2021年全国高考理科数学试题分类汇编：不等式选讲

2021年高考数学分项汇编专题07 不等式（含解析）文一．基础题组1. 【xx课标全国Ⅱ，文3】设x，y满足约束条件则z＝2x－3y的最小值是( )．A．－7 B．－6 C．－5 D．－3【答案】：B2. 【xx全国新课标，文5】已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是( )A．(,2) B．(0,2)C．(,2) D．(0,)【答案】A3. 【xx全国2，文2】不等式＜0的解集为( )A．{x|－2＜x＜3} B．{x|x＜－2}C．{x|x＜－2或x＞3} D．{x|x＞3}【答案】：A【解析】原不等式等价于(x－3)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜3.4. 【xx全国2，文5】若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】：C5. 【xx全国2，文5】不等式＞0的解集是( )(A)(-3,2) (B)(2,+∞) (C) (-∞,-3)∪(2,+∞) (D) (-∞,-2)∪(3,+∞)【答案】：C【解析】 .二．能力题组1. 【xx全国2，文9】设，满足约束条件则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故只需将直线经过可行域，尽可能平移到过A点时，取到最大值．，得，所以．xyx-3y+3=0x+y-1=0x-y-1=0–1–2–3–41234–1–2–3–41234AO2. 【xx全国新课标，文9】设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}等于( ) A．{x|x＜－2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜－2或x＞2}【答案】：B3. 【xx全国3，文16】已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是【答案】12三．拔高题组1. 【xx全国新课标，文11】当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是( )A．(0，) B．(，1)C．(1，) D．(，2)【答案】 B2. 【xx全国新课标，文11】已知ABCD的三个顶点为A(－1,2)，B(3,4)，C(4，－2)，点(x，y)在ABCD的内部，则z＝2x－5y的取值范围是( )A．(－14,16) B．(－14,20) C．(－12,18) D．(－12,20) 【答案】：B-`;35306 89EA 觪-31372 7A8C 窌 q^] 38346 95CA 闊。

不等式选讲知识集结知识元绝对值不等式的解法不等式的证明知识讲解1．不等式的证明【知识点的知识】证明不等式的基本方法：1、比较法：（1）作差比较法①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．（2）作商比较法①理论依据：b＞0，＞1⇒a＞b；b＜0，＜1⇒a＜b；②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2、综合法（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．3、分析法（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．4、放缩法（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．常用的放缩技巧有：例题精讲不等式的证明例1.（2021春∙中山市期末）求证：【答案】详见解析【解析】题干解析:证明：，即证明，左右两边同时平方，左边=，右边=，则左边>右边即所以。

2021年高考数学分项汇编专题7 不等式（含解析）理一．基础题组1. 【xx全国卷Ⅰ，理3】不等式||＜1的解集为…（）A.{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B.{x|0＜x＜1}C.{x|-1＜x＜0}D.{x|x＜0}【答案】：D2. 【xx全国，理14】设x，y满足约束条件130,x yx yxy≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩－－，＋，，，则z＝x－2y的取值范围为__________．【答案】：[－3,3］3. 【xx全国1，理13】若满足约束条件则的最大值为．【答案】：9．4. 【xx全国，理14】设，式中变量x、y满足下列条件则z的最大值为。

【答案】115. 【xx 全国1，理13】若正整数m 满足)3010.02.(lg ________,102105121≈=<<-m mm 则【答案】155二．能力题组1. 【xx 课标Ⅰ，理9】不等式组的解集为D,有下面四个命题：， ，，其中的真命题是（ ）A ．B ． C． D ．【答案】B x y–1–2–3–41234–1–2–3–41234O A2. 【xx 全国1，理9】在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】B3. 【xx高考新课标1，理15】若满足约束条件，则的最大值为 .【答案】3【考点定位】线性规划解法三．拔高题组1. 【2011全国新课标，理13】若变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为__________．【答案】-634017 84E1 蓡36611 8F03 較22408 5788 垈25533 63BD 掽32762 7FFA 翺21068 524C 剌L]L26426 673A 机 36249 8D99 趙:31784 7C28 簨31869 7C7D 籽。

智才艺州攀枝花市创界学校2021年普通高等招生全国统一考试数学分类汇编第六章不等式一、选择题〔一共15题〕1．〔卷〕不等式112x<的解集是〔〕A．(,2)-∞B．(2,)+∞C．(0,2)D．(,2)-∞⋃(2,)+∞解：由112x<得：11222xx x--=<，即(2)0x x-<，应选D。

2．〔卷〕设a、b、c是互不相等的正数，那么以下等式中不恒成立的是〔A〕||||||cbcaba-+-≤-〔B〕aaaa1122+≥+〔C〕21||≥-+-baba〔D〕aaaa-+≤+-+213【思路点拨】此题主要考察.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。

【正确解答】运用排除法，C选项21≥-+-baba，当a-b<0时不成立。

【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件假设)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈baabbaba假设a,b是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+baabba3．〔卷〕假设a0，b0，那么不等式－b 1x a等价于〔〕A ．1b－x 0或者0x1a B.－1ax1b-1a 或者x 1b1b －或者x 1a解：应选D 4．〔卷〕设f(x)=1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩那么不等式f(x)>2的解集为(A)〔1，2〕⋃〔3，+∞〕(B)〔10，+∞〕(C)〔1，2〕⋃〔10，+∞〕(D)〔1，2〕解：令12x e-2〔x 2〕，解得1x2。

