2019版高考数学大一轮复习 第八章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系学案 文 新人教A版

地地道道的达到 §8.3空间点、直线、平面之间的地点关系考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型展望热度2016 浙江 ,2; 1. 点、线、 理解空间直线、 平面地点关系的定义 , 并认识以下2015 广东 ,8;能够作为推理依照的公义和定理.2014 广东 ,7;面理解 选择题★★☆·公义 1: 假如一条直线上的两点在一个平面内2013 课标全国的地点关系,那么这条直线上全部的点都在此平面内.Ⅱ,4;·公义 2: 过不在同一条直线上的三点 , 有且只有2013 江西 ,8 一个平面 .2017 课标全国·公义 3: 假如两个不重合的平面有一个公共点 ,Ⅱ,10;那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2017 课标全国2. 异面直线 ·公义 4: 平行于同一条直线的两条直线相互平 掌握Ⅲ,16; 选择题 ★★★所成的角行 .2016 课标全国填空题·定理 : 空间中假如一个角的两边与另一个角的 Ⅰ,11; 两边分别平行 , 那么这两个角相等或互补2015 四川 ,14;2015 广东 ,18剖析解读 1. 会用平面的基天性质证明点共线、 线共点、点线共面问题 ; 会用反证法证明相关异面或共面问题.2.会判断和证明两条直线异面 ; 会应用三线平行公义和等角定理及推论解决相关问题, 会求两条异面直线所成的角 ; 认识两条异面直线间的距离 .3. 高考对本节内容的考察常以棱柱、 棱锥为依靠 , 求异面直线所成的角 , 分值约为5分,属中档题 .五年高考考点一点、线、面的地点关系1.(2016 浙江 ,2,5 分 ) 已知相互垂直的平面 α , β 交于直线 l. 若直线 m,n 知足 m ∥ α ,n ⊥ β , 则 ( )A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n答案C2.(2015 广东 ,8,5 分 ) 若空间中 n 个不一样的点两两距离都相等 , 则正整数 n 的取值 ( )A. 至多等于 3B. 至多等于 4C.等于 5D.大于 5 答案B3.(2015 福建 ,7,5 分 ) 若 l,m 是两条不一样的直线 ,m 垂直于平面α , 则“ l⊥m ”是“ l ∥ α”的 ( )A. 充分而不用要条件B. 必需而不充分条件C. 充分必需条件D. 既不充分也不用要条件 答案B4.(2013 江西 ,8,5 分 ) 如图 , 正方体的底面与正四周体的底面在同一平面 α 上 , 且 AB ∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 订交的平面个数分别记为m,n, 那么 m+n=()呵呵复生复生复生地地道道的达到 A.8 B.9 C.10 D.11答案A教师用书专用 (5 — 8)5.(2014 广东 ,7,5 分 ) 若空间中四条两两不一样的直线l 1,l2,l 3,l 4,知足 l 1⊥l 2,l 2⊥l 3,l 3⊥l 4, 则以下结论必定正确的是 ( ) A.l 1⊥l B.l ∥l414C.l 1 与 l 4 既不垂直也不平行D.l 1 与 l 4 的地点关系不确立答案 D6.(2013 课标全国Ⅱ ,4,5 分 ) 已知 m,n 为异面直线 ,m ⊥平面 α,n ⊥平面 β . 直线 l 知足 l ⊥m,l ⊥n,l ?α,l ?β , 则 ( ) A. α ∥β 且 l ∥ α B. α ⊥β 且 l ⊥ βC. α 与 β 订交 , 且交线垂直于 lD. α 与 β 订交 , 且交线平行于l答案 D7.(2013 安徽 ,3,5 分 ) 在以下命题中 , 不是公义的是 ()．．A. 平行于同一个平面的两个平面相互平行B. 过不在同一条直线上的三点 , 有且只有一个平面C. 假如一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上全部的点都在此平面内D. 假如两个不重合的平面有一个公共点 , 那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A8.(2013 浙江 ,10,5 分 ) 在空间中 , 过点 A 作平面 π 的垂线 , 垂足为 B, 记 B=f π (A). 设 α , β 是两个不一样的平面 , 对空间随意一点 P,Q =f β [f α (P)],Q =f α [f β (P)], 恒有 PQ=PQ, 则 ()1212A. 平面 α 与平面 β 垂直B. 平面 α 与平面 β 所成的 ( 锐 ) 二面角为 45°C. 平面 α 与平面 β 平行D. 