2.3.1直线与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系考点与题型归纳、基础知识1.直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r i,匕，d=|O i O2|)、常用结论(1 )圆的切线方程常用结论①过圆x2 + y2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为 x o x+ y o y= r2②过圆(x- a)2+ (y- b)2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为(x o—a)(x— a)+ (y o — b)(y -b) = r2.③过圆x2 + y2= r2外一点M(x o, y o)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x o x+ y o y =r2.(2)直线被圆截得的弦长1 i弦心距d、弦长I的一半及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2 = d2+ ~l 2.考点一直线与圆的位置关系考法(一)直线与圆的位置关系的判断［典例］直线I: mx— y+ 1— m = 0与圆C： x2+ (y— 1)2= 5的位置关系是( )A•相交 B •相切C.相离 D •不确定mx— y+ 1 — m= 0,［解析］法一：由o ox2 + y — 1 = 5,消去 y,整理得(1 + m2)x2— 2m2x+ m2— 5= 0,因为△= 16m2+ 20>0,所以直线I与圆相交.法二：由题意知，圆心(0,1)到直线I的距离d=―<1<寸5，故直线I与圆相交.yj m2 + 1法三：直线I: mx — y+ 1 — m= 0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2 + (y— 1)2= 5的内部，所以直线I 与圆相交.［答案］A［解题技法］判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用△判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.［提醒］上述方法中最常用的是几何法.考法(二)直线与圆相切的问题［典例］(1)过点P(2,4)作圆(x— 1)2+ (y— 1)2 = 1的切线，则切线方程为()A . 3x+ 4y — 4= 0B.4x— 3y + 4= 0C.x = 2 或 4x— 3y+ 4 = 0D.y= 4 或 3x+ 4y— 4 = 0(2)(2019成都摸底)已知圆C： x2+ y2— 2x— 4y+ 1 = 0上存在两点关于直线I: x+ my+ 1=0对称，经过点 M(m, m)作圆C的切线，切点为 P,则|MP|= ________________________ .［解析］⑴当斜率不存在时，x= 2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y— 4= k(x-2），即 kx — y+ 4-2k= 0,则|k — 1 + 4 - 2k|■ k 2 + 1=1，解得4k= 3，则切线方程为4x — 3y + 4= 0,故切线方程为 x= 2或4x — 3y + 4= 0.⑵圆C: x 2 + y 2— 2x — 4y+ 1= 0的圆心为C(1,2)，半径为2•因为圆上存在两点关于直线I: x+ my + 1= 0 对称，所以直线 I: x+ my+ 1 = 0 过点(1,2)，所以 1 + 2m+ 1 = 0,解得 m = —1，所以 |MC|2= 13, |MP|= 13— 4= 3.［答案］(1)C(2)3考法(三)弦长问题［典例］ ⑴若a 2 + b 2= 2C 2(C M 0)，则直线ax+ by+ c= 0被圆x 2 + y 2= 1所截得的弦长为( )1B . 1C#D. . 2(2)(2019海口一中模拟)设直线y= x+ 2a 与圆C ：x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A,B 两点， 若|AB|= 2 .3,则圆C 的面积为()A . 4 nB . 2 n C. 9 nD. 22 n［解析］⑴因为圆心(0,0)到直线ax+ by+ C = 0的距离d = t |C|=#弟=¥‘因此根寸 a 2+ b 2 V 2|C| 2据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1 — I2 =于，所以弦长为2.(2)易知圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2 = 0的圆心为(0, a)，半径为-a 2+ 2.圆心(0, a)到直线y = x+ 2a 的距离d = |a 2，由直线y= x+ 2a 与圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A, B 两点，|AB| =2诵，可得 齐3 = a 2 + 2,解得a 2= 2，故圆C 的半径为2,所以圆C 的面积为4 n 故选 A.［答案］(1)D(2)A［题组训练］1 •已知圆的方程是X2+ y2= 1,则经过圆上一点M 誓，当的切线方程是 _________________________ -解析：因为M #, +是圆X2+y2= 1上的点，所以圆的切线的斜率为一1,则设切线方程为x + y+ a = 0，所以 #+#+ a= 0,得a=— 2,故切线方程为 x+ y— 2= 0.答案：x+ y— 2 = 02.若直线kx— y+ 2 = 0与圆x2 + y2— 2x — 3 = 0没有公共点，则实数 k的取值范围是解析：由题知，圆 x2 + y2— 2x— 3 = 0可写成(x— 1)2+ y2= 4,圆心(1,0)到直线 kx— y+ 2=0的距离|k + 2| 4 d>2,即------------ >2,解得 0v kv3.p k2+1 3答案：4 033.设直线y= kx+ 1与圆x2 + y2 + 2x— my= 0相交于A, B两点，若点A, B关于直线l:x+ y= 0 对称，则 |AB|= _____________ .解析：因为点A, B关于直线I: x+ y= 0对称，所以直线y= kx+ 1的斜率k= 1,即y = 「、mx+ 1•又圆心—1, 2在直线I: x+ y= 0上，所以m= 2,则圆心的坐标为(一1,1)，半径r = 2，所以圆心到直线 y= x+ 1的距离du^2，所以AB|= 2 r2— d2= ,6.答案：6考点二圆与圆的位置关系［典例］(2016 •东高考)已知圆M : x2 + y2— 2ay= 0(a> 0)截直线x+ y= 0所得线段的长度是2 2，则圆M与圆N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1的位置关系是( )A.内切 B .相交C.外切 D .相离x2+ y2— 2ay= 0,［解析］法一：由x+ y= 0,得两交点为(0,0), (— a, a).•••圆M截直线所得线段长度为 2 2,r = 1,则点N到直线2x-2y- 1= 0的距离d = —1| 2,2•••- a2 + - a 2 = 2 2.又 a>O,「・a= 2.A圆 M 的方程为 x2 + y2-4y= 0, 即 x2 + (y- 2产=4,圆心 M(0,2)，半径 r i = 2.又圆 N : (x- 1)2+ (y- 1)2= 1,圆心 N(1,1)，半径 r2= 1, •••|MN|=- 0 - 1 2+ 2- 1 2= 2.•.•「1-「2= 1, r1+ r2 = 3,1<|MN|<3,•两圆相交.法二a 一：由题知圆 M : x2 + (y- a)2— a2(a>0),圆心(0, a)到直线x+ y= 0的距离d —所以2 :a2—2—2 2，解得a —2•圆M，圆N的圆心距|MN|— .2,两圆半径之差为 1,两圆半径之和为3，故两圆相交.［答案］B［变透练清］1. (2019 太原模拟)若圆 C1： x2 + y2= 1 与圆 C2： X2 + y2- 6x- 8y+ m= 0 外切，则 m=( )A. 21 B . 19C. 9 D . - 11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1= 1，因为圆C2的方程可化为(x- 3)2+ (y-4)2= 25- m,所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径 r2= 25 - m(m V 25).从而 |C1C2=：32+ 42=5•由两圆外切得 C1C2= r1 + ",即卩1 +「25 - m= 5,解得m= 9，故选C.2.变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为 ___________________ .x+ y — 4y= 0,解析：联立两圆方程两式相减得，2x-2y- 1 = 0,因为N(1,1),x-1 2 + y-1 2= 1,答案：*4匚2,故公共弦长为• 2 2. 144 = 2B . ±5C. 3［解题技法］几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1) 确定两圆的圆心坐标和半径长； (2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求r i + r 2, |r i — r 2|;⑶比较d, r i + r 2, |r i — r 2|的大小，写出结论.[课时跟踪检测]1.若直线2x+ y + a= 0与圆x 2 + y 2 + 2x — 4y= 0相切，则a 的值为()A. ±,5 D . ±3解析：选B 圆的方程可化为(x+ 1)2+ (y — 2)2= 5，因为直线与圆相切，所以有|a 5 = ,5, 即a= ±故选B. 2.