概率论与数理统计复习1(答案新)

北交《概率论与数理统计》复习题一一、 填空题1. 题在一次读书活动中，某同学从2本科技书和4本文艺书中任选2本，则选中的书都是科技书的概率为______ 1/15_____． 考核知识：古典概型。

2. 设随机事件A 与B 相互独立，且5.0)(=A P ，3.0)(=B A P ，则=)(B P ___0.4________．考核知识点：事件的独立性。

3. 设A ,B 为随机事件，5.0)(=A P ，4.0)(=B P ，8.0)|(=B A P ，则=)|(A B P __0.64_____．考核知识点：条件概率。

4. 设袋中有2个黑球、3个白球，有放回地连续取2次球，每次取一个，则至少取到一个黑球的概率是____16/25_______．5.考核知识点：古典概型。

6. 设随机变量X 的分布律为：则=≥}1{X P ___0.7________． 考核知识点：离散型随机变量。

7. 设二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，其中20,20:≤≤≤≤y x D ．记),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则=)1,1(f ____1/4_______． 考核知识点：概率密度函数。

8. 设),(Y X 的分布律为X Y0 1 2 0 0.3 0.1 0.2 10.10.3则==}{Y X P ____0.4_______． 考核知识点：二维离散型随机变量。

9. 设二维随机变量),(Y X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>--=--其他,00,0),1)(1(),(y x e e y x F yx ，则=≤≤}1,1{Y X P ___________．考核知识点：二维连续型随机变量。

10. 设总体X ～)1,(μN ，21,x x 为来自总体X 的一个样本，估计量2112121ˆx x +=μ，2123231ˆx x +=μ，则方差较小的估计量是___________． 考核知识点：估计量的有效性。

， 概率论与数理统计习题一、单项选择题1．设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误．．的是（ ） A ．0)|(=B A P B ．P （B |A ）=0 C ．P （AB ）=0 D ．P （A ∪B ）=1 2．设A ，B 为两个随机事件，且P （AB ）>0，则P （A|AB ）=（ ） A ．P （A ） B ．P （AB ） C ．P （A|B ） D ．13．设随机变量X 在区间[2，4]上服从均匀分布，则P{2<X<3}=（ ）A ．P{3.5<X<4.5}B ．P{1.5<X<2.5}C ．P{2.5<X<3.5}D ．P{4.5<X<5.5} 4．设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>,1,0;1,2x x x c 则常数c 等于（ ）A ．-1B ．21-C ．21D ．1 5则P{X=Y}=（ ）A ．0.3B ．0.5C ．0.7D ．0.86．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则下列各项中正确的是（ ） A ．E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 B ．E （X ）=2，D （X ）=2 C ．E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 D ．E （X ）=2，D （X ）=47．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，Y~B （8，31），且X ，Y 相互独立，则D （X-3Y-4）=（ ）A ．-13B ．15C ．19D ．238．已知D （X ）=1，D （Y ）=25，ρXY =0.4，则D （X-Y ）=（ ） A ．6 B ．22 C ．30 D ．469．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） A ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 B ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 C ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 D ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率10．设总体X 服从[0，2θ]上的均匀分布（θ>0），x 1, x 2, …, x n 是来自该总体的样本，x 为样本均值，则θ的矩估计θˆ=（ ） A ．x 2 B ．x C ．2x D ．x211A2.D3.C4.D5.A6.A7.C8.B9.C 10.B二、填空题11．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ⋃）=____________.12．一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为____________. 13．甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为____________.14．20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到的是正品的概率为____________.15．设随机变量X~N （1，4），已知标准正态分布函数值Φ（1）=0.8413，为使P{X<a}<0.8413，则常数a<____________.16．抛一枚均匀硬币5次，记正面向上的次数为X ，则P{X ≥1}=____________.17．随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3，E （X ）=1，则x=____________. 18．设随机变量X 的分布律为则D （X ）=____________. 19．设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则D （2X+1）=____________. 20．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f (x, y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤,,0;10,10,1其他y x则P{X ≤21}=____________. 21．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-,,0;0,0,),()(其他y x ey x f y x则当y>0时，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度f Y (y )= ____________.25．设总体X~N （μ,σ2）,x 1,x 2,x 3为来自X 的样本，则当常数a=____________时，3212141ˆx ax x ++=μ是未知参数μ的无偏估计. 11. 0.5 12.3518 13.0.7 14. 0.9 15. 3 16.3231 17.710 18.1 19.94 20.21 21. ye - 25. 41三、计算题26．设二维随机变量（X 试问：X 与Y因为对一切i,j 有}{}P{},P{j i j i Y Y P X X Y Y X X =⋅==== 所以X ，Y 独立。

概率论与数理统计复习题--带答案;第一章一、填空题1.若事件A⊃B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A－B)=（0.3 ）。

2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（0.94 ）。

3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC++）。

4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（0.496 ）。

5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。

6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ABC）。

7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（AB AC BCI I）；8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）；10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5,P(B) =0.2 , 则P(BA-)=（0.5 ）11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。

12.若事件A⊃B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.3 ）;13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5,P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ）14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B=U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ABC ABC ABC++）16.若()0.4P AB A B=UP AB=0.1则(|)P B=，()P A=，()0.2（ 0.2 ）17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ）18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次）。

《概率论与数理统计》复习题及答案《概率论与数理统计》复习题一、填空题 1. 已知P(AB)?P(A)，则A与B的关系是独立。

2．已知A,B互相对立，则A与B的关系是互相对立。

,B为随机事件，则P(AB)?。

P(A)?，P(B)?，P(A?B)?，4. 已知P(A)?，P(B)?，P(A?B)?，则P(A?B)?。

,B为随机事件，P(A)?，P(B)?，P(AB)?，则P(BA)?____。

36．已知P(BA)? ，P(A?B)?，则P(A)?2 / 7。

7．将一枚硬币重复抛掷3次，则正、反面都至少出现一次的概率为。

8. 设某教研室共有教师11人，其中男教师7人，现该教研室中要任选3名为优秀教师，则3名优秀教师中至少有1名女教师的概率为___26____。

339. 设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出1___。

611110. 3人独立破译一密码，他们能单独译出的概率为,,，则此密码被译出的5343概率为______。

5后不放回，则第2次抽出的是次品的概率为___11．每次试验成功的概率为p，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3235Cp(1?p)7次成功的概率为______。

12. 已知3次独立重复试验中事件A至少成功一次的概率为1事件A成功的概率p?______。

319，则一次试验中27c35813．随机变量X能取?1,0,1，取这些值的概率为,c,c，则常数c?__。

24815k14．随机变量X 分布律为P(X?k)?,k?1,2,3,4,5，则P(X?3X?5 )?__。

15x??2,?0?X?(x)???2?x?0,是X的分布函数，则X分布律为__??pi?1x?0?0? ?__。

??2?0,x?0??16．随机变量X的分布函数为F(x)??sinx,0?x??，则2?1,x???2?P(X??3)?__3__。

217. 随机变量X~N(,1)，P(X?3)?，P(X??)?__ 。

概率论与数理统计复习题（1）一． 填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。

若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。

2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。

3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ，则=μ ；=>}0{X P 。

4．1)()(==X D X E 。

若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。

5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。

7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，则=-<-<-}12{Y X P （用Φ表示），=XY ρ 。

8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥<<}82{X P 。

9．设1ˆθ和2ˆθ均是未知参数θ的无偏估计量，且)ˆ()ˆ(2221θθE E >，则其中的统计量 更有效。

10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。

但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。

二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。

设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。

;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。

2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。

3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。

4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。

5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。

6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。

7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。

12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =（ 0.2 ）17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。