平面 α 与平面 β 所成的 ( 锐 ) 二面角为 60°答案 A考点二 异面直线所成的角1.(2017 课标全国Ⅱ ,10,5 分 ) 已知直三棱柱 ABC-AB C 中, ∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1, 则异面直线 AB 1 与 BC1 1 11所成角的余弦值为 ()A. B.C. D.答案 C2.(2016 课标全国Ⅰ ,11,5 分) 平面 α 过正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的极点 A, α ∥平面 CB 1 D 1, α ∩平面 ABCD=m,α ∩ 平面 ABB 1A 1=n, 则 m,n 所成角的正弦值为 ( )A. B. C. D.答案A3.(2017 课标全国Ⅲ ,16,5 分 )a,b 为空间中两条相互垂直的直线, 等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与呵呵复生复生复生a,b 都垂直 , 斜边 AB 以直线 AC为旋转轴旋转 , 有以下结论 :①当直线 AB与 a 成 60°角时 ,AB 与 b 成 30°角 ;②当直线 AB与 a 成 60°角时 ,AB 与 b 成 60°角 ;③直线 AB 与 a 所成角的最小值为45°;④直线 AB 与 a 所成角的最大值为60°.此中正确的选项是.( 填写全部正确结论的编号 )答案②③4.(2015 四川 ,14,5 分 ) 如图 , 四边形 ABCD和 ADPQ均为正方形 , 它们所在的平面相互垂直,动点 M在线段 PQ 上 ,E,F 分别为 AB,BC 的中点 . 设异面直线 EM与 AF 所成的角为θ , 则 cos θ的最大值为.答案教师用书专用(5)5.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直 ,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点 E 是 CD边的中点 , 点 F,G 分别在线段 AB,BC 上 , 且 AF=2FB,CG=2GB.(1)证明 :PE⊥FG;(2)求二面角 P-AD-C 的正切值 ;(3)求直线 PA 与直线 FG所成角的余弦值 .分析(1) 证明 : 由于 PD=PC,点 E 为 DC中点 ,因此 PE⊥DC.又由于平面PDC⊥平面 ABCD,交线为 DC,因此 PE⊥平面 ABCD.又 FG? 平面 ABCD,因此 PE⊥FG.(2) 由 (1) 可知 ,PE⊥AD.由于四边形ABCD为长方形 , 因此 AD⊥DC.又由于 PE∩DC=E,因此 AD⊥平面 PDC.而 PD? 平面 PDC,因此 AD⊥PD.由二面角的平面角的定义, 可知∠ PDC为二面角P-AD-C 的一个平面角.在 Rt△PDE中 ,PE==,因此 tan ∠PDC==.进而二面角P-AD-C 的正切值为 .(3) 连结 AC.由于 ==,因此 FG∥AC.易求得 AC=3,PA==5.因此直线 PA与直线 FG所成角等于直线 PA与直线 AC所成角 , 即∠ PAC, 在△ PAC中,cos ∠PAC==.因此直线PA与直线 FG所成角的余弦值为.三年模拟呵呵复生复生复生A 组2016— 2018 年模拟·基础题组考点一点、线、面的地点关系1.(2018四川泸州模拟,6) 设 a,b 是空间中不一样的直线, α , β是不一样的平面, 则以下说法正确的选项是()A.a∥b,b ? α , 则 a∥ αB.a ? α ,b ? β, α ∥ β , 则 a∥bC.a? α ,b ? α,a ∥ β ,b ∥ β , 则α ∥ βD. α ∥β ,a ? α, 则 a∥β答案 D1 1 1 1 1 是异面直线的条数为 ()2.(2018 四川泸州模拟 ,4) 在正方体 ABCD-AB CD 中 , 棱所在直线与直线BAA.4B.5C.6D.7答案 C3.(2017 河北邢台二模 ,5) 设 m,n 是两条不一样的直线 , α , β是两个不一样的平面. 给出以下四个命题 :①若 m∥n,m⊥ β , 则 n⊥ β ; ②若 m∥n,m∥ β , 则 n∥ β ;③若 m∥ α ,m∥ β , 则α∥ β ; ④若 n⊥ α,n ⊥ β , 则α ⊥ β.此中真命题的个数为 ( )A.1B.2C.3D.4答案 A4.(2017 河北邯郸调研,5) 如图 , 在三棱锥 S-ABC中 ,G1,G2分别是△ SAB 和△ SAC的重心 , 则直线 G1G2与 BC的地点关系是()A. 订交B. 平行C. 异面D. 以上都有可能答案 B考点二异面直线所成的角5.(2018 广东东莞模拟 ,6) 在正四棱锥 P-ABCD中 ,PA=2, 直线 PA与平面 ABCD所成角为 60°,E 为 PC的中点 , 则异面直线PA与 BE 所成角为 ()A.90°B.60°C.45°D.30°答案 C6.