2020高考数学(理)二轮专题复习讲义《六 第1讲 函数的图象与性质(小题)》

专题六函数与导数第1讲函数图象与性质高考定位1。

以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3。

函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法。

真题感悟1。

(2020·全国Ⅱ卷）设函数f（x)＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜，则f(x)(）A。

是偶函数，且在错误!单调递增B。

是奇函数，且在错误!单调递减C。

是偶函数，且在错误!单调递增D。

是奇函数，且在错误!单调递减解析f(x）＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜的定义域为错误!.∵f（－x)＝ln|－2x＋1｜－ln｜－2x－1|＝ln|2x－1｜－ln|2x＋1|＝－f（x），∴f(x）为奇函数,故排除A,C。

又当x∈错误!时，f(x）＝ln（－2x－1)－ln（1－2x）＝ln 错误!＝ln 错误!＝ln 错误!，∵y＝1＋错误!在错误!上单调递减，由复合函数的单调性可得f（x）在错误!上单调递减。

故选D.答案D2。

（2019·全国Ⅰ卷)函数f（x）＝错误!在[－π,π］的图象大致为()解析显然f(－x）＝－f(x），x∈[－π，π],所以f(x)为奇函数，排除A；又当x＝π时，f（π）＝错误!〉0，排除B，C，只有D适合.答案D3.（2020·新高考山东、海南卷)若定义在R上的奇函数f（x)在（－∞，0）单调递减，且f（2)＝0,则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是(）A.［－1，1］∪[3，＋∞）B.[－3,－1]∪［0,1］C.[－1，0]∪[1,＋∞）D.[－1,0]∪［1，3]解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)＝0。

又f（x）在（－∞,0）单调递减，且f（2)＝0，画出函数f（x）的大致图象如图（1）所示,则函数f(x－1）的大致图象如图（2）所示。

当x≤0时，要满足xf(x－1）≥0,则f（x－1）≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf（x－1）≥0，则f（x－1)≥0，得1≤x≤3。