概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1. 设A, B, C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) A, B, C 都不发生；(2) A, B, C 不都发生；(3) A, B, C 至少有一个发生；(4) A, B, C 至多有一个发生。

解：(1) ABC A B C(2) ABC A B C(3) A B C(4) BC AC AB2. 设A , B为两相互独立的随机事件, P( A) 0.4 , P( B) 0.6, 求P(A B), P(A B), P( A | B) 。

解：P(A B) P( A) P(B) P( AB) P(A) P(B) P(A)P( B) 0.76 ；P(A B) P( AB) P(A)P(B) 0.16, P( A|B) P( A) 0.4。

3. 设A, B 互斥，P(A) 0.5，P(A B) 0.9 ，求P( B), P(A B) 。

解：P(B) P(A B) P(A) 0.4, P(A B) P( A) 0.5 。

4. 设P( A) 0.5, P(B) 0.6, P(A | B) 0.5 ，求P(A B), P( AB) 。

解：P(AB) P(B)P(A | B) 0.3, P( A B) P( A) P(B) P( A B) 0.8,P( A B)P( A B)P(A)P(A)B 。

0. 25. 设A, B, C 独立且P( A) 0.9, P(B) 0.8, P(C ) 0.7, 求P(A B C) 。

解：P(A B C) 1 P( A B C) 1 P( ABC ) 1 P( A) P(B)P(C ) 0.994 。

6. 袋中有 4 个黄球， 6 个白球，在袋中任取两球，求(1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。

解：(1) P2CC4210215；(2) P1 1C C4 62C10815。

7. 从0 ~ 9 十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。

概率论与数理统计复习题一、选择题（１）设0)(,0)(>>B P A P ，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 。

（ａ）A 与B 互不相容；（ｂ）A 与B 相互独立； （ｃ）A 与B 互不独立；（ｄ）A 与B 互不相容（２）１０个球中有３个红球，７个白球，随机地分给１０个人，每人一球，则最后三个分到球的人中恰有一个得到红球的概率为 。

（ａ）)103(13C ；（ｂ）2)107)(103(；（ｃ）213)107)(103(C ；（ｄ）3102713C C C （３）设X ~)1,1(N ，概率密度为)(x f ，则有 。

（ａ）5.0)0()0(=≥=≤X P X p ；（ｂ）),(),()(∞-∞∈-=x x f x f ； （ｃ）5.0)1()1(=≥=≤X P X P ；（ｄ）),(),(1)(∞-∞∈--=x x F x F （４）若随机变量X ，Y 的)(),(Y D X D 均存在，且0)(,0)(≠≠Y D X D ，)()()(Y E X E XY E =，则有 。

（ａ）X ，Y 一定独立；（ｂ）X ，Y 一定不相关；（ｃ）)()()(Y D X D XY D =；（ｄ）)()()(Y D X D Y X D -=-（５）样本4321,,,X X X X 取自正态分布总体X ，已知μ=)(X E ，但)(X D 未知，则下列随机变量中不能作为统计量的是 。

（ａ）∑==4141i i X X ；（ｂ）μ241-+X X ；（ｃ）∑=-=4122)(1i i X X K σ；（ｄ）∑=-=4122)(31i i X X S（６）假设随机变量X 的密度函数为)(x f 即X ~)(x f ，且)(X E ，)(X D 均存在。

另设n X X ,,1 取自X 的一个样本以及X 是样本均值，则有 。

（ａ）X ~)(x f ；（ｂ）X ni ≤≤1min ~)(x f ；（ｃ）X ni ≤≤1max ~)(x f ；（ｄ）（n X X ,,1 ）~∏=ni x f 1)(（７）每次试验成功率为)10(<<p p ，进行重复独立试验，直到第１０次试验才取得４次成功的概率为 。

;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。

2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。

3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。

4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。

5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。

6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。

7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。

12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。

复习题 （A ）备用数据：220.990.9950.9950.0050.9952.326,(99) 2.575,(99)66.510,(99)138.987u t u χχ=≈===一、选择题（20分，每题4分，请将你选的答案填在（ ）内）1、 下列结论哪一个不正确 （ ）)(A 设A,B 为任意两个事件，则A B A B -=； )(B 若A B =，则A,B 同时发生或A,B 同时不发生； )(C 若A B ⊂，且B A ⊂,则A B =； )(D 若A B ⊂，则A-B 是不可能事件.2、 设(,)X Y 的联合概率函数为则（1）概率(13,0)P Y X ≤<≥等于 （ ）)(A 58； )(B 12； )(C 34； )(D 78.（2）Z X Y =+的概率函数为 （ ）)(A()B()C()D3、 如果2EX <∞，2EY <∞，且X 与Y 满足()()D X Y D X Y +=-,则必有 （ ）)(A X 与Y 独立；)(B X 与Y 不相关； )(C ()0D Y =； )(D ()()0D X D Y =. 4、若()25,()36D X D Y ==,X 和Y 的相关系数,0.4X Y ρ=，则,X Y 的协方差(,)Cov X Y 等于（ ）)(A 5； )(B 10； )(C 12； )(D 36. 二、（12分）设X,Y 为随机变量，且3(0,0)7P X Y ≥≥=，4(0)(0)7P X P Y ≥=≥= 求（1）(min(,)0)P X Y <；（2）(max(,)0)P X Y ≥.三、(10分)一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫，他断言凶犯是黑人.然而，当调查这一案件的警察在可比较的光照条件下多次重新展现现场情况时，发现受害者正确识别袭击者肤色的概率只有80%，假定凶犯是本地人，而在这个城市人口中90%是白人，10%是黑人，且假定白人和黑人的犯罪率相同，（1）问：在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的凶犯确实是黑人的概率是多大？ （2）问：在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的凶犯是白人的概率是多大？ 四、(10分)某商业中心有甲、乙两家影城，假设现有1600位观众去这个商业中心的影城看电影，每位观众随机地选择这两家影城中的一家，且各位观众选择哪家影城是相互独立的.问：影城甲至少应该设多少个座位，才能保证因缺少座位而使观众离影城甲而去的概率小于0.01. （要求用中心极限定理求解.）五、(16分)设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为2,01(,)0,x y f x y <<<⎧=⎨⎩其它（1）求Y X ,的边缘密度函数(),()X Y f x f y ； （2）求条件概率113(0)224P X Y <<<<；（3）问：X 与Y 是否相互独立？请说明理由； （4）求Z X Y =+的概率密度函数()Z f z . 六、(14分)某地交通管理部门随机调查了100辆卡车，得到它们在最近一年的行驶里程（单位：100km ）的数据12100,,,x x x ,由数据算出145x =，样本标准差24s =.假设卡车一年中行驶里程服从正态分布),(2σμN ，分别求出均值μ和方差2σ的双侧0.99置信区间.（请保留小数点后两位有效数字.）七、(18分) 设n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本,总体X 的密度函数为(1),(;)0,e x x ef x θθθθ-+⎧>=⎨⎩其它 ，其中θ为未知参数,01θ<<.(1)求出θ的极大似然估计； (2)记1αθ=，求参数α的极大似然估计；(3)问:在（2）中求到的α的极大似然估计是否为α的无偏估计?请说明理由.复习题（B ）备用数据：220.9750.0250.9750.995(2)0.9772,(8) 2.31,(8) 2.18,(8)17.54, 2.575,t u χχΦ=====一、选择题(共20分，每题4分，请将你选的答案填在( )内) 1、 下列命题哪一个是正确的？ ( )()A 若()()0P A P B >>,则()()P A B P B A <； ()B 若()()0P A P B >>,则()()P A B P B A ≥； )(C 若()0P B >,则()()P A P A B ≥； )(D 若()0P B >,则()()P A B P AB ≤.2、已知1()()()2P A P B P C ===,1()()()4P AB P AC P BC ===,()0P ABC =,判断下列结论哪一个是正确的( ))(A 事件A ，B ，C 两两不独立，但事件A ，B ，C 相互独立；)(B 事件A ，B ，C 两两独立，同时事件A ，B ，C 相互独立；)(C 事件A ，B ，C 两两独立，但事件A ，B ，C 不相互独立； )(D 事件A ，B ，C 不会同时都发生.3、 设12,X X 相互独立，且都服从参数1的指数分布，则当0x >时，12min(,)X X 的分布函数()F x 为( ))(A 121(1)e ---； )(B 21(1)x e ---； )(C 2x e ； )(D 21x e --.4、 已知(,)X Y 的联合概率函数为若X ，Y 独立，则,αβ的值分别为 ( ))(A 12,99αβ==； )(B 21,99αβ==；)(C 15,1818αβ==； )(D 51,1818αβ==.5、 设15,,X X 是取自正态总体(0,1)N 的样本，已知22212345()()X a X X b X X +-+-(0,0)a b >>服从2χ分布，则这个2χ分布的自由度为( ))(A 5； )(B 4； )(C 3； )(D 2.二、(12分)已知男性患色盲的概率为0.005，女性患色盲的概率为0.0025，如在某医院参加体检的人群中，有3000个男性，2000个女性，现从这群人中随机地选一人，(1)求此人患有色盲的概率； (2)若经检验此人的确患有色盲，问：此人为男性的概率是多大？三、(12分)设随机变量Y 服从参数为1的指数分布(1)E .定义随机变量0,1,k Y kX Y k≤⎧=⎨>⎩ , 1,2.k =(1)求12(,)X X 的联合概率函数； (2)分别求12,X X 的边缘概率函数.四、(10分)有100位学生在实验室测定某种化合物的PH 值，假设各人测量都是独立进行的，每人得到的测定结果服从相同的分布，且这个相同分布的期望为5，方差为4，设i X 表示第i 位学生的测定结果，1,,100i =，10011100i i X X ==∑，求(4.6 5.4)P X << .(要求用中心极限定理求解.)五、(16分) 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为1,01,02(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩且其它求(1)Y X ,的边缘密度函数(),()X Y f x f y ； (2)21Z X =+的概率密度函数()Z f z ；(3)(2)(2)E X Y D X Y --和； (4)11()22P Y X ≤≤. 六、(14分)某医生为研究铅中毒患者与正常成年人的脉搏数的关系，他随机调查了9例患者，测得其脉搏数分别为129,,,x x x ,并由此算出99211675,50657i i i i x x ====∑∑. 设铅中毒患者的脉搏数服从正态分布),(2σμN ，分别求出均值μ和标准差σ的置信水平0.95的双侧置信区间.(请保留小数点后两位有效数字.)七、(16分) 设n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本,总体X 的概率密度函数为1,0(;)0xex f x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩,其它，其中θ是未知参数,0θ>。