与圆 C i ： x 2 + y 2— 6x+ 4y+ 12 = 0, C 2： x 2+ y 2— 14x — 2y+ 14= 0 都相切的直线有C. 3条 解析：选A两圆分别化为标准形式为C i ： (x — 3)2+ (y+ 2)2= 1, C 2 : (x — 7)2 + (y — 1)2=36，则两圆圆心距|C i C 2|= 7 — 3 2+ [1 —— 2 ]2= 5,等于两圆半径差，故两圆内切.所 以它们只有一条公切线.故选A.3. (2019南宁、梧州联考)直线y= kx+ 3被圆(x — 2)2+ (y — 3)2= 4截得的弦长为2.3, 则直线的倾斜角为(),n ［、. 5 nA ・6或石n D ・6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2,所以圆心到直线的距离为d= 22— 3 2 =1.即d=J^= 1，所以k=±富由k=tan"得a= 6或于故选A.B.x+ ay+ 1线的距离为1,故圆心（一1,3）到直线x+ ay+ 1 = 0的距离为1,即|— 1+ 3a+ 1| :1'1 + a 2=1,解得a =4.过点（3,1）作圆（x — 1）2+ y 2= r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A . 2x+ y — 5= 0B . 2x+ y — 7= 0 C. x — 2y — 5 = 0D . x — 2y — 7= 0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2 = 5,圆的方程为(x — 1)2+ y 2=5，则过点(3,1)的切线方程为(x — 1)・—3) + y(1 — 0) = 5，即2x+ y — 7 = 0•故选5. （2019重庆一中模拟）若圆x 2 + y 3+ 2x — 6y+ 6= 0上有且仅有三个点到直线 =0的距离为1，则实数a 的值为（）C. 土，2解析：选B 由题知圆的圆心坐标为（一1,3），半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直D . y=— 4圆(x — 1)2+ y 2= 1 的圆心为 C(1,0)，半径为 1,以 |PC|= -''=2为直径的圆的方程为（x — 1）2+ （y+ 1）2= 1,将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2yC. y =解析：选B解析：易知圆心（2, — 1）,半径r = 2,故圆心到直线的距离|2+ 2 X — 1 — 3| 3,5 弦长为2 r 2— d2 =迸5答案: 2 '555.12 + 22±2±4 -6.（2018嘉定二模）过点P（1 , — 2）作圆C : （x— 1）4+ y2= 1的两条切线，切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为（）1B . y=— 21+ 1 = 0，即 y= —2•故选 B.x— (3 + a)y— a= 0,圆心(0,0)到直线的距离I— a| d= . 1 +3 + a&若P(2,1)为圆(x— 1)2+ y2= 25的弦AB的中点，则直线 AB的方程为 _____________________一 1解析：因为圆(x— 1)2+ y2= 25的圆心为(1,0),所以直线AB的斜率等于 =—1,由点1 — 0斜式得直线 AB的方程为y— 1 = — (x— 2)，即卩x+ y— 3= 0.答案：x+ y— 3 = 09.____________________________________________________________________________ 过点P(— 3,1),Q(a,O)的光线经x轴反射后与圆x2+ y2= 1相切，则a的值为_____________________________解析：因为P( — 3,1)关于x轴的对称点的坐标为P' (— 3, — 1),一 1所以直线P' Q的方程为y= (x— a),即—3 — a所以a=— |.5答案：—|10.点 P 在圆 C1: x2+ y2— 8x— 4y + 11 = 0 上，点 Q 在圆 C2: x2+ y2+ 4x+ 2y + 1 = 0 上,则|PQ|的最小值是 ____________解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x— 4)2+ (y— 2)2= 9, (x + 2)2 + (y+ 1)2 =4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3;圆C2的圆心坐标是(一 2,— 1)，半径是2.圆心距d =■4+ 2 2 + 2+ 1 2= 3 ,5> 5•故圆C1与圆C2相离，所以|PQ |的最小值是3 .5 — 5.答案：3 5—511.已知圆 C1: x2+ y2— 2x— 6y— 1 = 0 和圆 C2: x2 + y2— 10x— 12y+ 45 = 0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；⑵求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径「1=111, 圆C2的圆心 C2(5,6)，半径r2= 4,y=— 2x 上.C 截得的弦长为两圆圆心距 d = |C i C 2|= 5, r i + r 2 = ：.； 11 + 4, |r i — r 2|= 4— 11,-■•|r i — r 2|<d<门 + r 2,「.圆 C 1 和圆 C 2 相交. ⑵圆C 1和圆C 2的方程相减，得 4x+ 3y — 23 = 0, •••两圆的公共弦所在直线的方程为4x + 3y — 23= 0.|20+ 18— 23| 圆心C 2(5,6)到直线4x+ 3y —23= 0的距离d=, = 3, 寸 16+ 9故公共弦长为 2 16— 9= 2 ,7.12. 已知圆C 经过点A(2, — 1)，和直线x + y= 1相切，且圆心在直线 (1) 求圆C 的方程；(2) 已知直线I 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为2，求直线I 的方程解：(1)设圆心的坐标为 C(a,— 2a),化简，得a 2— 2a + 1 = 0,解得a= 1. •Q(1 , — 2)，半径 r = |AC|=1 —2 2+ — 2 + 1 2= ,2.•••圆 C 的方程为(x — 1)2 + (y+ 2)2= 2.⑵①当直线I 的斜率不存在时，直线I 的方程为x = 0,此时直线I 被圆 2,满足条件.②当直线I 的斜率存在时，设直线I 的方程为y= kx, K+ 2|3由题意得 -------- =1，解得k=— 4,寸 1 + k 243•直线I 的方程为y= — ]x,即3x+ 4y= 0. 综上所述，直线I 的方程为x= 0或3x+ 4y= 0.—2a+ 11.过圆x2+ y2= 1上一点作圆的切线，与 x轴、y轴的正半轴相交于 A, B两点，则|AB|B. ,.''3 D . 3解析：选C 设圆上的点为(x o , y o ),其中x o > 0, y o >0，则有x g + 的最小值为() A. .''2C. 2y 0= 1，且切线方程为x o x+ y o y = 1.分别令 y = 0, x= 0得1 / 12 1 1B0，y ，则IAB =.. x 04 5 6+ y 02=硕》右=2当且仅当 等号成立.2.(2018 •苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线I: y= 2x 上在第一象限内的点,B(5,0)，以AB 为直径的圆 C 与直线I 交于另一点 D.若AB CD = 0，则点A 的横坐标为n解析：因为AB CD = 0,所以AB 丄CD ，又点C 为AB 的中点，所以/ BAD = 4,设直n线I 的倾斜角为0,直线AB 的斜率为k ，则tan 0= 2, k=tan 0+ 4 =- 3.又B(5,0)，所以直线AB 的方程为y=— 3(x — 5)，又A 为直线l: y= 2x 上在第一象限内的点，联立直线y=— 3 x — 5 ,x= 3,AB 与直线l 的方程，得解得所以点A 的横坐标为3.y= 2x,y= 6, 答案：33. (2018 安顺摸底)已知圆 C: x 2 + (y — a)2= 4,点 A(1,0). 5 当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数 a 的取值范围；6 设AM , AN 为圆C 的两条切线，M , N 为切点，当|MN|= 誓时，求MN 所在直线的 方程. 解：(1)过点A 的切线存在，即点 A 在圆外或圆上， •••1 + a 2>4,^a> '3或 a< — .'3. (2)设MN 与AC 交于点D, O 为坐标原点.4/52 需•••|MN|=〒，.・.|DM|=才.20_ 4 又 |MC|= 2 ,「.|CD| =25= .5,4A 的方程为(x — 1)2+ y 2 =即 x — 2y= 0 或(x — 1)2+ y 2 V 52|MC| 2 厂2丢cos Z MCA 2_7•••|OC|= 2, |AM|= 1,• MN 是以点A 为圆心，1为半径的圆A 与圆C 的公共弦，圆 1,圆 C 的方程为 x 2+ (y — 2)2 = 4 或 x 2+ (y+ 2)2= 4,•'■MN 所在直线的方程为 (x — 1)2+ y 2— 1 — x 2 — (y — 2)2+ 4 = 0, —1 — x 2— (y+ 2)2 + 4= 0，即 x+ 2y= 0,因此MN 所在直线的方程为 x — 2y= 0或x+ 2y= 0.17.在平面直角坐标系 xOy 中，直线x+ 2y — 3 = 0被圆（x — 2）2+ （y+ 1）2= 4截得的弦长为 __________ .。