(2017 广东汕头模拟 ,8) 已知四棱锥 P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等, 点 E 是 PB的中点 , 则异面直线 AE与PD所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案 C7.(2016黑龙江哈尔滨四模,7) 如图 , 四棱锥 P-ABCD中, ∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△ PAD都是等边三角形 , 则异面直线CD与 PB所成角的大小为()A.90°B.75°C.60°D.45°答案 AB 组2016— 2018 年模拟·提高题组呵呵复生复生复生地地道道的达到(满分 :30 分时间:30分钟)一、选择题 ( 每题 5 分, 共 10 分)1.(2017 广东惠州三调 ,11) 如图是一个几何体的平面睁开图, 此中四边形ABCD为正方形 ,E,F 分别为 PA,PD的中点 , 在此几何体中 , 给出下边 4 个结论 :①直线 BE 与直线 CF异面 ;②直线BE与直线AF异面;③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD.此中正确的有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个答案 B2.(2016湖南长沙模拟,8)如图,三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线 AN,CM所成的角的余弦值为()A. B. C. D.答案 A二、填空题 ( 共 5 分)3.(2018安徽皖南八校联考,15) 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1, 点 M在线段 BC上 ( 点 M异于点 B,C), 点N为线段CC1的中点 , 若平面AMN 截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形, 则线段BM 长的取值范围为.答案三、解答题 ( 共 15 分)4.(2018上海普陀一模,18)以下图的圆锥的体积为π,底面直径AB=2,点 C 是的中点 , 点 D是母线 PA的中点 .(1)求该圆锥的侧面积 ;(2)求异面直线 PB 与 CD所成角的大小 .分析(1) ∵圆锥的体积为π ,底面直径AB=2,2∴ π×1×PO=π, 解得 PO=,∴P A==2,∴该圆锥的侧面积S=π rl= π ×1×2=2 π .(2)连结 OC.∵圆锥中 ,点 C 是的中点 ,O 为底面圆心 ,∴PO⊥平面ABC,OC⊥AB,∴以 O为原点 ,OC 所在直线为x 轴,OB 所在直线为y 轴,OP 所在直线为z 轴成立以下图的空间直角坐标系,呵呵复生复生复生地地道道的达到则 A(0,-1,0),P(0,0,),D,B(0,1,0),C(1,0,0),=(0,1,-),=,设异面直线PB与 CD所成角为θ ,则 cos θ ===, ∴ θ =.∴异面直线PB与 CD所成角为 .C 组2016— 2018 年模拟·方法题组方法 1点、线、面地点关系的判断方法1.(2018 湖南衡阳模拟 ,6) 如图 , 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,E,F,G,H分别为棱AA1,B1C1,C1D1,DD1的中点,则以下直线中与直线EF订交的是 ()A. 直线 CCB.直线 CDC. 直线 HCD. 直线 GH1 1 1 1答案 C2.(2016 四川泸州模拟 ,4) 若 m、 n 为两条不一样的直线 , α、β 为两个不一样的平面, 且 m⊥ α ,n ⊥ β , 则以下命题中的假命题是 ( )A. 若 m∥n, 则α∥ βB. 若α ⊥β , 则 m⊥nC. 若α、β订交 , 则 m、n 订交D. 若 m、 n 订交 , 则α、β订交答案 C3.(2017 湖北武昌调研 ,16) 若四周体 ABCD的三组对棱分别相等 , 即 AB=CD,AC=BD,AD=BC,则( 写出全部正确结论的编号 ).①四周体 ABCD每组对棱相互垂直 ;②四周体 ABCD每个面的面积相等 ;③从四周体 ABCD每个极点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于 180°;④连结四周体 ABCD每组对棱中点的线段相互垂直均分;⑤从四周体 ABCD每个极点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.答案②④⑤方法 2 异面直线所成角的求法4.