2020年高考数学（理）二轮复习命题考点串讲系列-专题06 三角函数的图象与性质1、考情解读1.三角函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．2.备考时应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象与性质，并熟练掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．2、重点知识梳理1．任意角和弧度制(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(3)弧长公式：l＝|α|r，扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|r2.2．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)．(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．诱导公式4.同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα(cosα≠0)．5．正弦、余弦、正切函数的性质6.函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0、π2、π、3π2、2π，求出x的值与相应的y的值，描点连线可得．3、高频考点突破考点1 三角函数图象及其变换例1、【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin 2cos 2cos 23326C y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos2y x =，再将曲线向左平移12π个单位长度得到2C ，故选D. 【变式探究】(2016·高考全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3答案：A【变式探究】 (1)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：基本法：由函数图象知T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2. ∴2πω＝2，即ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨设φ＝π4. ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π得， 2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，故选D.速解法：由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D.答案：D(2)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位答案：B考点2 三角函数性质及应用例2、【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为23sin aA（1）求sin B sin C;（2）若6cos B cos C=1，a=3，求△ABC的周长.【答案】（1）23.（2）333+.【解析】（1）由题设得21sin23sinaac BA=，即1sin23sinac BA=.由正弦定理得1sin sin sin23sinAC BA=.故2 sin sin3B C=.【变式探究】(1)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y ＝f(x)的图象大致为()解析：基本法：用排除法排除错误选项．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2 2.∵22＜1＋5，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B. 速解法：当x ＝π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1＋ 5.x ＝π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝22，显然f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4排除C 、D.又∵x 为角度，f (x )不是一次函数，排除A ，故选B. 答案：B(2)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．解析：基本法：利用三角恒等变换将原式化简成只含一种三角函数的形式． ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.速解法：∵φ为常数，令φ＝0时，f (x )＝sin x . 若φ＝π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x猜想f (x )＝sin x f (x )max ＝1. 答案：1(3)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增速解法：由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4知T ＝2πω＝π，∴ω＝2.f (x )为偶函数，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2cos 2x 依据图象特征可得f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减区间．答案：A【变式探究】(2016·高考全国甲卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，因为sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值，且f (x )max ＝5.答案：B4、真题感悟（2014-2017年）1.【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2【答案】D2.【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为23sin aA（1）求sin B sin C;（2）若6cos B cos C=1，a=3，求△ABC的周长.【答案】（1）23.（2）333+【解析】（1）由题设得21sin23sinaac BA=，即1sin23sinac BA=.由正弦定理得1sin sin sin23sinAC BA=.故2 sin sin3B C=.1.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ） （A ）310 （B ）10 （C ）10- （D ）310-【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD =．由余弦定理，知22222210cos 210225AB AC BC A AB AC AD AD +-===-⋅⨯⨯，故选C ．2.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.3.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-， 所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．4.【2016年高考四川理数】22cos sin 88ππ-= . 【答案】22【解析】[由二倍角公式得22cos sin 88ππ-=2cos.42=π5.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x=的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D6.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.7.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.32t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.3t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时minπππ4126s ==-，故选A. 8.【2016高考新课标3理数】函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π9.【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B【解析】21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．10.【2016高考山东理数】函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（ ）（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B.11.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x=的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x=的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 12.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B13.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.32t =，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s 的最小值为3π 【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时minπππ4126s ==-，故选A. 14.【2016高考新课标3理数】函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π15.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ） （A ）310 （B ）10 （C ）10- （D ）310-【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD =．由余弦定理，知22222210cos 210225AB AC BC A AB AC AD AD +-===-⋅⨯⨯， 故选C ．16.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ）（A）7 25（B）15（C）15-（D）725-【答案】D【解析】2237cos22cos12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos2cos2sin242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.17.【2016高考新课标3理数】若3tan4α=，则2cos2sin2αα+=（）(A)6425(B)4825(C) 1 (D)1625【答案】A【2015高考新课标1，理2】o o o osin20cos10cos160sin10-=( )（A）32-（B）32（C）12-（D）12【答案】D【解析】原式=o o o osin20cos10cos20sin10+=osin30=12，故选D.【2015江苏高考，8】已知tan2α=-，()1tan7αβ+=，则tanβ的值为_______.【答案】3【解析】12tan()tan7tan tan() 3.21tan()tan17αβαβαβααβα++-=+-===++-【2015高考福建，理19】已知函数f()x的图像是由函数()cosg x x=的图像经如下变换得到：先将()g x图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度.(Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围；（2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-( 【答案】(Ⅰ) f()2sin x x =，(k Z).2x k pp =+?；(Ⅱ)（1）(5,5)-；（2）详见解析．【解析】解法一：(1)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x =的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移2p个单位长度后得到y 2cos()2x p=-的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为(k Z).2x k pp =+?(2)1) f()g()2sin cos 5(sin cos )55x x x x x x +=+=+ 5sin()x j =+（其中sin ,cos 55j j ==）解法二：(1)同解法一. (2)1) 同解法一.2) 因为,a b 是方程5sin()=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin()=5a j +，sin()=5b j +. 当1m<5£时，+=2(),+();2pa b j a j p b j -=-+即当5<m<1-时, 3+=2(),+3();2pa b j a j p b j -=-+即所以cos +)cos()a j b j =-+(于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++(22222cos ()sin()sin()[1()]() 1.555m b j a j b j =-++++=--+=-【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（II ）ABC ∆ 23+（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 得1sin 2A = 由题意知A 为锐角，所以3cos 2A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：22132bc b c bc +=+≥ 即：23,bc ≤+ 当且仅当b c =时等号成立.因此123sin 2bc A +≤所以ABC ∆面积的最大值为23+【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象，只需将函数sin 4y x = 的图象向右平移12π个单位.故选B. 【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈(B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈(C)13(,),44k k k Z -+∈(D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x xππ=+，令22,4k x k k Zπππππ<+<+∈，解得124k-＜x＜324k+，k Z∈，故单调减区间为（124k-，324k+），k Z∈，故选D.1. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x xϕ=-且23()0,f x dxπ=⎰则函数()f x的图象的一条对称轴是( )A.56xπ= B.712xπ= C.3xπ= D.6xπ=【答案】A【考点定位】三角函数图像、辅助角公式2. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数cosy x=与函数sin(2)(0)y xφφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是.【答案】6π【解析】由题意cos sin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36kkππϕπ+=+-⋅，()k Z∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角．3. 【2014辽宁高考理第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减D ．在区间[,]63ππ-上单调递增【答案】B【考点定位】函数sin()y A x ωϕ=+的性质.4. 【2014四川高考理第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】1sin(21)sin 2()2y x x =+=+，所以只需把sin 2y x =的图象上所有的点向左平移12个单位.选A.【考点定位】三角函数图象的变换.5. 【2014全国1高考理第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）POAM【答案】CP OAMD POAM D【考点定位】解直角三角形、三角函数的图象．6. 【2014高考北卷理第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 .【答案】π【考点定位】函数)sin()(ϕω+=x A x f 的对称性、周期性，7. 【2014高考安徽卷理第11题】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.【答案】83π【解析】由题意()2sin(2)4f x x π=+，将其图象向右平移ϕ个单位，得2sin[2()]2sin[22]44x x ππϕϕ-+=-+，要使图象关于y 轴对称，则242k ππϕπ-=+，解得82k ππϕ=--，当1k =-时，ϕ取最小正值83π.【考点定位】三角函数的平移、三角函数恒等变换与图象性质.8. 【2014浙江高考理第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】Ｄ【解析】sin 3cos3234y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故只需将23y x =向左平移4π个单位．【考点定位】三角函数化简,图像平移.9. 【2014陕西高考理第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π 【答案】B【解析】由周期公式2T w π=，又2w =,所以函数()cos(2)6f x x π=-的周期22T ππ==，故选B .【考点定位】三角函数的最小正周期.10. 【2014大纲高考理第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a的取值范围是.【答案】(],2-∞．【考点定位】三角函数的单调性11. 【2014高考江西理第16题】已知函数()sin()cos(2)f x x a xθθ=+++，其中,(,)22a Rππθ∈∈-（1）当2,4aπθ==时，求()f x在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2）若()0,()12f fππ==，求,aθ的值.【答案】（12最小值为-1. （2）1.6aπθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩【解析】（1）当2,4aπθ==时，22()sin()2)sin2sin()42224f x x x x x x xπππ=+++=+=-因为[0,]xπ∈，从而3[,]444xπππ-∈-故()f x在[0,]π上的最大值为2,2最小值为-1.（2）由()02()1ffππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos(12sin)02sin sin1aa aθθθθ-=⎧⎨--=⎩，又(,)22ππθ∈-知cos0,θ≠解得1.6aπθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩【考点定位】三角函数性质。

2020届高三理科数学二轮专题复习讲义（一）《函数、导数、不等式》专题一、专题热点透析函数、导数和不等式这三部分内容都是高考考查的重点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题。