直线和圆的位置关系反映的哲理概述说明1. 引言1.1 概述本文探讨的主题是直线和圆的位置关系所反映出来的哲理。

直线和圆是几何学中最基本的几何图形，它们在我们的日常生活中无处不在。

它们之间的位置关系不仅体现了几何学的规律，更蕴含着深刻的哲学思考。

通过研究直线和圆的相交关系、包含关系以及在实际应用中的一些案例，我们将探索这些位置关系所揭示出来的哲理，并深入思考其中所蕴含的意义。

1.2 文章结构本文分为引言、直线和圆的位置关系、哲学思考、实际应用举例和结论五个部分。

首先，在引言部分我们将介绍文章主题并展示整体结构。

接下来，我们将详细探讨直线和圆在几何学中的基本概念以及它们之间可能存在的相交与包含关系。

然后，我们通过哲学视角对直线和圆的位置关系进行深入思考，并理解其中所蕴含出来的哲理。

进而，我们将通过实际应用举例阐述这些位置关系在日常生活中所反映出来的哲理，并呈现一些具体案例进行说明。

最后，我们将对全文进行总结并提出本文对读者的启示和呼吁。

1.3 目的本文旨在通过研究直线和圆的位置关系所反映出来的哲理，帮助读者深入理解几何学中的基本概念以及其背后蕴含的思想。

通过探索直线和圆之间的关系，我们可以更好地认识到无限性与有限性、平凡性与非平凡性、观察与推理之间的相互作用。

此外，我们将通过实际应用举例，展示这些位置关系在建筑设计、运动学以及人际关系中所体现出来的哲理。

通过阅读本文，读者将不仅增加了对于直线和圆在几何学中的理解，而且能够思考这些基本图形所包含的普遍真理，并运用到现实生活当中。

2. 直线和圆的位置关系2.1 直线和圆的基本概念直线是由无限多个点组成，且这些点之间没有转折或拐角的路径。

它是一种没有宽度或厚度的几何图形。

圆是一个平面内到一个固定点距离恒定的所有点的集合。

该固定点称为圆心，距离称为半径。

圆所在平面也被称为圆面。

2.2 直线与圆的相交关系当一条直线与一个圆相交时，有三种可能情况：- 直线与圆相交于两个不同点：这种情况下，直线穿过了圆并且存在两个交点。

圆的方程与直线与圆的关系圆是几何学中的重要概念之一，也是人们日常生活中常见的几何形状。

圆所具备的一些性质使得它与直线之间存在着一系列的关系，这些关系常常在数学推导和实际应用中得到充分的体现和利用。

本文将探讨圆的方程及其与直线之间的关系。

一、圆的方程圆是由一组等距离于中心的点组成的集合，在平面直角坐标系中，如果圆的中心坐标为（a,b），半径为r，那么圆的方程可以表示为：（x-a）² + （y - b）² = r²其中（x，y）为圆上任意一点的坐标。

二、直线与圆的关系2.1 直线与圆相离当一条直线与圆不相交且也不相切时，称直线与圆相离。

2.2 直线与圆相切当一条直线与圆只有一个交点时，称直线与圆相切。

2.3 直线与圆相交当一条直线与圆有两个交点时，称直线与圆相交。

直线与圆相交时，可以进一步分为以下几种情况：2.3.1 直线穿过圆当一条直线通过圆的中心时，直线与圆的交点个数为2个，直线称为圆的直径，两个交点称为圆的端点。

2.3.2 直线与圆的交点在圆内当直线与圆相交，交点在圆的内部时，直线与圆的交点个数为2个。

此时，根据勾股定理可以求出交点的具体位置。

2.3.3 直线与圆的交点在圆外当直线与圆相交，交点在圆的外部时，直线与圆的交点个数为2个。

这种情况下，可以利用直线与圆的方程联立求解来确定交点的坐标。

三、应用举例在现实生活中，圆与直线的关系有着广泛的应用。

以下是一些示例：3.1 圆形运动在物理学中，当一个物体以某个点为圆心做匀速圆周运动时，轨迹是一个圆。

这种运动可以通过圆的方程来描述，而物体所在的位置可以通过直线与圆的交点来确定。

3.2 圆的切线圆的切线是直接与圆相切的直线。

切线与圆的切点可以唯一地确定一条切线。

切线问题在几何推理中有着广泛的应用，例如在建筑设计、路线规划等方面。

3.3 圆的包络线考虑一组与圆心距离相等的直线，当直线逐渐旋转时，所形成的曲线被称为圆的包络线。

课题：2.3 直线与圆的位置关系编写人：张建 审核人： 班 组 姓名 使用说明：1、认真阅读课本，完成学案预习思考问题和效果检测部分第1、2、3、4题；2、阅读课本和新学案，完成第5，6题；学习目标：1.理解直线与圆的位置的种类。

2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离。

3.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系。

学习重、难点：1．重点：直线与圆的三种位置关系的理解与应用。

2．难点：运用直线与圆的位置关系的性质及判定解决相关的问题学法指导：认真阅读课本和资料内容，了解圆的位置关系与判断方法，并完成学案。

一、自主学习。

【预习思考】1. 在初中的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？2. 判断直线与圆的位置关系有几种方法？【效果检测】★1直线0553=++y x 与圆16)3()1(22=++-y x 的位置关系是 。

★2、设直线l 过点（-2，0）且与122=+y x 相切，则l 得斜率为 。

★★3、圆心在（1，2）且与07125=--y x 相切的圆的方程为 。

★★4、直线0443=--y x 被圆9)3(22=+-y x 截得的弦长为 。

二、合作探究 题型一：判断圆的位置关系。

★★5、已知直线l ：063=-+y x 和圆心为C 的圆04222=--+y y x ，判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。

（你能用两种方法判断圆的位置关系吗？）题型二：求圆的切线方程★★6\求由下列条件所决定的圆422=+y x 的切线方程。

（1）切线经过点P （3，1） （2）切线经过点Q （3，0）（3）切线斜率为-1三、课堂检测【巩固练习】★★7、以（1，3）为圆心，516为半径的圆与直线073=--my x 相交，m 的取值范围是 。

★★8、过点（2，3）且与1)3(22=+-y x 相切的直线方程为 。

★★★9、已知直线：和圆：，当实数取何值时，直线与圆相交？相切？相离？四、我的收获：1、知道直线与圆的位置关系：2、会根据不同的方法判断直线的位置关系。

直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是数学中一个重要的概念。

在二维平面上，直线和圆可以相交、相切或者不相交。

本文将详细介绍直线与圆的不同位置关系，并探讨相关的性质和定理。

1.直线与圆的相交关系当一条直线与一个圆相交时，可能存在三种不同的情况：相交于两个点、相交于一个点或者不相交。

1.1 直线与圆相交于两个点当一条直线与一个圆相交于两个不同的点时，这条直线称为圆的切线。

切线与圆的切点处存在着垂直关系。

此时，根据位置的不同，切线可以被分为以下三种情况：1.1.1 直线在圆的外部相交于两个点当一条直线与一个圆相交于两个不同的点，且这两个切点均在圆的外部时，这条直线与圆的位置关系如图1所示。

（插图：直线与圆相交于两个点，但直线在圆的外部）1.1.2 直线与圆相切于两个点当一条直线与一个圆相交于两个不同的点，且这两个切点均位于圆上时，这条直线与圆的位置关系如图2所示。

（插图：直线与圆相切于两个点）1.1.3 直线在圆的内部相交于两个点当一条直线与一个圆相交于两个不同的点，且这两个切点均在圆的内部时，这条直线与圆的位置关系如图3所示。

