二级倒立摆系统的LQR控制算法研究

环型二级倒立摆LQR控制作者：系别：专业：学号：指导教师：日期：二零零六年五月二十日摘要控制理论发展过程中，某一理论的正确性以及实际应用中可行性，往往需要一个按其理论所设计的控制器去控制一个典型对象来验证其控制策略的效果。

倒立摆就是这样一个较为理想的实验装置。

倒立摆本身是一个自然不稳定体，在控制过程中能有效地反映控制中的许多问题。

倒立摆的典型性在于:作为一个装置，其成本低廉，结构简单，便于模拟，数字实现不同方式控制;作为被控对象，又相当复杂，是高阶次、不稳定、非线性、强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。

本文在环型二级倒立摆系统进行数学建模的基础上得出系统的状态方程, 应用线性二次型最优控制策略, 对环型二级倒立摆进行ＬＱＲ控制器的设计与ＭＡＴＬＡＢ仿真实验，并给出了相应的实验结果。

关键词: 倒立摆；ＬＱＲ；最优控制；状态方程AbstractThe inverted pendulum is an ideal equipment, which enables the possibility to validate the validity and the feasibility of some control theories, The inverted pendulum is a natural unstable equipment and can effectively reflects many matters in the control process. The model of the inverted pendulum is: as an equipment, low cost, simple machinery, easy to perform all kinds of controls in simulation and digital; as a controlled object, quite complex, high orders, instability, non-linearity, strong coupling system. We can keep it stable through some control method. Inverted pendulum system is a complicated , nonlinear , unstable system of high order. In the paper, it is discussed how to model the system of double inverted pendulums by using dynamics equation and then to t transform into a control problem of linearitied system. The optimized cont rolling policy with LQR cont roller is established on the MATLAB platform. The relevant experiment is also provided.Keywords: LQR; inverted pendulum; optimal control目录１概述………………………………………………………………………………………………………………４１.１当前国内外控制理论发展概述………………………………………………………………………５１.２倒立摆系统的历史…………………………………………………………………………………………６１.３倒立摆控制系统的发展动向………………………………………………………………………………７１.４现代控制在倒立摆系统稳定控制中的应用………………………………………………………………９１.５对倒立摆系统研究的意义…………………………………………………………………………………１０１.６本文的主要工作………………………………………………………………………………………………１１２环型倒立摆系统数学模型的建立……………………………………………………………………………１２２.１环型倒立摆的特点………………………………………………………………………………………１２２.２Lagrange方程的特点……………………………………………………………………………………１２２.３状态空间模型……………………………………………………………………………………………１３２.４环型二级倒立摆系统数学模型的建立…………………………………………………………………１４３线性二次型最优控制器（LQR）的设计……………………………………………………………………２１３.１线性二次型最优控制理论………………………………………………………………………………２１３.１.１二次型最优控制理论…………………………………………………………………………………２１３.１.２加权矩阵的选取………………………………………………………………………………………２３３.２系统的可控性与可观测性………………………………………………………………………………２４３.３环型二级倒立摆LQR调节器的设计……………………………………………………………………２４３.３.１设计要求………………………………………………………………………………………………２５３.３.２理论分析………………………………………………………………………………………………２５３.３.３实例分析………………………………………………………………………………………………２６３.３.４Matlab实现……………………………………………………………………………………………３０４结束语…………………………………………………………………………………………………………３３致谢…………………………………………………………………………………………………………………３４参考文献……………………………………………………………………………………………………………３５附录…………………………………………………………………………………………………………………３６1 概述在现代科学技术的许多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。