纵观近年的高考试题，对函数的主干知识，函数知识的综合应用，函数与导数、不等式的结合，利用导数研究函数的单调性、求函数的极值和最值等内容是本专题考查的重点，而本专题命题的热点主要是函数的图像与性质，以函数为背景的方程、不等式问题，以函数为模型运用导数解决的应用问题等几个方面。

本专题重在讲解题型和思想方法，所选例题比较简单。

二、热点题型范例题型一、函数的单调性与极值问题例1．已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导得2()321f x x ax '=++当23a ≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增；当23a >，()0f x '=求得两根为x =即()f x在3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，递减，3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭递增。

（2）2313≤-≥-，且23a>，解得2a ≥。

例2．已知定义在R 上的函数32(),,,,f x ax bx cx d a b c d =+++其中 是实数.（1）若函数)(x f 在区间),3()1,(+∞--∞和上都是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，并且,18)0(,7)0(-='-=f f 求函数)(x f 的表达式；（2）若2,,30a b c b ac -<满足，求证：函数)(x f 是单调函数．解：（1）.23)(2c bx ax x f ++='由.1823)(,1818)0(2-+='-=-='bx ax x f c f 即得又由于)(x f 在区间),3()1,(+∞--∞和上是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，所以 －1和3必是0)(='x f 的两个根，从而⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=--.6,2.018627,01823b a b a b a 解得 又根据32(0)77,()26187.f d f x x x x =-=-=---得所以（2）因为)(x f '为二次三项式，并且0)3(4)3(4)2(22<-=-=∆ac b ac b ，当0)(,0>'>x f a 时恒成立，此时函数)(x f 是单调递增函数；当0)(,0<'<x f a 时恒成立，此时函数)(x f 是单调递减函数，因此对任意给定的实数a ，函数)(x f 总是单调函数。