（插图：直线与圆相交于两个点，且直线在圆的内部）1.2 直线与圆相交于一个点当一条直线与一个圆相交于一个点时，我们称该直线与圆相切。

这种情况下，直线与圆的位置关系如图4所示。

（插图：直线与圆相切于一个点）1.3 直线与圆不相交当一条直线与一个圆没有交点时，这条直线与圆不相交。

这种情况下，直线与圆的位置关系如图5所示。

（插图：直线与圆不相交）2.直线与圆的性质和定理2.1 切线定理在一个圆中，通过一点可以作出两条切线，且这两条切线的切点处与该点连线垂直。

2.2 弦切角定理当一条弦与切线相交时，所形成的切角和弦所对的弧相等。

2.3 弦长定理一条弦所对的弧长度等于该弦所分割的圆内部两部分的长度之和。

2.4 垂直弦定理当一条直径与一条弦相交时，所形成的两个切角是互补角。

2.5 正交切线定理如果两条切线相交，那么从相交点到各个切点所作的弦互相垂直。

第二章 解析几何初步§2 圆与圆的方程§2.3.1 直线与圆的位置关系【预习导航】1.若设直线与圆的交点个数为n ,则有:0n =⇔直线与圆______；1n =⇔直线与圆______； 2n =⇔直线与圆______.2.若设圆心到直线的距离为d ,圆的半径为r ,则有:d r <⇔直线与圆______； d r =⇔直线与圆______； d r >⇔直线与圆______. 【基础自测】1.直线3450x y ++=与圆221x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能 2.直线3460x y ++=与圆221x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能 3.直线3450x y ++=与圆222x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能 4.若直线3410x y +=与圆22x y m +=相离,则实数m 的取值范围为( )A.2m >B.4m >C.02m <<D.04m <<【典例剖析】题型1: 直线与圆位置关系的判定 例1 已知直线y x m =+与圆222x y +=,求实数m 的取值范围,直线与圆有两个公共点,有且只有一个公共点,没有公共点？ [思路分析]判断直线与圆的位置关系,可以利用交点个数判断,也可以利用圆心到直线的距离与圆半径的大小来判断. [解法一]由方程组222y x mx y =+⎧⎨+=⎩得:222220x mx m ++-=.令22(2)42(2)4(2)(2)m m m m ∆=-⋅⋅-=--+ 则当0∆>,即22m -<<时,直线与圆有两个公共点；当0∆=,即2m =-或2m =时,直线与圆有且只有一个公共点；当0∆<,即2m <-或2m >时,直线与圆无公共点. [解法二]由题意可知圆的半径为2r =,且圆心到直线的距离为||2m d =.则当d r <,即22m -<<时,直线与圆有两个公共点；当d r =,即2m =-或2m =时,直线与圆有且只有一个公共点；当d r >,即2m <-或2m >时,直线与圆无公共点.[规律技巧]直线与圆位置关系的判断可以从代数角度、几何角度分别进行.但具体到某一题目时,往往需要我们选择一种相对简捷的方法,这需要同学们多体会如何选择. [变式训练]若直线2210x y m -+-=与圆225x y +=有公共点,则实数m 的取值范围为________.题型2: 直线与圆相切的问题例2 已知过点(2,3)-且与圆229x y +=相切的直线方程.[思路分析]直线与圆相切意味着直线与圆的方程联立后得到的一元二次方程的两个实数根相等,或者是圆心到直线的距离与圆半径相等.[解法一]当所求直线斜率不存在即2x =时,不符合题意；当直线斜率存在时,可设直线的方程为:(2)3y k x =--.由方程组22(2)39y k x x y =--⎧⎨+=⎩可得:222(1)2(23)(23)90k x k k x k +-+++-=.令222(2(23))4(1)((23)9)k k k k ∆=⋅+-++-224(9(1)(23))k k =+-+ 24(512)k k =-由直线与圆相切得0∆=,故可求得:0k =或125k =.从而可得,所求直线的方程为: 3y =-或125390x y --=.[解法二]当所求直线斜率不存在即2x =时,不符合题意；当直线斜率存在时,可设直线的方程为:(2)3y k x =--.由题意知圆心为(0,0),半径为3,圆心到直线的距离为2|23|1k d k +=+.由直线与圆相切得2|23|31k k +=+,故可求得:0k =或125k =.从而可得,所求直线的方程为:3y =-或125390x y --=.[规律技巧]直线的斜率存在与否,在设直线时一定要注意讨论.另外,直线与圆的相切问题仍需关注代数与几何两个角度的求解思路.[变式训练]圆C :222()()x a y b r-+-=上点00(,)P x y 处的切线方程为________.题型3: 有关弦长的问题例3 求过点(6,4)P -且被圆2220x y +=截得弦长为62的直线方程.[思路分析]设出直线的方程,再根据弦长列方程求解即可.[解]由题意可知直线的斜率必存在,故可设直线方程为(6)4y k x =-+,又由圆的半径为20,弦长为62,故圆心到直线距离为222|64|(20)(32)1k d k +=-=+,整理得:2172470k k ++=,解得:1k =-或717k =-.从而可得直线的方程为: 20x y +-=或717260x y ++=.[规律技巧]在解决直线与圆相交的有关问题时,首先考虑半径、弦长、弦心距之间的关系,然后利用由此得到的等量关系建立方程进行求解,往往可以简化运算.当然,本题也可以利用直线与圆的方程,结合韦达定理和弦长公式建立方程求解.[变式训练]求经过点(5,5)P ,且被圆2225x y +=截得弦长为45的直线方程.题型4: 直线与圆的综合问题例 4 求过圆222410x y x y ++-+=和直线240x y ++=交点,且面积最小圆的方程.[思路分析]利用相交圆系的知识,求半径的最小值；求直线与圆的交点,用直径式写出圆的方程.[解法1]设过圆222410x y x y ++-+=和直线240x y ++=交点的圆的方程为:22241(24)0x y x y x y λ++-++++=整理得222(1)(4)140x y y λλλ+++--++= 要使圆的面积最小,即要半径r 最小,故有: 2214(1)(4)4(14)2r λλλ=++--+ 21516162λλ=-+218165()255λ=-+ 11625255≥=. ∴圆的方程是222612370555x y x y ++-+=． [规律技巧]本题中涉及到了两个重要知识点.(1)若圆的一条直径的两个端点坐标分别为111(,)P x y ,222(,)P x y ,则圆的方程为：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=.(2)过圆221110x y D x E y F ++++=和直线0Ax By C ++=的交点的圆的方程为: 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=.[变式训练]求过圆2260x y x ++=和直线240x y ++=交点,且面积最小圆的方程.【课时作业】 一、选择题1.若2222()c a b =+,则直线0ax by c ++=与圆224x y +=的位置关系是( ) A.相离 B.相交且过圆心 C.相切 D.相交但不过圆心 2.过点(2,0)-,且与圆221x y +=相切的直线的斜率为( )A.1±B.12± C.33± D.3±3.过坐标原点,且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=截得的弦长为( )A.23B.6C.2D.3 4.过点(1,3)-,且与圆2210x y +=相切的直线的方程为( )A.3100x y -+=B.360x y -+=C.380x y +-=D.30x y +=二、填空题5.以直线34120x y -+=夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程是为______．6.圆22(1)(1)9x y -++=与直线3412x y +=的位置关系是______.7.过坐标系第一象限内的定点(,)M a b ,且与两坐标轴均相切的圆的个数为______. 8.若直线l 的斜率是1,被圆224x y +=截得的弦长是2,则l 的方程为______．三、解答题9．已知圆C :22(12)(5)169x y -+-=和圆内一点(13,6)P ,过点P 作直线l ,设直线l 与圆C 交于A ,B 两点,若AP PB =,求直线l 的方程.10.自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆224470x y x y +--+=相切,求光线l 所在的直线方程.第二章 解析几何初步§2 圆与圆的方程§2.3.1 直线与圆的位置关系【预习导航】1.若设直线与圆的交点个数为n ,则有:0n =⇔直线与圆______；1n =⇔直线与圆______； 2n =⇔直线与圆______.2.若设圆心到直线的距离为d ,圆的半径为r ,则有:d r <⇔直线与圆______； d r =⇔直线与圆______； d r >⇔直线与圆______.参考答案:1.相离,相切,相交. 2.相交,相切,相离.【基础自测】1.直线3450x y ++=与圆221x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能 2.直线3460x y ++=与圆221x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能 3.直线3450x y ++=与圆222x y +=的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.均有可能4.若直线3410x y +=与圆22x y m +=相离,则实数m 的取值范围为( ) A.2m > B.4m > C.02m << D.04m << 参考答案: 1.B 2.C 3.A 4.D【典例剖析】题型1: 直线与圆位置关系的判定 例1 已知直线y x m =+与圆222x y +=,求实数m 的取值范围,直线与圆有两个公共点,有且只有一个公共点,没有公共点？ [思路分析]判断直线与圆的位置关系,可以利用交点个数判断,也可以利用圆心到直线的距离与圆半径的大小来判断. [解法一]由方程组222y x mx y =+⎧⎨+=⎩得:222220x mx m ++-=.令22(2)42(2)4(2)(2)m m m m ∆=-⋅⋅-=--+ 则当0∆>,即22m -<<时,直线与圆有两个公共点；当0∆=,即2m =-或2m =时,直线与圆有且只有一个公共点；当0∆<,即2m <-或2m >时,直线与圆没有公共点.