概率论与数理统计第一章复习题解答概率论与数量统计》第一章习题解答1、写出下列随机试验的样本空间：( 1) 记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分) 。

( 2)生产产品直到有10 件正品为止，记录生产产品的总件数。

( 3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2 件次品就停止检查，或检查了4 件产品就停止检查，记录检查的结果。

(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。

解：(1)设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0, 1, 2,……,100n。

故随机试验的样本空间S= {i/n|i=0,1,2, ……,100n }。

(2)随机试验的样本空间S= {10,11,12,……}。

( 3)以0 表示检查到一个次品, 1 表示检查到一个正品,则随机试验的样本空间S={ 00, 0100, 0101, 0110, 0111, 100, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111}。

(4)随机试验的样本空间S= {(x,y ) |x2+y2<1}。

2、设A, B, C为三个事件，用A, B, C的运算关系表示下列各事件：(1)A发生，B与C都不发生。

(2)A与B都发生，而C不发生。

(3)A, B, C中至少有一个发生。

(4)A, B, C都发生。

(5)A, B, C都不发生。

(6)A, B, C中不多于一个发生。

(7)A, B, C中不多于两个发生。

(8)A, B, C中至少有两个发生。

解：(1) A BC (2) AB C (3) AU BU C (4) ABC(5)A BC(6) ABC U A B C U A B C U A B C(7) S-ABC (8) ABCJ AB C U A B C U A BC3、(1)设A, B, C 为三个事件，且P (A) =P( B) =P( C) =1/4 , P (AB =P (BC =0，P (AC) =1/8，求A，B, C至少有一个发生的概率。

概率论与数理统计复习题（1）复习题概率论与数理统计复习题一、填空题1．已知则．2．已知，A, B两个事件满足条件，且，则。

3．设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，若用表示取出的3件产品中的次品件数，则．4．同时抛掷3枚硬币，以X表示出正面的个数，则X的概率分布为．5．设随机变量X的概率密度为用Y表示对X的3次独立重复观察中事件出现的次数，则。

6．设随机变量X～，且，则_________7．若二维随机变量（X, Y）的区域上服从均匀分布，则（X，Y）的密度函数为8．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为则。

9．设随机变量X的分布律为X-202P0.40.30.3。

10．设随机变量X的概率密度为则 A = 。

11．设，则，。

12．已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，，则。

13．设，，，则．14．设总体是来自总体X的样本，则，。

15．设是总体的样本，则当常数时，是参数的无偏估计量．16．一袋中有50个乒乓球，其中20个红球，30个白球，今两人从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到红球的概率为。

．17．已知、两事件满足条件，且，则= 。

18．已知，，，则、、都不发生的概率为。

．19．设一次试验中事件发生的概率为，又若已知三次独立试验中至少出现一次的概率等于，则。

．20．设事件和中至少有一个发生的概率为，和中有且仅有一个发生的概率为，那么和同时发生的概率为．21．20个运动员中有两名国家队队员，现将运动员平分为两组，则两名国家队队员分在不同的组的概率为。

．22．已知，，则．23．甲袋中有5只白球，5只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，5只红球，10只黑球，从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率为．24．设、是随机事件，，，，则，，．25．设两两相互独立的三个事件、、满足条件，，且已知，则．26．若，且，，则．27．设、为随机事件，已知，，，则．28．设，，，则0.1，0.5，．29．已知，，，则．30．设、相互独立，，，则．31．已知，，，则．32．一个实习生用同一台机器接连独立的制造了3个同种零件，第个零件不合格的概率为，以表示3零件中合格品的个数，则。

