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高中数学必修二数列数列总知识点
1. 数列的定义与概念
- 数列是指由一系列按照一定规律排列的数构成的序列。
- 数列中的每个数称为项，用an表示第n项。
- 数列按照一定规律排列的规律称为通项公式，用an = f(n)表示。
- 数列的表示方法有通项公式、递推公式和图形表示等。
2. 等差数列
- 等差数列是指数列中相邻两项之间差相等的数列。
- 等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d 为公差，n为项数。
- 等差数列的前n项和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
3. 等比数列
- 等比数列是指数列中相邻两项之间比相等的数列。
- 等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r 为公比，n为项数。
- 等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，当|r| <
1时成立。
4. 通项公式的推导
- 对于一些特定的数列，可以通过观察规律或利用数学方法推
导出通项公式。
- 例如，斐波那契数列的通项公式为an = (φ^n - (1 - φ)^n) / √5，其中φ为黄金分割比。
5. 常见数列的性质与应用
- 数列的性质包括单调性、有界性、极限等，这些性质在数学
应用中起到重要作用。
- 等差数列和等差中项数列常用于计算物体运动的位置和速度
等问题。
- 等比数列常用于计算复利、投资等涉及指数增长的问题。
以上是高中数学必修二数列的总知识点，希望对你的研究有所
帮助！。
高中数列知识点总结数列作为高中数学的重要内容之一，无论在中学学习还是高中阶段，都是数学的重点和难点之一。
掌握好数列的知识，对于理解数学的思维方式和培养数学思维能力具有重要意义。
本文将对高中数列知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握数列的相关概念和性质。
一、数列的定义和性质1. 数列的定义数列是按照一定规律排列的一系列数，每一个数称为数列的项，用字母an表示。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
2. 数列的分类数列可以按照增长规律或者变化规律进行分类，常见的数列包括等差数列、等比数列、递推数列等。
3. 数列的通项公式对于某个数列，如果能够找到一种规律，使得能够通过该规律算出数列的任意一项，那么这个规律就被称为数列的通项公式。
通项公式对于解题和研究数列的性质非常重要。
二、等差数列1. 等差数列的定义和性质等差数列是指数列中任意两项之差相等的数列。
等差数列的性质包括公差、通项公式、前n项和等等。
2. 等差数列的通项公式和求和公式对于等差数列，我们可以通过找到首项和公差，来求得数列的通项公式和求和公式。
通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
求和公式为：Sn = (n/2) * (a1 + an)。
3. 等差数列的应用等差数列在实际生活中有广泛应用。
例如，用来描述日常生活中时间的变化、估算财务增长的规律、计算物理运动中的位置和速度等。
三、等比数列1. 等比数列的定义和性质等比数列是指数列中任意两项之比相等的数列。
等比数列的性质包括公比、通项公式、前n项和等等。
2. 等比数列的通项公式和求和公式对于等比数列，我们可以通过找到首项和公比，来求得数列的通项公式和求和公式。
通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
求和公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
3. 等比数列的应用等比数列在实际生活中也有广泛应用。
例如，在金融领域中，可以用来计算利息的变化规律，或者计算复利的增长；在生物学中，可以用来描述细胞分裂的进程，或者生物群体的数量变化等。
高二数学：数列(讲义)
数列是数学中极为重要的一个概念，它通常用来描述一组事物的性质，是数学上组织一系列数的有效方式。
它可以概括出许多数学性质，例如等差数列的等差性质。
数学中使用数列的许多应用，几乎无处不能被见，科学计算和大数据分析更是大量使用数列来完成商业活动中的任务。
通常情况下，数列可分为两类：等差数列和等比数列。
等差数列，又称等差级数，即每两项之差（公差）相等。
它大多数情况下是由某个初始数（首项）和某个常量公差组成的，每一个数的值都是比前面数要大的。
通常我们只需记录着数列的首项和公差就可以完成所有等差数列的计算。
等差数列的构成要素有三个：首项、公差、项数，因此，它又可分为等差等比数列。
许多数学性质可以作为数列的研究内容，如求和、等比数列的累加积、关于每一项的表达式以及关于每一项之和的表达式等。
数列在多方面涉及到数学研究，也提供了许多应用，例如计算机编程中使用数列来实现，统计学中使用数列推断，物理学中描述物质运动规律也可使用数列，数学中常涉及到数列的比较、计算等。
几乎在所有数学应用中，都可以看到数列的存在。