[解法二]由题意可知圆的半径为2r =,且圆心到直线的距离为||2m d =.则当d r <,即22m -<<时,直线与圆有两个公共点；当d r =,即2m =-或2m =时,直线与圆有且只有一个公共点；当d r >,即2m <-或2m >时,直线与圆没有公共点.[规律技巧]直线与圆位置关系的判断可以从代数角度、几何角度分别进行.但具体到某一题目时,往往需要我们选择一种相对简捷的方法,这需要同学们多体会如何选择. [变式训练]若直线2210x y m -+-=与圆225x y +=有公共点,则实数m 的取值范围为________. 解:由方程组2222105x y m x y -+-=⎧⎨+=⎩得:2254(21)(21)50y m y m --+--=.令22(4(21))20((21)5)m m ∆=----24(25(21))m =--由于直线与圆有两个公共点,故0∆≥,从而可求得:23m -≤≤. 题型2: 直线与圆相切的问题例2 已知过点(2,3)-且与圆229x y +=相切的直线方程.[思路分析]直线与圆相切意味着直线与圆的方程联立后得到的一元二次方程的两个实数根相等,或者是圆心到直线的距离与圆半径相等.[解法一]当所求直线斜率不存在即2x =时,不符合题意；当直线斜率存在时,可设直线的方程为:(2)3y k x =--.由方程组22(2)39y k x x y =--⎧⎨+=⎩可得:222(1)2(23)(23)90k x k k x k +-+++-=.令222(2(23))4(1)((23)9)k k k k ∆=⋅+-++-224(9(1)(23))k k =+-+ 24(512)k k =-由直线与圆相切得0∆=,故可求得:0k =或125k =.从而可得,所求直线的方程为: 3y =-或125390x y --=.[解法二]当所求直线斜率不存在即2x =时,不符合题意；当直线斜率存在时,可设直线的方程为:(2)3y k x =--.由题意知圆心为(0,0),半径为3,圆心到直线的距离为2|23|1k d k +=+.由直线与圆相切得2|23|31k k +=+,故可求得:0k =或125k =.从而可得,所求直线的方程为:3y =-或125390x y --=.[规律技巧]直线的斜率存在与否,在设直线时一定要注意讨论.另外,直线与圆的相切问题仍需关注代数与几何两个角度的求解思路.[变式训练]圆C :222()()x a y b r-+-=上点00(,)P x y 处的切线方程为________. 解:当0x a =时,切线的斜率必为0,此时切线方程为y b r =-或y b r =+； 当0y b =时,切线的斜率不存在,此时切线方程为x a r =-或x a r =+； 当0x a ≠,且0y b ≠时,00CP y bk x a-=-,故切线斜率为00x ay b---,由点斜式可得切线方程为0000()x ay y x x y b--=---,整理可得0000()()()()0x a x x y b y y --+--=.又由于00()()x x x a x a -=---,00()()y y y b y b -=---, 22200()()x a y b r -+-=,故切线方程为:200()()()()x a x a y b y b r --+--=.题型3: 有关弦长的问题例3 求过点(6,4)P -且被圆2220x y +=截得弦长为62的直线方程.[思路分析]设出直线的方程,再根据弦长列方程求解即可.[解]由题意可知直线的斜率必存在,故可设直线方程为(6)4y k x =-+,又由于圆的半径为20,弦长为62,因此圆心到直线的距离为222|64|(20)(32)1k d k +=-=+,整理得:2172470k k ++=, 解得:1k =-或717k =-. 从而可得直线的方程为:20x y +-=或717260x y ++=.[规律技巧]在解决直线与圆相交的有关问题时,首先考虑半径、弦长、弦心距之间的关系,然后利用由此得到的等量关系建立方程进行求解,往往可以简化运算.当然,本题也可以利用直线与圆的方程,结合韦达定理和弦长公式建立方程求解.[变式训练]求经过点(5,5)P ,且被圆2225x y +=截得弦长为45的直线方程.解:由题意可知直线的斜率必存在,故可设直线方程为(5)5y k x =--,又由于圆的半径为5,弦长为45,因此圆心到直线的距离为222|55|(5)(25)1k d k -=-=+,解得:2k =或12k =. 从而可得直线的方程为:250x y -+=或250x y --=.题型4: 直线与圆的综合问题例 4 求经过圆222410x y x y ++-+=和直线240x y ++=的交点,且面积最小的圆的方程.[思路分析]利用相交圆系的知识,求半径的最小值；求直线与圆的交点,用直径式写出圆的方程.[解法1]设过圆222410x y x y ++-+=和直线240x y ++=交点的圆的方程为:22241(24)0x y x y x y λ++-++++=整理得:222(1)(4)140x y y λλλ+++--++=要使圆的面积最小,即要半径r 最小,故有: 2214(1)(4)4(14)2r λλλ=++--+ 21516162λλ=-+ 218165()255λ=-+11625255≥=. ∴当85λ=时,半径r 最小,这时圆的方程是222612370555x y x y ++-+=． [解法2]由22240,2410.x y x y x y ++=⎧⎨++-+=⎩解得交点112(,)55A -,(3,2)B -. 因为经过A ,B 两点,且面积最小的圆就是以AB 为直径的圆,所以圆的方程是: 112()(3)()(2)055x x y y +⋅++-⋅-= 即,222612370555x y x y ++-+=． [规律技巧]本题中涉及到了两个重要知识点.(1)若圆的一条直径的两个端点坐标分别为111(,)P x y ,222(,)P x y ,则圆的方程为：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=.(2)过圆221110x y D x E y F ++++=和直线0Ax By C ++=的交点的圆的方程为: 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=.[变式训练]求经过圆2260x y x ++=和 直线240x y ++=的交点,且面积最小的 圆的方程.解:由题意可设经过圆2260x y x ++=和直线240x y ++=交点的圆的方程为:226(24)0x y x x y λ+++++=整理得:222(3)40x y x y λλλ+++++=要使圆的面积最小,即要半径r 最小,故有: 2214(3)162r λλλ=++- 2154362λλ=-+ 2121765()255λ=-+1176411255≥=. 故当25λ=时,半径r 最小,这时圆的方程是2234280555x y x y ++++=． 【课时作业】 一、选择题1.若2222()c a b =+,则直线0ax by c ++=与圆224x y +=的位置关系是( ) A.相离 B.相交且过圆心 C.相切 D.相交但不过圆心 答案:D 由题意可知圆心到直线的距离为22||22c d a b==<+,又由题意知0c ≠,故直线与圆相交,但不过圆心.2.过点(2,0)-,且与圆221x y +=相切的直线的斜率为( )A.1±B.12± C.33± D.3±答案:C 由题意设切线方程为(2)y k x =+,联立直线与圆的方程,消去y 可得一元二次方程2222(1)4410k x k x k +++-=,再由判别式为0可求得33k =±.另,本题也可以利用平面几何知识求解.3.过坐标原点,且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=截得的弦长为( )A.23B.6C.2D.3 答案:A 由题意知直线方程为3y x =,从而圆心(0,2)到直线的距离为2113d ==+,又由于圆的半径为2r =,因此截得的弦长为2222123-=.4.过点(1,3)-,且与圆2210x y +=相切的直线的方程为( )A.3100x y -+=B.360x y -+=C.380x y +-=D.30x y += 答案:A 由于点(1,3)-在圆2210x y +=上,切线方程为1310x y -⋅+=,整理即得解.二、填空题5.以直线34120x y -+=夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程是为______． 答案:22235(2)()()22x y ++-= 直线的两截距为(4,0)-,(0,3),据圆的直径式方程整理得22235(2)()()22x y ++-=.6.圆22(1)(1)9x y -++=与直线3412x y +=的位置关系是______.答案:相交 由题意可知圆心到直线的距离|314(1)12|13355⋅+⋅--=<,故相交.7.过坐标系第一象限内的定点(,)M a b ,且与两坐标轴均相切的圆的个数为______. 答案:2 由题意可设圆的方程为:222()()x t y t t -+-=,将点(,)M a b 入方程可得2222()0t a b t a b -+++=,再由,a b 均为正实数知2224()4()80a b a b ab ∆=+-+=>,从而得解.8.若直线l 的斜率是1,被圆224x y +=截得的弦长是2,则l 的方程为______． 答案:6y x =±. 由题意可设直线l 的方程为y x m =+,则有2224d =-,其弦心距3d =,从而22|00|311m -+=+,||6m =.故直线l 的方程为6y x =±.三、解答题9．已知圆C :22(12)(5)169x y -+-=和圆内一点(13,6)P ,过点P 作直线l ,设直线l 与圆C 交于A ,B 两点,若AP PB =,求直线l 的方程.解:根据圆的垂径定理知6511312PC k -=-=,所以直线l 的斜率1k =-,从而直线l 的方程为190x y +-=.10.自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆224470x y x y +--+=相切,求光线l 所在的直线方程.解: 将圆224470x y x y +--+=,配方可得22(2)(2)1x y -+-=,该圆关于x 轴对称的方程是22(2)(2)1x y -++=.设直线l 的方程为:(3)3y k x =++,即330kx y k -++=与圆相切,从而有:2|2233|11k k k ⋅+++=+,即22450240k k ++=,解得43k =-,或34k =-,带入得直线方程为:4330,3430x y x y ++=+-=或. 所以直线l 所在的直线方程为4330,3430x y x y ++=+-=或.。