摘要提出了一种利用模糊控制器进行倒立摆控制的方法，建立了倒立摆的数学模型，并进行了计算机仿真，仿真结果表明，该方案可以得到较为满意的结果。

关键词倒立摆模糊控制器计算机仿真1引言倒立摆小车系统如图1所示。

它由质量为 M的小车，长为2 L 的倒立摆构成。

倒立摆质量为m，铰链在小车上。

小车在控制函数f =u(t)的作用下，沿滑轨在x方向运动，使倒立摆在垂直平面内稳定。

x=0.05 m, 倒立摆的角度=0.08 rad。

我们通常用状态空间法来解决多输入、输出的问题。

对这个倒立摆问题我们尝试控制倒立摆的角度theta和小车的位置x。

要求小车应在5 s内到达期望位置，并且上升时间在5 s之内，同时限制倒立摆的最大角度为2°(0.35弧度)，在5 s内稳定。

其中：M—小车的质量（M=1 kg）;m—倒立摆的质量（m=0.1 kg）;F—加给小车的外力；b—小车的摩擦系数（50 N/s）；2 L —倒立摆的长度（2 L=2 m）；x —小车的位置。

2系统分析与建模经分析，系统的动力学方程组为：由于φ较小，系统的动力学方程组可线性化为：计算A的极点为0，-5.1188，-2.6013，2.7476，有一个极点在右半平面，原系统是不稳定的。

而根据原系统的可控性，rank(［B AB A2B A3B］)=4，因而是可控的，可以任意配置系统的极点。

在matlab中，命令lqr (A,B,Q,R)可解连续时间的线性二次型调节器问题，并可解与其有关的黎卡提方程。

该命令可计算最佳反馈增益矩阵K，并且产生性能指标：在约束方程条件下达到极小的反馈控制律：u=-Kx。

可求得：K=［-22.3607，-30.1549，-142.8290，-52.2546 ］，此时系统的极点分别为-4.33082.1985i，-2 56330.4834i，都处于s左半平面，系统是稳定的。

系统对应的响应曲线为图2所示。

由图2知线性化的系统达到了二次型最佳控制条件下的设计要求。

直线二级倒立摆建模与仿真1、直线二级倒立摆建模为进行性线控制器的设计,首先需要对被控制系统进行建模.二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设：1)每一级摆杆都是刚体；2)在实验过程中同步带长保持不变；3)驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接拖加于小车；4)在实验过程中动摩擦、库仑摩擦等所有摩擦力足够小，可以忽略不计。

图1 二级摆物理模型二级倒立摆的参数定义如下：M 小车质量m1摆杆1的质量m2摆杆2的质量m3质量块的质量l1摆杆1到转动中心的距离l2摆杆2到转动中心的距离θ1摆杆1到转动与竖直方向的夹角θ2摆杆2到转动与竖直方向的夹角F 作用在系统上的外力利用拉格朗日方程推导运动学方程拉格朗日方程为：其中L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能其中错误!未找到引用源。

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为系统在第i 个广义坐标上的外力，在二级倒立摆系统中，系统有三个广义坐标，分别为x,θ1,θ2,θ3。

首先计算系统的动能：其中错误!未找到引用源。

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分别为小车的动能，摆杆1的动能，摆杆2的动能和质量块的动能。

小车的动能：错误!未找到引用源。

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分别为摆杆1的平动动能和转动动能。

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分别为摆杆2的平动动能和转动动能。

对于系统，设以下变量： xpend1摆杆1质心横坐标 xpend2摆杆2质心横坐标 yangle1摆杆1质心纵坐标 yangle2摆杆2质心纵坐标 xmass 质量块质心横坐标 ymass 质量块质心纵坐标 又有：(,)(,)(,)L q q T q q V q q =-则有：系统总动能：系统总势能：则有：求解状态方程：可解得：使用MATLAB对得到的系统进行阶跃响应分析，执行命令：A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 01;0 0 0 0 0 0;0 86.69 -21.62 0 0 0;0 -40.31 39.45 0 0 0];B=[0;0;0;1;6.64;-0.808];C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];D=[0;0;0];sys=ss(A,B,C,D);t=0:0.001:5;step(sys,t)求取系统的单位阶跃响应曲线：图2 二级摆阶跃响应曲线由图示可知系统小车位置、摆杆1角度和摆杆2角度均发散，需要设计控制器以满足期望要求。

