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两向量的数性积(数量积

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向量的数量积与向量积

向量的数量积与向量积
2 2 x y
2
z
b +b +b
2 x y
z
(二)、两向量的向量积 二、 1、定义 、
c = a × b，它的模为 | c |=| a || b | sinθ
c 的方向既垂直于 又垂直于b，指向符合右手系 a .
2、向量积的坐标计算式
a × b = (a ybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − a ybx )k
a⊥b ⇐⇒ axbx + ayby + azbz = 0
1 a 例 已知 = i + j , b = i + k,求a ⋅ b,cos(a, b)及ab.
解
a ⋅ b = {1,1,0} ⋅ {1,0,1} = 1 + 0 + 0 = 1,
1 a⋅b = cos(a, b) = 2 + 12 + 02 12 + 02 + 12 a⋅b 1 1 = 2 1 2 . ab = a cos(a, b) = 2 ⋅ = 2 2
= (a ybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − a ybx )k
向量积还可用三阶行列式表示
i bx
按第一行展开就得到
j by
k az bz
a ×b = ax ay
a × b = (aybz − az by )i + (az bx − axbz ) j + (axby − aybx )k
仅就下图所示的情形给出证明， 仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可 仿此证明 a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c;

1.7 两向量的数性积

1.7 两向量的数性积
定理 1.7.5
d
2
空间两点 P 1 x1 , y1 , z1 , P 2 x2 , y2 , z2 间的距离是
x1 x2 y1 y2 z1 z2 .
2 2 2

解析几何
2）向量的方向余弦
向量与坐标轴（或坐标向量）所成的角叫做向量的方向
2 2 OC BA （a b） （a b） 2 2 2 2
B
C A
ห้องสมุดไป่ตู้
2 a 2 b .
2
2
O

解析几何
例2试证三角形的三条高交于一点.
证：设△ABC的BC，CA两边上的高交于P点， 再设PA a， PB b， PC c，则 AB b a， BC c b， CA a c；
解： a BC 1， 1， 0， a 2； b CA 1， 0， 1， b 2； c AB 2， 1，1， c 6； 所以a b 1， a c -3， 1 因而可得cos（a， b） ，（a， b） . 3 a b 2 a b
cos a, b

a b a b X1 X 2 YY 1 2 Z1Z 2 X Y Z X Y Z
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
.
推论
向量 a X1 , Y1 , Z1 与 b X 2 , Y2 , Z 2 相互垂直的充要条件是
为 F 与 S 的夹角)
启示: 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.

解析几何
一、数量积的概念
定义 1.7.1 两向量 a 和 b 的模和它们夹角的余弦的乘积 叫做向量 a 和 b 的数量积（也称内积），记做 a b 或 ab ， 即

向量的数量积运算的所有公式

向量的数量积运算的所有公式

向量的数量积运算的所有公式1.向量的数量积定义：对于两个向量u和v，它们的数量积表示为u·v，即：u·v = ，u，，v，cosθ其中，u，和，v，分别表示向量u和v的长度（或模），θ表示向量u和v之间的夹角。

2.向量的数量积性质：(a)u·v=v·u（交换律，数量积满足交换律）(b)u·u=，u，^2（自身与自身的数量积等于向量的长度的平方）(c) (ku)·v = k(u·v)（数量积与标量的乘积等于标量与数量积的乘积）(d)(u+v)·w=u·w+v·w（数量积的分配律）3.向量的数量积的计算公式：(a)对于二维向量u=(u₁,u₂)和v=(v₁,v₂)：u·v=u₁v₁+u₂v₂(b)对于三维向量u=(u₁,u₂,u₃)和v=(v₁,v₂,v₃)：u·v=u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃4.向量的数量积的几何解释：(a)两个向量u和v之间的数量积u·v等于向量u在向量v方向上的投影长度乘以向量v的长度。

(b)如果u和v之间的夹角θ等于0度，则u·v=，u，，v，（数量积的最大值）(c)如果u和v之间的夹角θ等于90度，则u·v=0（数量积的最小值）5.向量的数量积与向量的垂直性：(a)如果u·v=0，则向量u和v垂直（正交）。

(b)如果u·v≠0，则向量u和v不垂直。

6.向量的数量积与向量的夹角的关系：(a) u·v = ，u，，v，cosθ(b)如果θ=0度，则u·v=，u，，v，（数量积的最大值）(c)如果θ=90度，则u·v=0（数量积的最小值）这些公式是向量的数量积运算的基本公式和性质，可用于求解向量的数量积问题，以及在几何和物理等领域中的应用。