2.3.3 直线与圆的位置关系学习要求1．掌握直线与圆的三种位置关系．2．会用两种方法来判定直线与圆的位置关系．3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．学法指导通过观察图形，探究出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系是判断直线与圆位置关系的依据，从而理解并掌握判断直线与圆位置关系的方法，感悟数形结合的思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．直线和圆的位置关系有： 相交 、 相切 、 相离 三种位置关系．2．直线与圆位置关系的判定有两种方法：(1)代数法：通过 直线方程与圆的方程 所组成的方程组，根据解的个数来判断．若有两组不同的实数解， 即Δ＞0，则 相交 ；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则 相切 ；若无实数解，即Δ＜0，则 相离 ．(2)几何法：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断．当d ＜r 时，直线与圆 相交 ；当d ＝r 时，直线与圆 相切 ；当d ＞r 时，直线与圆 相离 ．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在初中我们判断直线与圆的位置时，是通过图形看直线与圆有几个交点，当它们有两个公共点时，直线与圆相交；有一个公共点时相切；没有公共点时相离．现在我们学习了直线与圆的方程后，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？本节我们就来探讨这个问题．探究点一 判定直线与圆的位置关系的方法问题1 平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？答：平面几何中，直线与圆有三种位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点．问题2 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？答：(1)如果直线l 和圆C 的方程分别为：Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.可以用圆心C(a ，b)到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C|A 2＋B2与圆C 的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系； (2)把直线与圆的交点个数问题转化为直线与圆的方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的解的个数问题， 这样当方程组无解时，直线与圆相离；方程组有一解时，直线与圆相切；方程组有两解时，直线与圆相交．探究点二 直线与圆位置关系的应用例1 已知圆的方程是x 2＋y 2＝2，直线方程是y ＝x ＋b ，当b 为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？解：方法一 所求曲线公共点问题可转化为b 为何值时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2 ①y ＝x ＋b ② 有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题．②代入①，整理得2x 2＋2bx ＋b 2－2＝0.③方程③的根的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b 2－2)＝－4(b ＋2)(b －2)．当－2<b<2时，Δ>0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点；当b ＝2或b ＝－2时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点：当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点．以上分别就是直线与圆相交、相切、相离的三种情况(如图所示)．方法二圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、无公共点的问题，可以转化为b 取何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题．圆的半径r ＝2，圆心O(0,0)到直线y ＝x ＋b 的距离为d ＝|b|2， 当d<r ，即－2<b<2时，圆与直线相交，有两个公共点；当d ＝r ，|b|＝2，即b ＝2或b ＝－2时，圆与直线相切，直线与圆有一个公共点；当d>r ，|b|>2，即b<－2或b>2时，圆与直线相离，圆与直线无交点．小结：判断直线与圆的位置关系一般有两种方法 ：一是利用直线与圆的交点个数；二是利用圆心到直线的距离d 与圆半径长的大小关系．跟踪训练1 已知直线l ：3x ＋y －6＝0和圆心为C 的圆x 2＋y 2－2y －4＝0，判断直线l 与圆的位置关系．解：方法一 由直线与圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0x 2＋y 2－2y －4＝0.消去y ，得x 2－3x ＋2＝0， 因为Δ＝(－3)2－4×1×2＝1>0，所以，直线与圆相交，有两个公共点．方法二 圆的方程配方，得x 2＋(y －1)2＝5，圆心C 坐标为(0,1)，半径为5，圆心C 到直线的距离d ＝|3×0＋1×1－6|32＋12＝510< 5.所以，直线与圆相交，有两个公共点． 例2 已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，求过圆上一点M(x0，y 0)的切线方程(如图)．解：如果x 0≠0且y 0≠0，则直线OM 的方程为y ＝y 0x 0x ， 从而过点M 的圆的切线的斜率为－x 0y 0， 因此所求圆的切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)．化简，得x 0x ＋y 0y ＝x 20＋y 20. 因为点M(x 0，y 0)在圆上，所以x 20＋y 20＝r 2，所以，过圆x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.如果x 0＝0或y 0＝0，我们容易验证，过点M(x 0，y 0)的切线方程也可以表示为x 0x ＋y 0y ＝r 2的形式．因此，所求的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.小结：过一点求圆的切线，应首先判定点与圆的位置关系，若在圆上，则该点即为切点，若在圆外，可根据此点设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即得切线斜率．跟踪训练2 求过点P(1，－7)与圆x 2＋y 2＝25相切的切线方程．解：方法一 将点P(1，－7)代入圆方程得12＋(－7)2＝50>25，∴点P 在圆外. 设切线的斜率为k ，由点斜式得y ＋7＝k(x －1)，即y ＝k(x －1)－7. ①将①代入圆的方程x 2＋y 2＝25，得x 2＋[k(x －1)－7]2＝25，整理得(k 2＋1)x 2－(2k 2＋14k)x ＋k 2＋14k ＋24＝0，Δ＝(2k 2＋14k)2－4(k 2＋1)·(k 2＋14k ＋24)＝0.解得k ＝43或k ＝－34， 再代入①可得切线方程为4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.方法二 设所求切线斜率为k ，∴所求直线方程为y ＋7＝k(x －1)，整理得kx －y －k －7＝0，∵圆心到直线的距离d ＝|0－0－k －7|1＋k 2，且d ＝r.即|0－0－k －7|1＋k 2＝5， 整理得12k 2－7k －12＝0.解得k ＝43或k ＝－34. 因此切线方程为4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.探究点三 直线截圆所得弦长问题例3 已知过点M(－3，－3)的直线l 被圆x 2＋y 2＋4y －21＝0所截得的弦长为45，求直线l 的方程．解：将圆的方程写成标准形式，得x 2＋(y ＋2)2＝25，所以，圆心的坐标是(0，－2)，半径r ＝5. 因为直线被圆截得的弦长为45， 所以，弦心距为52－52＝5，设过点M 的直线方程为y ＋3＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －3＝0.由弦心距为5，得|0＋2＋3k －3|k 2＋1＝5， 解得k ＝－12，或k ＝2. 所以，所求直线方程有两条，它们的方程分别为x ＋2y ＋9＝0，或2x －y ＋3＝0.小结：涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及圆半径所构成的直角三角形解之，以简化运算．跟踪训练3 已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得弦AB 满足： 以AB 为直径的圆经过原点．解：假设存在且设l 为：y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C(1，－2)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m y ＋2＝－－， 得AB 的中点N 的坐标N ⎝⎛⎭⎫－m ＋12，m －12， 由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|.又|AN|＝|CA|2－|CN|2＝9－＋22， |ON|＝⎝⎛⎭⎫－m ＋122＋⎝⎛⎭⎫m －122. 所以9－＋22＝⎝⎛⎭⎫－m ＋122＋⎝⎛⎭⎫m －122， 解得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是 ( )A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离解析：圆心到直线的距离d ＝112＋－2＝22<1， 又∵直线y ＝x ＋1不过圆心(0,0)，∴选B.2．已知P ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2}，Q ＝{(x ，y)|x 2＋y 2＝2}，那么P∩Q 为( )A ．∅B ．(1,1)C ．{(1,1)}D ．{(－1，－1)}解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2x ＋y ＝2， 得x ＝y ＝1.3．过点M(3,2)作⊙O ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的切线，则切线方程是_____________________．解析：易知所求切线不可能垂直于x 轴，故切线斜率必定存在．设切线方程为y －2＝k(x －3)，即kx －y ＋2－3k ＝0，由|－2k －1＋2－3k|k 2＋－2＝1， 得k ＝512或k ＝0，代入即可求得．课堂小结：1．判断直线与圆的位置关系有两种方法：(1)判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l 与圆C 有公共点．有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离．(2)判断圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系．如果d<r ，直线l 与圆C 相交；如果d ＝r ，直线l 与圆C 相切；如果d>r ，直线l 与圆C 相离．2．圆的切线分三类：(1)过圆上一点的圆的切线；(2)知切线斜率的圆的切线；(3)过圆外一点的圆的切线．。