西安工业大学北方信息工程学院本科毕业设计(论文)题目：二级倒立摆系统稳定控制方法研究系别：电子信息系专业：自动化班级：姓名：学号：导师：年月毕业设计（论文）任务书系（部）电子信息系专业自动化班姓名学号1.毕业设计（论文）题目：二级倒立摆系统稳定控制方法研究2.题目背景和意义：本课题是个理论研究课题，对控制理论的研究有较高的应用价值，也对实际生产过程有广泛的应用价值。

课题内容紧密结合自动化专业教学要求。

通过本课题，学生可以深入了解分析问题和解决问题的方法，能够把所学理论知识应用于实际问题中，学会Matlabhe和Simulink的软件编程及系统的仿真分析方法。

3.设计(论文)的主要内容（理工科含技术指标）：（1）查阅资料深入了解倒立摆系统的结构和特点，以及目前的发展情况。

（2）研究倒立摆系统的建模方法，并进行方案的选择和比较，建立倒立摆系统的模型（3）研究倒立摆系统稳定控制方法，并进行方案的选择和比较，进行算法分析和研究，选择合适的方法对倒立摆系统进行稳定控制（4）研究软件编程的方法，编写代码，完成整个系统的设计；学习Simulink仿真系统的方法，对各种方案进行仿真比较。

（5）系统调试及结果分析。

（6）与题目有关的英文资料翻译（要求：汉字3000以上）（7）撰写毕业设计论文，字数在一万五千左右。

4.设计的基本要求及进度安排（含起始时间、设计地点）：起止时间2011.11—2012.5设计地点：西安工业大学金花校区。

完成任务书规定的设计内容，提交相应的设计成果。

1—3周：查阅有关资料，对课题有清楚的了解认知，准备开题答辩。

4—7周：倒立摆建模，认真研究其特点。

对开环系统进行仿真。

8-12周：研究倒立摆系统稳定控制方法，并进行方案的选择和比较，进行算法分析和研究，选择合适的方法对倒立摆系统进行稳定控制；准备中期答辩，完成外文资料翻译。

13—15周：研究软件编程的方法，编写代码，学习Simulink 仿真系统的方法，调试系统，进行实验；16—17周：编写毕业论文。

收稿日期：－年－月－日；修回日期：－年－月－日. 基金项目：安徽工程科技学院青年科研基金（2008YQ047）.作者简介：邢景虎（1980--），男，汉(安徽、芜湖市)，讲师，硕士，从事电力电子技术及现代电力传动控制、智 能控制的研究。

二级倒立摆基于融合函数的模糊控制邢景虎(安徽工程科技学院 电气传动与控制安徽省高校重点实验室，安徽 芜湖241000)摘 要：采用模糊控制理论研究了二级倒立摆的控制问题。

考虑到二级倒立摆为多变量系统，为了解决模糊控制器规则组合爆炸问题，利用LQR 控制方法设计了融合函数以降低模糊控制器的输入变量维数，大大减少模糊控制的规则数，并研究了量化因子对控制效果的影响，通过设置阈值使量化因子可自动调节，进而提高模糊控制器的性能品质。

仿真和实验结果表明，这种模糊控制算法规则数少，响应速度快，有良好的稳定性和鲁棒性。

关键词：二级倒立摆；LQR ；模糊控制；融合函数；量化因子 中图分类号：TP273 文件标识码：AFusion Function Based Fuzzy Control for a Double InvertedPendulumXING Jing-hu(Anhui University of Technology And Science, Anhui Provincial key Laboratory of Electric and Control, Wuhu 241000, China. Correspondent:XING Jing-hu,E-mail:xingjinghu@ )Abstract: The fuzzy control theory is introduced to study the controlling problem of the double inverted pendulum in this paper. In order to solve the fuzzy rule number ’sexplosion in multi-variable system,the dimensions of input varieties of a fuzzy controller are depressed by designing a fusion function using the LQR theory, and it can reduce the rules of fuzzy greatly. The infection of quantification factors to the effect of control is studied. The quality of the fuzzy controller is improved by adding auto turning quantification factors. Simulation and experiment prove that this fuzzy control arithmetic has the advantages of few rules, fast speed, good stability and good robustness. Keywords:Double inverted pendulum; LQR;Fuzzy control; fusion function; quantification factors1 引言倒立摆系统是一个非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统，倒立摆系统通常用来检验控制策略的效果，是控制理论研究中较为理想的实验装置。