(2018 四川泸州模拟 ,7) 在正方体 ABCD-AB C D 中 ,E 为 BC的中点 ,F 为 B C 的中点 , 则异面直线 AF 与 C E 所成1 1 1 1 1 1 1角的正切值为 ( )A. B. C. D.答案 C5.(2017河北唐山 3 月模拟 ,10) 已知 P 是△ ABC 所在平面外一点,M,N 分别是 AB,PC 的中点 , 若 MN=BC=4,PA=4,呵呵复生复生复生2019高考数学一轮复习第八章立体几何8.3空间点、直线、平面之间的位置关系练习理地地道道的达到则异面直线PA与 MN所成角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°答案 A6.(2017广东惠州调研,14)在正四棱锥P-ABCD中 ,PA=2, 直线 PA与平面 ABCD所成的角为60°,E 为 PC的中点 , 则异面直线PA与 BE所成角的大小为.答案45°呵呵复生复生复生11 / 11。

第八章 立体几何与空间向量第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系班级__________ 姓名__________一、基础知识：1、空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：⎩⎨⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． （4）异面直线判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2、平面：（1）平面的概念：平面是一个描述而不定义的概念，立体几何里所说的平面是从生活中常见的平面，如桌子的表面、黑版面、平静的水面等中抽象出来的，生活中的平面是比较平且是有限的，而立体几何中的平面是绝对的平且是无限延展的。

（2）平面的表示：①立体几何中通常画平行四边形来表示平面，且当平面水平放置时，把平行四边形的锐角画成45 ， 横边画成等于邻边的2倍。

②平面通常用一个希腊字母表示。

如平面α、平面β、 平面γ等；也可以用表示平面的平行四边形的两个顶点的字母来表示，如平面AC 等；若用三角形表示平面时，则表示成平面ABC 。

注意：在平面几何里，凡是后引的辅助线都画成虚线，而立体几何里则不然，凡是被遮住的线，都画成虚线，凡是不被遮住的线都画成实线，无论是题中原有的还是后引的辅助线。

3、平面的基本性质：公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示：或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈.推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面公理3：如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线。

高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系解析！一、空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面的基本性质的应用① 公理1：公理1② 公理2：公理2③ 公理3：2、平行公理主要用来证明空间中的线线平行 .3、公理 2 三推论：① 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面；② 两条平行直线唯一确定一个平面；③ 两条相交直线唯一确定一个平面 .4、点共线、线共点、点线共面问题① 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上 .② 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上 .③ 证明点线共面问题的常用方法：方法一：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；方法二：先证明有关的点、线确定平面α ，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β 重合 .【例题1】如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD = ∠FAB = 90°，BC ∥且= ½ AD，BE ∥且= ½ FA，G , H 分别为 FA , FD 的中点 .(1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2) C , D , F , E 四点是否共面？请说明理由 .例题1图【解析】(1) 证明：∵ G , H 分别为 FA , FD 的中点，∴ GH 是△FAD 的中位线，∴ GH ∥且= ½ AD ，又∵ BC ∥且= ½ AD，∴ GH ∥且 = BC，∴ 四边形 BCHG 是平行四边形 .