且仅当03>+=a y min 时,函数恒成立,故 a>—3;解法二：[)∞+∈++=，，）（12x xax x f 当a 0≥的值恒为正,当a<0时,函数）（x f 为增函数故当x=1时a x f +=3）（min 于是当且仅当3+a>时恒成立, 故 a>—3;解法三：在区间[)∞+，1上xax x x f ++=22）（恒成立022>++⇔a x x 恒成立x x a 22——>⇔恒成立,故a 应大于[)∞+∈=，，——122x x x u 时的最大值—3, ()112++>∴x a — 当x=1时,取得最大值 —3 。

六年级上册一题多解的题目
甲、乙两个工程队合修一条长2000米的水渠，两队同时从两头开始施工，5天修完。

已知甲队每天修400米，乙队每天修多少米？
这个问题可以用多种方法解决，以下是其中的两种：
方法一：用方程求解
假设乙队每天修 x 米。

根据题目，我们可以建立以下方程：
1.甲队每天修400米，5天就是5 × 400 = 2000米。

2.乙队每天修 x 米，5天就是5 × x 米。

3.两队合修一条长2000米的水渠，所以5 × 400 + 5 × x = 2000。

现在我们要来解这个方程，找出 x 的值。

方法二：直接计算
如果直接用算术方法来解这个问题，我们可以这样想：
1.甲队5天修了5 × 400 = 2000米。

2.乙队5天要修的长度是 2000 米减去甲队修的长度。

3.因此，乙队每天要修的长度是 (2000 - 5 × 400) ÷ 5 米。

现在我们要来计算这个结果：
通过以上两种方法，我们可以得到乙队每天修的长度是：400米。

一题多解：解法一：求导法Step 1：求一阶导数f'(x) = 3x^2 - 3Step 2：令f'(x) = 0，解得x = ±1Step 3：判断极值当x ∈ (-∞, -1)时，f'(x) > 0，函数单调递增；当x ∈ (-1, 1)时，f'(x) < 0，函数单调递减；当x ∈ (1, +∞)时，f'(x) > 0，函数单调递增。

所以，x = -1是极大值点，f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2；x = 1是极小值点，f(1) = 1^3 - 3(1) = -2。

解法二：二次导数法Step 1：求一阶导数f'(x) = 3x^2 - 3Step 2：求二阶导数f''(x) = 6xStep 3：令f''(x) = 0，解得x = 0Step 4：判断极值当x ∈ (-∞, 0)时，f''(x) < 0，函数单调递减；当x ∈ (0, +∞)时，f''(x) > 0，函数单调递增。

所以，x = 0是极小值点，f(0) = 0^3 - 3(0) = 0。

解法三：配方法Step 1：将f(x) = x^3 - 3x写成完全立方形式f(x) = (x - 1)^3 - 1^3 - 3(x - 1)= (x - 1)^3 - 4Step 2：判断极值由于(x - 1)^3为奇次幂，所以当x = 1时，(x - 1)^3取得最小值0，因此f(x)取得最小值-4。

当x = 1时，(x - 1)^3取得最大值0，因此f(x)取得最大值-4。

综上所述，本题的极值为极大值2（x = -1时取得）和极小值-2（x = 1时取得）。

六年级数学一题多解例1：水泥厂原计划12天完成一项任务，由于每天多生产水泥4。

8吨，结果10天就完成了任务，原计划每天生产水泥多少吨？方法一：分析：实际每天比原计划多生产4。

8吨，那么，实际生产10天就比原计划生产10天就多了4。

8×10=48（吨），为什么会比原计划的10天多出48吨呢？是因为原计划生产12天，所以，多出的48吨实际就是原计划(12-10)天生产的吨数。

于是，可以求出原计划每天生产48÷(12-10)=24（吨）。

解答如下：4。

8×10=48（吨）48÷(12-10)=24（吨）答：原计划每天生产水泥24吨。

方法二：分析：把原计划1天生产的吨数看作1份，那么，12天就是生产12份，也就是这项任务一共就是12份。

但实际上，12份任务分在10天就完成了，所以实际每天生产的吨数为12÷10=1。

2份，那么，实际每天比计划每天多出了1。

2-1=0。

2份。

根据题目告知的实际每天多生产水泥4。

8吨可知，这0。

2份就是4。

8吨。

所以，1份就是4。

8÷0。

2=24（吨）。

当然，这里所说的1份，也可看作是单位“1”，道理都是一样的。

我之所以用份数来讲解，主要是为一些学困生考虑，容易接受。

解答如下：1×12÷10=1。

2 【说明：此处不用带单位，因为算式中的1，实际上就是单位“1”】4。

8÷（1。

2-1）=24（吨）答：原计划每天生产水泥24吨。

方法三：分析：可以设原计划每天生产X吨，然后列方程解答。

因为无论是计划还是实际，生产的总量没变。

解答如下：解：设原计划每天生产x吨。

x *12=（x+4。

8）*10x = 24答：原计划每天生产水泥24吨。

综上所述，在小学六年级数学应用题中，有很多题目是可以“一题多解”的。

不过，不同的学生适用不同的方法。

例2：小赵骑摩托车往返Ａ、B两地，平均速度为每小时60千米。

如果去时每小时55千米，要按时回到A地。

一题多解班级_____学号________姓名_________1. 一件商品，原价是300元。

现在打九折销售，降价几元？方法一： 方法二：2. 小明读一本300页故事书，第一周看了52，第二周看了31，两周共看了几页？ 方法一： 方法二：3. 小明读一本300页故事书，第一周看了52，第二周看了31。

还剩下几页没看？ 方法一： 方法二：4. 小明读一本故事书，第一周看了52，第二周看了31。

第一周比第二周多看了20页。

这本故事书有多少页？方法一： 方法二：5. 小明读一本故事书，第一周看了52，第二周看了31。

两周一共看了220页。

这本故事书有多少页？方法一： 方法二：6. 姐姐和弟弟都爱好集邮票，两人一共集了96张邮票。

姐姐集的邮票是弟弟的3倍，姐姐和弟弟分别集了多少张邮票？方法一： 方法二：7. 甲乙两辆车同时从相距500千米的A 、B 两地出发, 经过2.5小时后两车相遇。

已知甲车每小时行60千米，乙车每小时行多少千米？方法一： 方法二：8. 做一个长89厘米，宽65厘米，高43厘米的长方体框架，至少需要多长的铁丝？（接头处忽略不计）方法一： 方法二：9. 把一个长10厘米，高和宽都是5厘米的长方体分割成两个大小相等的正方体，表面积比原来增加了多少平方厘米？方法一： 方法二：10. 把一块长30厘米，宽20厘米的长方体铁皮，在四只角上剪掉4个边长是5厘米的正方形，折成一个无盖盒子。

表面积是多少立方厘米？方法一： 方法二：11. *有一个长方体水箱，从里面量得长是80厘米，宽是50厘米，高是60厘米，此时水箱中水深是20厘米。

如果在水箱中放入一个棱长是40厘米的正方体铁块，铁块有一部分没有被水浸没。

这时水箱中的水深多少厘米？（正方体铁块的一个面与水箱底面紧贴）方法一： 方法二：。