论 文2006年第2期广东自动化与信息工程 1倒立摆的PID 与LQR 控制算法的对比研究朱文凯 袁桂嫦 朱学峰华南理工大学自动化学院摘要文章在一级倒立摆的数学模型的基础上基于MATLAB 仿真软件对一级倒立摆的PID 及LQR 控制算法进行了仿真研究一般而言LQR 控制算法的控制性能要优于PID控制算法关键词倒立摆PID LQR1 引言倒立摆是一种典型的快速多变量非线性绝对不稳定非最小相位系统由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有极大的相似性因而对其进行研究具有重要的理论和实践意义同时由于倒立摆结构简单成本低廉因此成为人们学习研究和验证各种控制理论的理想装置2 PID 控制算法的研究PID 控制是最早发展起来的一种控制方法, 至今仍广泛应用于工业过程控制中[2] [3](1) 比例调节P比例系数Kp 的大小决定了比例调节器调节的快慢程度但Kp 过大会使控制系统出现超调或振荡现象Kp 过小又起不到调节作用比例控制无法消除余差(2) 积分调节I积分作用可消除余差积分常数Ti 的大小决定了积分作用强弱程度积分作用通常使系统的稳定性下降因此, 积分常数Ti 大小的选择要得当(3) 微分调节D当偏差e 瞬间波动过快时微分调节器会立即产生响应来抑制偏差的变化使系统更趋于稳定改善了系统的动态性能通过选择不同的PID 参数对倒立摆系统进行仿真决定对每个控制指标都选择PD 控制方式控制器为ui ( k) = kpi ei ( k) + kdi dei ( k)式中, ei ( k) dei ( k)分别为第i 个控制指标的误差和误差变化率,总的控制量u ( k) =∑=41)(i i ku 下面将利用MATLAB 进行仿真[1] [4]然后再修改相关参数比较分析仿真结果首先设定4个控制指标摆角角速度小车位置小车速度的PD 参数,初始依次选择为( 50, 10 ) , ( 10, 10 )(1010)(1010)改变摆角误差e1的比例系数Kp1观察仿真的变化增大摆角误差e1的比例系数Kp1使u1中的Kp1由50增至100仿真对比结果如图1图2所示图1 增加摆角误差e1比例系数Kp1后对比仿真曲线摆角图2 增加摆角误差e1比例系数Kp1后对比仿真曲线控制量u可见增大了摆角误差e1的比例系数Kp1后摆角Angle 的动态性能明显的有所提高但换来的代价是控制量 u 的增大即消耗更多的能量2下面探求增加摆角误差e1的微分系数Kd1后控制效果的变化使u1的Kd1由10增至150摆角Angle 的对比仿真结果如图3所示图3 增加摆角误差e1的微分系数Kd1后仿真曲线可见微分作用过度增大后摆角的超调量调节时间有所增加即动态性能变坏故Kd 的选择要适当3 LQR 控制算法的研究LQR 控制算法是基于状态方程x=Ax+Bu 确定最佳控制量u(t)=-Kx(t)的最优反馈增益矩阵K 使得控制性能指标∫∞+=0)(dt Ru u Qx x J TT 达到极小其实质在于用较小的控制来维持较小的误差达到能量和误差综合最优的目的其中Q 为正定或半正定厄米特矩阵R 为正定厄米特矩阵Q 和R 分别表示了误差和能量损耗的相对重要性Q 中对角矩阵的各个元素分别代表对各项指标误差的重视程度[5]下面将研究Q R 参数的变化对性能指标的影响LQR 控制器的最优反馈增益矩阵为 K=LQR A B Q R u(k)=-Kx由原理知,要求出最优控制作用u ,除求解代数Riccati 方程外,加权矩阵的选择也是至关重要的下面是几个选择的一般原则• 通常选用Q 和R 为对角线矩阵,实际应用中,通常将R 值固定,然后改变Q 的数值,最优控制的确定通常在经过仿真或实际比较后得到当控制输入只有一个时, R 成为一个标量数(一般可直接选R = 1)• Q 的选择不唯一这表明当得到的控制器相同时,可以有多种Q 值的选择,其中总有一个对角线形式的Q下面将通过仿真实验[1]探求加权阵Q ( t) R ( t) 与性能指标间的关系设定初始参数为Q1000010*********R [0.1]现在改变Q 的权值本次将通过改变小车位置状态变量的权值观察变化即G100001000000100001R [0.1]对比仿真结果如图4图5所示K-81.0131 -15.1156 -31.6228 -21.3686图4 