令23log (1)x -2〔x 2〕解得x 〔10，+∞〕选C5．(卷)不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y 恒成立,那么正实数a 的最小值为() A.2B.4 C.6解析：不等式(x+y)(1a x y +)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，那么1y axa x y +++≥21a a ++≥9，a 2a ≤－4(舍去)，所以正实数a 的最小值为4，选B ．6．(卷)函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),假设x1<x2,x1+x2=1－a,那么() A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)>f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定 解析：函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3)，二次函数的图象开口向上，对称轴为1x=-，0<a<3，∴x1+x2=1－a ∈(－2，1)，x1与x2的中点在(－1，21)之间，x1<x2，∴x2到对称轴的间隔大于x1到对称轴的间隔，∴f(x1)<f(x2)，选A ．7．(卷)函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),假设x1<x2,x1+x2=0,那么()11bxb 001xx ba 11ax xa 0x x 1x 0x x bx 1011bx xx 1ax 01baxx 0a⎧⎧⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎪⇔⇔⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩＋＋－－－或－（＋）－或（－）或A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)>f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定解析：函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为1x=-，a>0，∴x1+x2=0，x1与x2的中点为0，x1<x2，∴x2到对称轴的间隔大于x1到对称轴的间隔，∴f(x1)<f(x2)，选A．8．(卷)设x,y为正数,那么(x+y)(+)的最小值为()A.6B.9C.12解析：x，y为正数，(x+y)(14x y+)≥414y xx y+++≥9，选B.9．(卷)假设关于x的不等式xk)1(2+≤4k＋4的解集是M，那么对任意实常数k，总有〔〕〔A〕2∈M，0∈M；〔B〕2∉M，0∉M；〔C〕2∈M，0∉M；〔D〕2∉M，0∈M．解：选〔A〕方法1：代入判断法，将2,0x x==分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R；方法2：求出不等式的解集：xk)1(2+≤4k＋4422min222455(1)2[(1)2]2111kx k x kk k k+⇒≤=++-⇒≤++-=+++；10．(卷)假设0,0a b<>，那么，以下不等式中正确的选项是〔〕〔A〕11a b<〔B<〔C〕22a b<〔D〕||||a b>解：假设0,0a b<>，那么110,0a b<>，∴11a b<，选A.11．〔卷〕“a＞b＞c〞是“ab＜222ba+〞的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不允分也不必要条件【考点分析】此题考察平方不等式和充要条件，根底题。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）试题一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|0<x<4}，，则M∩N=()A. B. {x|13⩽x<4} C. D. {x|0<x⩽5} 2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6％B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10％C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知，则A. −1−32i B. C. D. −32−i4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(√1010≈1.259)()A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.65.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60∘,|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为( )A. √72B. √132C. √7D. √136.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A−EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是( )A. B. C. D.7.等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n设甲：q>0，乙：{S n}是递增数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠程朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程则量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′,B′,C′满足∠A′C′B′=45∘,∠A′B′C′=60∘.由C点测得B点的仰角为15∘,BB′与CC′的差为100；由B 点测得A点的仰角为45∘，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′−CC′约为(√3≈1.732)( )A. 346B. 373C. 446D. 4739.若α∈(0,π2),tan2α=cosα2−sinα,则tanα=( )A. √1515B. √55C. √53D. √15310.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )A. 13B. 25C. 23D. 4511.已知A，B，C是半径为1的球О的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O−ABC的体积为( )A. √212B. √312C. √24D. √3412.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6，则f(92)=( )A. −94B. −32C. 74D. 52二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为_______________．14.已知向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(1,0)，若a⃗⊥c⃗，则k=______．15.已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为______．16.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则满足条件(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))>0的最小正整数x为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99％的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818.已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是等差数列；②数列{√S n}是等差数列；③a2=3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．19.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形．AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.(1)证明：BF⊥DE；(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？20.抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x=1交C于P，Q两点，且已知点，且⊙M与L相切．(1)求C，⊙M的方程；(2)设是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．21.已知且a≠1，函数．(1)当时，求f(x)的单调区间；(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．22. [选修4−4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2√2cosθ.(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1,0),M 为C 上的动点，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点．23. [选修4−5：不等式选讲]23、已知函数f(x)=|x −2|,g(x)=|2x +3|−|2x −1|. (1)画出y =f(x)和y =g(x)的图象； (2)若f(x +a)≥g(x)，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】简单的集合交并补运算，直接求解即可．【解析】由已知，结合交集的概念，可得M∩N={x|13⩽x<4}；故选．2.【答案】C【解析】【分析】考查统计模块中的频率分布直方图，学生掌握频率分布直方图的相关概念和知识点，此题不难求解．【解析】对于答案A，由频率分布直方图，可得0.02+0.04= 0.06= 6％，故A正确；对于答案B，由频率分布直方图，可得0.02×3+0.04=0.10=10％，故B正确；对于答案D，由频率分布直方图，可得0.10+0.14+0.20×2=0.64=64％，故D正确；故选C．3.【答案】B【解析】【分析】复数模块，两边同除以(1−i)2后，再根据共轭复数定义，直接化简计算，难度不大．【解析】由(1−i)2z=3+2i，得z=3+2i(1−i)2=3+2i−2i=−1+32i，．4.【答案】C【解析】【分析】题干新颖，但考查的并不难，考查了指数和对数之间的互化，属于基础题．【解析】将L=4.9代入L=5+lg V，可得lg V=−0.1=−110．故V=10−110=√1010≈11.529≈0.8．故选．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线离心率的求法，求解过程中用到了余弦定理，综合性较强，属于中等偏难一点题，在前6题中出现，是一个不小的挑战．【解析】因为|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， |PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a ，所以|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3a , |PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ． 在ΔF 1PF 2中，． 可得(2c)2=(3a)2+a 2−2×3a ×a ×cos60∘,即e =c =√7. 故选A.6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三视图，但不是由三视图还原几何体，相对而言难度不是特别大，只要做出几何体直观图，便可直接画出侧视图．【解析】正视图与侧视图的高相等，能看见的用实线． 故选D ．7.【答案】B【解析】【分析】本题是一道综合题，考查了数列和简易逻辑，简易逻辑考查的是充分必要条件，数列考查的是等比数列的单调性，考查点都不难．【解析】a =−1，q =2时，{ S n }是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；若{ S n }是递增数列，则a n = S n − S n−1>0，可以推出q >0，故甲是乙的必要条件． 故选 B ．8.【答案】B【解析】【分析】本题属于解三角形的范畴，题干复杂，做题时需要能提炼出有用信息，结合图去求解即可，整体上不失为一道好题，近年来大量的高考题和生活和文化相结合，是高考的命题方向，这道题很好的切合了最近几年的命题方向．【解析】过点C 作BB′垂线，交BB′于点M ，过点B 作AA′垂线，交AA′于点N ，设B′C′=CM =m,A′B′=BN =n.在ΔA′B′C′中，msin75=nsin45，在ΔCBM 中，msin75∘=100sin15∘， 联立两式求得n =√3−1≈273．可得A 、C 两点到水平面的高度差AA′−CC′约为273+100=373．故选B.9.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数，做这道题需要用到弦切互化的技巧，以及同角三角函数关系的知识点，有一定的综合性，难度中等．【解析】由tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα.化简可得,sinα=14,tanα=√1515. 故选A.10.【答案】C【解析】【分析】本题考查的排列组合和概率，排列组合考察的是插空法，插空法是排列组合问题的基础求解方法，作为高考题非常合适，考察了学生的基本功．【解析】由将4个1和2个0随机排成一行共有C 62种，先将4个1全排列，再将2个0用插空法共有C 52种，则题目所求的概率为P =C 52C 62=23.故选C.11.【答案】A【解析】【分析】这道题考查了球体几何和三棱锥体积的求解，求出球心到平面的距离，此题迎刃而解．【解析】记▵ABC 的外接圆的圆心为O 1.由于AC⊥ BC，又球的半径为1，且AB=√2，OC=√22；所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2，OO1=√22.于是OO12+O1C2=OC2，所以OO1⊥O1C，OO1⊥AB.进而OO1⊥平面ABC.所以V O−ABC=13×S ABC×OO1=13×12×1×1×√22=√212.故选A.12.【答案】A【解析】【分析】作为选择压轴题，这道题考查的是函数奇偶性和对称性、周期性的综合应用，有一定的难度，但求出的周期后，此题做的就基本差不多了，但整体而言，作为选择压轴题，还是很不错的．【解析】因为f(x+1)为奇函数，所以f(1)=0，即a+ b=0，所以b=− a.又f(0)= f(−1+1)=− f(1+1)=− f(2)=−4 a− b=−3 a.f(3)= f(1+2)= f(−1+2)=f(1)=0，由f(0)+ f(3)=6，得a=−2.f(92)=f(2+52)=f(2−52)=f(−12)=f(−32+1)=−f(32+1)=−f(12+2)=−f(−12+2)=−f(32)=−94a−b=−54a=52.故选A.13.【答案】【答案】y=2x+1．【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，是基础题．先根据函数解析式，得到导函数，再得到切线的斜率，即可得到结果．【解析】因为y=1−2x+2=xx+2，所以y′=x+2−x(x+2)2=2(x+2)2，所以曲线在点(−1,−1)处的切线斜率为2，所以所求切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.14.【答案】【答案】−32．【解析】【分析】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查计算能力．利用已知向量表示c⃗=k a⃗+b⃗ ，通过a⃗⊥c⃗，向量的数量积为0，求解即可．【解析】a⃗=(1,1)，b⃗ =(1,2)，c⃗=k a⃗+b⃗ =(k+1,k+2)，a⃗⊥c⃗，则k+1+k+2=0，解得k=−32.故答案为−32.15.【答案】【答案】16．【解析】【分析】本题考查椭圆方程应用，考查椭圆的性质，属基础题【解析】根据题意，可得|OP|=3，设P(x1,y1)，所以x12+y12=9.又P在椭圆上，联立两方程，可求得|y1|=163，代入面积公式，即可求得答案解：因为P，Q是椭圆上关于原点对称的两个点，且|PQ|=6，所以|OP|=3，设P(x1,y1)，所以x12+y12=9，又P在椭圆上，所以x1225+y1216=1，联立方程{x12+y12=9x1225+y1216，可得y12=2569，即|y1|=163，所以▵PF1F2的面积S=12⋅|F1F2|⋅|y1|=12×6×163=16.故答案为16.16.【答案】【答案】2．【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图像和性质以及相关应用，需要由图求出正弦型函数的解析式，然后解一个一元二次不等式，得到的范围，最后求解的范围．【解析】34T=13π12−π3=34π,可得T=π,φ=2.将x=π3代入f(x)=cos(2x+φ),得cos(2π3+φ)=0.故2π3+φ=π2,即φ=−π6.所以f(x)=cos(2x−π6).保存编辑所以题目条件可转化为(f(x)−1)(f(x)+√3)>0.等价于f(x)>1,f(x)<−√3.从图像可以看出:x∈(π2,3π4).故答案为x=2.17.【答案】【答案】(1)P1=150200=0.75,P2=120200=0.6；(2)没有．【解析】【分析】统计和概率作为第一道大题，难度不大，第一问由表格数据和频率计算公式可以直接得到，非常简单，送分题，第二问考查卡方分布，也是直接套公式，这套卷子的第一道大题可以说是非常简单了．【解析】(1)设甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分P1、P2；则有P1=150200=0.75,P2=120200=0.6.(2)根据列联表中数据，可得K²的观测值；K2=400(150×80−120×50)2200×200×270×130=40039≈10.256.因为10.256<10.828，所以没有99％的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．18.【答案】【答案】▵.选择条件①和③．▵.选择条件①和②．▵.选择条件②和③．【解析】【解析】Ⅰ.选择条件①和③．数列{a n}是等差数列，a2=3a1，设公差为d.则a2=3a1=a1+d，即d=2a1.因为S n=na1+n(n−1)2d=n2a1，所以√n=n√a1(a1>0).故{√S n}是等差数列．Ⅱ.选择条件①和②．已知数列{a n}是等差数列，数列{√S n}是等差数列；则a n=a1+(n−1)d，S n=na1+n(n−1)2d=12n2d+(a1−d2)n.因为数列{√S n}是等差数列，则a1=d2，所以a2=a1+d=3a1.Ⅲ.选择条件②和③．已知数列{√S n}是等差数列，a2=3a1.因为s2=a1+a2=4a1，所以√s2−√s1=√4a1−√a1=√a1(a1>0)．即{√S n}的公差d等于√a1，所以√s n=√a1+(n−1)d=n√a1．所以S n=n2a1，即数列{a n}是等差数列．19.【答案】【答案】(1)见解析；(2)√33.【解析】【分析】立体几何这道大题，以直三棱柱作为载体，第一问考查了线线垂直的证明，由线面垂直可以轻松得到线线垂直，第二问考查了二面角，建立空间直角坐标系，用空间向量去求解，求解的时候注意证明才能建立坐标系，整体而言，立体几何这道题比较常规．【解析】(1)因为E,F 是直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中AC 和CC 1的中点,且AB =BC =2;所以CF =l,BF =√5.，，于是AF =3，所以AC =2√2，由AB 2+BC 2=AC 2，；于是,A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1). 设B 1D =m,则D(m,0,2).于是,BF =(0,2,1),DE =(1−m,1,−2).由BF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，；(2)易知平面BB 1C 1C 的法向量为n ⃗ 1=(1,0,0)，而DE =(1−m,1,−2),EF =(−1,1,1). 于是,平面DFE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(3,m +1,2−m).于是cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ > =3√2(m−12)2+272． 当m =12时，面BB 1C 1C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最大值为，故正弦值最小为．20.【答案】【答案】(1)C 的方程为y 2=x ，⊙M 的方程为(x −2)2+y 2=1；．【解析】【分析】圆锥曲线大题考查椭圆、双曲线、抛物线中最简单的一条抛物线；第一问求解抛物线方程和圆的方程难度不大；第二问考查设而不求的思路和韦达定理． 可以先把抛物线上的三个点(a 2,a)、(b 2,b)、(c 2,c)都设出来；根据两个相切条件，得到2=1，2=1；进一步得到b 和c 是(a 2−1)x 2+2ax −a 2+3=0的两根；接下来算出圆心到A2A3的距离为d=|2+bc|√1+(b+c)2；再由韦达定理可知b+c和bc，带入计算求出d=1，即可得到A2A3和圆相切．