第1讲函数的图象与性质(小题)热点一函数的概念与表示1．高考常考定义域易失分点：(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f[g(x)]中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f[g(x)]的定义域；(2)若f[g(x)]的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．2．高考常考分段函数易失分点：(1)注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提；(2)利用函数性质转化时，首先判断已知分段函数的性质，利用性质将所求问题简单化．例1(1)函数f(x)＝14－x2＋ln(2x＋1)的定义域为()A.⎣⎡⎦⎤－12，2 B.⎣⎡⎭⎫－12，2 C.⎝⎛⎦⎤－12，2 D.⎝⎛⎭⎫－12，2 答案 D解析 要使函数f (x )＝14－x2＋ln(2x ＋1)有意义， 则需满足⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2>0，2x ＋1>0，解得－12<x <2，即函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，2. (2)(2019·东莞模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)答案 D解析 当x ≤1时，21－x ≤2可变形为1－x ≤1，x ≥0， ∴0≤x ≤1.当x >1时，1－log 2x ≤2可变形为x ≥12，∴x >1.故x 的取值范围为[0，＋∞)．跟踪演练1 (1)(2019·黄冈调研)已知函数f (x ＋1)的定义域为(－2,0)，则f (2x －1)的定义域为( ) A ．(－1,0) B.⎝⎛⎭⎫－12，12 C ．(0,1) D.⎝⎛⎭⎫－12，0 答案 C解析 ∵函数f (x ＋1)的定义域为(－2,0)， 即－2<x <0，∴－1<x ＋1<1，则f (x )的定义域为(－1,1)， 由－1<2x －1<1，得0<x <1. ∴f (2x －1)的定义域为(0,1)．(2)(2019·梅州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.答案 9解析 由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，可得f (－2)＋f (log 212)＝(1＋log 24)＋2log 11(2)2－＝(1＋2)＋2log 62＝3＋6＝9.热点二 函数的性质及应用 高考常考函数四个性质的应用：(1)奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论f (x )＝f (|x |)； (2)单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性；(3)周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；(4)对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题． 例2 (1)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 019的值为( )A ．1B ．2C ．22 019D ．32 019 答案 A解析 由已知x ∈R ，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2＝sin πx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sin πx ＋2e x x 2＋e 2＋1，令g (x )＝sin πx ＋2e xx 2＋e 2，易知g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，(M ＋N －1)2 019＝1.(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足：函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，则f (2 018)＋f (－2 019)＝________. 答案 1－e解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于原点对称， 又定义域为R ，所以函数y ＝f (x )是奇函数，因为x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (2 018)＋f (－2 019)＝f (0)－f (2 019) ＝－f (1)＋f (0)＝－(e 1－1)＋(e 0－1)＝1－e.跟踪演练2 (1)(2019·济南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－12x 2，x <0，e x ，x ≥0，则f (3－x 2)>f (2x )的解集为( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－3,1)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3) 答案 B解析 当x <0时，f (x )＝13x 3－12x 2，f ′(x )＝x 2－x ，∵x <0，∴f ′(x )>0，f (x )单调递增，且x →0时，f (x )→0，∴ f (x )<0， 当x ≥0时，f (x )＝e x 单调递增，且f (x )≥f (0)＝1， 因此可得f (x )单调递增，∴f (3－x 2)>f (2x )可转化为3－x 2>2x ， 解得－3<x <1.(2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.热点三 函数的图象及应用 高考常考函数图象问题的注意点：(1)图象平移与整体放缩不改变图象的对称性，求解较复杂函数图象的对称点或对称轴时可先平移；(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，通常用来解决求最值、方程的根、交点的个数等问题．注意求解两个函数图象在什么区间满足交点个数多少的问题，可以先画出已知函数的图象，再观测结果．例3 (1)(2019·遵义模拟)函数y ＝4cos 2xx 2＋π的部分图象大致是( )答案 C解析 由题意，因为f (x )＝4cos 2xx 2＋π，所以f (－x )＝4cos (－2x )(－x )2＋π＝f (x )，所以函数f (x )＝4cos 2xx 2＋π是偶函数，图象关于y 轴对称，排除选项D ；又因为当x ＝0时，y ＝4π，所以排除选项A ；令x ＝1，y ＝4cos 2π＋1，则y <0，故选C.(2)(2019·淄博诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若存在x 0∈R 使得f (x 0)≤ax 0－1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞)B ．[－3,0]C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－3]∪(0，＋∞)答案 D解析 根据题意，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，其图象如图，直线y ＝ax －1恒过定点(0，－1)， 若存在x 0∈R 使得f (x 0)≤ax 0－1，则函数f (x )的图象在直线y ＝ax －1下方有图象或与直线有交点， 当a ＝0时，f (x )与y ＝ax －1图象无交点，不符合题意；当a >0时，直线y ＝ax －1经过第一、三、四象限，与函数f (x )的图象必有交点，符合题意； 当a <0时，直线y ＝ax －1经过第二、三、四象限，若直线y ＝ax －1与f (x )有交点，必然相交于第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－x ，y ＝ax －1，即ax －1＝x 2－x ，变形可得x 2－(a ＋1)x ＋1＝0， 令Δ＝0，解得a ＝－3或1(舍)， 则有a ≤－3，综上可得，a 的取值范围为(－∞，－3]∪(0，＋∞)． 跟踪演练3 (1)(2019·宜宾诊断)函数f (x )＝sin x ·lnx －1x ＋1的图象大致为( )答案 D解析 f (－x )＝－sin x ·ln－x －1－x ＋1＝－sin x ·ln x ＋1x －1＝sin x ·ln x －1x ＋1＝f (x )， 且f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．则函数f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，C ， f (3)＝sin 3·ln 12<0，排除B.(2)(2019·沧州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln |x |，x ∈(－∞，0)，－6x 2＋20x －13，x ∈[0，2]，6x ，x ∈(2，＋∞)，g (x )＝ax －2(a ∈R )满足：①当x <0时，方程f (x )＝g (x )无解；②当x >0时，至少存在一个整数x 0使f (x 0)≥g (x 0)．则实数a 的取值范围为________．答案 e －3<a ≤3解析 绘制函数f (x )的图象如图所示，函数g (x )恒过点(0，－2)， ①当x <0时，方程f (x )＝g (x )无解，考查临界情况， 当x <0时，f (x )＝－ln(－x )，f ′(x )＝－1－x ·(－1)＝－1x ，设f (x )与g (x )切点坐标为(x 0，－ln(－x 0))，切线斜率为k ＝－1x 0，故切线方程为y ＋ln(－x 0)＝－1x 0(x －x 0)，切线过点(0，－2)，则－2＋ln(－x 0)＝－1x 0·(－x 0)＝1，解得x 0＝－e 3，故切线的斜率k ＝－⎝⎛⎭⎫1－e 3＝e －3，据此可得a >e －3.②当x >0时，x ＝1时，－6x 2＋20x －13＝1，点(0，－2)，(1,1)两点连线的斜率k ＝－2－10－1＝3，x ＝2时，－6x 2＋20x －13＝3，6x ＝3，点(0，－2)，(2,3)两点连线的斜率k ＝3＋22－0＝52，据此可得a ≤3，综上可得，实数a 的取值范围为e －3<a ≤3.真题体验1．(2019·全国Ⅰ，文，5)函数f(x)＝sin x＋xcos x＋x2在[－π，π]上的图象大致为() 答案 D解析∵f(－x)＝sin(－x)－xcos(－x)＋(－x)2＝－sin x＋xcos x＋x2＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A；∵f(π)＝sin π＋πcos π＋π2＝π－1＋π2>0，∴排除C；∵f(1)＝sin 1＋1cos 1＋1，且sin 1>cos 1，∴f(1)>1，∴排除B，故选D.2．(2019·全国Ⅱ，文，6)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)等于()A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1答案 D解析 当x <0时，－x >0， ∵当x ≥0时，f (x )＝e x －1， ∴f (－x )＝e －x －1. 又∵f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－e －x ＋1.3．(2019·全国Ⅲ，文，12)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A.f ⎝⎛⎭⎫log 314>322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>232f -⎛⎫⎪⎝⎭B.f ⎝⎛⎭⎫log 314>232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭C.322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>f ⎝⎛⎭⎫log 314 D.232f -⎛⎫⎪⎝⎭>322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>f ⎝⎛⎭⎫log 314 答案 C解析 根据函数f (x )为偶函数可知，f ⎝⎛⎭⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)，因为0<322-<232-<20<log 34，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以322f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>232f -⎛⎫ ⎪⎝⎭>f ⎝⎛⎭⎫log 314. 押题预测1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(8－x )，x ≤5，f (x －5)，x >5，则f (2 019)等于( )A ．2B ．log 26C ．log 27D ．3 答案 A解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(8－x )，x ≤5，f (x －5)，x >5，∴f (2 019)＝f (4)＝log 24＝2.2．函数f (x )＝e x ·ln |x |的大致图象为( )答案 A解析 函数f (x )＝e x ·ln |x |，f (－x )＝e －x ·ln |－x |，f (x )≠f (－x )，－f (x )≠f (－x )，则函数f (x )为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，f ′(x )→＋∞，排除B.3．设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )等于( ) A ．|x ＋4| B ．|2－x | C ．2＋|x ＋1| D ．3－|x ＋1|答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 可得f (x ＋2)＝f (x )，则当x ∈[－2，－1]时， x ＋4∈[2,3]，f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4＝3＋(x ＋1)； 当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，2－x ∈[2,3]， f (x )＝f (－x )＝f (2－x )＝2－x ＝3－(x ＋1)，故选D.A 组 专题通关1．设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝⎛⎭⎫x 2的定义域为( ) A ．(1,2] B ．(2,4] C ．[1,2) D ．