改变小车位置权值后仿真曲线小车位置 CarPosition图5 改变小车位置权值后仿真曲线控制量u可以看出经过增大小车位置的状态变量权值后由1增大为100小车位置的响应效果有明显的改善但是我们同时也发现动态性能的改善的代价是控制量 u 增大从0.8增至 1.4即以比较大的能量消耗为代价故可得出结论当Q ( t) 阵中某一元素的权值增大时, 与其相对应的x ( t) 的动态响应过程好转, ts td 显著下降系统快速性得到明显提高与此同时朱文凯 袁桂嫦 朱学峰倒立摆的PID 与LQR 控制算法的对比研究2006年第2期广东自动化与信息工程 3也引进了一些振荡而控制量的幅值会相应增大这表明要求输入能量增大即要提高动态性能必须以比较大的能量消耗为代价现保持Q 值不变即Q1000010*********增大R 使R [0.1]变为R [3]考察控制量的变化对比仿真结果如图6所示K-28.6326 -5.1621 -0.5774 -1.5217图6 增大R 值后的仿真曲线控制量u可见当R ( t) 阵中某一元素的权值增大时控制量幅值相应减小由0.8减少为0.5,表明能量消耗随R ( t) 增大而减小,其对应的动态性能指标有所改善,但并不显著结论LQR 最优控制系统中Q ( t) 和R ( t) 的选择是相互制约相互影响的如果要求控制状态的误差平方积分减少必然会导致增大能量的消耗反之为了节省控制能量就不得不牺牲对控制性能的要求 4 结论常规PID 控制的效果稍差而LQR 控制可以比较好地控制倒立摆主要是因为常规PID 控制器实质上是一种线性控制器对于像倒立摆这样的非线性绝对不稳定系统控制效果上显得有所不足但LQR 的抗干扰性能及鲁棒性也不是十分的完美因为LQR 是通过对系统进行局部线性化后运用的一种方法随着控制理论的发展新的控制方法不断出现但PID 控制器因具有结构简单设计原理易于被工程设计人员掌握鲁棒性强和不需要对象的精确数学模型等优点在工业过程控制中仍然得到了最广泛的应用然而对于那些复杂如具有延迟非线性和时变的控制系统为了克服传统PID 控制的缺点人们把传统PID 控制与模糊逻辑神经网络遗传算法等人工智能技术相结合形成智能PID 参考文献[1] 刘金琨. 先进PID 控制及其MATLAB 仿真[M]. 北京: 电子工业出版社, 2003: 325330[2] 邱丽, 曾贵娥, 朱学峰, 等. 几种PID 控制器参数整定方法的比较研究[J]. 自动化技术与应用, 2005, 24 (11):28~31 [3] Kiam Heong Ang, Gregory Chong, Yun Li . PID Controlsystem Analysis, Design, and Technology.[J] IEEE Transactions on control systems technology, 2005, 13 (4) [4] 罗晶, 陈平. 一阶倒立摆的PID 控制[J]. 实验室研究与探索,2005, 24 (11):26~28[5] 刘豹. 现代控制理论第2版[M]. 北京: 机械工业出版社, 2004: 272292A Comparative Study of PID and LQR Algorithm for Inverted PendulumZhu Wenkai Yuan Guichang Zhu Xuefeng(College of Automation Science and Engineering, South China University of Technology)Abstract : In this paper, based on the mathematic model of the pendulum and MATLAB software, the PID and the LQRalgorithms are respectively applied to control the pendulum. In general, the control performance of LQR is better than PID.Key words : Pendulum; PID Control; LQR Control作者简介朱文凯男1982年生本科研究方向控制理论与控制工程网络实时控制。