【解析】(1)C的方程为y2=x，⊙M的方程为(x−2)2+y2=1；(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)．当A1,A2,A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标的值均为3时，满足条件，且此时直线A2A3与⊙M也相切．当x1≠x2≠x3时，可知直线A1A2的方程为x−(y1+y2)y+y1y2=0，，即(y12−1)y22+2y1y2+3−y12=0；同理可得，(y12−1)y32+2y1y3+3−y12=0；由此可知，．依题意有，．M到直线A2A3的距离，d2=(|2+y1y2|√1+(y1+y2)2)2=(2+y1y2)21+(y1+y2)2=(2+3−y12y12−1)21+(−2y1y12−1)2=1．．21.【答案】【答案】；(2)a∈(1,e)∪(e,+∞)．【解析】【分析】导数作为压轴题的存在，考查了单调性和零点，第一问的单调性，难度不大，不含参数，不需要分类讨论；第二问交点问题最后转化成零点问题，构造函数后再看函数和直线相交的情况，构造出的函数不含参数，图像易得，最后求参数范围即可，这道导数压轴题和往年相比，相对难度不是特别大．【解析】(1)当a=2时,f(x)=x22x(x>0)，求导f′(x)=x(2−xln2)2x(x>0)，．令，即x>2ln 2，此时单调递减．单调递增区间为，单调递减区间为．(2)要使y=f(x)与y=1有2个交点,即x aa x =1有2解,故ln xx=ln aa有2解．令g(x)=ln x x,求导g′(x)=1−ln x x 2(x >0)．令g ′(x)=0,解得x =e ，令g′(x)>0,即0<x <e,此时g(x)单调递增，，故g(x)max =g(e)=1e ,当x >e 时,g(x)∈(0,1e )． 因为g(1)=0,要使得条件成立.则0<ln a a<1．①当0<a <1,此时不符合条件． ②当1<a,g(x)max =g(e)=1e ．故a ∈(1,e)∪(e,+∞)．22.【答案】【答案】(1)曲线C 的直角坐标方程为(x −√2)2+y 2=2；(2)C 1的参数方程为{x =3+√2+2cos αy =2sin α(α为参数,且α∈[0,2π))．【解析】【分析】极坐标和参数方程这道题，作为选做题，难度不大，第一问考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，较为基础；第二问考查了轨迹方程的求法，考查的是相关点法，求出直角坐标系下的方程后，进一步化成极坐标方程即可，由圆心距小于半径差可得两个圆为内含关系，本题整体难度不大，考查的较为基础． 【解析】(1)∵p =2√2 cos θ,∴p 2=2√2pcos θ.∵x =pcos θ,p =x 2+y 2,∴x 2+y 2=2√2x.即曲线C 的直角坐标方程为(x −√2)2+y 2=2．(2)设P 点坐标为(x,y),M 点坐标为(x ′,y′).则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ′−1,y′).∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∵M 为上的动点,∴(√2+1−√2)2+(√2)2=2.即(x −√2−3)2+y 2=4.故C 1的参数方程为{x =3+√2+2cos αy =2sin α(α为参数,且α∈[0,2π)).∴|CC 1|=3,r 1=2,r =√2. ∴r 1−r <|CC 1|<r 1+r.故C 与C 1有公共点.23.【答案】【答案】(1)见解析；．【解析】【分析】不等式选讲这道选做题，考查了绝对值函数图像的画法和含参绝对值不等式的求法，绝对值函数图像作图相对简单，含参绝对值不等式的求解，主要用到分类讨论的思想，分类讨论的时候需要注意不重不漏．(1)通过对x 分类讨论，写出分段函数的形式，画出图像即可得出． (2)由图像可得：f(6)=4，f(12)=4，若满足题意，那么就需把函数f(x)的图像向左或向右平移|a|个单位以后，f(x)的图像不在g(x)图像的下方，由图像观察可得出结论．【解析】(1)当x <−32时，2x +3<0，2x −1<0， 故g(x)=[−(2x +3)]−[−(2x −1)]=−4．当−32≤x ≤12时，2x +3≥0，2x −1≤0， 故g(x)=(2x +3)−[−(2x −1)]=4x +2．当x >12时，2x +3>0，2x −1>0， 故g(x)=(2x +3)−(2x −1)=4．综上，g(x)={4x +2,−32≤x <12−4,x<−324,x≥32 ,y=f(x)和y=g(x)的图象为：(2)由上可知，y=f(x+a)是函数y=f(x)左右平移|a|个单位得到．观察图像，不难发现函数y=f(x)向右平移不符合题意．函数y=f(x)向左平移至图像右支恰好经过点(12,4)，此时为满足f(x+a)≥g(x)的临界状态．y=f(x+a)=|x−2|+a=x−2+a，代入点(12,4)，可得a=112．由上可得，a的取值范围为[112,+∞)．。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（理科）不等式选讲（精解精析版）1．(2021年高考全国乙卷理科)已知函数()3f x x a x =-++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;(2)若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞ ．（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．解析：（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ ．（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-．所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【解析】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x 的解集；(2)若()4f x ，求a 的取值范围．【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ ．解析：（1）当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭．（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型．4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．解析：（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥．【答案】【答案】(1)43；(2)见详解．【官方解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤-++++⎣⎦故由已知得232(1)(1)143()x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以232(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-，当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +由题设知2(2)133a +，解得3a -≤或1a -≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++-++++=+++=≥，故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．(2)2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥．当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立．所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a -≥．【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．6．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】()1(),1-∞；()2[)1,+∞【官方解析】()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥.所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.()2因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----所以，a 的取值范围是[1,)+∞.【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x <≤，2x ≥三种情况，即可求出结果；()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【解析】()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为，即()210x ->，显然成立，此时解集为(),1-∞；当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，即()210x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1-∞；()2当1a ≥时，因为(),1x ∈-∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a -+--<，即()()10x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a-<⎧⎪=⎨--<⎪⎩≤，因为1a x <≤时，()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[)1,+∞.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.7．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤；(2)333()()()24a b b c c a +++++≥．【答案】解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++==++≥．所以222111a b c a b c++++≤.（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c=324⨯⨯⨯=≥所以333()()()24a b b c c a +++++≥．8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】【官方解析】（1）()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．【民间解析】（1）()211f x x x =++-3,112,12132x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，可作出函数()f x的图象如下图（2）依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b -+≥在[)1,+∞上恒成立所以30a -≥，且30a b -+≥，此时3a ≥，3a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b -+-≥恒成立结合3a ≥，可知20b -≥即2b ≥综上可知32a b ≥⎧⎨≥⎩，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．9．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|f x x a x =-+--．(1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】解析：（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤ ≤可得()0≥f x 的解集为{}|23≤≤x x -．（2）()1f x ≤等价于|||2|4≥x a x ++-．而|||2||2|≥x a x a ++-+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +．由|2|4≥a +可得6≤a -或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞ ．10．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】解析：（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．11．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)[选修4—5:不等式选讲]已知函数()24f x x ax =-++,()11g x x x =++-．(1)当1a =时,求不等式()()f x g x ≥的解集;(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,求a 的取值范围2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科【答案】(1)112x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭;(2)[]1,1-．【分析】(1)将1a =代入,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤,对x 按1x <-,11x -≤≤,1x >讨论,得出最值的解集;(2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =．若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,等价于当[]1,1x ∈-时,()2f x ≥,则()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一,所以()12f -≥且()12f ≥,得11a -≤≤,所以a的取值范围为[]1,1-．【解析】(1)当1a =时,不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--<①当1x <-时,①式化为2340x x --≤,无解;当11x -≤≤时,①式化为220x x --≤,从而11x -≤≤;当1x >时,①式化为240x x +-≤,从而11712x -+<≤所以不等式()()f x g x ≥的解集为11712x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎪⎪⎩⎭(2)当[]1,1x ∈-时,()2g x =所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,等价于当[]1,1x ∈-时,()2f x ≥又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一,所以()()1212f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩,得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[]1,1-．【考点】绝对值不等式的解法,恒成立问题【点评】零点分段法是解答绝对值不等式问题的常用方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图像解题．12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数()12f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【答案】(Ⅰ){}1x x ≥;(Ⅱ)5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()3, 11221, 123, 2x f x x x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪>⎩所以不等式()1f x ≥等价于131x <-⎧⎨-≥⎩或12211x x -≤≤⎧⎨-≥⎩或231x >⎧⎨≥⎩由131x <-⎧⎨-≥⎩⇒x 无解；由1222x x -≤≤⎧⎨≥⎩12x ⇒≤≤；由231x >⎧⎨≥⎩2x ⇒≥综上可得不等式()1f x ≥的解集为[)1,+∞．（2）解法一：先求不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集时m 的取值范围不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集等价于不等式()2m f x x x >-+恒成立记()()2F x f x x x =-+2223, 131, 123, 2x x x x x x x x x ⎧-+-<-⎪-+-≤≤⎨⎪-++>⎩，则()maxm F x >⎡⎤⎣⎦当1x <-时，()()2211131524F x x x x F ⎛⎫=-+-=---<-=- ⎪⎝⎭当12x -≤≤时，()223535312424F x x x x F ⎛⎫⎛⎫=-+-=--+≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2x >时，()()2211332124F x x x x F ⎛⎫=-++=--+<= ⎪⎝⎭所以()max 3524F x F ⎛⎫==⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭所以不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集时，54m >所以不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空时，m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．解法二：原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥成立，即2max [()]f x x x m-+≥设2()()g x f x x x=-+由（1）知2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，2()3g x x x =-+-，其开口向下，对称轴112x =>-所以()()11135g x g ≤-=---=-当12x -<<时，()231g x x x =-+-，其开口向下，对称轴为32x =所以()399512424g x g ⎛⎫≤=-+-=⎪⎝⎭当2x ≥时，()23g x x x =-++，其开口向下，对称轴为12x =所以()()24231g x g ≤=-++=综上()max 54g x =⎡⎤⎣⎦所以m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【考点】绝对值不等式的解法【点评】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．13．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知330,0,2a b a b >>+=，证明：(1)33()()4a b a b ++≥；(2)2a b +≤．【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】（1）解法一：由柯西不等式得：55222222332()()))()4a b a b a b a b⎡⎤⎡⎤++=+⋅+≥+=⎣⎦⎣⎦解法二：5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b++=+++=+++-33233332()2()4a b a b a b ≥++-=+=解法三：()()()()()2555533553342a b a b a b a b a bab a b a b ++-=++-+=+-又0,0a b >>，所以()255332220ab a b a b ab a b +-=-≥．当a b =时，等号成立．所以，()()5540a b a b++-≥，即55()()4a b ab ++≥．（2）解法一：由332a b +=及2()4a b ab +≤得2222()()()()3a b a b ab a b a b ab ⎡⎤=+⋅+-=+⋅+-⎣⎦2233()()()4()4a b a b a b a b ⎡⎤+≥+⋅+-⎢⎥⎣⎦+=所以2a b +≤．解法二：（反证法）假设2a b +>，则2a b >-，两边同时立方得：3323(2)8126a b b b b >-=-+-，即3328126a b b b +>-+，因为332a b +=，所以261260b b -+<，即26(1)0b -<，矛盾，所以假设不成立，即2a b +≤．解法三：因为332a b +=，所以：()()()3333322333843344a b a b a baa b ab b a b +-=+-+=+++--()()()()222333a b a b a b a b a b =-+-=-+-．又0,0a b >>，所以:()()230a b a b -+-≤。

