第50卷第5期2023年北京化工大学学报(自然科学版)Journal of Beijing University of Chemical Technology (Natural Science)Vol.50,No.52023引用格式:侯东杰,赵奥明,陈亚洲.三维可压缩Navier -Stokes -Cahn -Hilliard 方程组Cauchy 问题解的适定性[J].北京化工大学学报(自然科学版),2023,50(5):118-125.HOU DongJie,ZHAO AoMing,CHEN YaZhou.Well⁃posedness of the Cauchy problem for compressible Navier -Stokes -Cahn -Hilliard equations in 3D [J].Journal of Beijing University of Chemical Technology (Natural Science),2023,50(5):118-125.三维可压缩Navier -Stokes -Cahn -Hilliard 方程组Cauchy 问题解的适定性侯东杰 赵奥明 陈亚洲*(北京化工大学数理学院,北京 100029)摘 要:研究了三维可压缩Navier -Stokes -Cahn -Hilliard 方程组Cauchy 问题解的适定性,该方程组描述了具有扩散界面的非混相两相流的流动㊂对于初始值在相分离附近的小扰动,运用能量方法结合Schauder 不动点定理,证明了该问题全局强解的存在唯一性㊂关键词:Navier -Stokes -Cahn -Hilliard(NSCH)方程组;Cauchy 问题;存在唯一性中图分类号:O29 DOI :10.13543/j.bhxbzr.2023.05.013收稿日期:2022-07-29基金项目:国家自然科学基金(11901025)第一作者:男,1997年生,硕士生*通信联系人E⁃mail:chenyz@引 言气液两相流或多相流在化学工程㊁航空航天㊁微生物等工业领域有着重要的应用价值,吸引了大量学者对其进行研究㊂与单相流相比,两相流的研究由于存在扩散界面和相互作用而变得更加复杂㊂1958年,Cahn 和Hilliard [1]引入界面自由能,提出著名的Cahn -Hilliard 方程来描述两种不混溶流体之间的扩散界面㊂后来Lowengrub 等[2]在Cahn -Hilliard 方程中加入了流体运动与扩散界面的相互作用,提出了Navier -Stokes -Cahn -Hilliard(NSCH)方程,该方程可更好地刻画两种可压缩非混相流体流动的物理特性㊂关于NSCH 方程的研究已经有很多㊂Abels 等[3]使用文献[4]引入的框架,在不限制初值大小的情况下,证明了NSCH 方程在有界域上初边值问题弱解的存在性㊂Chen 等[5]证明了一维可压缩NSCH 方程周期边值和混合边值问题解的适定性,随后Chen 等[6]又研究了三维周期边值问题强解的全局存在性及大时间行为㊂王暐翼等[7]证明了带有van der Waals 状态一维NSCH 方程周期边值解的适定性㊂另一种常用的非混相两相流模型是Navier -Stokes -Allen -Cahn 系统[8]㊂以上两个模型的本质区别在于Navier -Stokes -Cahn -Hilliard 模型中关于相场的方程是一个四阶方程,它相对于ρφ是守恒的,而Navier -Stokes -Allen -Cahn 中的相场方程是一个非守恒的二阶方程㊂在前人工作的基础上,本文主要研究三维可压缩NSCH 方程组的Cauchy 问题的适定性㊂对于此类问题,我们克服了强非线性项带来的困难,在初值小扰动的条件下通过能量方法证明了全局强解的存在唯一性㊂1 模型的构造及主要定理考虑如下描述三维可压缩非混相两相流体流动的NSCH 偏微分方程组㊂ρt+div(ρu )=0(ρu )t +div(ρu ⊗u )=div T (ρϕ)t +div(ρϕu )=Δμμ=∂f ∂ϕ-1ρΔìîíïïïïïïϕ(1)式中,ρ=ρ1+ρ2是混合流体总密度;u 为流体的速度,且满足ρu =ρ1u 1+ρ2u 2,u i ㊁ρi (i =1,2)分别为第i 种组分的速度和密度;ϕ=ϕ1-ϕ2为组分间浓度差,ϕi =ρi /ρ;μ为化学势;T 为Cauchy 应力张量;f 为界面自由能密度㊂T =S -p I (-Δϕ⊗Δϕ-|Δϕ|22)I S =2ν(ϕ)D (u )+λ(ϕ)(div u ){I(2)式中,ν(ϕ)>0,λ(ϕ)≥0为黏性系数,ν(㊃),λ(㊃)∈C 3(R )且λ+23ν≥0;S 为牛顿黏性张力,D (u )=Δu +ΔTu2为应变张量;I 为单位矩阵;压力p 是关于密度ρ的函数,且满足p′(ρ)>0㊂f 的计算公式为f =ϕ44-ϕ22(3)我们要研究的模型满足如下初始条件(ρ,u ,ϕ)(x ,0)=(ρ0,u 0,ϕ0)(x )lim |x |→±∞(ρ0,u 0,|ϕ0|)=(ρ,0,1{)(4)式中,x =(x 1,x 2,x 3),ρ为给定的一个正实数,lim |x |→±∞|ϕ0|=1表示两相流的初始时刻浓度差ϕ0在无穷远处为1或-1㊂以下是本文的主要结论㊂定理1 如果初值(ρ0,u 0,ϕ0)满足(ρ0-ρ,u 0)∈H 3,Δϕ0∈H 2,ϕ20-1∈L 2,inf x ∈3ρ0(x )>0(5)则存在δ>0,当‖ρ0-ρ‖H 3+‖u 0‖H 3+‖Δϕ0‖H 2+‖ϕ20-1‖L 2≤δ(6)那么方程(1)~(4)存在唯一解(ρ,u ,ϕ)满足(ρ-ρ,u )∈C ([0,∞);H 3),ϕ2-1∈C ([0,∞);L 2) Δϕ∈C ([0,∞);H 2),ρ∈L 2([0,∞);H 3)Δϕ∈L 2([0,∞);H 4),Δu ∈L 2([0,∞);H 3)(7)且‖(ρ-ρ,u )(t )‖2H 3+‖Δϕ(t )‖2H 2+‖ϕ2(t )-1‖2L 2+∫t(‖ρ-ρ‖2H 3+‖Δu ‖2H 3+‖Δϕ‖2H 4)d τ≤C (‖(ρ0-ρ,u 0)‖2H 3+‖Δϕ0‖2H 2+‖ϕ2-1‖2L 2)(8)式中,用H l ,l >0表示H l(R 3),L 2表示L 2(R 3)㊂2 主要定理的证明证明定理1全局解存在性的思路如下:在方程组局部解存在的基础上,运用能量估计方法得到解的一致估计,从而将其延拓到全局解㊂2.1 局部解的存在性令σ=ρ-ρ,∀M >0,0<T <∞,构造解空间如下㊂X M ([0,T ])={(σ,u ,ϕ)|(σ,u )∈C ([0,T ];H 3),ϕ2-1∈C ([0,T ];L 2),Δϕ∈C ([0,T ];H 2),Δσ∈L 2([0,T ];H 2),Δu ∈L 2([0,T ];H 3),Δϕ∈L 2([0,T ];H 4),infx ∈ℝ3,t ∈[0,T ]ρ(x ,t )>0,sup t ∈[0,T ](‖(σ,u )(t )‖H 3+‖Δϕ‖H 2+‖ϕ2-1‖)≤M }(9)对方程组(1)采用线性化方法结合Schauder 不动点定理,可以得到如下局部强解的存在唯一性命题,这里略去证明,具体方法可参考文献[9]㊂命题1 ∀M >0,如果初始值(ρ0,u 0,ϕ0)满足‖(ρ0-ρ,u 0)‖H 3+‖Δϕ0‖H 2+‖ϕ20-1‖≤M ,inf x ∈ℝ3ρ0(x )>0,那么∃T *>0,方程(1)在X 2M ([0,T *])内存在唯一局部解(ρ,u ,ϕ)㊂2.2 全局解的存在性设(σ,u ,ϕ)∈X M ([0,T ])为方程组(10)的局部解,将方程组(1)变形如下㊂σt +ρdiv u =g 1u t -2ρdiv[ν(ϕ)D (u )]-1ρΔ[(ν(ϕ)+ λ(ϕ))div u ]+p′(ρ)ρΔσ+1ρΔϕΔϕ=g2ρϕt +ρu㊃Δϕ=Δμρμ=ρ(ϕ3-ϕ)-Δìîíïïïïïïïïϕ(10)式中,g 1=-div(σu )g 2=-(u ㊃Δ)u +h 1(σ)Δσ-2h 2(σ)㊃ div[ν(ϕ)D (u )]-h 2(σ)Δ[(ν(ϕ)+λ(ϕ))div u -ΔϕΔϕìîíïïïïï]其中,h 1(σ)=p′(ρ)ρ-p′(ρ)ρ,h 2(σ)=1ρ-1ρ㊂由解空间(9),结合Sobolev 嵌入定理可得,存在M 0>0足够小,使得∀0<M <M 0,从而有0<ρ2≤ρ(x ,t )≤2ρ(11)命题2 假设(σ0,u 0)∈H 3,ϕ20-1∈L 2,Δϕ0∈H 2,则存在一个只依赖于初值和T 的常数C ,使得㊃911㊃第5期 侯东杰等:三维可压缩Navier -Stokes -Cahn -Hilliard 方程组Cauchy 问题解的适定性‖(σ,u )(t )‖2H 3+‖Δϕ(t )‖2H 2+‖ϕ2(t )-1‖2L 2+∫t(‖σ‖2H 3+‖Δu ‖2H 3+‖Δϕ‖2H 4)d τ≤C (‖(σ0,u 0)‖2H 3+‖Δϕ0‖2H 2+‖ϕ20-1‖2L 2)(12)命题2的证明由以下4个引理得到㊂引理1 若(σ,u ,ϕ)∈X M ([0,T ])是方程(10)的局部解,则‖(σ,u ,ϕ2-1,Δϕ)(t )‖2+∫t‖(Δμ,Δu ,Δϕ,Δϕ)‖2d τ≤‖(σ,u ,ϕ2-1,Δϕ)(0)‖2(13)‖ϕ‖L ∞≤C (14)证明:设G (ρ)=ρ∫ρρp (η)-p (ρ)η2d η,ρ>0(15)由式(15)和方程组(1)中第一式得到ρG′(ρ)=G (ρ)+(p (ρ)-p (ρ)),ρG″(ρ)=p′(ρ)G (ρ)t +div(G (ρ)u )+(p (ρ)-p (ρ))div u =0(16)方程组(1)中第二式乘以u 再积分,结合式(16)可得d d t(∫12ρu 2+G (ρ))d x+12∫ν(ϕ)㊃|Δu +ΔTu |2d x +∫λ(ϕ)|div u |2d x +∫u ㊃ΔϕΔϕ㊃d x =0(17)方程组(10)中第三式乘以μ,并运用(10)中第四式,可得12d d t∫|Δϕ|2d x +14d d t∫ρ(ϕ2-1)2d x +∫|Δμ|2d x =-∫Δ(u ㊃Δϕ)Δϕd x(18)将式(17)㊁(18)相加,得到d d t(∫12ρu 2+G (ρ)+12|Δϕ|2+ρ4㊃(ϕ2-1))2d x +ν02‖Δu ‖2+‖Δμ‖2≤0(19)由式(9)㊁(11)㊁(15)可得c ρ(ρ-ρ)2≤G (ρ)≤C ρ(ρ-ρ)2(20)其中,c ρ,C ρ是与ρ有关的常数㊂将式(19)在[0,T ]上积分,结合式(20)得‖(σ,u ,ϕ2-1,Δϕ)‖2+∫t‖(Δμ,Δu )‖2d τ≤‖(σ0,u 0,ϕ20-1,Δϕ0)‖2(21)且‖ϕ2-1‖L ∞≤C ‖ϕ2-1‖H 2=C (‖ϕ2-1‖L 2+‖ϕΔϕ‖L 2+‖Δ 2(ϕ2-1)‖L 2)≤M故可得式(14)㊂在方程组(10)中第四式两边乘以-Δϕ,关于x 积分得‖Δϕ‖2+∫ρ(3ϕ2-1)|Δϕ|2d x =-∫ρμΔϕd x -∫(ϕ2-1)ϕΔϕ㊃Δσd x(22)由式(9)㊁(11)和Hölder 不等式得到∫ρ(3ϕ2-1)|Δϕ|2d x ≥ρm 02‖Δϕ‖2-∫ρμΔϕd x ≤2ρ‖Δμ‖‖Δϕ‖≤ε4‖Δϕ‖2+4ρ2ε‖Δμ‖2∫(ϕ2-1)ϕΔϕ㊃Δσd x ≤‖(ϕ2-1)‖L 6㊃‖ϕΔϕ‖‖Δσ‖L 3≤M ‖Δϕ‖2取M 足够小,可得‖Δϕ‖2+‖Δϕ‖2≤‖Δμ‖2(23)结合式(23)㊁(21)得到式(13),引理1得证㊂引理2 若(σ,u ,ϕ)∈X M ([0,T ])是方程(10)的局部解,则d d t ‖Δ k +1ϕ‖2+14ρ2‖Δ k +3ϕ‖2≤M ㊃(‖Δ k +1σ‖2+‖Δ k +2ϕ‖2+‖Δ k +2u ‖2),k =0,1,2(24)证明:将方程组(10)中第四式代入(10)中第三式,可得ϕt +u ㊃Δϕ+1ρ(ΔΔϕ)ρ-3ϕ2-1ρΔϕ=6ϕρ㊃(Δϕ)2(25)对式(25)求Δ k ,然后乘以-ΔΔ k ϕ再积分得12d d t ∫|Δ k +1ϕ|2d x +∫(ΔΔ k Δϕ)ρ2d x -∫Δ k (u ㊃Δϕ)ΔΔ k ϕd x =∑1≤l ≤kC l k ∫Δ (l 1)ρΔ k -l ㊃(ΔΔϕ)ρΔ k Δϕd x +∑1≤l ≤kC l k ∫[ΔΔ (l 1)ρΔ k -l Δ]ϕ㊃Δ kΔϕρd x -∑1≤l ≤k C lk∫Δ (l3ϕ2-1)ρΔ k -lΔϕΔ kΔϕd x -∫3ϕ2-1ρ|Δ kΔϕ|2d x -∫Δ (k6ϕρ(Δϕ))2ΔΔ kϕd x(26)由于∫(ΔΔ k Δϕ)ρ2d x =∫1ρ2|Δ k +1Δϕ|2d x +㊃021㊃北京化工大学学报(自然科学版) 2023年∫|Δρ|2ρ4|Δ kΔϕ|2d x -∫3ϕ2-1ρ|Δ k Δϕ|2d x ≤-∫ϕ2-1ρ|Δ k Δϕ|2d x 