二级倒立摆的LQR 和LQY 控制摘要：本文首先采用小扰动原理将二级倒立摆的非线性模型在其平衡点附近线性化，然后基于该线性化模型，分别采用线性二次状态调节器和输出调节器设计最优性能指标和反馈控制率，最后进行了仿真，并对两者的仿真结果进行了分析和比较。

一． 二级倒立摆非线性数学模型的建立及线性化图1给出了一个二级倒立摆系统的物理结构示意图。

其中r 表示小车在水平位置的位移，1θ表示下摆杆与垂直位置的角度，2θ表示上摆杆与垂直位置的角度。

图 1 二级倒立摆的物理结构示意图为了设计上述二级倒立摆系统的线性控制器，必须先对被控系统进行建模。

另外，为了减小建模的难度，对系统有如下假设：① 每一级摆杆都是刚体。

② 在实验过程中同步带长度保持不变。

③ 驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接施加于小车。

④ 实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过程中可忽略不计。

在上述假设的条件下，根据动力学理论，其动力学方程如下：Gu N rF r M ++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡),(),,,(),(212121212121θθθθθθθθθθθθ （1）其中)cos( cos )cos( cos )( cos cos )( ),(2222122122221221221221111121222112132121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++++++=l M J l L M l M l L M L M l M J l M M l M l M M M M M M θθθθθθθθθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+∙--+∙-+-∙∙+-=12112212221221221222211121102121 )sin( 0 )sin( )( 0 sin sin )( ),,,(F F l L M F l L M F F l M L M l M F F θθθθθθθθθθθθθθ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=2221121121sinsin 0 ),(θθθθg l M g L M l M N ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= 0 0 0G G式中个参量的意义及参数值如下表1所示。

毕业设计（论文）题目直线二级倒立摆控制策略研究毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。

对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。

作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解**学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。

有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。

学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。

保密的论文（设计）在解密后适用本规定。

作者签名：指导教师签名：日期：日期：注意事项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。

3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。

4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。

图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它摘要倒立摆是一个复杂的多变量强耦合不稳定非线性的系统，借助于这样一个系统可以有效的检测各种控制理论的好坏。

Fig 4.1 Conventional LQR control system structure对于状态方程式所表示的连续时间的线性被控对象有：(4-1)0)0(),()()(x x t Bu t Ax t x =+=上式中，x(t)为n 维状态向量；u(t)为m 维控制向量；A ，B 分别为n×n 及n×m 阶的常数矩阵。

在进行线性二次最优控制系统设计时，比较令人感兴趣的是如何选择控制向量u(t)，使得给定的性能指标达到最小，线性二次最优调节器( LQR) 是针对系统状态方程，寻找最优控制，使得控制性能指标 J 达到最小，其中 Q 、R 分别表示了对状态变量和输入变量的加权值。

二次型性能指标函数：(4-2)dt RU U QX X J T T )(+=⎰+∞∞-则有如下状态反馈控制律：(4-3))()(t Kx t U -=式中，K 为最优反馈矩阵：(4-4)P B R K T 1-=在式(4-4)中，P 为Riccati 方程非负定对称解。