[2,4) 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x －1>0，解得1<x ≤2，所以f (x )的定义域为(1,2]， 故1<x2≤2，即2<x ≤4.2．下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的为( ) A ．y ＝x B ．y ＝－x 3 C ．y ＝log 12xD ．y ＝x ＋1x答案 B解析 由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝log 12x 都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y ＝x ＋1x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B.3．如图①，在矩形MNPO 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →O →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，△MNR 的面积为y ，若y 关于x 的函数图象如图②所示，则当x ＝9时，点R 应运动到点( )A ．N 处B ．P 处C ．O 处D ．M 处 答案 C解析 在矩形MNPO 中，动点R 沿N →P 方向运动时，△MNR 的底边MN 保持不变，而高NR 随着x 的增加而增加，因此这一阶段△MNR 的面积y 也随x 的增加而增加，其图象为图②中0～4这一段；动点R 沿P →O 方向运动时，△MNR 的底边MN 保持不变，高PN 也保持不变，因此这一阶段△MNR 的面积y 不随x 的改变而改变，其图象为图②中4～9这一段；动点R 沿O →M 方向运动时，△MNR 的底边MN 保持不变，而高MR 随着x 的增加而减小，因此这一阶段△MNR 的面积y 随x 的增加而减小，其图象为图②中9～13这一段．根据以上分析，当x ＝9时，点R 应运动到点O 处．4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．[2,3]B ．[2，＋∞)C ．[1,3]D ．[1，＋∞) 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥1，－1＋a ＋1≤2＋1，∴a ∈[2,3]，故选A.5．(2019·内江、眉山等六市联考)若f (x )是R 上的奇函数，且x 1，x 2∈R ，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2， 则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立，若f (x )＝0，且满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时满足f (x 1)＝f (x 2)＝0， 此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立，故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．6．(2019·甘肃、青海、宁夏联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2＋a ，x ≤1，12log (x ＋1)，x >1有最大值，则a 的取值范围为( ) A ．(－5，＋∞) B ．[－5，＋∞) C ．(－∞，－5) D ．(－∞，－5]答案 B解析 由题意知f (x )＝2x ＋2＋a ，x ≤1时单调递增， 故f (x )≤f (1)＝4＋a ，f (x )＝12log (x ＋1)，x >1时单调递减，故f (x )<f (1)＝－1，因为函数存在最大值，所以4＋a ≥－1，解得a ≥－5.7．(2019·济南模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋xx 2＋1＋1，则f (x )的最大值与最小值的和为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 答案 C解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋x x 2＋1＋1＝sin 2x ＋xx 2＋1＋1， 易知y ＝sin 2x ，y ＝xx 2＋1都是奇函数， 则可设g (x )＝f (x )－1＝sin 2x ＋xx 2＋1，可得g (x )为奇函数，即g (x )关于点(0,0)对称， 所以可知f (x )＝g (x )＋1关于点(0,1)对称， 所以f (x )的最大值和最小值也关于点(0,1)对称， 因此它们的和为2.8．(2019·福建适应性练习)下列四个函数：①y ＝x sin x ；②y ＝x cos x ；③y ＝x |cos x |；④y ＝x ·2x的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．④①②③B ．①④②③C ．③④②①D ．①④③②答案 B解析 ①y ＝x sin x 为偶函数，所以对应第一个图；②y ＝x cos x 为奇函数，且x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2时函数值为负，所以对应第三个图； ③y ＝x |cos x |为奇函数，且x >0时函数值恒非负，所以对应第四个图； ④y ＝x ·2x 为非奇非偶函数，所以对应第二个图．9．已知函数f (x )＝1－2x 1＋2x ，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．b －a <2 B ．a ＋2b >2 C ．b －a >2 D ．a ＋2b <2答案 C解析 由题意得f (－x )＝1－2－x 1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－1－2x2x ＋1＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数． 又f (x )＝－2x －11＋2x ＝－(2x ＋1)－21＋2x ＝－1＋21＋2x ，故函数f (x )在R 上单调递减． ∵f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0， ∴f (2a ＋b )>－f (4－3b )＝f (3b －4)， ∴2a ＋b <3b －4，∴b －a >2.故选C.10．函数y ＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin x 的部分图象大致为( )答案 A解析 设f (x )＝1－ln|x |1＋ln|x |·sin x ，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋ln|x |≠0，|x |>0，得x ≠±1e 且x ≠0，则函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，－1e ∪⎝⎛⎭⎫－1e ，0∪⎝⎛⎭⎫0，1e ∪⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞.∵f (－x )＝1－ln|－x |1＋ln|－x |·sin(－x )＝－1－ln|x |1＋ln|x |·sin x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，排除D. 又1>1e ，且f (1)＝sin 1>0，故可排除B.0<1e 2<1e ，且f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝1－ln ⎪⎪⎪⎪1e 21＋ln ⎪⎪⎪⎪1e 2·sin 1e 2＝1－(－2)1－2·sin 1e 2＝－3·sin 1e 2<0，故可排除C.故选A.11．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＋f (x )＝0，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则下列不等式正确的是( ) A ．f (log 27)<f (－5)<f (6) B ．f (log 27)<f (6)<f (－5) C ．f (－5)<f (log 27)<f (6) D ．f (－5)<f (6)<f (log 27) 答案 C解析 因为f (x ＋2)＋f (x )＝0， 所以f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是周期为4的周期函数． 又f (－x )＝－f (x )，且有f (2)＝－f (0)＝0， 所以f (－5)＝－f (5)＝－f (1)＝－log 22＝－1， f (6)＝f (2)＝0. 又2<log 27<3， 所以0<log 27－2<1， 即0<log 274<1，因为f (log 27)＋f (log 27－2)＝0，所以f (log 27)＝－f (log 27－2)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 274 ＝－log 2⎝⎛⎭⎫log 274＋1＝－log 2⎝⎛⎭⎫log 272， 又1<log 272<2，所以0<log 2⎝⎛⎭⎫log 272<1， 所以0<－f (log 27)<1，即－1<f (log 27)<0，所以f (－5)<f (log 27)<f (6)．12．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－2x ＋1，设函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－1<x <3)，则函数f (x )与g (x )的图象所有交点的横坐标之和为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x )的周期为2，又f (x )为偶函数，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称．函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|的图象关于直线x ＝1对称，作出f (x )在[－1,3]上的图象及g (x )的图象可得四个交点的横坐标之和为2×2＝4.13．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是________．答案 (4，＋∞)解析 由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8(x ∈(－∞，－2)∪(4，＋∞))，则y ＝ln t 为增函数，要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间．∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．14．(2019·六安联考)已知函数f (x )＝g (x )＋2 0192 018x 2，函数g (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1)＝2，则f (－1)的值为________．答案 11 009解析 因为f (x )＝g (x )＋2 0192 018x 2，f (1)＝2， 所以f (1)＝g (1)＋2 0192 018＝2， 即g (1)＝2 0172 018， 又函数g (x )是定义域为R 的奇函数，所以g (－1)＝－g (1)＝－2 0172 018， 因此f (－1)＝g (－1)＋2 0192 018＝22 018＝11 009. 15．(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论． 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1， 解得x >－14，∴－14<x ≤0. 当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立． 当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立． 综上可知，x >－14. 16．已知函数f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，1解析 由已知得当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，故x 2≤2log a x (a >0且a ≠1)对∀x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立， 即当x ∈⎝⎛⎦⎤0，22时， 函数y ＝x 2的图象不在y ＝2log a x 图象的上方，由图(图略)知0<a <1且2log a 22≥12，解得14≤a <1.B 组 能力提高17．(2019·银川质检)已知f (x )为定义在R 上的偶函数，g (x )＝f (x )＋x 2，且当x ∈(－∞，0]时，g (x )单调递增，则不等式f (x ＋1)－f (x ＋2)>2x ＋3的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ B ．(－∞，3) C ．(－∞，－3)D.⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 答案 D解析 由题意，函数f (x )为定义在R 上的偶函数，且g (x )＝f (x )＋x 2，则g (－x )＝f (－x )＋(－x )2＝f (x )＋x 2＝g (x )，所以函数g (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，当x ∈(－∞，0]时，g (x )单调递增，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数g (x )单调递减，又由g (x ＋1)＝f (x ＋1)＋(x ＋1)2＝f (x ＋1)＋x 2＋2x ＋1，g (x ＋2)＝f (x ＋2)＋(x ＋2)2＝f (x ＋2)＋x 2＋4x ＋4，所以不等式f (x ＋1)－f (x ＋2)>2x ＋3等价于g (x ＋1)>g (x ＋2)，所以|x ＋1|<|x ＋2|，平方得x 2＋2x ＋1<x 2＋4x ＋4，解得x >－32， 即不等式f (x ＋1)－f (x ＋2)>2x ＋3的解集为⎝⎛⎭⎫－32，＋∞. 18．(2019·淄博诊断)定义：若函数f (x )的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，f (x ＋T )＝f (x )＋T 恒成立，则称f (x )为线周期函数，T 为f (x )的线周期．若φ(x )＝sin x ＋kx 为线周期函数，则k 的值为________．答案 1解析 若φ(x )＝sin x ＋kx 为线周期函数，则满足对任意x ∈R ，φ(x ＋T )＝φ(x )＋T 恒成立，即sin(x ＋T )＋k (x ＋T )＝sin x ＋kx ＋T ，即sin(x ＋T )＋kT ＝sin x ＋T则⎩⎪⎨⎪⎧ sin (x ＋T )＝sin x ，kT ＝T ，所以k ＝1.。