2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系填一填1.直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离判断方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d<r d＝r d>r判断方法代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax＋By＋C＝0(x－a)2＋(y－b)2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0判一判1.2．过一点作圆的切线有一条．(×)3．如果一条直线被圆截得的弦长最大，则该直线过圆心．(√)4．直线ax＋y＝1与圆x2＋(y－1)2＝1的位置关系与a有关．(×)5．若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离．(×)6．若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交．(√)7．若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a相切，则a等于4.(×)8．若直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于该圆的半径．(√)想一想1.提示：(1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系．(2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征尽可能简化运算．2．直线与圆的位置关系的判定有哪两种方法？提示：(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ<0，则相离．(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当d<r时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离．3．过一点的圆的切线方程的求法？提示：(1)点(x0，y0)在圆上．①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点(x0，y0)在圆外．①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．4．求弦长常用的方法有哪些？圆的性质利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋⎝⎛⎭⎫l22解题交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长弦长公式设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2) [(x1＋x2)2－4x1x2]练一练1.圆(x－1)2＋(y－1)2A．相离B．相切C．相交且直线过圆心D．相交但直线不过圆心答案：C2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝()A．1 B. 2C. 3 D．2答案：D3．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0答案：D4．若经过P(－1,0)的直线与圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0相切，则该直线在y轴上的截距是________．答案：15．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________.答案：23知识点一 直线与圆位置关系的判断1.0000 ①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切 ②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离 ③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交 ④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20>r 2，d <r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20<r 2，d >r ，相离，故只有①正确．故选A.答案：A2．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定解析：由题意，圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝1a 2＋b2<1，所以有a 2＋b 2>1，即点P (a ，b )在圆C 外．答案：知识点二 直线与圆相切问题3.若圆C 方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：设圆心为(a,1)，由已知得d ＝|4a －3|5＝1，由a >0，所以a ＝2.故选B.答案：B4．已知圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)过点P (2，2)作圆O 的切线，求切线l 的方程； (2)过点Q (2,4)作圆O 的切线，求切线l 的方程．解析：(1)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设切线方程为y －2＝k (x －2)即kx －y －2k ＋2＝0，由题意得，圆心到该切线的距离d ＝|－2k ＋2|1＋k 2＝2，得k ＝－1.故所求的切线方程为x ＋y －22＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)， 即kx －y ＋4－2k ＝0.由题意得d ＝|4－2k |k 2＋1＝2，得k ＝34.所以直线l 的方程为y －4＝34(x －2)即3x －4y ＋10＝0.5.是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：被圆截得的最长弦是直径，于是所求直线过圆心(1,0)及点P (0,1)，故直线方程是x ＋y －1＝0.答案：C6．直线x －y ＋3＝0被圆(x ＋2)2＋(y －2)2＝2截得的弦长等于( )A.62B. 3 C ．2 3 D. 6解析：圆心(－2,2)到直线x －y ＋3＝0的距离d ＝22，圆的半径r ＝2，解直角三角形得，半弦长为62，所以弦长等于 6.答案：7.这条直线与已知圆：(1)相交； (2)相切； (3)相离．并写出过点P 的切线方程．解析：设过点P 的直线的斜率为k (由已知k 存在)，则方程为y ＝k (x －4)．方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 2＋y 2＝8，消去y ，得x 2＋k 2(x －4)2＝8，即(k 2＋1)x 2－8k 2x ＋16k 2－8＝0，Δ＝(－8k 2)2－4(1＋k 2)(16k 2－8)＝32(1－k 2)． (1)令Δ>0，即32(1－k 2)>0，得－1<k <1.所以当k 的取值范围为(－1,1)时，直线与圆相交． (2)令Δ＝0，即32(1－k 2)＝0，得k ＝±1. 所以当k ＝±1时直线与圆相切，切线方程为x －y －4＝0或x ＋y －4＝0. (3)令Δ<0，即32(1－k 2)<0，得k >1或k <－1.所以当k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，直线与圆相离．方法二 设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|k ·0－0－4k |1＋k 2＝4|k |1＋k 2.(1)当d <r ，即4|k |1＋k2<8， 所以k 2<1，即－1<k <1.所以，当k 的取值范围为(－1,1)时，直线与圆相交．(2)d ＝r ，即4|k |1＋k2＝8， 所以k 2＝1，即k ＝±1.所以，当k ＝±1时，直线与圆相切，切线方程为x －y －4＝0或x ＋y －4＝0.(3)d >r ，即4|k |1＋k2>8，所以k 2>1，即k >1或k <－1. 所以，当k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，直线与圆相离． 8．设有一条光线从P (－2,43)射出，并且经x 轴上一点Q (2,0)反射． (1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为l 1，l 2)；(2)设动直线l ：x ＝my －23，当点M (0，－6)到l 的距离最大时，求l ，l 1，l 2所围成的三角形的内切圆(即圆心在三角形内，并且与三角形的三边相切的圆)的方程．解析：(1)因为k PQ ＝－3，所以l 1：y ＝－3(x －2)， 因为l 1，l 2关于x 轴对称，所以l 2：y ＝3(x －2)． (2)因为l 恒过点N (－23，0)，当MN ⊥l 时，M 到l 的距离最大，因为k MN ＝－3，所以m ＝3， 所以l 的方程为x ＝3y －23，设所求方程为(x －2)2＋(y －t )2＝r 2，所以r ＝|t |2＝|3t －23－2|2，得t ＝2，所以所求方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1.基础达标一、选择题1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．相切B ．相交但不过圆心C ．过圆心D ．相离解析：由于圆心(0,0)不满足直线方程，所以直线不过圆心，又圆心到直线的距离d ＝|1|2＝22<1，所以直线与圆相交，但不过圆心，故选B. 答案：B2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 3解析：直线方程为3x －y ＝0，圆的圆心为(0,2)，半径为2，因为圆心到直线的距离为d ＝|－2|2＝1，所以所截弦长为222－12＝23，故选D.答案：D3．过原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0相切的直线方程是( )A ．y ＝34xB ．y ＝34x 或y ＝0C ．y ＝34x 或x ＝0D ．y ＝43x 或x ＝0解析：设切线方程为kx －y ＝0，由圆心(2，－1)到直线的距离等于半径2，得k ＝34，因此一条切线方程为y ＝34x ；画图可知，y 轴是符合条件的切线，方程为x ＝0，故选C.答案：C4．已知直线l ：y ＝3x ＋m 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝6相交于A ，B 两点，若|AB |＝22，则实数m 的值等于( )A ．－7或－1B ．1或7C ．－1或7D ．－7或1解析：圆心(0,3)到直线l 的距离d ＝|0－3＋m |3＋1＝|m －3|2，故(m －3)24＋2＝6，解得：m ＝－1或m ＝7，故选C.答案：C5．曲线y ＝1＋4－x 2与直线kx －y －2k ＋4＝0有两个交点时，实数k 取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤512，34B.⎝⎛⎭⎫512，34C.⎝⎛⎦⎤13，34D.⎝⎛⎭⎫0，512 解析：曲线y ＝1＋4－x 2，因为x ∈[－2,2]，y ＝1＋4－x 2≥1，所以x 2＋(y －1)2＝4，表示圆心为M (0,1)，半径r ＝2的圆的上半部分．直线y ＝k (x －2)＋4表示过定点P (2,4)的直线，当直线与圆相切时，由圆心到直线kx －y ＋4－2k ＝0的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝512.当直线经过点B (－2,1)时，直线PB 的斜率为k ＝34.所以要使直线与曲线有两个不同的公共点，则必有512<k ≤34.即实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤512，34. 答案：A6．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是A (1,2)，则直线PQ 的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．x ＋2y －5＝0 C ．2x －y ＋4＝0 D ．2x －y ＝0解析：设圆的圆心是O ，由题意知，直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.故选B.答案：B7．若直线ax ＋by －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P (－1,2)，则ab 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3解析：圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝5，直线与圆相切，则圆心到直线距离为5，所以|－2a －3|a 2＋b2＝5，整理得a 2－12a ＋5b 2－9＝0且直线过P (－1,2)，代入得2b －a －3＝0，两式联立，得a ＝1，b ＝2，所以ab ＝2，故选C.答案：C 二、填空题8．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：由题意可得，圆心为(2，－1)，r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2－2－3|12＋22＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝24－95＝2555.答案：25559．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．解析：由条件易知直线l 的斜率必存在，设为k .圆心(1,1)到直线y ＋2＝k (x ＋1)的距离为|2k －3|k 2＋1＝22，解得k ＝1或k ＝177，即所求直线的斜率为1或177.答案：1或17710．已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为________________．解析：当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C (0,3)到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0. 答案：x ＝－1或4x －3y ＋4＝011．若直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切，则a 的值为________．解析：圆x 2＋(y －a )2＝1的圆心坐标为(0，a )，半径为1，又直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切，所以圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝r ，即|a |2＝1，解得a ＝±2.答案：±212．已知从圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，则当|PM |取最小值时点P 的坐标为________．解析：如图所示，圆心C (－1,2)，半径r ＝ 2.因为|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2(C 为圆心，r 为圆的半径)，所以x 21＋y 21＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |最小，只要|PO |最小即可．当直线PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即直线PO 的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |最小，此时P 点即为两直线的交点，得P 点坐标⎝⎛⎭⎫－310，35. 答案：⎝⎛⎭⎫－310，35 三、解答题13．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．解析：方法一 依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径长r ＝|MP |＝(2－0)2＋(0－2)2＝2 2. 故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.方法二 设所求圆的半径长为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2. 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝22，所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.14．已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线AB 的方程． 解析：(1)方法一 (几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线AB 的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0. 因为圆心为(0,0)，所以|OC |＝|－1|2＝22.因为r ＝22，所以|BC |＝8－⎝⎛⎭⎫222＝302，所以|AB |＝2|BC |＝30.方法二 (代数法) 当α＝135°时，直接AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8， 得2x 2－2x －7＝0.所以x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝30. (2)如图，当弦AB 被点P 平分时， OP ⊥AB ，因为k OP ＝－2，所以k AB ＝12，所以直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.能力提升15.已知圆C ：(x －1)2＋(y 1)y －7m －4＝0(m ∈R )． (1)证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 恒交于两点；(2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时m 的值． 解析：(1)直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0(m ∈R )，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴直线l 恒过点M (3,1)．又M 到圆心C (1,2)的距离为(3－1)2＋(1－2)2＝5<5， ∴点M (3,1)在圆内，∴不论m 取什么值，直线l 与圆C 恒交于两点．(2)∵过点M (3,1)的所有弦中，弦心距d ≤5，弦心距、半弦长和半径长r 构成直角三角形，∴当d ＝5时，半弦长的最小值为52－(5)2＝25， ∴弦长|AB |的最小值|AB |min ＝45，此时，k CM ＝1－23－1＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1.∵l ⊥CM ，∴12·2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－34.∴当m ＝－34时，直线l 被圆C 截得的线段最短，且最短长度为4 5.16．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上．(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值与最小值； (3)求x ＋y 的最大值与最小值．解析：方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4. (1)yx表示圆上的点P 与原点连线的斜率，如图(1)，显然PO (O 为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y ＝kx (由题意知，斜率一定存在)，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于半径长2，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145，所以yx 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145. (2)x 2＋y 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋y 2＋2，它表示圆上的点P 到E (－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P 与点E 的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值．如图(2)，显然点E 在圆C 的外部，所以点P 与点E 距离的最大值为|CE |＋2，点P 与点E 距离的最小值为|CE |－2.又|CE |＝(3＋1)2＋32＝5，所以x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.(3)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，如图(3)，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值．此时圆心C (3,3)到切线x ＋y＝b 的距离等于圆的半径长2，则|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.由Ruize收集整理。