而Riccati 方程为：(4-5)01=+-+-Q P B PBR P A PA T T 如此，可得到状态反馈增益向量K ：(4-6)P B R K T 1-= 由此可见最优控制器的设计的关键是选择合适的加权矩阵Q 和R ，并根据式(4-6)可以算出P ，这样就能求出反馈增益K 了。

而加权矩阵Q 和R 的具体作用为：Q 中某元素相对增加时，其对应的状态变量的响应速度增加，其他状态变量的响应速度相对减慢；R 增加时，控制力减小，角度变化变小，跟随速度变慢。

改变矩阵Q 的值，可以得到不同的响应效果，Q 主对角线元素的值在一定范围之内越大，系统调整时间越短，而且抵抗干扰的能力越强，但是Q 不能过大，不然将对实验结果有一定的影响[16]。

上述推导过程即为线性二次最优控制的控制原理。

而当今现在，随着计算机技术的飞速发展，已经可以不使用上述公式进行繁琐的计算，而利用 MATLAB 的lqr 命令轻松的得到反馈矩阵K 的值：(,,,)K lqr A B Q R = 4.3 二次最优控制器的参数调整二次最优控制器的参数调整关键在于选择好合适的加权矩阵Q 和R ，这样就能得出反馈增益K [17]。

基于LQR的倒立摆最优控制系统设计基于LQR的倒立摆最优控制系统设计[摘要]倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，它是检验各种新的控制理论和方法有效性的典型理想模型。

在其控制过程中，能有效地反映诸如镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多关键问题。

本文主要研究二级倒立摆LQR控制方法。

本文以二级直线倒立摆为研究对象，对直线二级倒立摆系统进行分析，然后运用Matlab实时控制软件对模型进行控制算法的模拟仿真，最后得出相应结论。

本文先对二级直线倒立摆的模型进行分析，然后通过拉格朗日方程建立倒立摆的数学模型，然后再二级倒立摆的状态方程、系统的稳定性及能控性和能控性做了详细的分析，再以最优控制理论为原理，设计出LQR控制器，通过对倒立摆系统的LQR 控制算法的研究，探讨了加权矩阵Q和R的选取方法，最后利用Matlab建立倒立摆系统模型，进行了二级倒立摆的LQR控制器的仿真，模拟出相应参数下的阶跃响应曲线，通过对响应曲线的稳定性，快速性的观察，选取最合适的加权矩阵Q和R。

[关键词]二级直线倒立摆；LQR控制；仿真Research on Double Inverted Pendulum Control SystemBased on LQR[Abstract]The inverted pendulum is a typical high order system, with multi- variable, non-linear, strong-coupling, fleet and absolutely instable. It is representative as an ideal model to prove new control theory and techniques. During the control process, pendulum can effectively reflect many key problems such as equanimity, robust, follow-up and track, therefore. This paper studies a control method of double inverted pendulum LQR.In this paper, two linear inverted pendulum as the researchobject, linear inverted pendulum system for analysis, then the use of real-time control software Matlab model control algorithm simulation, finally draw the appropriate conclusions.This article first for two straight inverted pendulum model analysis, and then through Lagrange equation established mathematical model of inverted pendulum, and then inverted pendulum equation of state, system stability and controllability and controllability do a detailed analysis, then the theory of optimal control theory to design a LQR controller, through the inverted pendulum system LQR control algorithm, discusses the weighting matrices Q and R, selection methods, and finally the use of Matlab established inverted pendulum system model for the two inverted pendulum LQR controller simulation, simulation of the corresponding parameters of the step response curve, through the response curve of stability, speed observation, select the most appropriate weighting matrices Q and R.[Key Words]Double linear inverted pendulum; LQR control; Simulation前言倒立摆系统是进行控制理论研究的典型实验平台。

基于LQR的二级倒立摆控制系统研究摘要倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，它是检验各种新的控制理论和方法有效性的典型理想模型。