第一章 随机事件及其概率复习题一. 单选1. D2. A3. B4. C5. B6. D7. A8. B9. C 10. A. 二. 填空1. 0.9,2. 11(1)n p --, 3. 0.8, 4. 7/8, 5. 1/6, 6. 1/3, 7. 13/18, 1/2, 8. 0.863, 0.435, 9. 0.06, 10. 0.75. 三.计算与证明 1. 解: 6106610!()10104!P P A ==, 6668()0.810P B ==.2. 解:（1）4134411111(12)C P +=-=0.0372;（2）4124412!110.4271;12128!P P =-=-=（3）4132234444444666610.1004;0.1004.77C C C C P P +++=-===或3．解: ,0()()0,()0.ABC AB P ABC P AB P ABC ⊂∴≤≤=∴=则A ，B ，C 至少发生一个的概率为()()()()()()()()111115000.625.44416168P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+=++---+==A ，B ，C 全不发生的概率为3()()1()0.375.8P A B C P A B C P A B C =⋃⋃=-⋃⋃==4．解:设A 表示任意取出一个产品是次品,123,,B B B 分别表示取出一、二、三车间生产的产品，则（1）由全概率公式得112233()()(|)()(|)()(|)0.450.050.350.040.20.020.0405;P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=⨯+⨯+⨯=(2) 由贝叶斯公式得 111()(|)0.450.05(|)0.556.()0.0405P B P A B P B A P A ⨯===5．解:设12,A A 分别表示第一、第二次取出的零件是一等品,12,B B 分别表示取出第一、第二箱中的零件，则 （1）由全概率公式得1111212()()(|)()(|)0.50.20.50.60.4;P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=21121122122111()()(|)()(|)(2)(|)()()11091817()2504930290.4856.0.4P A A P B P A A B P B P A A B P A A P A P A +==⨯⨯+⨯==6．证明:{()}()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC ⋃=⋃=+- =()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C +- =(()()())()()()P A P B P AB P C P A B P C =+-=⋃ 故 A B ⋃与C 独立.第二章随机变量及其分布复习题一 选择题1. B2. B3. C4. D5. C 二 填空题 1.22(),0,1,2,;!kP X k e k k -=== 0.592.27193. ,1,21π==B A2111,,21x R xπ∈+4.,65,61 分布律：X -1 1 2P 616221三 解答题1. 解: X 的分布律为 X 1 2 3 4 P643764196476412. 解: X 的分布律为 1(),1,2,3,.k P X k q p k -=== 3. 解:设X 表示两次调整之间生产的合格品数,则X 的分布律为1()(1),0,1,2,.k P X k p p k -==-=4. 解: X 的概率分布为55()0.250.75,0,1,2,3,4,5.k k k P X k C k -=== 设A 表示“5道选择题至少答对两题”,则()1(0)(1)0.3672.P A P X P X =-=-==5. 解：1）一天中必须有油船转走意味着“X .>3”242(3)0.143;!kk P X ek ∞-=>==∑(查泊松分布表)2) 设设备增加到一天能为y 艘油船服务,才能使到达港口的90%的油船可以得到服务.则21212()0.910.9!20.1,15 4.!kk y kk y P X y ek ey y k ∞-=+∞-=+≤≥⇒-≥⇒≤+≥⇒≥∑∑反查泊松分布表得6. 解：21)()()31()31(3131=+=+⇒>=<⎰⎰∞dx b ax dx b ax X P X P47,23=-=⇒b a7.170170170:1)()0.01()()0.99666170(2.33)0.99 2.33184.6X h h P X h P h h ---≥<⇒<=Φ≥-Φ≈⇒≥⇒≥解查表得2)(182)P X ≥=1821701()1(2)0.02,6--Φ=-Φ≈设A 表示“100个男子中与车门碰头人数不多于2个”676.002.098.002.098.098.0)(2982100991100100=++=C C A P .8. 解：(1) X 的分布函数为 1,02()11,02xx e x F x e x -⎧-∞<≤⎪⎪=⎨⎪-<<+∞⎪⎩011(2)(1)(0)2211(1)(0),22xxP Y P X e dx P Y P X e dx ∞--∞==>===-=≤==⎰⎰故Y 的概率分布律为 Y -1 1P 1/2 1/2Y 的分布函数为 0,11(),1121,1Y y F y y y <-⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩ 第三章 多维随机变量及其分布复习题1. 解：()1由X 和Y 相互独立可知()()(),P X i Y j P X i P Y j =====，i =1，2，3; 0j =，1，2.则X 和Y 的联合概率分布为YX0 1 212311218 124 16 14 11211218124()2()()313P X Y P X Y +≠=-+=()()()()11,22,13,0P X Y P X Y P X Y =-==+==+==111951124412248⎛⎫=-++=-=⎪⎝⎭. 2. 解：由二维联合概率分布律及其性质可知：0.40.11a b +++=，即0.5a b += ()*()00.4P X a ==+， ()1P Y =0.1a =+()()10,1P X Y P X Y +====()1,00.5P X Y a b +===+=则由随机事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立可得： ()()()01P X X Y =⋂+=()1P Y ==0.1a =+()()01P X P X Y ==+=()()()0.40.50.4a a b a =++=+,即 0.10.5(0.4a a +=+可得：0.2a =，再有()*式得：0.3b =.3. 解：由题意可知(),X Y 的可能取值为()0,0，()0,1，()1,0，()1,1， 则(),X Y 的联合分布律为()0,0P X Y ==()()P A B P A B ==⋃()1P A B =-⋃()()()()1P A P B P AB =-+-1111211461233⎛⎫=-+-=-= ⎪⎝⎭()0,1P X Y ==()()()P AB P B P AB ==-11161212=-=()()()()1,0P X Y P A B P A P AB ====- ()()11,112P X Y P AB ====即YX0 1123 112161124. 解：由题意知Y 的密度函数为(),00,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其他，()12,X X 的可能取值为()0,0，()0,1，()1,0，()1,1，则()12,X X 的联合分布律为()()120,01,2P X X P Y Y ===≤≤()1P Y =≤111y e dy e --==-⎰()()()120,11,20P X X P Y Y P φ===≤>==()()()2121211,01,212y P X X P Y Y P Y e dy ee---===>≤=<≤==-⎰()()()21221,11,22yP X X P Y Y P Y e dy e +∞--===>>=>==⎰，即：2X1X0 1111e -- 012ee--- 2e-5. 解：()1由题意记区域G 的面积为()A G ,则()()1216A G x x dx =-=⎰，所以()()()6,,,0,,x y G f x y x y G∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩()2 关于X的边缘密度函数为()()22666,01,0,x x X dy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他关于Y 的边缘密度函数为()()()66,01,0,yy Y dx y y y f y f x y dx +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他()3 不独立. 因为当01,01x y ≤≤≤≤时()()(),X Y fx y f x f y ≠.6. 解：()1关于X 的边缘密度函数为()()2012,01,0,x X dy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他关于Y 的边缘密度函数为()()1211,022,0,y Y y dx y f y f x y dx +∞-∞⎧=-<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他 ()2()112211,,22P X Y fx y dxdy -∞-∞⎛⎫<<=⎪⎝⎭⎰⎰111222002131(1).216y dy dx y dy ==-=⎰⎰⎰第四章 随机变量的数字特征复习题一 选择题B D B D C二 填空题1．18.4 2．1 3．0.9 4．6三 计算题 1.解:⎰+∞∞-dx x f )(=⎰20axdx +42()2621bx c dx a b c +=++=⎰242433222856()()()()6233233a b c E X xf x dx xaxdx x bx c dx xx x a b c +∞-∞==++=++=++=⎰⎰⎰P( 1<x<3)=⎰21axdx +⎰+32)(dx c bx =23a+25b+c=43∴11,,144a b c ==-=2解: E(Z)=21E(X)+31E(Y)=67, Cov(X,Y)= X YρDX DY =1,D(Z)=41D(X)+91D(Y)+31cov(X,Y)=3637Cov(X,Z)= cov(X,2X+3Y )= 21D(X)+31cov(X,Y)=65第七章 参数估计复习题1.解 似然函数为 12222221111()(,)2(2)nii i x x n ni ni i L f x e eσσσσπσπσ=--==∑===∏∏，取对数 221122ln ()ln(2)ln 2ln 22nniii i xxL n n n σπσπσσσ===--=---∑∑令2122ln ()022nii xd n L d σσσσ==-+=∑，解得2σ的极大似然估计值为221ˆxσ=.2.解 记12m in(,,...,)n n X X X X *=，此时θ的似然函数等价于1,()0,ni i x n n n e x L x θθθθ=-+**⎧∑⎪≤=⎨⎪>⎩所以只有当n x θ*≤时，才有可能使()L θ取到最大值.又()L θ对n x θ*≤的θ是增函数，故当n x θ*=取到其最大值.即()m ax ()n L x L θθ*>=所以θ的极大似然估计值为 12ˆmin(,,...,)n n x x x x θ*==.3.解 由于[,1]X U θθ+ ，故总体的期望为212E X θ+=，从而得到方程ˆ21,2X θ+= 解得 1ˆ2X θ=-.所以θ的矩估计量为 1ˆ2X θ=-.又111ˆ()()()222E E X E X E X θθ=-=-=-= ，故1ˆ2X θ=-是θ的无偏估计量.4.证明2221122111ˆ[()]()1(2)nniii i ni i i E E XE X nnEX EX nσμμμμ====-=-=-+∑∑∑2222211(2)ni nμσμμσ==+-+=∑故2ˆσ是2σ的无偏估计量。