高考数学试题分类汇编
不等式
一． 选择题：
（A ）[1,1]- （B ）[2,2]- （C ）[2,1]- （D ）[1,2]-
2.（江西卷9）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是A
A ．1122a b a b +
B ．1212a a b b +
C ．1221a b a b +
D ．12 3.（陕西卷6）“18a =”是“对任意的正数x ，21a x x
+≥”的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.（浙江卷3）已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的D
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
5.（海南卷6）已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（ B ）
A.（0，1
1a ） B. （0，12a ） C. （0，31a ） D. （0，3
2a ） 二． 填空题：
2.（山东卷16）若不等式｜3x -b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围 。

（5，7）.
4.（江西卷14）不等式31122
x x -+≤的解集为 ．(,3](0,1]-∞- 5.（广东卷14）（不等式选讲选做题）已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-
+=
有实根，则a 的取值范围是 ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

不等式选讲【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.绝对值不等式(1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式几何意义证明以下不等式:|a+b|≤|a|+|b|.|a-b|≤|a-c|+|c-b|.(2)会利用绝对值的几何意求解以下类型的不等式: |ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.(3)了解证明不等式的基本法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法2019课标Ⅱ,23,10分2018课标Ⅰ,23,10分解绝对值不等式,含有绝对值的恒成立、参数取值范围的问题不等式的性质和解法★★★2017课标Ⅰ,23,10分2017课标Ⅲ,23,10分解绝对值不等式,含有绝对值的存在性、参数取值范围的问题不等式的性质和解法2016课标Ⅰ,24,10分画绝对值函数的图象,解绝对值不等式不等式的性质和解法2.不等式的证明2019课标Ⅰ,23,10分2019课标Ⅲ,23,10分2017课标Ⅱ,23,10分不等式的证明基本不等式分析解读从近五年的考查情况来看,本专题内容是高考的考查热点,主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明,多以解答题的形式呈现,难度中等,分值为10分.主要考查学生的数学运算能力、分类讨论思想和数形结合思想的应用.破考点练考向【考点集训】考点一绝对值不等式1.(2020届云南昆明第二次月考,23)已知函数f(x)=|ax-1|(a>0).(1)设不等式f(x)≤2的解集为A,集合B={x|-2<x<2},若A⊆B,求实数a的取值范围;(2)若不等式f(x)+f(1ax+2a)>32对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)由|ax-1|≤2,得-2≤ax-1≤2,又∵a>0,∴-1a≤x≤3a,得A=[-1a,3a].。

2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化专题11 不等式选讲附真题体验及解析【高频考点及备考策略】本部分内容在备考时应注意以下几个方面：不等式选讲也是高考必考内容，重点考查绝对值不等式的解法、不等式的证明及求参数取值范围问题，题型多为解答题，难度为中档、考向预测：(1)绝对值不等式的解法；(2)不等式的证明；(3)绝对值不等式恒成立（存在）问题；必备知识1、绝对值不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立、定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立、2、绝对值不等式的解法(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c、②|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c、(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想、②利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想、③通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想、3、证明不等式的基本方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法、4、二维形式的柯西不等式若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立、【易错警示】1、应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件、特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立、2、利用基本不等式证明要注意“一正、二定、三相等”三个条件同时成立，缺一不可、3、在去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏、真题体验1、（2020新课标Ⅰ卷理科T23）已知函数、（1）画出的图像；（2）求不等式的解集、【答案】（1）详解解析；（2）、【解析】（1）因为，作出图象，如图所示：（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：由，解得、所以不等式的解集为、【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题、2、（2020新课标Ⅱ卷理科T23）已知函数、（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围、【答案】（1）或；（2）、【解析】（1）当时，、当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或、（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为、【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型、3、（2020新课标Ⅲ卷理科T23）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1、（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥、【解析】（1），、均不为，则，；（2）不妨设，由可知，，，、当且仅当时，取等号，，即、【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题、4、（2020江苏卷T23）设，解不等式、【答案】【解析】或或或或所以解集为：【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题、高频考点、热点题型强化考点一绝对值不等式的解法【典例】已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的定义域为实数集R、(1)当a＝5时，解关于x的不等式f(x)>9、(2)设关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}，如果A∪B＝A，求实数a的取值范围、[解析] (1)当a＝5时，关于x的不等式f(x)>9，即|x＋5|＋|x－2|>9，故有①；或②；或③、解①求得x<－6；解②求得x∈∅，解③求得x>3、综上可得，原不等式的解集为{x|x<－6或x>3}、(2)设关于x的不等式f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≤|x－4|的解集为A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}＝{x|－1≤x≤2}，如果A∪B＝A，则B⊆A，所以即求得－1≤a≤0，故实数a的范围为[－1,0]、【备考策略】解决含绝对值不等式问题解形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)的不等式主要有两种方法:①分段讨论法:将数轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设a<b)三个部分,在每部分区间内去掉绝对值符号并分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集;②图像法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图像,结合图像求解、【类比演练】已知函数、（1）解关于的不等式；（2）设，若关于的不等式的解集非空，求的取值范围、【解析】解：（1）由得，即或、解得或、由得，不成立、∴无实数解、∴原不等式的解集为、（2）∵解集非空，即有解，当时，由得，，∴当时，无解、①当时，不等式化为、∵函数在上为单调递减函数，∴当时，的最小值为、∴、②当时，由得，而（时，等号成立）即的最小值为4、∴、综上所述，的取值范围是、考点二不等式的证明【典例】设a>0，b>0，且a＋b＝＋、证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立、[证明] 由a＋b＝＋＝，a>0，b>0、得ab＝1、(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2、(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾、故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立、【备考策略】本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解；第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注、【类比演练】已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m 的最大值为M、（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c ＝M，求证：+≥1、【解析】（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|＝5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4、∴M＝4、（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c＝4，即[（a+b）+（b+c）]＝1∴+＝[（a+b）+（b+c）]（+）＝（1+1++）≥（2+2）≥4＝1，当且仅当＝即a+b＝b+c＝2，即a＝c，a+b＝2时，取等号、∴+≥1成立、考点二绝对值不等式恒成立（存在）问题【典例】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|，(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3、(2)如果任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围、[解析] (1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，由f(x)≥3有|x－1|＋|x＋1|≥3，据绝对值几何意义求解、|x－1|＋|x＋1|≥3几何意义是数轴上表示实数x的点距离实数1，－1表示的点距离之和不小3，由于数轴上数－左侧的点与数右侧的点与数－1与1的距离之和不小于3，所以所求不等式解集为(－∞，－]∪[，＋∞)、(2)由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)、【备考策略】1、求含绝对值号函数的值的两种方法(1)利用|a|－|b|≤|ab|≤|a|＋|b|求解、(2)将函数化为分段函数，数形结合求解、2、恒成立(存在)问题的等价转化f(x)≥Mf(x)≤M任意x 恒成立⇔f(x)min≥Mf(x)max≤M存在x成立⇔f(x)max≥Mf(x)min≤M【类比演练】已知函数f(x)＝|x－5|－|x－2|、(1)若存在x∈R，使得f(x)≤m成立，求m的范围、(2)求不等式x2－8x＋15＋f(x)≤0的解集、[解析] (1)f(x)＝|x－5|－|x－2|＝当2<x<5时，－3<7－2x<3，所以－3≤f(x)≤3，所以m≥－3、(2)不等式x2－8x＋15＋f(x)≤0，即－f(x)≥x2－8x＋15由(1)可知，当x≤2时，－f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2<x<5时，－f(x)≥x2－8x＋15，即x2－10x＋22≤0，所以5－≤x<5，即x2－8x＋12≤0，所以5≤x≤6；当x≥5时，－f(x)≥x2－8x＋15，强化训练综上，原不等式的解集为{x|5－≤x≤6}、1、已知函数、（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为，求的取值范围、【解析】（1）由已知得①；②；③；∵，∴不等式的解集为、（Ⅱ）不等式解集为恒成立，设，则①当时，；②当时，；③当时，、∴、∵恒成立，由，得、∴的取值范围是、2、已知函数、（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围、【解析】（1）当时，不等式可化为，两边平方化简整理得：，解得：，所以，不等式的解集为、（2）当时，恒成立等价于: 恒成立，即或恒成立，所以，即、3、已知函数、（1）若不等式恒成立，求实数的最大值；（2）当时，函数有零点，求实数的取值范围、【解析】XXXXX：（1）因为，所以，即的最大值为、（2），即，所以在上减函数，在上是增函数，所以，由题意得，解得，或，又，所以的取值范围是、4、已知函数、（1）求不等式的解集；（2）已知，M为的最大值，证明：、【解析】解：（1）当时，不等式不成立；当时，解得；当时，不等式恒成立、综上，不等式的解集为、（2）证明：，的最大值为12，即M=12、，，当且仅当时取“=”，，，，即、5、已知分别是的三个内角的对边、（1）若成等比数列，证明：；（2）若，证明：、【解析】证明: （1）依题意可得，因为，所以，（2）要证:,只需证: ,只需证: ,两边平方后化简整理即是: ,由题设知，成立，所以，不等式成立、。

2021 年— 2021 年新课标全国卷Ⅰ理科数学分类汇编14．不等式选讲一、解答题【 2021， 23】函数 f x x2ax 4 ， g x x 1 x 1 ．〔 1〕当a1时，求不等式 f x g x 的解集；〔 2〕假设不等式 f x g x 的解集包含1,1 ，求a的取值范围．【 2021， 23】函数 f ( x) x 1 2x 3 ．〔Ⅰ〕在答题卡第〔24〕题图中画出y f (x) 的图像；〔Ⅱ〕求不等式 f ( x) 1 的解集．y1O1x【 2021， 24】函数 f x x 1 2 x a , a 0.〔 I〕当a 1 时求不等式 f x1的解集；〔 II 〕假设f x 的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围 .【 2021， 24〕】假设a 0,b 0 ，且11 ab .a b(Ⅰ ) 求a3 b3的最小值；〔Ⅱ〕是否存在a, b ，使得2a 3b 6 ？并说明理由.【2021， 24】函数 f(x)＝ |2x－ 1|＋ |2x＋ a|， g( x)＝ x＋ 3.(1)当 a＝－ 2 时，求不等式 f(x)＜g(x)的解集；(2)设 a＞－ 1，且当 x∈ a , 1 时， f(x) ≤g(x)，求 a 的取值范围．2 2【 2021， 24】函数f ( x) | x a | | x 2 |。

〔1)当a 3时，求不等式f (x) 3的解集；〔2 〕假设f ( x) | x 4 |的解集包含[1 2]，，求 a 的取值范围。

【 2021， 24】设函数 f ( x) x a 3x ,其中a 0 。

〔Ⅰ〕当 a 1 时，求不等式 f ( x) 3x 2 的解集；〔Ⅱ〕假设不等式f (x) 0 的解集为x | x 1 ，求 a 的值。

2021 年— 2021 年新课标全国卷Ⅰ理科数学分类汇编14．不等式选讲〔解析版〕一、解答题【 2021， 23】函数 f xx 2 ax 4 ， g xx 1x 1 ．〔 1〕当 a 1时，求不等式 f x g x 的解集；〔 2〕假设不等式 f xg x 的解集包含1,1 ，求 a 的取值范围．【解析】〔1〕当 a 1时， f xx 2x 4 ，是开口向下，对称轴x1 的二次函数．22 x ，x 1171， gg xx1 x 12 ， 1 ≤ x ≤ 1 ，当 x (1, ) 时，令 x2x 4 2 x ，解得 xx 在2x ，x121，上单调递增， f x 在 1，上单调递减， ∴ 此时 f x ≥ g， 17 1x 解集为 1．2当 x 1，1 时， g x 2 ， f x ≥ f 1 2 ．当 x， 1 时， g x 单调递减， f x 单调递增，且 g1 f 12 ．综上所述， fx ≥ g x 解集1 ， 17 1 ．2〔2〕依题意得：2ax 4≥ 2 在 1，1 恒成立．即 2ax2 ≤ 0 在 1，1 恒成立．x x2a 1 2 ≤ 0那么只须 1，解出：1≤ a ≤ 1．故 a 取值范围是 1，1 ．2a 12 ≤ 01【 2021， 23】函数f ( x) x 1 2x 3 ．y〔Ⅰ〕在答题卡第〔 24〕题图中画出 y f (x) 的图像；〔Ⅱ〕求不等式f ( x) 1 的解集．1 O1x【解析】：⑴ 如下图：x 4 ，x ≤ 1 ⑵ f x3x 2 ， 1 x3f x12,4 x ，x ≥32,① x ≤ 1 ， x 4 1 ，解得 x 5 或 x 3 ,∴ x ≤ 1② 1 x3， 3 x 21 ，解得 x 1或 x 1 ∴ 1x 1或 1 x 323 ，3 2 ③ x ≥ 3， 4 x1 ，解得 x 5 或 x 3， ∴ 3≤ x3 或 x 522综上， x 1 x 3 或 x 5或 13∴ f x1 ，解集为，1U 1 ，3 U 5 ，3【 2021， 24】函数f xx 1 2 x a , a 0 .〔 I 〕当a 1 时求不等式f x 的解集；1〔 II 〕假设f x 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围 .解析：〔 I 〕〔方法一〕当 a 1 时，不等式 f (x)1 可化为 x 12 x x 1 1 1，等价于2x 2 1x 11 x 1x 12 x 2 .或或，解得 x 1 2x 2 1x 1 2x 2 1 3〔方法二〕当 a 1 时，不等式f ( x) 1 可化为 x 1 2 x 1 1 ，结合绝对值的几何意义，不等式的含义为：数轴上一点x 到点 1的距离与它到 1 的距离的 2 倍之差大于 1.点 x到 1 的距离 d 1 ，到1的距离d 2 ， 合数可 知 ： 假设x 在 [1,1] 内 ，有d 1 d 2 2-1x11 ；故 x2,1] .d 1 2d 2 1 解得 d 2(33假设 x 在(1,) 内， 有d 1 d 2 2 1；故 x (1,2) .d 1 2d 2解得 d 21-11 x上可得2x 2 .3x 1 2a, x 1〔Ⅱ〕由 可得，f ( x) 3x 1 2a, 1 x a ， 所以函数 f ( x) 的 像与 x 成的三角形的x 1 2a, x a三个 点分 A(2a 1,0) ， B(2 a 1,0) ， C (a, a+1) ，所以 △ ABC 的面2( a 1)2 .由 得2332 ＞ ，解得a所以 a 的取 范 〔 ， ∞〕.(a1)62 .2 +3【 2021， 24〕】假设 a0, b0 ，且11ab .a b(Ⅰ ) 求 a 3 b 3 的最小 ；〔Ⅱ〕是否存在a, b ，使得 2a 3b 6 ？并 明理由 . 【解析】： (Ⅰ)由 1 1 2 ，得 ab2 ，且当 ab2 等号成立，abbaba故 a 3 b 3 3 a 3 gb 34 2 ，且当 a b 2 等号成立，∴ a 3b 3 的最小 4 2 .⋯⋯5 分〔Ⅱ〕由 6 2a 3b2 6 ab ，得 ab3 2 ，二者矛盾，，又由 (Ⅰ )知 ab2所以不存在 a,b ，使得 2a 3b6 成立 .⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分【 2021， 24】函数 f(x)＝ |2x － 1|＋ |2x ＋ a|， g( x)＝ x ＋ 3.(1)当 a ＝－ 2 ，求不等式 f(x)＜g(x)的解集； (2)a ＞－ 1，且当 x ∈a , 1， f(x) ≤g(x)，求 a 的取 范 ．2 2解： (1) 当 a ＝－ 2 ，不等式f(x)＜ g(x)化 |2x － 1|＋ |2x －2|－ x － 3＜ 0.设函数 y ＝ |2x － 1|＋ |2x － 2|－ x － 3，5x, x 1 ,12 那么 y ＝x x 1,2, 23x 6, x 1.其图像如下图．从图像可知，当且仅当x ∈ (0,2)时， y ＜ 0.所以原不等式的解集是{ x|0＜ x ＜ 2} ．(2)当 x ∈a , 12 2时， f(x)＝1＋ a.不等式 f(x)≤g(x)化为 1＋ a ≤x ＋ 3.所以 x ≥a － 2 对 x ∈a , 1 都成立．2 2 故a≥a － 2，即 a4 .23从而 a 的取值范围是1,4.3【 2021， 24】函数 f ( x) | x a | | x 2 |。