故可得12d d t ‖Δ k +1ϕ‖2+14ρ2‖Δ k +1Δϕ‖2≤I i1,i =1,2, ,6(27)根据Hölder 不等式和Gagliardo -Nirenberg 不等式对I i1(i =1,2, ,6)进行估计㊂I 11=∫ϕ2-1ρ|Δ k Δϕ|2d x ≤‖ϕ2-1‖L ∞㊃‖Δ k Δϕ‖2≤M ‖Δ k +2ϕ‖2I 21=∑0≤l ≤kCl k∫Δ lu ㊃Δ k -l +1ϕΔΔ kϕd x ≤∑0≤l ≤k‖Δ lu ㊃Δ k -l +1ϕ‖‖Δ k +2ϕ‖当l [≤k +1]2时,有‖Δ l u ㊃Δ k -l +1ϕ‖≤‖Δ l u ‖L 3‖Δ k -l +1ϕ‖L 6≤‖Δ αu ‖1-lk +1‖Δ k +2u ‖l k +1‖Δϕ‖l k +1‖Δ k +2ϕ‖1-l k +1≤M ‖Δk +2u ‖lk +1‖Δk +2ϕ‖1-lk +1≤M (‖Δ k +2u ‖+‖Δ k +2ϕ‖)由l -13(=α3-)(121-lk )+1(+k +23-)12㊃l k +1,可确定α=12-l 2(k +1-l )[∈0,]12㊂[当k +1]2+1≤l ≤k 时,有‖Δ l u ㊃Δ k -l +1ϕ‖≤‖Δ l u ‖L 6‖Δ k -l +1ϕ‖L 3≤‖u ‖1-l +1k +2‖Δk +2u ‖l +1k +2‖Δ αϕ‖l +1k +2‖Δ k +2ϕ‖1-l +1k +2≤M ‖Δ k +2u ‖l +1k +2‖Δ k +2ϕ‖1-l +1k +2≤M (‖Δ k +2u ‖+‖Δ k +2ϕ‖)由k -l3(=α3-)12l +1k +2(+k +23-)(121-l +1k )+2可确定α=k +22(l +1)[∈12,]1㊂因此,可得到I 21≤M (‖Δk +2u ‖2+‖Δ k +2ϕ‖2)I 31=∑1≤l ≤kC lk∫Δ (l1)ρΔ k -l(ΔΔϕ)ρΔ kΔϕd x ≤∑1≤l ≤(kΔ (l1)ρΔ k -l (+2Δϕ))ρ‖Δ k +2ϕ‖L 2其中Δ (l1)ρΔ k -l (+2Δϕ)ρ≤‖Δ l(σ)‖L 6㊃Δ k -l (+2Δϕ)ρL 3≤‖Δ l(σ)‖L (6(Δ k -l +2Δϕ)㊃1ρ+Δ k -l (+21)ρΔϕL )3≤‖Δ l(σ)‖L 6(㊃‖(Δ k -l +4ϕ)‖L 31ρL ∞+Δ k -l (+21)ρL 3㊃‖Δϕ‖L )∞≤M (‖Δ k +1σ‖+‖Δ k +2ϕ‖)故I 31≤M (‖Δk +1σ‖2+‖Δ k +2ϕ‖2)I 41=-∑1≤l ≤kC l k ∫[ΔΔ (l1)ρΔ k -l Δ]ϕ㊃(ΔΔ kΔϕ)ρd x ≤∑1≤l ≤(kΔ (l1)ρL 3㊃‖Δ k -l +3ϕ‖L 6+Δ l (+11)ρL 3‖Δ k -l +2ϕ‖L )6(×‖Δ k +3ϕ‖+‖Δ k +2ϕ‖(Δ1)ρL )∞≤∑1≤l ≤k(‖Δ l σ‖L 3‖Δ k -l +3ϕ‖L 6+‖Δ l +1σ‖L 3㊃‖Δ k -l +2ϕ‖L 6)(‖Δ k +3ϕ‖+‖Δ k +2σ‖)≤M∑1≤l ≤k(‖Δ k +1σ‖+‖Δ k +3ϕ‖)(‖Δ k +3ϕ‖+‖Δ k +2ϕ‖)≤M (‖Δ k +1σ‖2+‖Δ k +2ϕ‖2+‖Δ k +3ϕ‖2)I 51=∑1≤l ≤kC l k∫Δ (l3ϕ2-1)ρΔ k -lΔϕΔ kΔϕd x ≤∑1≤l ≤kΔ (l3ϕ2-1)ρΔ k -l +2ϕ‖Δ k +2ϕ‖㊃Δ (l3ϕ2-1)ρΔ k -l +2ϕ≤(‖Δ lσ‖L 3+‖Δ lϕ‖L 3)㊃‖Δ k -l +2ϕ‖L 6≤(‖Δ ασ‖1-lk +2‖Δ k +1σ‖lk +2+‖Δ αϕ‖1-l k +2‖Δ k +2ϕ‖lk +2)×‖Δϕ‖lk +2㊃‖Δ k +2ϕ‖1-lk +2≤M (‖Δ k +1σ‖+‖Δ k +2ϕ‖)其中α满足l 3-13(=α3-)(121-l k )+2(+k +13-)12l k +2故I 51≤M (‖Δk +1σ‖2+‖Δ k +2ϕ‖2)I 61=∑0≤l ≤kC l k ∫Δ (l6ϕ)ρΔ k -l (Δϕ)2ΔΔ k ϕd x ≤∑1≤l ≤kΔ (l6ϕ)ρΔ k -l (Δϕ)2‖Δ k +2ϕ‖Δ (l6ϕ)ρ㊃㊃121㊃第5期 侯东杰等:三维可压缩Navier -Stokes -Cahn -Hilliard 方程组Cauchy 问题解的适定性Δ k -l (Δϕ)2≤(‖Δ l σ‖L 3+‖Δ l ϕ‖L 3)㊃‖Δ k -l +1ϕ‖L 6‖Δϕ‖L ∞≤(‖Δ l σ‖L 3+‖Δ l ϕ‖L 3)‖Δ k -l +1ϕ‖L 6≤M (‖Δ k +1σ‖+‖Δ k +2ϕ‖)故I 61≤M (‖Δ k +1σ‖2+‖Δ k +2ϕ‖2)把I i 1(i =1,2, ,6)的估计式代入式(27),可得式(24),引理2得证㊂引理3 若(σ,u ,ϕ)∈X M ([0,T ])是方程(10)的局部解,则d d (t‖Δ k u ‖+p′(ρ)ρ2‖Δ k σ‖)2+ν0ρ㊃‖Δ k +1u ‖2≤M (‖Δ k σ‖2+‖Δ k +2ϕ‖2),k =0,1,2, ,3(28)证明:对式(10)求Δ k 得到 Δ k σt +ρdiv Δ k u =Δ k g 1Δ ku t -2ρdiv(ν(ϕ)D (Δ k u ))-1ρΔ{[ν(ϕ)+λ(ϕ)]div Δ k u }+p′(ρ)ρΔ k Δσ+1ρΔ k (ΔϕΔϕ)=Δ k g 2+2ρdiv{Δ k [ν(ϕ)D (u )]-ν(ϕ)D (Δ k u )}+1ρΔ{Δ k [ν(ϕ)+λ(ϕ)]div u -[ν(ϕ)+λ(ϕ)]㊃div Δ k u }(29)对式(29)的第二式乘以Δ k u ,并利用(29)的一式可得12dd (t‖Δ ku ‖2+p′(ρ)ρ2‖Δ k σ‖)2+1ρ㊃∫ν(ϕ)|D (Δ k u )|2d x +1ρ∫[ν(ϕ)+λ(ϕ)]㊃|div Δ k u |2d x =I 12+I 22+I 32+I 42+I 52+I 62+I 72(30)其中,I 12=∫Δ kdiv (σu )Δ k σd x ≤∑0≤l ≤k +1‖Δ lσ㊃Δk -l +1u ‖‖Δ kσ‖当l [≤k]2时,有‖Δ lσ㊃Δ k -l +1u ‖≤‖Δ l σ‖L 3‖Δ k -l +1u ‖L 6≤‖Δ ασ‖1-l -1k‖Δ k σ‖l -1k‖Δu ‖l -1k‖Δ k +1u ‖1-l -1k≤M (‖Δ kσ‖+‖Δ k +1u ‖)其中α由l -13(=α3-)(121-l -1)k(+k 3-)12㊃l -1k确定㊂当l [≥k ]2+1时,有‖Δ l σ㊃Δ k -l +1u ‖≤‖Δ l σ‖L 6‖Δ k -l +1ϕ‖L 3≤‖Δσ‖1-l -1k‖Δ k σ‖l +1k ‖Δ αu ‖l +1k ‖Δ k +1u ‖1-l +1k≤M (‖Δ k σ‖+‖Δ k +1u ‖)其中α由k -l3(=α3-)(12l +1)k (+k +13-)12(㊃1-l +1)k确定㊂故I 12≤M (‖Δ k σ‖2+‖Δk +1u ‖2)㊂I 22=∫Δ k [-(u ,Δ)u +h 1(σ)Δσ]Δ k u d x =-∫Δ k -1[-(u ,Δ)u +h 1(σ)Δσ]Δ k +1u d x ≤(‖u ‖L 3‖Δ k u ‖L 6+‖Δ k -1u ‖L 6‖Δu ‖L 3)㊃‖Δ k +1u ‖+(‖h 1(σ)‖L 3‖Δ k σ‖L 6+‖Δσ‖L 6㊃‖Δ k -1h 1(σ)‖L 3)‖Δ k +1u ‖≤M (‖Δ k +1u ‖+‖Δ k σ‖)‖Δ k +1u ‖≤M (‖Δ k σ‖2+‖Δ k +1u ‖2)I 32=∫Δ k -1{2h 2(σ)div[ν(ϕ)D (u )]}Δ k +1u d x +∫Δ k -1{h 2(σ)Δ[(ν(ϕ)+λ(ϕ))div u ]}Δ k +1u d x =∑0≤l ≤k -1C l k -1∫Δ l h 2(σ)div Δ k -l -1(ν(ϕ)D (u ))Δ k +1u ㊃d x +∑0≤l ≤k -1C l k -1∫Δ l h 2(σ)Δ k -l ((ν(ϕ)+λ(ϕ))㊃div u )Δ k +1u d x∑0≤l ≤k -1C l k -1∫Δ l h 2(σ)div Δ k -l -1(ν(ϕ)D (u ))㊃Δ k +1u d x ≤∑0≤l ≤k -1‖Δ l h 2(σ)Δ k -l (ν(ϕ)D (u ))‖㊃‖Δ k +1u ‖≤∑0≤l ≤k -1‖Δ l σ‖L 3(‖Δ k -l +1u ‖L 6㊃‖ν(ϕ)‖L ∞+‖Δu ‖L ∞‖Δ k -l ϕ‖L 6)‖Δ k +1u ‖≤∑0≤l ≤k -1‖Δ l σ‖L 3‖Δ k -l +1u ‖L 6‖Δ k +1u ‖+∑0≤l ≤k -1‖Δ l σ‖L 3‖Δ k -l ϕ‖L 6‖Δ k +1u ‖≤M (‖Δ k +2ϕ‖2+‖Δ k +1u ‖2)用同样的方法可以对∑0≤l ≤k -1C l k -1∫Δ l h 2(σ)Δ k -l ((ν(ϕ)+λ(ϕ))㊃div u )Δ k +1u d x进行估计,然后可得I 32≤M (‖Δk +2ϕ‖2+‖Δ k +1u ‖2)㊃221㊃北京化工大学学报(自然科学版) 2023年I 42=∫Δ k (ΔϕΔϕ)Δ k u d x 当k =0时,I 42=∫ΔϕΔϕ㊃u d x ≤‖Δϕ‖L 3‖Δϕ‖㊃‖u ‖L 6≤‖Δϕ‖12‖Δ 2ϕ‖12‖Δ 2ϕ‖‖Δu ‖≤M (‖Δ 2ϕ‖2+‖Δu ‖2)当k =1时,I 42=∫Δ(ΔϕΔϕ)㊃Δu d x =-∫(ΔϕΔϕ)㊃Δ 2u d x ≤‖Δϕ‖L 3‖Δϕ‖L 6‖Δ 2u ‖≤‖Δϕ‖12‖Δ 2ϕ‖12‖Δ 3ϕ‖‖Δ 2u ‖≤M ㊃(‖Δ 2ϕ‖2+‖Δu ‖2)k ≥2时,I 42=∫Δ k (ΔϕΔϕ)㊃Δ k u d x =-∫Δ k -1㊃(ΔϕΔϕ)㊃Δk +1u d x =-∑0≤l ≤k -1C l k -1∫Δl +1ϕ㊃Δ k -l +1ϕ㊃Δ k +1u d x ≤∑0≤l ≤k -1‖Δ l +1ϕ㊃Δ k -l +1ϕ‖㊃‖Δ k +1u ‖‖Δ l +1ϕΔ k -l +1ϕ‖≤‖Δ l +1ϕ‖L 3㊃‖Δ k -l +1ϕ‖L 6≤‖Δ αϕ‖1-lk‖Δ k +2ϕ‖lk ㊃‖Δ 2ϕ‖lk ‖Δ k +2ϕ‖1-lk ≤M ‖Δ k +2ϕ‖其中α由l3(=α3-)(121-l)k(+k +23-)12㊃lk确定㊂故I 42≤M (‖Δk +2ϕ‖2+‖Δ k +1u ‖2)I 52=∑0≤l ≤kC l k ∫Δ l ν(ϕ)D (Δ k -l u ):ΔΔ k u d x ≤∑0≤l ≤k‖Δ lϕ‖L 3‖Δ k +1u ‖‖Δ k -l +1u ‖L 6其中‖Δ lϕ‖L 3‖Δk -l +1u ‖L 6≤‖Δ αϕ‖1-l -1k㊃‖Δ k +2ϕ‖l -1k‖Δu ‖l -1k‖Δ k +1u ‖1-l -1k≤M ㊃(‖Δk +2ϕ‖+‖Δk +1u ‖)其中α由l -13(=α3-)(121-l -1)k(+k +23-)12l -1k确定㊂故I 52≤M (‖Δk +2ϕ‖2+‖Δ k +1u ‖2)㊂用同样的方法可得I 62=1ρ∑1≤l ≤kC l k ∫Δ l (ν(ϕ)+λ(ϕ))div Δ k -l ㊃u div Δ k u d x ≤M ‖Δ k +1u ‖2I 72=∫Δ k (h 2(σ)ΔϕΔϕ)㊃Δ k u d x ≤M (‖Δ k +2㊃ϕ‖2+‖Δ k +1u ‖2)将I i2(i =1,2, ,7)代入式(30)可得式(28),引理3得证㊂引理4 若(σ,u ,ϕ)∈X M ([0,T ])是方程(10)的局部解,则d d t∫Δ k u ㊃Δ k +1σd x +p′(ρ)2ρ‖Δ k +1σ‖2≤M (‖Δ k +2u ‖2+‖Δ k +3ϕ‖2)+‖Δ k +1u ‖2,k =0,1,2(31)证明:对方程组(29)的第二式乘以Δ k +1σ,并利用(29)的第一式可得d d t∫Δ k u ㊃Δ k +1σd x +p′(ρ)ρ‖Δ k +1σ‖2-ρ㊃∫(divΔ k u )2d x ≤I 13+I 23+I 33+I 43+I 53+I 63+I 73(32)式中,I 13=∫Δ k div (u σ)div Δ k u d x ≤‖Δ k +1u ‖㊃‖Δ k +1(u σ)‖≤(‖σ‖L ∞‖Δ k +1u ‖+‖Δ k +1σ‖㊃‖u ‖L ∞)‖Δ k +1u ‖≤M (‖Δ k +1σ‖2+‖Δ k +1u ‖2)I 23=∫Δ k [-(u ,Δ)u +h 1(σ)Δσ]㊃Δ k +1σd x =∫Δ k [-(u ,Δ)u ]㊃Δ k +1σd x +∫Δ k [h 1(σ)Δσ]㊃Δ k +1σd x其中∫Δ k [-(u ,Δ)u ]㊃Δ k +1σd x ≤∑0≤l ≤kC l k ∫Δ l u ㊃Δ k -l +1u ㊃Δ k +1σd x ≤M∑0≤l ≤k‖Δ l u ㊃Δ k -l +1u ‖㊃‖Δ k +1σ‖‖Δ l u ㊃Δ k -l +1u ‖≤‖Δ l u ‖L 3‖Δ k -l +1u ‖L 6≤‖Δ αu ‖1-l k +1‖Δ k +2u ‖lk +1‖Δu ‖lk +1‖Δ k +2㊃u ‖1-lk +1≤M ‖Δ k +2u ‖其中α由l -13(=α3-)(121-l k )+1(+k +23-)12lk +1确定㊂由同样的方法可得∫Δ k [h 1(σ)Δσ]㊃Δ k +1σd x ≤M ‖Δ k +1σ‖2故I 23≤M (‖Δk +1σ‖2+‖Δ k +2u ‖2)㊂㊃321㊃第5期 侯东杰等:三维可压缩Navier -Stokes -Cahn -Hilliard 方程组Cauchy 问题解的适定性I 33=-∫Δ k {2h 2(σ)div[ν(ϕ)D (u )]}Δ k +1㊃σd x -∫Δ k {h 2(σ)Δ[(ν(ϕ)+λ(ϕ))div u ]}Δ k +1σ㊃d x =-∑0≤l ≤kC l k ∫Δ l h 2(σ)div Δ k -l +1[ν(ϕ)D (u )]㊃Δ k +1σd x -∑0≤l ≤kC l k -1∫Δ l h 2(σ)Δ k -l [(ν(ϕ)+λ(ϕ))div u ]㊃Δ k +1σd x ≤M (‖Δ k +1σ‖2+‖Δ k +2u ‖2+‖Δ k +3ϕ‖2)I 43=-1ρ∫Δ k (ΔϕΔϕ)㊃Δ k +1σd x ≤-∑0≤l ≤k C l k ∫Δ l +1ϕΔ k -l Δϕ㊃Δ k +1σd x ≤∑0≤l ≤k‖Δ l +1ϕ㊃Δ k -l +2ϕ‖‖Δ k +1σ‖其中‖Δl +1ϕ㊃Δk -l +2ϕ‖≤‖Δl +1ϕ‖L 3㊃‖Δ k -l +2ϕ‖L 6≤‖Δ αϕ‖1-l +1k +2‖Δ k +3ϕ‖l +1k +2㊃‖Δ 2ϕ‖l +1k +2‖Δ k +3ϕ‖1-l +1k +2≤M ‖Δ k +3ϕ‖其中α由l 3(=α3-)(121-l +1k )+2(+k +33-)12l +1k +2确定㊂故I 43≤M (‖Δ k +3ϕ‖2+‖Δ k +1σ‖2)I 53=2ρ∫div Δ k (ν(ϕ)D (u ))㊃Δ k +1σd x ≤∫div Δ k (ν(ϕ)D (u ))㊃Δ k +1σd x =∑0≤l ≤kC l k +1∫(Δ l ㊃ν(ϕ)div D (Δk -lu )+Δl +1ν(ϕ)D (Δ k -lu ))㊃Δ k +1σd x ≤∑1≤l ≤k(‖Δ l ϕ‖L 3‖Δ k -l +2u ‖L 6+‖Δ l +1ϕ‖L 3‖Δk -l +1u ‖L 6)‖Δ k +1σ‖≤M (‖Δ k +2㊃u ‖2+‖Δ k +1σ‖2)I 63=1ρ∫Δ k +1{[ν(ϕ)+λ(ϕ)]div u }㊃Δ k +1σd x ≤∑0≤l ≤kC l k +1∫Δ l [ν(ϕ)+λ(ϕ)]㊃div Δ k -l u ㊃Δ k +1σd x ≤∑0≤l ≤k‖Δ lϕ‖L 3‖Δ k -l +1u ‖L 6‖Δk +1σ‖其中‖Δ l ϕ‖L 3‖Δ k -l +1u ‖L 6≤‖Δ αϕ‖1-lk ㊃‖Δ k +3ϕ‖l k‖Δu ‖l k‖Δ k +2u ‖1-lk≤M (‖Δk +3㊃ϕ‖+‖Δ k +2u ‖)其中α由l -13(=α3-)(121-l )k (+k +33-)12l k 确定㊂故I 63≤M (‖Δ k +3ϕ‖2+‖Δ k +1σ‖2+‖Δ k +2u ‖2)I 73=∫Δ k [h 2(σ)ΔϕΔϕ]㊃Δ k +1σd x ≤M (‖Δ k +3㊃ϕ‖2+‖Δ k +1σ‖2)将I i3(i =1,2, ,7)代入式(32)可得式(31),引理4得证㊂结合引理1~4,命题2得证,进一步定理1得证㊂3 结束语本文研究了三维Navier -Stokes -Cahn -Hilliard方程组Cauchy 问题的适定性㊂在初值小扰动的条件下,我们解决了相场ϕ在估计过程中带来的一些困难,证明了该方程全局解的存在唯一性㊂该结果表明,在小扰动情况下,相分离状态保持不变㊂本文结果可为非混相两相流的模拟计算提供理论基础㊂参考文献:[1] CAHN J W,HILLIARD J E.Free energy of a nonuni⁃form system.I.Interfacial free energy[J].The Journalof Chemical Physics,1958,28:258-267.