(2) 证明：方法一：证明点 D 在 EF 和 CH 确定的平面内 .∵ BE ∥且= ½ FA，点 G 为 FA 的中点，∴ BE ∥且= FG，则四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥BG .由 (1) 可知BG∥CH，∴ EF∥CH，即 EF 与 CH 共面，又∵ D∈FH，∴ C , D , F , E 四点共面 .方法二：分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，在证点 M 和 M’重合，从而 FE 和 DC 相交 .如上图所示，分别延长 FE 和 DC，交 AB 于点 M 和 M''，∵ BE ∥且= ½ FA，∴ 点 B 为 MA 的中点，∵ BC ∥且= ½ AD，∴ 点 B 为 M''A 的中点，∴ M 与 M'' 重合，即 FE 与 DC 相交于点 M (M'') ,∴ C , D , F , E 四点共面 .二、异面直线的判定（方法）1、定义法（不易操作）；2、反证法先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交；再由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面 .假设法在异面直线的判定中会经常用到 .3、常用结论过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点(A) 的直线是异面直线 .【例题2】如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点 .(1) AM 和 CN 是否是异面直线？请说明理由；(2) D1B 和 CC1 是否是异面直线？请说明理由 .例题2图【解析】（注：先给结论，再给理由，注意答题规范！）(1) AM 和 CN 不是异面直线 .理由：如图上图所示，分别连接 MN , A1C1 和 AC，∵ 点 M , N 分别是 A1B1 , B1C1 的中点，∴ MN∥A1C1 ,又∵ AA1∥且=CC1 ,∴ 四边形 AA1C1C 是平行四边形，∴ A1C1∥AC，∴ MN∥AC，∴ 点 A , M , N , C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线 .(2) D1B 和 CC1 是异面直线 .证明：∵ ABCD-A1B1C1D1 是正方体，∴ B , C , C1 , D1 四点不共面 .假设 D1B 和 CC1 不是异面直线，则存在平面α，使 D1Bㄷ平面α，CC1ㄷ平面α，∴ D1 , B , C , C1 ∈平面α，∴ 与ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾，∴ 假设不成立，∴ D1B 和 CC1 是异面直线 .三、异面直线所成的角1、求异面直线所成角的方法关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与令一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交 .2、求异面直线所成角的步骤① 通过作出平行线，得到相交直线；② 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；③ 通过解三角形求出该角的大小 .【例题3】如图所示，在空间四边形 ABCD 中，已知 AB = CD 且 AB 与 CD 所成的角为30°，点 E , F 分别是 BC 和 AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小 .例题3图【解析】要求 EF 与 AB 所成的角，可以经过某一点作两条直线的平行线，因为 E，F 都是中点，所以可以过点 E 或点 F 作 AB 的平行线找到异面直线所成的角 .取 AC 的中点，平移 AB 和 CD，使已知角和所求的角在同一个三角形中求解 .【解答过程】取 AC 的中点 G，分别连接 EG 和 FG ，则有EG∥AB，FG∥CD，∵ AB = CD ,∴ EG = FG ,∴ ∠GEF （或它的补角）为 EF 与 AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为 AB 与 CD 所成的角，又∵ AB 与 CD 所成的角为30°，∴ ∠EGF = 150° 或30°，由 EG = FG , 可知△GEF为等腰三角形，当∠EGF = 30° 时，∠GEF = 75°，当∠EGF = 150° 时，∠GEF = 15°，∴ EF 与 AB 所成的角为15° 或75° .。