专题19不等式选讲解答题1.(2021•高考全国甲卷•理T23)已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x ag x +≥，求a 的取值范围．【解析】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.2.(2021•高考全国乙卷•文T23)已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a>-，求a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ .（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-.所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.3.(2021•河南郑州三模•理T23)已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|2x ﹣4|．（Ⅰ）在平面直角坐标系中画出函数f （x ）的图象；（Ⅱ）若对∀x ∈R ，f （x ）≤t 恒成立，t 的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a +2b +3c ＝m ，求的最小值．【解析】（Ⅰ），图象如图所示，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）max ＝3，则t ≥3，故m ＝3，即a +2b +3c ＝3，由柯西不等式有，，∴的最小值为3，当且仅当a +c ＝b +c ＝1时等号成立．4.(2021•河南开封三模•文理T23)已知函数，g （x ）＝|x ﹣1|．（1）求函数y ＝f （x ）+g （x ）的最小值；（2）已知θ∈[0，2π），求关于θ的不等式的解集．【解析】（1）由已知可得，当且仅当即时等号成立，所以函数y ＝f （x ）+g （x ）的最小值为．（2）由已知，原不等式可化为，①当时，，原不等式化为sin θ﹣cos θ＞2，此时无解，②当时，，原不等式化为sin θ+cos θ＜﹣1，即，所以，，综上所述，不等式的解集为（π，）．5.(2021•河南焦作三模•理T23)已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣5|﹣7．（Ⅰ）在如图所示的网格中画出y＝f（x）的图象；（Ⅱ）若当x＜1时，f（x）＞f（x+a）恒成立，求a的取值范围．【解析】（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）＝﹣x﹣1﹣2x+5﹣7＝﹣3x﹣3，当﹣1≤x≤时，f（x）＝x+1﹣2x+5﹣7＝﹣x﹣1，当x＞时，f（x）＝x+1+2x﹣5﹣7＝3x﹣11，综上f（x）＝，则对应的图象如图：（Ⅱ）当a＝0时，不等式不成立，当a＜0时，y＝f（x）的图象向右平移﹣a个单位得到y＝f（x+a）的图象，此时对任意x＜1时，y＝f（x+a）总在y＝f（x）的上方，不满足条件．当a＞0时，y＝f（x+a）的图象最多平移到与y＝f（x）的图象交于点（1，﹣2）的位置，此时a＝2，此时a的取值范围是（0，2].6.(2021•四川内江三模•理T23)已知a＞0，b＞0，4a+b＝2ab．（1）求a+b的最小值；（2）若a+b≥|2x﹣1|+|3x+2|对满足题中条件的a，b恒成立，求实数x的取值范围．【解析】（1）因为a＞0，b＞0，所以，所以a+b＝（a+b）（（4+）＝，当且仅当且，即a＝，a+b的最小值；（2）若a+b≥|2x﹣2|+|3x+2|对满足题中条件的a，b恒成立，则，当x时，原不等式可化为2x﹣1+4x+2，所以；当时，原不等式可化为﹣2x+4+3x+2，所以，当x时，原不等式可化为﹣2x+8﹣3x﹣2，所以﹣，综上，x的取值范围[﹣]．7.(2021•安徽蚌埠三模•文T23)已知函数f（x）＝m﹣|x|﹣|x﹣1|，m∈R，且f（x）的最大值为1，（1）求实数m的值；（2）若a＞0，b＞0，a+b＝m，求证：．【解析】（1）解：∵|x|+|x﹣1|≥|x﹣（x﹣1）|＝1，当x（x﹣1）≤0时取到等号，∴f（x）max＝m﹣1＝1，∴m＝2．（2）证明：由a＞0，b＞0，a+b＝2≥2，∴ab≤1，∴++＝+＝≥4，当且仅当a＝b＝1时取等号．8.(2021•贵州毕节三模•文T23)已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜x+4；（Ⅱ）若k是f（x）的最小值，已知m＞0，n＞0，且（k+1）m+n＝1，求证：k2mn≤m+n．【解析】（Ⅰ）f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝，故当x＞2时，f（x）＜x+4⇔2x﹣1＜x+4，解得：x＜5，∴2＜x＜5．当﹣1≤x≤2时，f（x）＜x+4⇔3＜x+4，解得x＞﹣1，∴﹣1＜x≤2．当x＜﹣1时，f（x）＜x+4⇔﹣2x+1＜x+4，解得x＞﹣1，∴此时x无解．综上，f（x）＜x+4的解集为{x|﹣1＜x＜5}；证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）≥3，∴k＝3．由（k+1）m+n＝1，得4m+n＝1，要证k2mn≤m+n，即9mn≤m+n，即证，就是证，又∵m＞0，n＞0，∵，当且仅当，即时取“＝”，∴k2mn≤m+n成立．9.(2021•河南济源平顶山许昌三模•文T23．)已知函数f（x）＝|x+2|﹣m|x+1|．（1）若m＝﹣2，求不等式f（x）≥8的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤m|x+3|对于任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）当m＝﹣2时，f（x）＝|x+2|+2|x+1|＝，当x≤﹣2时，﹣3x﹣4≥8，解得x≤﹣4；当﹣2＜x＜﹣1时，不等式无解；当x≥﹣1时，3x+4≥8，解得x≥．综上，不等式的解集为（﹣∞﹣4]∪[，+∞）．（2）关于x的不等式f（x）≤m|x+3|对于任意实数x恒成立，即为|x+2|≤m（|x+1|+|x+3|），由于|x+1|+|x+3|≥|x+1﹣x﹣3|＝2，当且仅当﹣3≤x≤﹣1时，等号成立，所以m≥，记g（x）＝，当x≥﹣1时，g（x）＝＝；当x≤﹣3时，g（x）＝＝．则g（x）＝，所以g（x）∈[0，]，所以m≥，所以实数m的取值范围为[，+∞）．10.(2021•四川泸州三模•理T23．)已知函数f（x）＝|x+6|﹣|x2﹣2x+2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥6的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为m，正数a，b，c满足a+b+c＝+，求证：．【解析】（Ⅰ）∵x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞0，∴f（x）＝|x+6|﹣x2+2x﹣2，不等式f（x）≥6等价于|x+6|﹣x2+2x﹣2≥6，即或，解得1≤x≤2或∅，∴不等式f（x）≥6的解集为[1，2]；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当时，，∴，又∵a，b，c为正实数，a+b+c＝4，∴，∴，当且仅当时等号成立，原命题得证．11.(2021•宁夏中卫三模•理T23．)设函数f（x）＝|1﹣2x|﹣3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+＝Mab．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）是否存在a，b，使得a6+b6＝？并说明理由．【解析】（1）分三类讨论如下：①当x＜﹣1时，f（x）＝x+4，单调递增，f（x）＜3；②当﹣1≤x≤时，f（x）＝﹣5x﹣2，单调递减，f（x）max＝f（﹣1）＝3，③当x＞时，f（x）＝﹣x﹣4，单调递减，f（x）＜f（）＝﹣，综合以上讨论得，f（x）的最大值M＝3；（2）假设存在正数a，b，使得a6+b6＝≥2＝2a3b3，所以，≤，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①又因为+＝Mab＝3ab≥2•，所以，≥，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②显然①②相互矛盾，所以，假设不成立，即不存在a，b使得a6+b6＝．12.(2021•江西南昌三模•理T23．)已知函数f（x）＝|x﹣3|+2|x﹣1|．（Ⅰ）求f（x）的最小值m；（Ⅱ）已知a＞0，b≥0，若a+2b＝m时，正常数t使得ta+ab的最大值为2，求t的值．【解析】（Ⅰ）因为，所以当x＝1时，f（x）min＝m＝2，（Ⅱ）因为m＝2，所以a+2b＝2，则a+2（b+t）＝2t+2，又因为，所以，则，所以，则t＝1或t＝﹣3（舍），当且仅当a＝2（b+1），即a＝2，b＝0时，等号成立．13.(2021•江西上饶三模•理T23．)已知函数f（x）＝|x+2|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）若_____，求a的最小值．①不等式f（x）≥a2+3a有解；②不等式f（x）≥a2+5a恒成立．请从上述两种情形中任选一种作答．【解析】（1）f（x）＝，因为f（x）≥2，当x≤﹣2时，﹣4≥2不成立，解得x∈∅；当﹣2＜x＜2时，由2x≥2，得1≤x＜2；当x≥2时，由4≥2恒成立，解得当x≥2；综上，f（x）≥2解集为[1，+∞）；（2）若选①不等式f（x）≥a2+3a有解，则f（x）max≥a2+3a，由（1）知，f（x）max＝4，所以a2+3a﹣4≤0，解得﹣4≤a≤1；所以a min＝﹣4；若选②不等式f（x）≥a2+5a恒成立，则f（x）min≥a2+3a，由（1）知，f（x）min＝﹣4，所以a2+5a+4≤0，解得﹣4≤a≤﹣1；所以a min＝﹣4．14.(2021•安徽宿州三模•文理T23．)已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤1的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为m，且正实数a，b满足2a+b＝m，求证：a2+4b2≥．【解析】（Ⅰ）|x﹣2|与|x+1|的零点分别是x＝2，x＝﹣1，整个定义域被划分成3个区间，分别讨论如下：1）当x≤﹣1时，f（x）＝﹣x+2+x+1＝3，f（x）≤1的解集为空集∅，2）当﹣1＜x≤2时，f（x）＝﹣x+2﹣x﹣1＝﹣2x+1，﹣2x﹣2x+1≤1，x≤0，取交集得f （x）≤1的解集为[0，2]，3）当2＜x时，f（x）＝x﹣2﹣x﹣1＝﹣3，f（x）≤1的解集为[2，+∞），对以上三种情况的结果取并集，不等式f（x）≤1的解集为[0，+∞），（II）证明：分段函数的最值在分段点处取得，由此可以比较函数在三个分段区间上的最大值，取最大者得m＝3．由2a+b＝3，，原不等式等价于，即17（a2+4b2）≥4（2a+b）2，做差比较证明（a﹣8b）2≥0，这是显然的．15.(2021•安徽马鞍山三模•文理T23．)已知函数f（x）＝|2x+3|．（1）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤8；（2）已知关于x的不等式f（x）+|x+a|≤x+5，在x∈[﹣1，1]上有解，求实数a的取值范围．【解析】（1）函数f（x）＝|2x+3|．不等式f（x）≤5﹣f（x﹣3），即|3x+3|+|3x﹣3|≤5，等价于或或，解得：﹣2≤x≤2，所以原不等式的解集为{x|﹣2≤x≤2}；（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）+|x+a|≤x+5，即|x+a|≤2﹣x，所以|x+a|≤2﹣x在[﹣1，1]上有解，即﹣2≤a≤2﹣2x在[﹣1，1]上有解，所以﹣2≤a≤4．实数a的取值范围：[﹣2，4]．16.(2021•江西九江二模•理T23．)已知函数f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]时，求证：f（x）+f（﹣x）≤0．【解析】（Ⅰ）当a＝2时，f（x）≥1即|x+2|﹣|2x﹣2|≥1等价为或或，解得x∈∅或≤x＜1或1≤x≤3，所以原不等式的解集为[，3]；（Ⅱ）证明：当x∈[﹣2，2]时，f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|＝x+2﹣|ax﹣2|，f（﹣x）＝2﹣x﹣|ax+2|，f（x）+f（﹣x）＝4﹣（|ax﹣2|+|ax+2|），因为|ax﹣2|+|ax+2|≥|ax﹣2﹣（ax+2）|＝4，当（ax﹣2）（ax+2）≤0时，取得等号，所以4﹣（|ax﹣2|+|ax+2|）≤0，即f（x）+f（﹣x）≤0．17.(2021•江西上饶二模•理T23．)设函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|+2ax，a∈R．（1）若，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若函数f（x）恰有三个零点，求实数a的取值范围．【解析】（1）当a＝时，不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|﹣|x+1|+x＞0，则或或，解得x≤﹣1或﹣1＜x＜0或x＞1，∴不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（1，+∞）；（2）由f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +1|+2ax ＝0，得|2x ﹣1|﹣|x +1|＝﹣2ax ，设g （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +1|＝，h （x ）＝﹣2ax ，如图，要使y ＝g （x ）与y ＝﹣2ax 有3个不同交点，则﹣3＜﹣2a ＜﹣1，即＜a ＜．∴实数a 的取值范围是（，）．18.(2021•江西鹰潭二模•理T23．)设x ，y ，z ∈R ，z （x +2y ）＝m ．（1）若x 2+2y 2+3z 2的最小值为4，求m 的值；（2）若，证明：m ≤﹣1或m ≥1．【解析】（1）x 2+2y 2+3z 2＝（x 2+z 2）+2（y 2+z 2）≥2xz +4yz ＝2（xy +2yz ），当且仅当x ＝y ＝z ，上式取得等号，由题意可得2（xy +2yz ）＝2m ＝4，∴m ＝2．（2）证明：∵a 2+b 2≥2|ab |，∴2（a 2+b 2）≥（a +b ）2，∴，∴|m |≥1，可得m ≤﹣1或m ≥1．19.(2021•吉林长春一模•文T23．)已知0,0, 4.a b a b >>+=(I)求证:;(Ⅱ)求证:1212223a b+++.【解析】(1)证明:因为0,0a b >>,2222224a b a b ab+++()22a b +=,(当且仅当2a b ==时取等号)(5分)(2)因为4a b +=,所以26,a b ++=所以()221111*********a a b ba b a b a b ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1123623+=+,)2a b +=时取等号(10分)20.(2021•新疆乌鲁木齐二模•文T23．)已知a ，b ∈R +，（a ﹣b ）2＝（ab ）3，a +b ≤2ab ．（Ⅰ）求证：a +b ≥2ab ；（Ⅱ）求a 与b 的值．【解析】（Ⅰ）证明：∵a ，b ∈R +，（a ﹣b ）2＝（ab ）3，∴（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab ＝（ab ）3+4ab ，则a +b ≥2ab ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a +b ≥2ab ，又a +b ≤2ab ，∴a +b ＝2ab ，又取等号时，（ab ）3＝4ab ，即ab ＝2，联立，解得或．21.(2021•安徽淮北二模•文T23．)设函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x +|（a ＞0）．（Ⅰ）证明：f （x ）≥2；（Ⅱ）若f （1）＜4，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）证明：∵f （x ）＝|2x ﹣a |+|x +|＝，∴f （x ）在（﹣∞，﹣）单调递减，在[﹣，]单调递减，在（，+∞）上单调递减，∴f （x ）min ＝f （）＝+≥2，当且仅当x ＝且a ＝2时取最小值，∴f （x ）≥2；（Ⅱ）∵f（1）＝|2﹣a|+|1+|＜4（a＞0），∴|2﹣a|＜3﹣，∴3﹣＞0，解得：a＞①，当a≤2时，有2﹣a＜3﹣，∴a＜﹣2或a＞1，结合①得：1＜a≤2，当a＞2时，有a﹣2＜3﹣，∴2＜a＜，综上：实数a的取值范围是（1，）．22.(2021•宁夏银川二模•文T23．)已知函数f（x）＝|x+a|﹣2|x﹣b|（a＞0，b＞0）．（1）当a＝b＝1时，解不等式f（x）＞0；（2）若函数g（x）＝f（x）+|x﹣b|的最大值为2，求的最小值．【解析】（1）当a＝b＝1时，f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣1|，①当x≤﹣1时，f（x）＝﹣（x+1）+2（x﹣1）＝x﹣3＞0，∴x＞3，∴无解，②当﹣1＜x＜1时，f（x）＝（x+1）+2（x﹣1）＝3x﹣1＞0，∴＜x＜1，③当x≥1时，f（x）＝（x+1）﹣2（x﹣1）＝﹣x+3＞0，∴1≤x＜3，综上所述：不等式f（x）＞0的解集为（，3）．（2）g（x）＝）＝|x+a|﹣2|x﹣b|+|x﹣b|＝|x+a|﹣|x﹣b|，∵|x+a|﹣|x﹣b|≤|（x+a）﹣（x﹣b）|＝|a+b|，∴g（x）max|＝|a+b|＝2，∵a＞0，b＞0，∴a+b＝2，∴+＝（+）（a+b）×＝（++5）×≥（2+5）×＝，当且仅当＝，即b＝2a时取等号，∴+的最小值为．23.(2021•山西调研二模•文T23)(1)证明：2+1≥(2)若>0，>0，求B+2+2+1的最大值.【解析】(1)证明：∵≥r2，当且仅当=时，等号成立，∴令=1，则有2≥r1，当且仅当=1时，等号成立，即2+1≥2+1≥(r1)22，当且仅当=1时，等号成立，(2)解：由(1)得2+1≥∴B+2+2+1=(r1)(22(r1)(r1)22+，又∵(r1)22+2≥=2(+1)⋅，=时，等号成立，即+1= 2，即=12时，等号成立，∴(r1)(r1)22+2≤=，即B+2+2+1≤∴当=1=2时，B+22取得最大值，且最大值为【解析】(1)≥r2，令=1即可得证；(2)利用(1)的结论可得B+2+2+1≤本题考查不等式的证明，考查最值的求解，考查逻辑推理能力，属于中档题．24.(2021•河南郑州二模•文T23．)已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求实数a的取值范围．【解析】（Ⅰ）若a＝1，不等式f（x）≥5即为|2x﹣4|+|x+1≥5，等价为或或，解得x≤﹣1或﹣1＜x≤0或x≥4，所以原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[4，+∞）：（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，即为（|2x﹣4|+|x+a|）min≥a2﹣2a+4，a＞0，而|2x﹣4|+|x+a|＝|x﹣2|+（|x﹣2|+|x+a|）≥|2﹣2|+|x﹣2﹣x﹣a|＝|a+2|＝a+2，当x＝2时，上式取得等号，所以a2﹣2a+4≤a+2，即a2﹣3a+2≤0，解得1≤a≤2，即a的取值范围是[1，2]．。