第一章 数列最新课程标准1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是一种特殊函数．学科核心素养1.了解数列的相关概念．(数学抽象)2．了解数列的函数特性、数列的通项公式．(数学抽象)3．能根据数列的前几项写出数列的通项公式．(逻辑推理、数学建模)1.1 数列的概念[教材要点]要点一 数列的有关概念及表示方法1．数列的有关概念(1)数列：按________排列的一列数叫作数列．(2)数列的项：数列中的________叫作这个数列的项． 2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…或简记为数列{a n }，其中a 1是数列的第1项，也叫数列的________；a n 是数列的第n 项，也叫数列的________．状元随笔 (1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．要点二数列的分类根据数列的项数可以将数列分为两类： (1)有穷数列：项数________的数列； (2)无穷数列：项数________的数列．状元随笔 有穷数列与无穷数列的表示方法：(1)有穷数列一般表示为a 1，a 2，a 3，…，a m ；无穷数列一般表示为a 1，a 2，a 3，…，a m ，…. (2)对于有穷数列，要把末项(即最后一项)写出来，对于无穷数列，不存在最后一项，要用“…”结尾.要点三 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项________与________之间的函数关系可以用一个式子表示成________，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．状元随笔 (1)数列的通项公式必须适合数列中的任意一项．(2)已知通项公式a n ＝f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n ，就可以求出这个数列的各项．(3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如a n ＝(－1)n 可以写成a n ＝(－1)n ＋2，还可以写成a n ＝{−1，n =2k −1，1，n =2k(k ∈N *)，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列．(4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1){0，1，2，3，4}是有穷数列．( )(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一数列．( ) (3)所有自然数能构成数列．( )(4)数列1，3，5，7，…，2n ＋1，…的通项公式是a n ＝2n ＋1.( ) 2．(多选题)数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以为( )A ．a n ＝(－1)n －1 B ．a n ＝(－1)n C ．a n ＝cos n π D ．a n ＝sin n π3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋1，则122是该数列的( ) A ．第9项 B ．第10项 C ．第11项 D ．第12项4．数列1，2，√7，√10，√13，…中的第26项为________．题型一 数列的概念与分类例1 (多选题)下列说法正确的是( ) A ．数列4，7，3，4的首项是4B ．数列{a n }中，若a 1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C ．数列1，2，3，…就是数列{n }D ．数列中的项不能是三角形方法归纳 正确理解数列及相关概念，注意以下几点：(1)数列与数集不同，数集具有互异性和无序性，而数列中各项可以相同，但与顺序有关；(2)数列a 1，a 2，…，a n ，…可以记为{a n }，但不能记作{a 1，a 2，…，a n ，…}.跟踪训练1 (多选题)下列说法正确的是( ) A ．数列{2n ＋1}的第5项是10B ．数列1，12，13，…，1n ，…可以记为{1n }C ．数列3，5，7与数列5，7，3是相同的数列D ．数列1，2，3，4，5，…，n ，…是无穷数列 题型二 根据数列的前几项写出通项公式例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数： (1)－1，12，－13，14；(2)√3，3，√15，√21；(3)0.9，0.99，0.999，0.999 9； (4)3，5，3，5.方法归纳(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．(2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式： (1)0，3，8，15，24，…； (2)1，－3，5，－7，9，…； (3)112，223，334，445，…；(4)1，11，111，1 111，….题型三数列通项公式的简单应用例3已知数列{a n}的通项公式为a n＝3n2－28n.(1)写出此数列的第4项和第6项．(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？如果是，应是哪一项？变式探究本例中，数列{a n}中有多少个负数项？方法归纳(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．.跟踪训练3已知数列{a n}的通项公式为a n＝4n2+3n(1)写出数列的第4项和第6项．(2)试问1是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．10易错辨析忽略了相邻正方形的公共边而致误例4图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为________________________________________________________________________．解析：因为每两个相邻的正方形均有1条公共边，所以第二个图形的火柴棒根数为2×3＋1.第三个图形的火柴棒根数为3×3＋1.……第n个图形的火柴棒根数为3n＋1.答案：3n＋1[课堂十分钟]1．数列0，－13，12，－35，23，…的通项公式为()A．a n＝(－1)n·n−2n+1B．a n＝(－1)n＋1·n−1n+2C．a n＝(－1)n－1·n−1n+1D．a n＝(－1)n－1·n−2n+22．