高考数学一轮复习 直线和圆的综合应用01课件

第07讲直线与圆本讲分三小节，分别为直线与圆的基本量与方程、位置关系、线性规划，建议用时3课时．直线的基本量有倾斜角、斜率与截距，直线方程重点掌握点斜式方程、斜截式方程与一般式方程，注意这三种直线方程分别在什么形式下使用，以及设立方程时要讨论斜率不存在的直线．直线与圆的位置关系中，注重对圆的几何性质的应用．直线系问题是选讲考点．第一小节为直线与圆的基本量与方程，共3道例题．其中例1主要讲直线的基本量；例2主要讲解直线方程；例3主要讲解圆的基本量与方程；第二小节为位置关系，共4道例题．其中例4主要讲解直线与直线的位置关系；例5主要讲解对称问题；（之后有直线系的选讲知识点与例题，学生版不出现）例6主要讲直线与圆的相离与相切问题；例7主要讲解直线与圆相交与弦长问题；第三小节为线性规划，共1道例题．例8主要讲解线性规划的一些问题．注：本讲铺垫学生版出现，可以作为知识点与基本方法的复习；拓1到拓5学生版不出现，可以作为一些程度非常好的班级的拓展思考．知识结构图过直线y x =上的一点作圆()()22512x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为 A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒ 【解析】 C设不等式组 1103305390x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≤表示的平面区域为D ，若指数函数x y a =的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（ ）A ．(]13，B ．[23]，C ．(]12，D ．[)3+∞， 【解析】 A1、下面命题中正确的是（ ）A ．经过定点000()P x y ，的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示B ．经过任意两个不同的点111222()()P x y P x y ，，，的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示D ．经过点(0)A b ，的直线都可以用方程y kx b =+表示 2、点(4)a ，到直线431x y -=的距离不大于3，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[212]，B ．[112]，C ．[010]，D ．[19]-， 3、已知过点(2)A m -，和(4)B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（ ） A ．0 B ．8- C ．2 D ．104、0A C =≠且0B =是方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件5、“a b =”是“直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 6、圆222690x y x y +--+=关于直线50x y -+=对称的圆的方程是（ ）A ．22(6)(2)1x y -++=B ．22(6)(2)1x y ++-=C ．22(2)(6)1x y ++-=D ．22(2)(6)1x y -++= 7、圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、点(13)A ，，(52)B -，，点P 在x 轴上使AP BP -最大，则P 的坐标为（ ） A ．(40)，B ．(130)，C ．(50)，D ．(10)， 9、直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同交点，则m 的取值范围是（ ）A．0m < B．1m <<C．1m <≤D．1m ≤ 10、ABC △中，a b c ，，是内角A B C ，，的对边，且lgsin A 、lgsin B 、lgsin C 成等差数列，则下列两条 直线1l ：2sin sin 0A x A y a ⋅+⋅-=与2l ：2sin sin 0B x C y c ⋅+⋅-=的位置关系是（ ） A ．重合 B ．相交（不垂直） C ．垂直 D ．平行小题热身真题再现1．直线⑴直线l 的倾斜角α：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．⑵直线l 的斜率k ：①tan k α=；②()211221y yk x x x x -=≠-；倾斜角为90︒的直线斜率不存在．⑶直线方程①点斜式 ()00y y k x x -=-，()00P x y ，为直线上任一点，k 为直线的斜率．②斜截式 y kx b =+．③截距式 ()10x yab a b+=≠．④一般式 ()2200Ax By C A B ++=+≠．⑷两条直线的位置关系：11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，．①1l 与2l 重合⇔12120A B B A -=且12120B C C B -=；若2l 的系数均不为0可以写成：111222A B C A B C ==； ②12l l ∥⇔12120A B B A -=且12120B C C B -≠；若2l 的系数均不为0可以写成：111222A B CA B C =≠；③1l 与2l 相交⇔12120A B B A -≠； ④12l l ⊥⇔12120A A B B +=． ⑸距离公式：点到直线距离公式：点()00A x y ，到直线:0l Ax By C ++=的距离d ；平行线间距离公式：1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=++=，的距离d =2．