[2] LOWENGRUB J,TRUSKINOVSKY L.Quasi⁃incompres⁃sible Cahn -Hilliard fluids and topological transitions[J].Proceedings of the Royal Society of London A,1998,454:2617-2654.[3] ABELS H,FEIREISL E.On a diffuse interface model fora two⁃phase flow of compressible viscous fluids[J].Indi⁃ana University Mathematics Journal,2008,57(2):659-698.[4] OZ ㊃AN ㊃SKI W S,POOLEY B C.Leray’s fundamental workon the Navier⁃Stokes equations:a modern review of Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace”[EB /OL].(2017-08-31).arXiv:1708.09787v1[math.AP].[5] CHEN Y Z,HE Q L,MEI M,et al.Asymptotic stabilityof solutions for 1⁃D compressible Navier -Stokes -Cahn -Hilliard system[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2018,467:185-206.[6] CHEN Y Z,HONG H,SHI X D.Asymptotic stability ofphase separation states for compressible immiscible two⁃phase flow with periodic boundary condition in 3D [J 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Physics,Beijing University of Chemical Technology,Beijing 100029,China)Abstract :The well⁃posedness of the Cauchy problem for the 3D compressible Navier -Stokes -Cahn -Hilliard e⁃quation,which describes immiscible two⁃phase flow with a diffuse interface has been studied.The energy method and the Schauder fixed point theorem were used to prove the existence and uniqueness of the global strong solution for small initial perturbations near the phase separation.Key words :Navier -Stokes -Cahn -Hilliard (NSCH)equations;Cauchy problem;existence and uniqueness(责任编辑:吴万玲)㊃521㊃第5期 侯东杰等:三维可压缩Navier -Stokes -Cahn -Hilliard 方程组Cauchy 问题解的适定性。