在数列－1，0，19，18，…，n−2n2，…中0.08是它的()A．第100项B．第12项C．第10项D．第8项3．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－n，则下列结论正确的是() A．第2项a2＝0 B．0不是数列中的一项C．21是数列中的一项D．42是数列中的一项4．若数列{a n}的通项公式是a n＝3－2n，则a2n＝________，a2a3＝________．5．写出数列a n＝2nn+1的前5项，并用图象表示出来．第一章数列§1数列的概念及其函数特性1．1数列的概念新知初探·课前预习要点一1．(1)一定次序(2)每一个数2．首项通项要点二(1)有限(2)无限要点三a n n a n＝f(n)[基础自测]1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．答案：BC3．解析：由a n＝n2＋1＝122，得n2＝121.∴n＝11.故选C.答案：C4．解析：因为a1＝1＝√1，a2＝2＝√4，a3＝√7，a4＝√10，a5＝√13，所以a n＝√3n−2，所以a26＝√3×26−2＝√76＝2√19.答案：2√19题型探究·课堂解透题型一例1解析：根据数列的相关概念，数列4，7，3，4的第1项就是首项4，A正确；同一个数在数列中可以重复出现，B 错误；根据数列的相关概念可知C 正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，D 正确．故选ACD. 答案：ACD跟踪训练1 解析：当n ＝5时，a 5＝11，A 错误；B 正确；因为数列是按一定次序排成的一列数，C 错误；D 正确．故选BD. 答案：BD 题型二例2 解析：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为a n ＝(－1)n ·1n (n ∈N ＋)．(2)数列可化为√3，√9，√15，√21，即√3×1，√3×3，√3×5，√3×7，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n －1，故原数列的一个通项公式为a n ＝√3(2n −1)＝√6n −3(n ∈N ＋)．(3)原数列可变形为(1−110)，(1−1102)，(1−1103)，(1−1104)，…，故数列的一个通项公式为a n ＝1－110n (n ∈N ＋)．(4)数列给出前4项，其中正奇数项为3，正偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为a n ＝{3 (n 为正奇数)5 (n 为正偶数).此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为3+52＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为a n ＝4＋(－1)n (n ∈N ＋)．跟踪训练2 解析：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1(n ∈N *)．(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)(n ∈N *)．(3)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为nn+1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋n n+1＝n 2+2n n+1(n ∈N *)．(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9，99，999，9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1，所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1)(n ∈N *).题型三例3 解析：(1)a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)－49是该数列的一项，68不是该数列的项． 由3n 2－28n ＝－49， 解得n ＝7或n ＝73(舍去)， 所以－49是该数列的第7项；由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，均不合题意， 所以68不是该数列的项．变式探究 解析：a n ＝3n 2－28n ＝n (3n －28)， 令a n <0，则0<n <283，又n ∈N ＋，所以n ＝1，2，3，4，5，6，7，8，9. 即数列{a n }中共有9个负数项． 跟踪训练3 解析：(1)因为a n ＝4n 2+3n ，所以a 4＝442+3×4＝17，a 6＝462+3×6＝227. (2)110是该数列的项，令4n 2+3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8，注意到n ∈N *， 故将n ＝－8舍去，所以110是该数列的第5项．[课堂十分钟]1．解析：当n ＝1时，排除A 、D ，当n ＝2时，排除B ，故选C. 答案：C2．解析：由题意知，a n ＝n−2n 2. 令a n ＝0.08，即n−2n 2＝8100，所以n ＝10或n ＝52(舍去)，故选C. 答案：C3．解析：令n 2－n ＝42，解得n ＝7(n ＝－6舍去)．故42是数列的第7项，其余选项均错．故选D. 答案：D4．解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项． 因为a n ＝3－2n ， 所以a 2n ＝3－22n ＝3－4n ，a 2a 3＝3−223−23＝15.答案：3－4n 155．解析：数列{a n }的前5项依次是1，43，32，85，53.图象如图．。