2009------2010学年高一必修2导学案 使用时间2010 1 编制人：阮雪剑 刘云芹 审核人 审批人 班级 小组 姓名 组内评价 教师评价二．2.3.1直线和圆的位置关系导学案（A ）【使用说明】1、课前完成导学案的问题、例题及深化提高。

2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探讨，答疑解惑。

一．学习目标1．掌握判断直线与圆的位置关系的代数方法和几何方法；过圆上一点的圆的切线方程； 2．培养学生综合运用圆有关知识的能力，会用 “数形结合”的数学思想解决问题． 3.通过不同形式的自主学习和探究活动，提高抽象概括，分析总结，数学表达等基本数学思维能力。

二．问题导学1.直线与圆的位置关系有说明：1、（1）已知直线方程Ax+By+C=0与圆的方程222)()(r b y a x =-+-，则圆心到直线的距离d=__________________（2）方程组是由直线的方程和圆的方程联立得到的。

2、①过圆外一点作圆的切线有两条，切线长相等；圆心和定点的连线，过切点半径，切线长组成Rt △；圆心和定点连线垂直平分两切点连线；②圆上各点到圆心的距离相等，都等于半径r ；③直径是圆内最长的弦，直径所对圆周角为90。

三．合作探究例1（1）判断下列直线与圆1)2()3(22=-+-y x 的位置关系： ① 02=--y x ② 02=-x（2）直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a =（3）圆4)2()(:22=-+-y a x C 被==+-a y x l 则，截得的弦长为3203:例2已知过点()2,1P -直线l 和圆()22125x y -+=交于A 、B 两点（1）若P 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程； （2）若过点P 被圆截得的弦长为64求直线l 的方程。

（*）思考：分别求AB 最小和最大时直线l 的方程。

2009------2010学年高一必修2导学案 使用时间2010 1 编制人：阮雪剑 刘云芹 审核人 审批人 班级 小组 姓名 组内评价 教师评价例3．（1）已知点)4,3(P 是圆C ：2522=+y x 上一点，求过点P 的圆C 的切线方程； （2）已知圆C ：0126422=+--+y x y x ，①求过点P （3，5）的圆的切线的方程。