2021年高考数学真题分类汇编 18 不等式选讲理考点一不等式的性质和绝对值不等式1.(xx广东,9,5分)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为.答案{x|x≤-3或x≥2}2.(xx湖南,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x-<x<,则a= .答案-33.(xx重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案4.(xx课标Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲若a>0,b>0,且+=.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解析(1)由=+≥,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.5.(xx课标Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.解析(1)证明:由a>0,得f(x)=+|x-a|≥=+a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)=+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得3<a<.当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.综上,a的取值范围是.6.(xx福建,21(3),7分)选修4—5:不等式选讲已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.解析(1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r2≥3.7.(xx辽宁,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1,记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(1)求M;(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.解析(1)f(x)=当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤,故1≤x≤;当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M=.(2)证明:由g(x)=16x2-8x+1≤4得16≤4,解得-≤x≤.因此N=,故M∩N=.当x∈M∩N时, f(x)=1-x,于是x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=-≤.考点二不等式的证明8.(xx江苏,21D,10分)选修4—5:不等式选讲已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.证明因为x>0,y>0,所以1+x+y2≥3>0,1+x2+y≥3>0,故(1+x+y2)(1+x2+y)≥3·3=9xy.9.(xx天津,19,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnq n-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anq n-1,t=b1+b2q+…+bnq n-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.解析(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anq n-1,t=b1+b2q+…+bnq n-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an<bn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)q n-2+(an-bn)q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=-q n-1=-1<0.所以s<t. 25581 63ED 揭$24688 6070 恰p@G37190 9146 酆38529 9681 隁29684 73F4 珴23879 5D47 嵇:36743 8F87 辇34511 86CF 蛏(。