圆⑴圆的方程①标准方程：()()222x a y b r -+-=，()C a b ，为其圆心，0r >为其半径；②一般方程 220x y Dx Ey F ++++=，圆心22DE C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，半径r 当2240D E F +->时，方程表示圆； ⑵位置关系①直线与圆的位置关系：圆心到直线l 的距离为d ，r 为圆的半径． d r >时，相离；d r =时，相切；d r <时，相交． ②圆与圆的位置关系：两圆半径12r r ，，圆心距为d ．12d r r >+时，外离；12d r r =+时，外切；1212r r d r r -<<+时，相交；12d r r =-时，内切；当12d r r <-时，内含．3．线性规划 当0B >时，0Ax By C ++>所表示的平面区域是直线0Ax By C ++=的上半部分； 0Ax By C ++<所表示的平面区域是其下半部分；反之，当0B <时，则0Ax By C ++>表示的平面区域是直线0Ax By C ++=的下半部分； 0Ax By C ++<所表示的平面区域是其上半部分．也可根据A 的正负，确定不等式对应的是直线的左半部分还是右半部分． 知识梳理考点：直线的基本量<教师备案> 直线的倾斜角、斜率、截距、直线上的点等等都属于直线的基本量的范畴．一般来说，知道直线的两个基本量就可以确定一条直线．注意倾斜角变化时，斜率的变化规律；当倾斜角[090)θ∈︒︒，时，斜率k 都随θ的增加而增加，从0增加到+∞；当倾斜角(90180)θ∈︒︒，时，斜率k 都随θ的增加而增加，从-∞增加到0．倾斜角为90︒时，斜率不存在．直线的截距要注意的是可正可负，与距离无关，是与坐标轴交点对应的坐标值．【例1】 ⑴直线cos20sin 2030x y ︒+︒-=的倾斜角是（ ）A ．20︒B ．160︒C ．70︒D ．110︒⑵已知(24)(30)A B -，，，，直线l 过原点(00)O ，且与线段AB 相交，则直线l 斜率的取值范围是_____．⑶如果直线0Ax By C ++=经过第一、二、四象限，则（ ）A ．0AC >，0BC <B ．0AC <，0BC > C ．0AC <，0BC <D ．0AC >，0BC >【解析】 ⑴D ；⑵()2[0)-∞-+∞ ，，；⑶ C【拓1】直线sin 10x y θ--=的倾斜角的范围是__________． 【解析】 π3π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；考点：直线方程<教师备案> 直线的五种形式里面，常用的形式是斜截式、点斜式与一般式． 已知直线上一点，用点斜式方程；已知直线的斜率用斜截式方程．注意这两种形式都不能表示斜率不存在的直线．有时已知直线的横截距我们会将直线设为倒斜横截式，即my x b =+的形式，这种形式不能表示斜率为零的直线，斜率为1m．一般式方程在求点到直线的距离公式时用到，它可以表示所有的直线．直线的截距式使用较少，一般在比较明显涉及到横纵截距或其关系时使用，要注意单独讨论截距为零的情况；直线的两点式很少使用，给出两点求直线方程通常也会先求斜率，再用点斜式写出．【例2】 直线l 过点()21M ，且分别交x 、y 轴于A 、B 点，O 为坐标原点， ⑴若直线的横截距与纵截距相等，则符合条件的直线l 有_____条． ⑵若直线的横截距与纵截距之和为3-，则符合条件的直线l 有______条． ⑶若M 为AB 中点，则直线l 的方程为___________； ⑷若:1:2MA MB =，则直线l 的方程为____________． ⑸A B ，在x y 、轴正半轴时，AOB △的面积的最小值为______． 【解析】 ⑴ 2；⑵ 2；⑶ 240x y +-=；⑷ 3x y +=；⑸ 4； 7.1直线与圆的基本量与方程考点：圆的基本量与方程<教师备案> 求圆的方程可以先通过几何关系求圆心坐标与半径，再写出圆的标准方程；也可以直接设圆的一般方 程，通过条件得到参数的方程，求得结果，后者的计算量更大．例3求圆的方程的题有些如果通过几何关系求圆心， 需要用到线段的中垂线的求法．注意圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆需要2240D E F +->，可以通过配方成圆的标准方程得到此不等式．例：方程2222210x y a x a ya a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是_______．解：()2222221024a a x y a a a a ⎛⎫+++=+--+> ⎪⎝⎭，解得223a -<<【铺垫】写出满足下列各条件的圆的方程：⑴ 以(31)A --，，(55)B ，为直径的圆； ⑵ 圆心为(12)，且与直线51270x y --=相切的圆的方程． 【解析】 ⑴ 22(1)(2)25x y -+-=；⑵ 22(1)(2)4x y -+-=．【例3】 写出满足下列各条件的圆的方程：⑴与x y ，轴均相切且过点(18)，的圆； ⑵圆心在直线40x y +=上，且与直线:10l x y +-=切于点(32)P -，的圆的方程；⑶过点(11)A ，，(35)B -，，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程． 