在其控制过程中，能有效地反映诸如镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多关键问题。

本文主要研究二级倒立摆LQR控制方法。

首先建立了二级倒立摆的数学模型，然后对二级倒立摆的数学模型进行控制设计，应用遗传算法确定系统性能指标函数中的加权阵Q，R得到系统状态反馈控制矩阵。

最后，用MATLAB进行了系统仿真。

在几次凑试Q矩阵值后系统的响应结果都不尽如人意，于是采用遗传算法对Q矩阵优化。

仿真结果证明：经过遗传算法优系统响应能更加满足设计要求。

关键词二级倒立摆；LQR控制；遗传算法Research on double inverted pendulum controlsystem based on LQRAbstractThe inverted pendulum is a typical high order system, with multi- variable, non-linear, strong-coupling, fleet and absolutely instable. It is representative as an ideal model to prove new control theory and techniques. During the control process, pendulum can effectively reflect many key problems such as equanimity, robust, follow-up and track, therefore.This paper studies a control method of double inverted pendulum LQR. First of all, the mathematical model of the double inverted pendulum is established, then make a control design to double inverted pendulum on the mathematical model, and determine the system performance index weight matrix Q, R by using genetic algorithm in order to attain the system state feedback control matrix. Finally, the simulation of the system is made by MATLAB. After several test matrix Q value the results are not satisfactory response, then we optimize Q matrix by using Genetic Algorithm. Simulation results show: The system response can meet the design requirements effectively after Genetic Algorithm optimization.Key words Double inverted pendulum; LQR control; Genetic Algorithm.目录摘要 (I)Abstract (II)第1章绪论 (1)1.1引言 (1)1.2倒立摆设备简介 ..................................... 错误!未定义书签。

【关键词】倒立摆粒子群 LQR 模糊控制实时控制【英文关键词】Inverted pendulum PSO LQR Fuzzy control Real-time control倒立摆论文：基于粒子群优化的二级倒立摆控制研究【中文摘要】倒立摆系统是一个多变量、强耦合、自然不稳定的高阶非线性系统，研究它的控制设计具有很大的意义。

一方面可以反映许多控制理论中的经典问题，如系统鲁棒性问题、镇定问题、跟踪问题；另一方面对于军事工业、航天仪器、机器人领域和一般工业进程也有着很高的理论指导意义，是控制理论与实际应用的桥梁；倒立摆系统作为检验各种控制算法和控制理论的典型实验装置，为检验控制器设计方法的有效性做了重要贡献。

本文以直线二级倒立摆系统为研究对象，将粒子群算法应用到传统控制理论和智能控制理论当中，设计了基于粒子群优化的二级倒立摆LQR最优控制器和基于粒子群优化的二级倒立摆模糊控制器，并对倒立摆实物系统进行了实时控制。

具体研究内容如下：1）介绍倒立摆系统的和研究现状，运用拉格朗日方程建立二级倒立摆系统的数学机理模型，并在平衡点附近进行线性化处理得到其状态空间方程，运用线性控制理论对其进行定性分析，证明了直线二级倒立摆系统的自然不稳定性和平衡位置附近的能控能观性。

2）介绍LQR最优控制和粒子群算法的基本原理。

利用粒子群算法所具有的智能式搜索、渐进式优化，快速收敛等特点，获取Q、R的全局最优解，从而设计状态反馈控制律K，实现基于粒子群算法优化的二级倒立摆LQR控制器设计，并仿真验证了控制方法的有效性。

3）利用LQR控制器设计的状态反馈控制率K，设计信息融合函数，将系统输入变量降维，然后将粒子群算法的强大优化功能应用到比例因子和加权因子的选取当中，实现了基于粒子群优化的二级倒立摆模糊控制器设计，并通过仿真验证了控制方法的有效性。

最后对所设计的两种控制器进行了仿真对比分析，结果表明基于粒子群算法优化的模糊控制器具有更好的稳定性和鲁棒性。