2021（高|考）真题分类汇编：不等式1.【2021（高|考）真题重庆理2】不等式0121≤+-x x 的解集为 A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 对【答案】A【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ,即121<<-x 或1=x ,所以不等式的解为121≤<-x ,选A. 2.【2021（高|考）真题浙江理9】设a 大于0 ,b 大于0.2a +2a =2b 2a +2a =2b +3b ,那么a ＞b 2a -2a =2b -2a -2a =a b -3b ,那么a ＜b 【答案】A【解析】假设2223a b a b +=+ ,必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+ ,那么()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立 ,故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增 ,即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．应选A3.【2021（高|考）真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品 .生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克 ,B 原料1千克 .每桶甲产品的利润是300元 ,每桶乙产品的利润是400元 .公司在生产这两种产品的方案中 ,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克 .通过合理安排生产方案 ,从每天生产的甲、乙两种产品中 ,公司共可获得的最|大利润是 ( )A 、1800元B 、2400元C 、2800元D 、3100元【答案】C.【解析】设生产x 桶甲产品 ,y 桶乙产品 ,总利润为Z ,那么约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>≤+≤+00122122y x y x y x ,目标函数为300400Z x y =+ ,可行域为 ,当目标函数直线经过点M 时z 有最|大值 ,联立方程组⎩⎨⎧=+=+122122y x y x 得)4,4(M ,代入目标函数得2800=z ,应选C.4.【2021（高|考）真题山东理5】变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,那么目标函数3z x y =-的取值范围是(A )3[,6]2- (B )3[,1]2-- (C )[1,6]- (D )3[6,]2-【答案】A【解析】做出不等式所表示的区域如图 ,由y x z -=3得z x y -=3 ,平移直线x y 3= ,由图象可知当直线经过点)0,2(E 时 ,直线z x y -=3的截距最|小 ,此时z 最|大为63=-=y x z ,当直线经过C 点时 ,直线截距最|大 ,此时z 最|小 ,由⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==321y x ,此时233233-=-=-=y x z ,所以y x z -=3的取值范围是]6,23[-,选A. 5.【2021（高|考）真题辽宁理8】设变量x ,y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 那么y x 32+的最|大值为(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【答案】D【解析】画出可行域 ,根据图形可知当x =5,y =15时2x +3y 最|大 ,最|大值为55 ,应选D 【点评】此题主要考查简单线性规划问题 ,难度适中 .该类题通常可以先作图 ,找到最|优解求出最|值 ,也可以直接求出可行域的顶点坐标 ,代入目标函数进行验证确定出最|值 .6.【2021（高|考）真题广东理5】变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ,那么z =3x +y 的最|大值为A.12B.11C.3D. -1 【答案】B【解析】画约束区域如下图 ,令0=z 得x y 3-= ,化目标函数为斜截式方程z x y +-=3得 ,当2,3==y x 时 ,11max =z ,应选B .7.【2021（高|考）真题福建理5】以下不等式一定成立的是 A.B.C.D.【答案】Ｃ.【解析】此类题目多项选择用筛选法 ,对于Ａ当41=x 时 ,两边相等 ,故Ａ错误；对于Ｂ具有根本不等式的形式 ,但是x sin 不一定大于零 ,故Ｂ错误；对于Ｃ ,0)1(012||21222≥±⇔≥+±⇔≥+x x x x x ,显然成立；对于Ｄ任意x 都不成立．应选Ｃ．8.【2021（高|考）真题江西理8】某农户方案种植黄瓜和韭菜 ,种植面积不超过50计 ,投入资金不超过54万元 ,假设种植黄瓜和韭菜的产量、本钱和售价如下表 年产量/亩 年种植本钱/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 韭菜 6吨为使一年的种植总利润 (总利润 =总销售收入减去总种植本钱 )最|大 ,那么黄瓜和韭菜的种植面积 (单位：亩 )分别为A ．50 ,0B ．30 ,20C ．20 ,30D ．0 ,50 【答案】B【命题立意】此题考查函数的简单应用 ,以及简单的线性规划问题 .【解析】设黄瓜的种植面积为x ,韭菜的种植面积为y ,那么有题意知⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,549.02.150y x y x y x ,即⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1803450y x y x y x ,目标函数y x y x y x z 1099.02.163.0455.0+=--⨯+⨯= ,作出可行域如图,由图象可知当直线经过点E 时 ,直线z x y 910910+-=的解决最|大 ,此时z 取得最|大值 ,由⎩⎨⎧=+=+1803450y x y x ,解得⎩⎨⎧==2030y x ,选B.9.【2021（高|考）真题湖北理6】设,,,,,a b c x y z 是正数 ,且22210a b c ++= ,22240x y z ++= ,20ax by cz ++= ,那么a b cx y z++=++A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】C【解析】由于222222)())((2cz by ax z y x c b a ++≥++++等号成立当且仅当,t zcy b x a ===那么a =t x b =t y c =t z ,10)(2222=++z y x t 所以由题知2/1=t ,又2/1,==++++++++===t zy x cb a z y xc b a z c y b x a 所以 ,答案选C. 10.【2021（高|考）真题福建理9】假设函数y =2x 图像上存在点 (x ,y )满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--≤-+m x y x y x 03203 ,那么实数m 的最|大值为A ．12 B.1 C. 32【答案】Ｂ．【解析】如图当直线m x =经过函数xy 2=的图像与直线03=-+y x 的交点时 ,函数x y 2=的图像仅有一个点在可行域内 ,有方程组⎩⎨⎧=-+=032y x y x得1=x ,所以1≤m ,应选Ｂ． 11.【2021（高|考）真题山东理13】假设不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤ ,那么实数k =__________. 【答案】2=k【解析】由2|4|≤-kx 可得62≤≤kx ,所以321≤≤x k ,所以12=k,故2=k . 12.【2021（高|考）真题安徽理11】假设,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；那么x y -的取值范围为_____． 【答案】[3,0]-【命题立意】此题考查线性规划知识 ,会求目标函数的范围 .【解析】约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C ,那么[3,0]t x y =-∈- .13.【2021（高|考）真题全国卷理13】假设x ,y 满足约束条件那么z =3x -y 的最|小值为_________.【答案】1-【解析】做出做出不等式所表示的区域如图,由y x z -=3得z x y -=3 ,平移直线x y 3= ,由图象可知当直线经过点)1,0(C 时 ,直线z x y -=3的截距最| 大 ,此时z 最|小,最|小值为1-3=-=y x z .14.【2021（高|考）江苏13】 (5分 )函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞， ,假设关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +， ,那么实数c 的值为 ▲ ． 【答案】9 .【考点】函数的值域 ,不等式的解集 .【解析】由值域为[0)+∞， ,当2=0x ax b ++时有240a b =-= ,即24a b =, ∴2222()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭. ∴2()2a f x x c ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭解得2a c x c -<+< ,22a a c x c --<<- .∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +， ,∴()()2622aa c c c ----== ,解得9c = .15.【2021（高|考）江苏14】 (5分 )正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，那么ba的取值范围是 ▲ ． 【答案】[] 7e ，. 【考点】可行域 .【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为：354a c a b c c a bc cb e c⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩ . 设==a bx y c c， ,那么题目转化为： x y ，满足35400xx y x y y e x >y >+≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩， ,求y x 的取值范围 . 作出 (x y ， )所在平面区域 (如图 ) .求出=x y e 的切 线的斜率e ,设过切点()00P x y ，的切线为()=0y ex m m +≥ , 那么00000==y ex m me x x x ++,要使它最|小 ,须=0m . ∴yx的最|小值在()00P x y ，处 ,为e .此时 ,点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间 . 当 (x y ， )对应点C 时 , =45=205=7=7=534=2012y x y x yy x y x y xx --⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨--⎩⎩ , ∴yx的最|大值在C 处 ,为7 . ∴y x 的取值范围为[] 7e ，,即ba的取值范围是[] 7e ， . 16.【2021（高|考）真题浙江理17】设a ∈R ,假设x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0 ,那么a ＝______________．【答案】a =【解析】此题按照一般思路 ,那么可分为一下两种情况： (A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－ , 无解； (B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－ , 无解． 因为受到经验的影响 ,会认为此题可能是错题或者解不出此题．其实在x ＞0的整个区间上 ,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个 ?) ,在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图)我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1 ,y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0 ,1)． 考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0 ,得M (11a - ,0) ,还可分析得：a ＞1； 考查函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a - ,0) ,代入得：211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭ ,解之得：2a =± ,舍去2a =- ,得答案：2a =．17.【2021（高|考）真题新课标理14】 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；那么2z x y=-的取值范围为 【答案】]3,3[-【解析】做出不等式所表示的区域如图 ,由y x z 2-=得z x y 2121-=,平移直线x y 21= ,由图象可知当直线经过点)0,3(D 时 ,直线z x y 2121-=的截距最|小 ,此时z 最|大为32=-=y x z ,当直线经过B 点时 ,直线截距最|大 ,此时z 最|小 ,由⎩⎨⎧=+-=-31y x y x ,解得⎩⎨⎧==21y x ,即)2,1(B ,此时3412-=-=-=y x z ,所以33≤≤-z ,即z 的取值范围是]3,3[-.。

全国高考数学试题分类汇编——不等式1. (2005全国卷Ⅰ理第9题，文第9题)设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（ ） （A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞ （D ）),3(log +∞a2. (2005全国卷Ⅰ理第13题，文第13题)若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = 。

)3010.02(lg ≈3．（全国卷Ⅱ文第10题）已知集合2{|47},{|60}M x x N x x x =-≤≤=-->则N M ⋂为 (A){|4237}x x x -≤<-<≤或 (B){|4237}x x x -<≤-≤<或 (C){|23}x x x ≤->或 (D){|23}x x x <-≥或4．（全国卷Ⅱ理第9题）已知集合M={x∣2x -3x -28 ≤0},N = {x|2x -x-6>0}，则M∩N 为（A ）{x|- 4≤x< -2或3<x≤7} （B ）{x|- 4<x≤ -2或 3≤x<7 } （C ）{x|x≤ - 2或 x> 3 } （D ）{x|x<- 2或x≥3}5.(2005全国卷III 文第5题)设173x=，则 ( ) （A ）-2<x<-1 （B ）-3<x<-2 （C ）-1<x<0 （D ）0<x<16. (2005全国卷III 理第6题，文第6题)若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则( ) (A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c7. （2005辽宁卷第6题）若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是 （ ）A ．),21(+∞B ．),1(+∞C ．)1,21(D ．)21,0(8. （2005辽宁卷第7题）在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a9．（2005福建卷文第1题）已知集合∈≤-=x x x P ,1|1|||R|，Q P N x x Q 则},|{∈=等于 （ ） A ．P B ．Q C ．{1，2}D ．{0，1，2}10．（2005福建卷文第2题）不等式01312>+-x x 的解集是 （ ）A ．}2131|{>-<x x x 或B ．}2131|{<<-x xC ．}21|{>x xD ．}31|{->x x11．（2005福建卷文第5题）下列结论正确的是（ ）A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．21,0≥+>x x x 时当C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值12．（2005福建卷理第7题）已知p ：,0)3(:,1|32|<-<-x x q x 则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 13．（2005福建卷理第11题）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-14．（2005湖南卷文第6题）设集合A ＝｛x |11+-x x ＜0}，B ＝｛x || x －1|＜a }，则“a ＝1”是“A ∩B ≠φ ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件15．（2005湖南卷理第8题）集合A ＝｛x |11+-x x ＜0}，B ＝｛x || x -b|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件， 则b 的取值范围可以是 （ ）A ．－2≤b ＜0B ．0＜b ≤2C ．－3＜b ＜－1D ．－1≤b ＜216．（2005湖北卷理第2题，文第2题）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．417. （2005山东卷文第2题）下列大小关系正确的是（A ）30.440.43log 0.3<< (B)30.440.4log 0.33<< (C) 30.44log 0.30.43<< (D)0.434log 0.330.4<< 18. （2005山东卷理第11题）01a <<，下列不等式一定成立的是（ ）（A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++> （B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+ （C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+ 19．（上海卷理第14题,文第14题）已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（ ） A ．{}Z x x x ∈≤<,30| B ．{}Z x x x ∈≤≤,30| C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01| D ．{}Z x x x ∈<≤-,01| 20．（上海卷文第15题）15、条件甲：“1a >”是条件乙：“a > ）A ． 既不充分也不必要条件B ．充要条件 B ．C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件 21．（2005天津卷理第1题）设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=R x x x xB ,03, 则A∩B=(A)]2,3(-- (B)]25,0[]2,3(⋃-- (C)),25[]3,(+∞⋃--∞ (D)),25[)3,(+∞⋃--∞22. （2005天津卷文第2题）已知b 21log ＜a 21log ＜ c 21log ，则A ．2b ＞2a ＞2cB ．2a ＞2b ＞2cC ．2c ＞2b ＞2aD ．2c ＞2a ＞2b23. （2005天津卷理第3题，文第7题） 给出下列三个命题①若1->≥b a ,则bba a +≥+11 ②若正整数m 和n 满足n m ≤,则2)(n m n m ≤- ③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1.当1)()(2121=-+-y b x a 时,圆1O 与圆2O 相切 其中假命题的个数为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)324. （2005天津卷理第9题）设)(1x f-是函数)1( )(21)(>-=-a a a x f x x的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为（ ）A ．),21(2+∞-a aB ． )21,(2a a --∞C ． ),21(2a aa - D ． ),[+∞a25. (2005重庆卷理第5题)若x ，y 是正数，则22)21()21(x y y x +++的最小值是 （ ）A ．3B ．27 C ．4D ．2926. (2005重庆卷文第5题)不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log 2|2|22x x 的解集为 ( )(0,3)；(B) (3,2)；(C) (3,4)；(D) (2,4)。