【解析】 ⑴ 22(5)(5)25x y -+-=或22(13)(13)169x y -+-=；⑵ 22(1)(4)8x y -++=； ⑶ 22(2)(2)10x y ++-=．考点：直线与直线的位置关系<教师备案>铺垫复习两直线平行、垂直的条件，以及平行线间的距离公式．【铺垫】⑴“两直线的斜率相等”是“两直线平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件⑵“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 ⑶ 已知直线:220l x y +-=，与直线l的直线方程为______________． 【解析】 ⑴ A ；⑵ A ；⑶ 20x y +=或240x y +-=．7.2位置关系【例4】 ⑴直线210x y --=绕(11)，逆时针旋转90︒，再向上平移1个单位，所得到的直线为（ ） A ．210x y --= B ．250x y --= C ．210x y +-= D ．250x y +-=⑵已知正方形的中心为直线220x y -+=和10x y ++=的交点，正方形一边所在直线的方程为350x y +-=，其它三边所在的直线方程分别为_______________________________．⑶若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为m 的倾斜角是 ①15︒ ②30︒ ③45︒ ④60︒ ⑤75︒ 其中正确答案的序号是 ．（写出所有正确答案的序号）【解析】 ⑴ D ⑵ 370x y ++=，390x y -+=，330x y --=；⑶ ①⑤【拓2】已知两点(1A、(0B 到直线l 的距离等于a ，且这样的直线l 可作4条，则a 的取值范围为（ ） A ．1a ≥ B ．01a << C ．01a <≤ D ．021a <<【解析】 B ；考点：对称问题<教师备案>1．点关于直线的对称点：点00()P x y ，关于直线0Ax By C ++=的对称点()Q x y ，可以通过解方程组0000()()()()20A y y B x x A x x B y y C -=-⎧⎨++++=⎩来求出，第一个方程代表PQ 与对称轴垂直，第二个方程代表PQ 的中点在对称轴上． 对于几个特殊情形可以单独总结：⑴ 00()P x y ，关于x 轴的对称点是00()Q x y -，，关于y 轴的对称点是00()Q x y -，，关于原点O 的对称点是00()Q x y --，；⑵ 00()P x y ，关于直线y x =的对称点是00()Q y x ，，关于y x =-的对称点是00()Q y x --，．⑶ 00()P x y ，关于直线y x m =+的对称点是00()Q y m x m -+，，关于y x m =-+的对称点是00()Q y m x m -+-+，． 2．直线l 关于点P 对称直线l '；l l '∥，且l 上的点关于P 的对称点在l '上．如：直线10x y ++=关于点(12)，的对称直线方程可设为0x y m ++=，又(10)-，在直线10x y ++=上，(10)-，关于(12)，的对称点为(34)，，故7m =-，即所求直线为70x y +-=． 3．直线0l 关于直线l 的对称直线0l '：⑴若0l l ∥，则00l l '∥，且0l 与l 之间的距离等于0l '与l 之间的距离；⑵若0l 与l 相交，则交点在0l '上，且0l 上任一点关于直线l 的对称点也在0l '上．【例5】 ⑴已知(12)A -，，(43)B ，，在x 轴上有一点P ，使PA PB +最小，则P 点的坐标为______． ⑵直线:210l x y +-=关于点(11)，的对称直线方程为____________________． ⑶ABC △中，点A 的坐标为(22)-，，点B 的坐标为(42)--，，A ∠的角平分线恰好经过原点，则边AC所在的方程为 ．【解析】 ⑴ (10)，；⑵ 250x y +-=；⑶ 260x y -+=；**************************************************************************************** 直线系选讲（学生版不出现）<教师备案>直线系问题是选讲考点，不作常规要求，可以根据学生情况选择讲解．圆系与曲线系问题因为使用较少，不再介绍．知识点：⑴过定点00()x y ，的直线系方程00()y y k x x -=-；⑵和直线0Ax By C ++=平行的直线系方程0Ax By C '++=（C C '≠）；和直线y kx b =+平行的直线系方程y kx b b b ''=+≠，； ⑶和直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程0Bx Ay C '-+=；⑷经过两相交直线1110A x B yC ++=和2220A x B y C ++=的交点的直线系方程11122()0A x B y CA xB yC λ+++++=（不包括直线2220A x B y C ++=）．