第1讲函数的图象与性质「考情研析」 1.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决有关函数性质的问题．2。

求函数零点所在的区间、零点的个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选填的形式出现.核心知识回顾1.函数的单调性单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈［a，b]（x1≠x2)，那么（x1－x2）[f（x1)－f（x2）]＞0⇔错误!错误!＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1－x2)[f(x1)－f(x2）］＜0⇔错误!错误!＜0⇔f（x)在［a,b]上是减函数．2．函数的奇偶性、周期性（1）奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x（定义域关于原点对称），都有错误!f(－x)＝－f(x）成立，则f(x）为奇函数(都有错误!f(－x)＝f（x）成立,则f(x）为偶函数）．（2）周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地,对于函数f（x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝错误!f(x）（T≠0）,则f(x）是周期函数，T是它的一个周期．3．关于函数的周期性、对称性的结论（1)函数的周期性①若函数f(x）满足f(x＋a）＝f(x－a），则f(x）为周期函数，错误! 2a是它的一个周期．②设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0）对称，则f(x）是周期函数，错误!2a是它的一个周期．③设f（x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a（a≠0）对称，则f(x）是周期函数，错误!4a是它的一个周期．(2)函数图象的对称性①若函数y＝f(x）满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f（x)＝f（2a－x)，则f（x)的图象关于直线错误!x＝a对称．②若函数y＝f（x）满足f(a＋x)＝－f（a－x），即f（x）＝－f(2a－x),则f（x）的图象关于点错误!（a,0)对称．③若函数y＝f（x)满足f（a＋x）＝f（b－x),则函数f（x）的图象关于直线错误!x＝错误!对称．4．函数与方程（1)零点定义：x0为函数f（x）的零点⇔错误!f(x0)＝0⇔（x0，0)为f(x)的图象与x轴的交点．（2)确定函数零点的三种常用方法①解方程判定法:解方程f(x）＝0。