概率论与数理统计第⼀章答案习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A ，B 满⾜关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发⽣, 则B 必发⽣. (B) A , B 同时发⽣.(C) 若A 发⽣, 则B 必不发⽣. (D) 若A 不发⽣，则B ⼀定不发⽣.解根据事件的包含关系, 考虑对⽴事件, 本题应选(D).(2) 设A 表⽰“甲种商品畅销, ⼄种商品滞销”, 其对⽴事件A 表⽰( ). (A) 甲种商品滞销, ⼄种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, ⼄种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, ⼄种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者⼄种商品畅销.解设B 表⽰“甲种商品畅销”，C 表⽰“⼄种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D).2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) ⼀袋中有5只球, 其中有3只⽩球和2只⿊球, 从袋中任意取⼀球, 观察其颜⾊; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出⼀个, 观察其颜⾊； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的⿊球个数； (4) ⽣产产品直到有10件正品为⽌, 记录⽣产产品的总件数. 解 (1) {⿊球,⽩球}； (2) {⿊⿊,⿊⽩,⽩⿊,⽩⽩}； (3) {0,1,2}；(4) 设在⽣产第10件正品前共⽣产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }.3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表⽰下列各事件： (1) 仅有A 发⽣；(2) A , B , C 中⾄少有⼀个发⽣; (3) A , B , C 中恰有⼀个发⽣; (4) A , B , C 中最多有⼀个发⽣; (5) A , B , C 都不发⽣;(6) A 不发⽣, B , C 中⾄少有⼀个发⽣. 解 (1) ABC ; (2)A B C ; (3) ABC ABC ABC ;(4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C .4. 事件A i 表⽰某射⼿第i 次(i =1, 2, 3)击中⽬标, 试⽤⽂字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3; (4) A 2－A 3;(5)23A A ； (6)12A A .解 (1) 射⼿第⼀次或第⼆次击中⽬标;(2) 射⼿三次射击中⾄少击中⽬标;(3) 射⼿第三次没有击中⽬标;(4) 射⼿第⼆次击中⽬标,但是第三次没有击中⽬标;(5) 射⼿第⼆次和第三次都没有击中⽬标;(6) 射⼿第⼀次或第⼆次没有击中⽬标.习题1-31. 选择题 (1) 设A, B 为任⼆事件, 则下列关系正确的是( ).(A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ .(C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P A P AB P AB =+.解由⽂⽒图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ).(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.(C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解本题答案应选(C).2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ).解因()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= ,故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =-0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .解由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 知()0.3P AB =. 于是()()()0.1.P AB P A P AB =-=4. 设A , B 为随机事件,()0.7P A =,()0.3P A B -=, 求()P AB .解由公式()()()P A B P A P AB -=-可知,()0.4P AB =. 于是()0.6P AB =.5. 设A , B 是两个事件, 且()0.6P A =, ()0.7P B =.问: (1) 在什么条件下()P AB 取到最⼤值, 最⼤值是多少？ (2) 在什么条件下()P AB 取到最⼩值, 最⼩值是多少？解 ()()()()P AB P A P B P A B =+- =1.3()P A B - .(1) 如果A B B = , 即当A B ?时, P B A P =)( ()B =0.7, 则()P AB 有最⼤值是0.6 .(2) 如果)(B A P =1，或者A B S = 时, ()P AB 有最⼩值是0.3 .6. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1()()12P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发⽣的概率.解因为ABCAB ?,所以0()P ABC P AB ≤≤（）=0, 即有()P ABC =0.由概率⼀般加法公式得()()()()()()()()7.12P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+= 由对⽴事件的概率性质知A ,B , C 全不发⽣的概率是5()()1()12P ABC P A B C P A B C ==-=.习题1-41. 选择题在5件产品中, 有3件⼀等品和2件⼆等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．(A) 都不是⼀等品. (B) 恰有1件⼀等品. (C) ⾄少有1件⼀等品. (D) ⾄多有1件⼀等品.解⾄多有⼀件⼀等品包括恰有⼀件⼀等品和没有⼀等品, 其中只含有⼀件⼀等品的113225C C C ?, 没有⼀等品的概率为023225C C C ?, 将两者加起即为0.7. 答案为（D ）.2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) ⾄少有1件次品的概率; (4) ⾄多有1件次品的概率; (5) ⾄少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是12545350C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21545350C C C ; (3 )⾄少有1件次品的概率是1-03545350C C C ; (4) ⾄多有1件次品的概率是03545350C C C +12545350C C C ; (5) ⾄少有2件次品的概率是21545350C C C +30545350C C C .3. 袋中有9个球, 其中有4个⽩球和5个⿊球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为⽩球的概率；(2) 两个球中⼀个是⽩的, 另⼀个是⿊的概率； (3）⾄少有⼀个⿊球的概率.解从9个球中取出2个球的取法有29C 种，两个球都是⽩球的取法有24C 种，⼀⿊⼀⽩的取法有1154C C 种，由古典概率的公式知道(1) 两球都是⽩球的概率是2924C C ;(2)两球中⼀⿊⼀⽩的概率是115429C C C ;(3)⾄少有⼀个⿊球的概率是12924C C -.4. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和⼩于6 5;(2) 两数之积⼩于14;(3) 以上两个条件同时满⾜;(4) 两数之差的绝对值⼩于12的概率.解设X , Y 为所取的两个数, 则样本空间S = {(X , Y )|0(1) P {X +Y <65}=1441172550.68125-??=≈;(2) P {XY <14}=11411111ln 40.64444dx x+=+≈?;(3) P {X +Y <65, XY <14} =0.2680.932110.2680.932516161()()5545x dx dx x dx x ?+-++-≈0.593.(4) 解设x , y 为所取的两个数, 则样本空间Ω = {(x , y )|012}. 参见图1-1.图1-1 第2题样本空间故 111123222()14AS P A S Ω-===, 其中 S A , S Ω分别表⽰A 与Ω的⾯积.习题1-51. 选择题(1) 设随机事件A , B 满⾜P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件. (C) AB B =. (D)()()P AB P B =.解由条件概率定义可知选(D).(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( ).(A) 若()()P AB P A =, 则A , B 互斥.(B) 若()1P BA =, 则()0P AB =. (C) 若()()1P AB P AB +=, 则A , B 为对⽴事件. (D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.解由条件概率的定义知选（B ）．2. 从1,2,3,4中任取⼀个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取⼀个数, 记为Y ,求P {Y =2}. 解解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4}=41×(0+21+31+41)=4813.3. ⼝袋中有b 个⿊球、r 个红球, 从中任取⼀个, 放回后再放⼊同颜⾊的球a 个. 设B i ={第i 次取到⿊球}, 求1234()P B B B B .解⽤乘法公式得到)|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P =.32ar b a r a r b r a r b a b r b b +++?++?+++?+=注意, a = 1和a = 0分别对应有放回和⽆放回抽样.4. 甲、⼄、丙三⼈同时对某飞机进⾏射击, 三⼈击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被⼀⼈击中⽽被击落的概率为0.2, 被两⼈击中⽽被击落的概率为0.6, 若三⼈都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.