【例题】⑴ 直线l 经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；⑵ 求经过直线3210x y -+=和340x y ++=的交点，垂直于直线340x y ++=的直线l 的方程； ⑶ 求经过两直线231x y -=，322x y +=的交点，且平行于直线30y x +=的直线方程；⑷ 已知过点()3,1P 的直线l 被两平行直线1:210l x y +-=与2:230l x y +-=所截的线段中点在直线2:10l x y --=上，求直线l 的方程．【解析】 ⑴ 显然直线2570x y +-=不满足要求，∴设直线l 的方程为()()3262570x y x y λ++++-=根据截距相等列方程，解得l 的方程为340x y +=或10x y ++=． ⑵ 320x y -+=；⑶ 253013x y +-=； ⑷ 设点()3,1P 的直线l 被两平行直线1:210l x y +-=与2:230l x y +-=所截的线段中点为M ，则容易知道点M 在直线220x y +-=上，于是可以利用过两直线交点的直线系方程求解：设直线l 的方程是()()2210x y x y λ+-+--=，则由于该直线过点()3,1P ，解得3λ=-． 于是直线l 的方程是2510x y --=．****************************************************************************************考点：直线与圆的位置关系<教师备案> 圆的位置关系问题我们主要讨论直线与圆的位置关系，有相离、相交与相切三类，因为圆有很好的几 何性质，所以直线与圆的位置关系问题常常是通过圆的几何性质求解的，很少联立方程求解．这是直线与圆的位置 关系与直线与圆锥曲线的位置关系问题明显不同的地方．圆与圆的位置关系问题涉及较少，我们不专门提及，在例题中有所涉及．在直线与圆的位置关系里面有几类问题是比较有代表性的： ⑴过切点的切线方程与切点弦方程：若直线与圆222x y r +=相切于点00()x y ，，则切线方程可以写成：200x x y y r +=；更一般地，与圆222()()x a y b r -+-=相切于点00()x y ，的切线方程为：200()()()()x a x a y b y b r --+--=． 如果点00()x y ，在圆外，则与切线方程同样形式的方程表示过该点所作的圆的两条切线对应的切点线的方程，即切点弦方程．⑵ 定圆外一动点引圆的切线问题：设圆的圆心为O ，半径为r ，过圆外一点P 引圆的切线PA 、PB ，PO d =， 那么POA △ 和POB △是关于PO 对称的直角三角形，PA PB =以下几个条件完全等价：d 越短⇔切线长PA 越短⇔圆心角AOB ∠越小⇔弧长AB 和弦长AB 越短⇔四边形PAOB 面积越小．⑶ 定圆上到定直线距离为定值的点的个数问题：设圆的圆心为O ，半径为r ，圆心O 到定直线l 的距离为d ．求圆上到直线l 距离为m 的点的个数． 到直线l 距离为m 的点的轨迹是两条与l 平行，距离为m 的直线；和圆心在l 同侧的那条记为1l ，另外一条记为2l ．则O 到1l 的距离为d m -，O 到2l 的距离为d m +，圆与1l 和2l 的交点就是圆上到l 距离为m 的点．分别判断d m -和d m +与r 的大小，可知圆与1l 和2l 的交点个数．θO BAP【铺垫】⑴ 已知圆22:5O x y +=和点(12)A ，，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形 的面积等于 ．⑵ 过圆O ：222x y +=外一点(42)P ，向圆引切线，切点为12P P ，，则切线方程为________，直线12P P 的方程为__．【解析】 ⑴254⑵ 20x y --=与7100x y -+=；210x y +-=；【例6】 ⑴圆222210x y x y +--+=上的动点Q 到直线3480x y ++=距离的最小值为______． ⑵与直线20x y +-=相切且与曲线221212540x y x y +--+=相外切的半径最小的圆的标准方程是 【解析】 ⑴ 2；⑵ 22(2)(2)2x y -+-=【拓3】已知点()P x y ，是直线40kx y ++=(0)k >上一动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A ．3 BC． D ．2【解析】 D【例7】 ⑴若()21P -，为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A ．30x y --= B ．230x y +-=C ．10x y +-= D ．250x y --= ⑵直线l 过点(40)-，且与圆22(1)(2)25x y ++-=交于A B ，两点，如果8AB =，那么直线l 的方程为（ ） A ．512200x y ++= B ．512200x y -+=或40x += C ．512200x y -+= D ．512200x y ++=或40x += ⑶直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N两点，若MN ≥，则k 的取值范围是（ ） A ．304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B ．[)304⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ，， C．⎡⎢⎣⎦ D ．205⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】 ⑴A ；⑵ D ⑶ A【拓4】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是______________．