第二篇 专题六 第1讲一、选择题1．(2021·全国甲卷)设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1＋x )＝f (－x ).若f ⎝⎛⎭⎫－13＝13，则f ⎝⎛⎭⎫53＝( C )A ．－53B ．－13C ．13D ．53【解析】 方法一：由题意得f (－x )＝－f (x )， 又f (1＋x )＝f (－x )＝－f (x )， 所以f (2＋x )＝f (x )，又f ⎝⎛⎭⎫－13＝13， 则f ⎝⎛⎭⎫53＝f ⎝⎛⎭⎫2－13＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝13.故选C.方法二：由f (1＋x )＝f (－x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，又f (x )为奇函数，所以f (x )是周期函数，且T ＝4⎪⎪⎪⎪0－12＝2， 则f ⎝⎛⎭⎫53＝f ⎝⎛⎭⎫53－2＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝13，故选C.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <0，22x -1，x ≥0，则f (－3)＋f (log 2 3)等于( B )A ．112B ．132C ．152D ．10【解析】依题意f (－3)＋f (log 2 3)＝log 2 4＋22log 2 3－1＝2＋2log 2 92＝2＋92＝132.3．设函数f (x )＝4x 23|x |，则函数f (x )的图象大致为( A )【解析】观察函数解析式发现，x 是以平方、绝对值的形式出现的，所以f (x )为偶函数，排除B ；当x >0时，f (x )＝4x 23x ，当x →＋∞时，f (x )→0，排除C ；因为f (2)＝4×2232＝169<2，选项D 中f (2)>2，所以D 不符合题意．4．(2022·济宁模拟)函数y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且对于任意的x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1成立．如果f (m )＞m ，则实数m 的取值集合是( C )A ．{0}B ．{m |m ＞0}C ．{m |m ＜0}D ．R【解析】令g (x )＝f (x )－x ， 因为f (x )为奇函数，所以g (x )为R 上的奇函数，不妨设x 1＜x 2， 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1成立可得f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2，即f (x 1)－x 1＞f (x 2)－x 2，所以g (x 1)＞g (x 2)，即g (x )在R 上单调递减， 由f (m )＞m 得g (m )＞0＝g (0)， 所以m ＜0.故选C.5．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x －2，则( B ) A ．f ⎝⎛⎭⎫sin π6>f ⎝⎛⎭⎫cos π6 B ．f (sin 3)<f (cos 3) C ．f ⎝⎛⎭⎫sin 4π3<f ⎝⎛⎭⎫cos 4π3 D ．f (2 020)>f (2 019)【解析】由f (x ＋2)＝f (x )，得f (x )是周期函数且周期为2，根据f (x )在x ∈[－1，0]上的图象和f (x )是偶函数可得f (x )在[0，1]上是增函数．对于A ，0<sin π6<cos π6<1，∴f ⎝⎛⎭⎫sin π6<f ⎝⎛⎭⎫cos π6，A 错误； 对于B ，0<sin 3<－cos 3<1，∴f (sin 3)<f (－cos 3)＝f (cos 3)，B 正确； 对于C ，0<－cos4π3<－sin 4π3<1， ∴f ⎝⎛⎭⎫cos 4π3<f ⎝⎛⎭⎫sin 4π3，C 错误； 对于D ，f (2 020)＝f (0)<f (2 019)＝f (1)，D 错误．6．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值为( C )A ．－1B ．1C ．6D ．12【解析】当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.又∵y ＝x －2，y ＝x 3－2在R 上都为增函数，且f (x )在x ＝1处连续， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.7．(2020·全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln |2x ＋1|－ln |2x －1|，则f (x )( D ) A ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫12，＋∞单调递增 B ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－12，12单调递减 C ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递增 D ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递减 【解析】f (x )＝ln |2x ＋1|－ln |2x －1|的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠±12. 又f (－x )＝ln |－2x ＋1|－ln |－2x －1| ＝ln |2x －1|－ln |2x ＋1| ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故排除A ，C. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12，12时， f (x )＝ln (2x ＋1)－ln (1－2x )＝ln 2x ＋11－2x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1＋21－2x . ∵y ＝－1＋21－2x 在⎝⎛⎭⎫－12，12单调递增， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝⎛⎭⎫－12，12上单调递增．故排除B. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12时， f (x )＝ln (－2x －1)－ln (1－2x )＝ln －2x －11－2x＝ln2x ＋12x －1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋22x －1，∵y ＝1＋22x －1在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减． 故选D.8．对任意实数a ，b ，定义运算“⊙”：a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤2，b ，a －b >2.设f (x )＝3x +1⊙(1－x )，若函数f (x )与函数g (x )＝x 2－6x 在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( C )A ．[－1，2]B ．(0，3]C ．[0，2]D ．[1，3]【解析】由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，3x +1，x ≤0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，函数g (x )＝(x －3)2－9在(－∞，3]上单调递减．若函数f (x )与g (x )在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋1≤3，得0≤m ≤2.故选C.二、填空题9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，4x ，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)≥2的x 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫12，＋∞__．【解析】∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，4x ，x >0，∴当x ≤0时，x －1≤－1，f (x )＋f (x －1)＝2x ＋1＋2(x －1)＋1＝4x ≥2，无解；当⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －1≤0，即0<x ≤1时， f (x )＋f (x －1)＝4x ＋2(x －1)＋1＝4x ＋2x －1≥2，得12≤x ≤1；当x －1>0，即x >1时，f (x )＋f (x －1)＝4x ＋4x -1≥2，得x >1. 综上，x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.10．(2021·山西太原模拟)若a ＞0且a ≠1，且函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，ax ＋a －2，x <1，在R 上单调递增，那么a 的取值范围是__(1，2]__．【解析】 a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，ax ＋a －2，x <1在R 上单调递增，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥2a －2，解得a ∈(1，2].11．对于函数y ＝f (x )，若存在x 0使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，kx ＋2，x ≥0，若曲线f (x )存在“优美点”，则实数k 的取值范围是__(－．【解析】当x <0时，f (x )＝x 2＋2x 关于原点对称的函数是y ＝－x 2＋2x (x >0)， 由题意得，y ＝－x 2＋2x (x >0)与y ＝kx ＋2有交点， 即－x 2＋2x ＝kx ＋2(x >0)有解，∴k ＝－x －2x ＋2(x >0)有解，又－x －2x ＋2≤－22＋2，当且仅当x ＝2时等号成立，∴k ≤2－2 2.12．(2020·全国Ⅲ)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称； ②f (x )的图象关于原点对称； ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是__②③__． 【解析】∵f (x )＝sin x ＋1sin x的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }， f (－x )＝sin (－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，关于原点对称，故①错误，②正确． ∵f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ， f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ，∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故③正确．当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0时，f (x )<0，故④错误． 三、解答题13．(2020·江苏省南京市高三联考)已知f (x )是定义在区间(－1，1)上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (x －1).已知m 满足不等式f (1－m )＋f (1－m 2)<0，求实数m 的取值范围．【解析】当x ＜0时，f (x )＝x (x －1)，可得f (x )在(－1，0)上单调递减；由f (x )是定义在区间(－1，1)上的奇函数，可得f (x )也是区间(－1，1)上的减函数． 因为f (1－m )＋f (1－m 2)<0， 所以f (1－m )<f (m 2－1)，可得如下不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，1－m >m 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <2，0<m <2或－2<m <0，－2<m <1，解得：0<m <1.所以实数m 的取值范围为(0，1).。