解⽬标被击落是由于三⼈射击的结果, 但它显然不能看作三⼈射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表⽰“飞机在⼀次三⼈射击中被击落”, 则(0,1,2,3)i B i =表⽰“恰有i 发击中⽬标”.i B 为互斥的完备事件组. 于是没有击中⽬标概率为0()0.60.50.30.09P B =??=, 恰有⼀发击中⽬标概率为1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =??+??+??=,恰有两发击中⽬标概率为2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =??+??+??=,恰有三发击中⽬标概率为3()0.40.50.70.14P B =??=.⼜已知 0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P A B P A B P A B P A B ====, 所以由全概率公式得到 3()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.iii P A P B P A B ===?+?+?=∑5. 在三个箱⼦中, 第⼀箱装有4个⿊球, 1个⽩球; 第⼆箱装有3个⿊球, 3个⽩球; 第三箱装有3个⿊球, 5个⽩球. 现任取⼀箱, 再从该箱中任取⼀球.(1) 求取出的球是⽩球的概率；(2) 若取出的为⽩球, 求该球属于第⼆箱的概率.解 (1)以A 表⽰“取得球是⽩球”，i H 表⽰“取得球来⾄第i 个箱⼦”,i =1,2,3. 则P (i H )=13, i =1,2,3, 123115(|),(|),(|)528P A H P A H P A H ===. 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. (2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A ==6. 某⼚甲、⼄、丙三个车间⽣产同⼀种产品, 其产量分别占全⼚总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取⼀件进⾏检查.(1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的⼀件是次品, 问此产品来⾃甲、⼄、丙各车间的概率分别是多少？解设A 表⽰“取到的是⼀件次品”, i B (i =1, 2, 3)分别表⽰“所取到的产品来⾃甲、⼄、丙⼯⼚”. 易知,123,,B B B 是样本空间S 的⼀个划分, 且122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===，12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==,3(|)0.05P A B =.(1) 由全概率公式可得112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++0.40.040.380.030.220.0384.=?+?+?=.(2) 由贝叶斯公式可得111(|)()0.40.045(|)()0.038412P A B P B P B A P A ?===,222(|)()0.380.0319(|)()0.038464P A B P B P B A P A ?===,333(|)()0.220.0555(|)()0.0384192P A B P B P B A P A ?===.习题1-61. 选择题(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成⽴的是( ).(A) A , B 相互独⽴. (B) A , B 不相互独⽴.(C) A , B 互为对⽴事件. (D) A , B 不互为对⽴事件. 解⽤反证法, 本题应选(B).(2) 设事件A 与B 独⽴, 则下⾯的说法中错误的是( ).(A) A 与B 独⽴. (B) A 与B 独⽴. (C)()()()P AB P A P B =. (D) A 与B ⼀定互斥.解因事件A 与B 独⽴, 故A B 与,A 与B 及A 与B 也相互独⽴. 因此本题应选(D).(3) 设事件A 与 B 相互独⽴, 且0(A)(|)()P A B P A =. (B) ()()()P AB P A P B =.(C) A 与B ⼀定互斥. (D)()()()()()P A B P A P B P A P B =+- .解因事件A 与B 独⽴, 故A B 与也相互独⽴, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及⼀般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从⽽本题应选(C).2．设A , B 是任意两个事件, 其中A 的概率不等于0和1, 证明 P (B |A )=)(A BP 是事件A 与B 独⽴的充分必要条件.证由于A 的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.充分性. 因事件A 与B 独⽴, 知事件A 与B 也独⽴, 因此()(),()()P B A P B P B A P B ==,从⽽()()P B A P B A =.必要性. 已知()()P BA PB A =, 由条件概率公式和对⽴事件概率公式得到()()()()()1()()P AB P AB P B P AB P A P A P A -==-,移项得[]()1()()()()(),P AB P A P A P B P A P AB -=-化简得 P (AB )=P (A )P (B ), 因此A 和B 独⽴.3. 设三事件A , B 和C 两两独⽴, 满⾜条件：,ABC =?1()()()2P A P B P C ==<, 且9()16P A B C =,求()P A .解根据⼀般加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+ .由题设可知 A , B 和C 两两相互独⽴, ,ABC =?1()()()2P A P B P C ==<, 因此有2()()()[()],()()0,P AB P AC P BC P A P ABC P ====?=从⽽29()3()3[()]16P A B C P A P A =-=,于是3()4P A =或1()4P A =, 再根据题设1()2P A <, 故1()4P A =.4．某⼈向同⼀⽬标独⽴重复射击, 每次射击命中⽬标的概率为p (0解 “第4次射击恰好第2次命中” 表⽰4次射击中第4次命中⽬标, 前3次射击中有⼀次命中⽬标. 由独⽴重复性知所求概率为1223(1)C p p -.5. 甲、⼄两⼈各⾃向同⼀⽬标射击, 已知甲命中⽬标的概率为 0.7, ⼄命中⽬标的概率为0.8. 求：(1) 甲、⼄两⼈同时命中⽬标的概率；(2) 恰有⼀⼈命中⽬标的概率； (3) ⽬标被命中的概率.解甲、⼄两⼈各⾃向同⼀⽬标射击应看作相互独⽴事件. 于是(1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==?=(2)()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=?+?=(3) ()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+-=+-=总习题⼀1. 选择题：设,,A B C 是三个相互独⽴的随机事件, 且0()1P C <<, 则在下列给定的四对事件中不相互独⽴的是( ).(A)A B 与C . (B)AC 与C .(C) A B -与C . (D) AB 与C .解由于A , B , C 是三个相互独⽴的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另⼀个事件或其逆是相互独⽴的, 根据这⼀性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独⽴的, 因⽽均为⼲扰项, 只有选项(B)正确..2. ⼀批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第⼀次取出后不再放回.求: (1) 第⼀次抽得正品且第⼆次抽得次品的概率; (2) 抽得⼀件为正品, ⼀件为次品的概率.解 (1) 第⼀次抽得正品且第⼆次抽得次品的概率为9551910099396?=.(1) 抽得⼀件为正品，⼀件为次品的概率为95559519.10099198+= 3. 设有⼀箱同类型的产品是由三家⼯⼚⽣产的. 已知其中有21的产品是第⼀家⼯⼚⽣产的, 其它⼆⼚各⽣产41. ⼜知第⼀、第⼆家⼯⼚⽣产的产品中有2%是次品, 第三家⼯⼚⽣产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取⼀件产品, 求取到的是次品的概率.解从此箱中任取⼀件产品, 必然是这三个⼚中某⼀家⼯⼚的产品. 设A ={取到的产品是次品},B i ={取到的产品属于第i 家⼯⼚⽣产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =?(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B 1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的⼀个划分. ⼜ P (B 1)=21, P (B 2) =41, P (B 3)=41,P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=1004,由全概率公式得P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3)=100441100241100221?+?+?=0.025. 4. 某⼚⾃动⽣产设备在⽣产前须进⾏调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功,则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某⽇调整后试⽣产, 发现第⼀个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？解设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到()()(|)()(|)0.750.90.250.30.75P B P A P B A P A P B A =+=?+?=.由贝叶斯公式可得()0.750.9(|)0.9()0.75()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ?====.5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02,⽽B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？解以D 表⽰事件“将信息A 传递出去”，以D 表⽰事件“将信息B 传递出去”，以R 表⽰事件“接收到信息A ”,以R 表⽰事件“接收到信息B ”.已知21()0.02,()0.01,(),()33P R D P R D P D P D ====.由贝叶斯公式知()()()196()()197()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D ===+.。