【解析】 (1313)-，．考点：线性规划【铺垫】⑴ 原点和点(11)，在直线0x y a +-=的两侧，则a 的取值范围是 ． ⑵在平面直角坐标系中，不等式组040x y x y x a +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积是9，则实数a 的值为 ．⑶ 在约束条件252400x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥下，34z x y =+的最大值是_______．【解析】 ⑴ ()0,2；⑵ 1；⑶11．【例8】 ⑴已知点()P x y ，的坐标满足条件12220x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≤，≥，那么22x y +的取值范围是_________，11y x ++的取值范围是_________． ⑵若变量x ，y 满足约束条件00x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤4表示的平面区域为M ，则当42a -≤≤时，动直线x y a +=所经过的平面区域M 的面积为______．⑶若不等式组220x y x y y x y a-0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≤≥≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．43a ≥B ．01a <≤C ．413a ≤≤D ．01a <≤或43a ≥【解析】 ⑴ 455⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；⑵ 7；⑶ D ；【拓5】 设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数x y a =(01)a a >≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[13]， B．2⎡⎣ C ．[29]， D．9⎤⎦【解析】 C 7.3线性规划一、选择题 1、设A B ，为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为（ ）A ．270x y +-=B ．210x y --=C ．240x y -+=D ．50x y +-=【解析】 D2、“4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 C 3、若过点(40)A ，的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A．⎡⎣ B．(C．⎡⎢⎣⎦ D．⎛ ⎝⎭【解析】 C4、（2011东城高三期末理6）直线0ax by a b +++=与圆222x y +=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切【解析】 D 5、直线3y x =-与圆22215x y x +-=相交于P ，Q 两点，点M 是圆上一点，且MPQ △的面积等于8，这样的点M 有且仅有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 D二、填空题 6、设直线10x my --=与圆()()22124x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB的长为，则实数m 的值是 ． 【解析】7、如果直线2(2)(32)2m x m m y m ++++=+与y 轴平行，则m =_____．【解析】 1-；8、已知圆C ：22(1)2x y -+=，过点(10)A -，的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:3的两段圆弧，则直线l 的方程为 ． 【解析】10x +=；9、已知点()P x y ，的坐标满足条件28x y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于＿＿＿．【解析】课后习题- 11 - 10、若实数x y ，满足221420x y xx y x ⎧⎪⎨⎪+-+⎩≤≤≥，则32z x y =+的最小值是 ；在平面直角坐标系中，此不等式组表示的平面区域的面积是 ．【解析】 0；π22-．三、解答题6、求由三条直线220x y ++=，260x y --=，260x y -+=所构成的三角形的外接圆方程．【解析】 2227180x y x y +---=．7、已知圆O ：221x y +=，圆C ：22(2)(4)1x y -+-=，由两圆外一点()P a b ，引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，如右图，满足PA PB =．⑴求实数a 、b 间满足的等量关系； ⑵求切线长PA 的最小值．⑶是否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切，并且与圆C 相外切？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，说明理由．【解析】 ⑴250a b +-=．⑵min ||2PA =．⑶不存在符合题设条件的圆P ．。