专题六 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质[全国卷3年考情分析](1)高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般.主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等.(2)此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.[例1] (1)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A.－2B.2C.3D.－3(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.[解析] (1)由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2，故选B. (2)当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，y ＝(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1]内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.[答案] (1)B (2)⎣⎡⎭⎫0，12 [解题方略]1.函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可.2.分段函数问题的5种常见类型及解题策略[跟踪训练]1.已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫12x ＋8－2x 的定义域为( ) A.[0，3] B.[0，2] C.[1，2]D.[1，3]解析：选A 由题意，函数f (x )的定义域为[0，2]，即x ∈[0，2]，因为函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫12x ＋8－2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤2，8－2x ≥0，得0≤x ≤3，即函数g (x )的定义域为[0，3]，故选A.2.函数f (x )＝2＋|x |－x2(－2＜x ≤2)的值域为( )A.(2.4)B.[2，4)C.[2，4]D.(2，4]解析：选B 法一：因为f (x )＝2＋|x |－x2(－2＜x ≤2)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，－2＜x ≤0，2，0＜x ≤2. 函数f (x )的图象如图所示，由图象得，函数f (x )的值域为[2，4).法二：因为f (x )＝2＋|x |－x2(－2＜x ≤2)，当－2＜x ≤0时，f (x )＝2－x ，所以2≤f (x )＜4；当0＜x ≤2时，f (x )＝2.综上，函数f (x )的值域为[2，4).3.已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A.①② B.①③ C.②③D.①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足.综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.题型一 函数图象的识别[例2] (1)(2019·开封市定位考试)函数f (x )的大致图象如图所示，则函数f (x )的解析式可以是( )A.f (x )＝x 2·sin|x |B.f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x ·cos 2x C.f (x )＝()e x－e－xcos ⎝⎛⎭⎫π2xD.f (x )＝x ln|x ||x |(2)(2019·福建五校第二次联考)函数f(x )＝x 2＋ln(e －x )ln(e ＋x )的图象大致为( )[解析] (1)由题中图象可知，在原点处没有图象，故函数的定义域为{}x |x ≠0，故排除选项A 、C ；又函数图象与x 轴只有两个交点，f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos 2x 中cos 2x ＝0有无数个根，。