概率论与数理统计复习题（一）判断题第一章 随机事件与概率 1.写出下列随机试验的样本空间（1） 一枚硬币掷三次，观察硬币字面朝上的次数，样本空间为S={}0,123，，. √ （2）袋中有编号为1、2、3的3个球，从中随机取2个，样本空间为{(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}S = . ╳2. 袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取一个.设A =（取到1、2、3号球），B =（取到奇数号球），C =（取到3、4、5号球），D =（取到4、5号球），E =（取到2号球），则（1）A B +=（取到1、1、2、3、3、5号球）；╳ （2）\A B E ≠（取到2号球）； ╳ （3）CD = （取到1、2、3、4、5号球）； ╳ （4）\C D = （取到3号球）； √ （5）A D +=（取到1、2、3、4、5号球）； √ （6）AD =（取到1、2、3、4、5号球）. ╳ 3. 甲、乙二人打靶，每人射击一次，设A ，B 分别为甲、乙命中目标，用A 、B 事件的关系式表示下列事件，则（1）（甲没命中目标）AB = ； ╳ （2）（甲没命中目标）A = ； √ （3）（甲、乙均命中目标）A B =+； ╳ （4）（甲、乙均命中目标）AB = . √ 4.一批产品中有3件次品，从这批产品中任取5件检查，设i A =（5件中恰有i 件次品），i=0,1,2,3 叙述下列事件，则（1）0A =（5件中恰有0件次品）=（5件中没有次品）；√（2）0A =（5件中恰有1件次品）； ╳（3）0A =（5件中至少有1件次品）； √ （4）3A =（5件中最多有2件次品）； ╳ （5）23A A + =（5件中至少有3件次品）； ╳ （6）23A A + =（5件中至少有2件次品）. √ 5.指出下列命题中哪些成立，哪些不成立（1）B A A B A +≠+；╳（2）A B AB AB AB +=++ ；√（3）AB A B A -=-；√（4）A B AB -≠；╳ （5）ABC A B C =；╳ （6）ABC A B C =++ . √6. 袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取一个.设A =（取到1、2、3号球），B =（取到奇数号球），C =（取到3、4、5号球），D =（取到4、5号球），E =（取到2号球），则（1）3()5P A =； √ （2）4()()()5P B E P B P E +=+= ； √ （3）4()()()5P A E P A P E +=+= ；╳ （4）3()()5P A E P A +== ； √（5） ()()()P A B P A P B +=+； ╳ （6）4()5P A B += . √7.（1）设事件A 、B 互斥，2.0)(=A P ， )(B P = ，则 5.0)(=+B A P . √ （2） 设事件A 、B 互斥，2.0)(=A P ，5.0)(=+B A P 则)(B P = . ╳（3） 设()0.5P A =，()0.4P B =，()0.7P A B +=， 则()0.2P AB = . √ 8. 设事件,()0.5,A B P A ⊃=()0.2P B = ，则（1）(\)()()0.3P A B P A P B =-= ；√ （2）()()()0.7P A B P A P B +=+= ； ╳ （3）()()0.5P A B P A +== ；√ （4）()0.5P AB = ； ╳ （5）()0.2P AB =； √（6）(\)()()0.3P B A P B P A =-= . √9. 箱中有2件次品与3件正品，一次取出两个，则 （1）恰取出2件次品的概率为251C ；√ （2）恰取出2件次品的概率为251A ； ╳ （3）恰取出1件次品1件正品的概率为112325C C C ； √ （4）恰取出1件次品1件正品的概率为112325C C A . ╳10.上中下三本一套的书随机放在书架上，则 （1）恰好按上中下顺序放好的概率为3311321A =⨯⨯；√ （2）恰好按上中下顺序放好的概率为13； ╳ （3）上下两本放在一起的概率为3322A ⨯ ； √（4）上下两本放在一起的概率为332A . ╳ 11. 若111(),(),()234P A P B P AB === 则 （1） 1()2P B A = √ （2） 2()3P B A = ╳（3） 3()4P A B = √ （4） ()()P A B P A = ╳12. 已知10只电子元件中有2只是次品，在其中取2次，每次任取一只，作不放回抽样，则（1）(P 第一次取到正品8)10= √ （2）(P 第一次取到次品12110)C C = ╳（3）(P 第一次取到正品，第二次取到次品1182210)C C A = ； √ （4）(P 第一次取到正品，第二次取到次品1182210)C C C = ； ╳ （5）(P 第一次取到正品，第二次取到次品82)109=⨯ ； √ （6）(P 一次取到正品，一次取到次品82)109=⨯. ╳13.设甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有7只红球，3只白球，现在从甲袋中随机取一球，放入乙袋，再从乙袋中随机取一球，则（1）两次都取到红球的概率为⨯681011；√ （2）两次都取到红球的概率为⨯671010； ╳ （3）已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球的概率为710 ； ╳（4）已知从甲袋取到白球，从乙袋中取到红球的概率为⨯371011. ╳14.某人打靶，命中率为，则下列事件的概率为（1）第一枪没打中的概率为；√ （2）第二枪没打中的概率为； √ （3）第二枪没打中的概率为 ；╳（4）第一枪与第二枪全打中的概率为0.20.20.4+= . ╳ （5）第一枪与第二枪全打中的概率为0.20.20.04⨯= √ （6）第三枪第一次打中的概率为20.80.2⨯. √15 .几点概率思想（1）概率是刻画随机事件发生可能性大小的指标；√ （2）随机现象是没有规律的现象； ╳（3）随机现象的确定性指的是频率稳定性，也称统计规律性；√（4）频率稳定性指的是随着试验次数的增多，事件发生的频率接近一个常数；√ （5）实际推断原理为：一次试验小概率事件一般不会发生；√ （6）实际推断原理为：一次试验小概率事件一定不会发生. ╳第二章 随机变量及其分布16.随机变量X 的分布律为1231133p ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则（1）13p = ；√ （2）23p = ╳17.在6只同类产品中有2只次品，4只正品.从中每次取一只，共取5次，每次取出产品立即放回，再取下一只，设X 为5次中取出的次品数，则（1）第3次取到次品的概率为0. ╳ （2）第3次取到次品的概率为13. √ （3）5次中恰取到2只次品的概率{}2522512233P X C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√（4）5次中恰取到2只次品的概率{}25212233P X -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭╳（5）最少取到1只次品的概率{}0505121133P X C ⎛⎫⎛⎫≥=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√（6）最少取到1只次品的概率{}141512133P X C ⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭╳ 18.某交通路口一个月内发生交通事故的次数X 服从参数为3的泊松分布(3)P ，则（1）该交通路口一个月内发生3次交通事故的概率{}31P X ==. ╳（2）该交通路口一个月内发生2次交通事故的概率{}23322!e P X -==. √（3）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率{}13311!e P X -==. ╳（4）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率为{}{}031333010!1!e e P X P X --=+==+. √19. 袋中有2个红球3个白球，从中随机取一个球，当取到红球令1X =，取到白球令0X =，则 （1）称X 为服从01-分布. √ （2）X 为连续型随机变量. ╳（3）X 的分布律为103255⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. ╳ （4）X 的分布律为102355⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. √ 20. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧=1310）（x F 1100≥<≤<x x x ，则 （1）X 的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛323110. √ （2）X 的分布律为012133⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ ╳ （3）{0.5}0P X ≤= ╳ （4）1{0.5}3P X ≤=√ （5）{0.5}0P X ==√ （6）1{0.5}3P X == ╳（7）2{0.5 1.5}3P X <≤= √ （8）{0.5 1.5}1P X <≤= ╳21.设随机变量X 的概率密度01()0Ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它 ， 则（1）常数A =2 . √ （2）常数A =1 . ╳ （3）由积分21Ax dx =⎰可以计算常数A. ╳ （4）由积分1Ax dx +∞-∞=⎰可以计算常数A. ╳(5) 由积分11Axdx =⎰可以计算常数A. √22.设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧=02)(x x f 其它10≤≤x ， 则 （1）1{01}2P X xdx <<=⎰√ （2） 10.5{0.51}2P X xdx <<=⎰ √（3）2{02}2P X xdx <<=⎰╳ （4） 0.5{0.5}2P X xdx +∞>=⎰ ╳23.设随机变量X 的分布函数200()0111x F x xx x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，则X 的概率密度 （1）201()0xx f x <<⎧=⎨⎩其它 √ （2）201()0x x f x ⎧<<=⎨⎩其它╳（3）()2f x x x R =∈ ╳ （4）00()20111x f x xx x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩╳ 24.公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，乘客随机到车站等车，则 （1）乘客候车时间不超过5分钟的概率为12；√ （2）乘客候车时间超过5分钟的概率为12√ （3）乘客候车时间不超过3分钟的概率为310；√（4）乘客候车时间超过3分钟的概率为310. ╳25. 随机变量~(0,1)X N 则 (1){}102P X ≥=√ （2） {}102P X ≤= √ （3） {}{}00P X P X ≥=≤ √ （4）{}{}00P X P X ≥≠≤ ╳ 26. 随机变量)2,3(~2N X 则(1){}52≤<X P =)2/1()1(Φ+Φ ╳ (2) {}104≤<-X P =2)5.3(Φ–1 √ 27. 设01~0.40.6X ⎛⎫⎪⎝⎭，则（1）2Y X =的分布律为020.40.6⎛⎫ ⎪⎝⎭ √ （2）21Y X =+的分布律为130.40.6⎛⎫ ⎪⎝⎭√ 28.设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧=02)(xx f 其它10<<x ,则X e Y =的概率密度为（1）⎩⎨⎧<<=其它01ln )(e y y y f Y ╳ （2）2ln 1()0Y yy e yf y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它√第三章多维随机变量及其分布29.设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为F x y (,)，则（1）{}2,1≤≤Y X P = F （1,2） √ （2）{}1123131213P X Y F F F -<≤<≤=---,(,)(,)(,) ╳ 30. 设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为（1）Y 的边缘分布律为012020404...⎛⎫⎪⎝⎭╳ （2）X ，Y 不独立 ╳（3）（X ，Y ）的分布函数在116(,.)点的值1610(.,)F = ╳（4）20016{,}.P X Y === √ （5）概率1012{}.P X Y +== ╳（6）Z X Y =-的分布律为101201203204016....-⎛⎫⎪⎝⎭√（7）072().E XY = √ （8）相关系数0XY ρ≠ ╳ 31. 设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则 （1）{}Y X M ,max =的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛167163166210 √（2）{}Y X N ,min =的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--167163166012√第四章 随机变量的数字特征32.设随机变量X 的分布律为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41212116121610311 则（1）)(X E =31 √（2）)(2X E = 4/55/]21)2/1(0)1[(22222=++++- ╳ （3）X 的方差D （X ）=7297 √33.设随机变量X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x xx f 其它2110≤<≤≤x x则（1） )(X E =1 √ （2）)(X E =⎰⎰-+211)2(dx x dx x ╳（3）)()(22X E X E -=61 √ （4）X 的方差61)(≠X D ╳34.一批产品中有一、二、三等品，等外品及废品五种，分别占产品总数的70%，10%，10%，6%，4%。

概率论和数理统计真题讲解（一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（）A.P（B|A）＝0B.P（A|B）＞0C.P（A|B）＝P（A）D.P（AB）＝P（A）P（B）『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。

解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确；显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。

故选择A。

提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立；② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。

2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（）A.Φ（0.5）B.Φ（0.75）C.Φ（1）D.Φ（3）『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。

解析：，故选择C。

提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。

3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（）『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。

第33页解析：，故选择A。

提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。

4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（）A.－3B.－1C.－D.1『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。

解析：1＝，所以c＝－1，故选择B。

提示：概率密度的性质：1.f（x）≥0；4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。

课本第38页5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（）A.f（x）＝－e－xB. f（x）＝e－xC. f（x）＝D.f（x）＝『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。

解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散；C：，正确；D：显然不正确。

模拟试题一一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。

9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；二、计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ； 3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。

概率论与数理统计复习题〔一〕一. 选择题：1、假设两个事件 A 和B 同时呈现的概率P(AB)= 0, 那么以下结论正确的选项是( ).(A) A 和B 互不相容.(C) AB 未必是不成能事件. 解此题答案应选(C).2x, x [0, c], (B) AB 是不成能事件.(D) P(A )=0 或P(B)=0.2、设f ( x) 如果c=( ), 那么f (x) 是某一随机变量的概率0, x [0, c].密度函数.1 1 3(A) . (B) . (C) 1. (D) .3 2 2c解由概率密度函数的性质 f ( x)dx 1可得 2 xdx 1, 于是c 1,故本题应选(C ).3、设X ~ N (0,1), 又常数c 满足P{ X≥c} P{ X c} , 那么c 等于( ).1(A) 1. (B) 0. (C) . (D) - 1.2解因为P{ X≥c} P{ X c} , 所以1 P{ X c} P{ X c} ,即2P{ X c} 1 , 从而P{ X c} ,即(c) , 得c=0. 因此此题应选(B).4、设X 与Y 彼此独立，且都从命N(, 2 ) , 那么有( ).(A) E( X Y) E(X ) E(Y) .(C) D( X Y)D(X) D (Y) .(B) E( X Y) 2 .(D) D(X Y) 2 2 .解注意到E(X Y) E(X)E(Y ) 0.由于X 与Y 彼此独立,所以D( X Y)D(X) D(Y) 2 2 . 选(D).25、设总体X 的均值μ与方差σ都存在但未知, 而X , X ,L , X 为来自X 的样1 2 n本, 那么均值μ与方差σ2 的矩估计量别离是() . 1nn(A) X 和S2. (B) X 和(D) X 和2(X ) .ii 1n1(C) μ和σ2. 解选(D).2( X i X ) . n i 1二、在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3 个白球; 第三箱装有 3 个黑球, 5 个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球。