两向量的数量积

两向量的数量积

在二维空间中，两向量的数量积可以表示为$vec{A} cdot vec{B} = AB cos theta$，其中$AB$是两 向量的模长，$theta$是两向量之间的夹角。
几何意义
两向量的数量积表示两向量在各个维 度上的投影乘积之和，即两向量在各 个方向上的共同贡献。
在二维空间中，两向量的数量积也可 以理解为它们之间的角度余弦值乘以 它们的模长。
两向量的数量积
目录
• 两向量数量积的定义 • 两向量数量积的计算 • 两向量数量积的运算律 • 两向量数量积的应用 • 两向量数量积的扩展
01
CATALOGUE
两向量数量积的定义
定义
两个向量$vec{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$vec{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$的数量积定义为$vec{A} cdot vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
THANKS
感谢观看
3. 两向量的夹角cos值为 cosθ=4/√13*4/√41=8√41
/(41√13)。
04
05
4. 计算数量积： a·b=|a||b|cosθ=(√13)(√41)
(8√41)/(41√13)=8。
03
CATALOGUE
两向量数量积的运算律
交换律
总结词
两向量数量积的交换律是指，改变两向量的顺序不影响其数量积的结果。
详细描述
根据向量的数量积定义，设向量$vec{A}$和$vec{B}$的数量积为$vec{A} cdot vec{B}$，则交换两向量的顺序后 ，$vec{B} cdot vec{A} = vec{A} cdot vec{B}$。这意味着，无论向量$vec{A}$和$vec{B}$的顺序如何，其数量 积的结果是相同的。

向量的数量积和向量积的性质

向量的数量积和向量积的性质

向量的数量积和向量积的性质向量的数量积和向量积是向量运算中非常重要的两种运算方式。

在数学和物理学中，它们具有独特的性质和应用。

本文将详细讨论向量的数量积和向量积的性质。

向量的数量积（也称点积或内积）是两个向量相乘所得的标量。

设有两个向量a和b，它们的数量积记作a·b。

数量积的计算方式为：a·b = |a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别为向量a和b的模长，θ为a和b之间的夹角。

向量的数量积具有以下性质：1. 对于任意向量a，a·a = |a|^2。

这表示一个向量的数量积与其自身的模长的平方相等。

2. 属于向量的交换律。

即，对于任意向量a和b，a·b = b·a。

因此，数量积可以看作是一种可交换运算。

3. 属于向量的分配律。

即，对于任意向量a、b和c，(a + b)·c = a·c + b·c。

这意味着在分配律的条件下，我们可以将向量的数量积展开为多项式的形式。

4. 数量积的结果可以用来判断向量之间的关系。

当且仅当两个非零向量的数量积为0时，它们是垂直的；当数量积大于0时，它们的夹角为锐角；当数量积小于0时，夹角为钝角。

向量的向量积（也称叉积或外积）是两个向量相乘所得的新向量。

向量积记作a×b。

向量积的计算方式为：a×b = |a||b|sinθn其中，|a|和|b|分别为向量a和b的模长，θ为a和b之间的夹角，n 为垂直于a和b所在平面的单位向量。

向量的向量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，它们的向量积垂直于a和b所在平面。

这表明向量积的结果是与原向量a和b均垂直的新向量。

2. 向量积满足右手法则。

将右手的四指指向a，然后握紧拇指，向量积的方向将由突起的中指所确定。

3. 向量积的模长可以用来计算平行四边形的面积。

即，对于向量a 和b，其向量积的模长等于由a和b两边所组成的平行四边形的面积。

向量积和数量积的运算公式

向量积和数量积的运算公式

向量积和数量积的运算公式向量积又称为叉积或矢量积，用符号"×"表示。

给定两个向量a和b，它们的向量积c可以表示为：c=a×b向量积的计算公式如下：1.向量积的计算方法有两种：几何法和代数法。

在几何法中，我们可以根据a和b的方向及其夹角来计算向量积。

而在代数法中，我们可以使用坐标来计算向量积。

2.几何法计算向量积的公式为：c = ，a，，b，sinθ n其中，a，表示向量a的模，b，表示向量b的模，θ表示a和b的夹角，n是一个垂直于平面的单位向量。

3.代数法计算向量积的公式为：c=(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k其中，i、j和k是分别表示x、y和z轴的单位向量。

a1、a2和a3是向量a的坐标分量，b1、b2和b3是向量b的坐标分量。

4.叉积满足右手定则，即当右手的食指指向向量a的方向，中指指向向量b的方向时，大拇指所指的方向即为向量积c的方向。

5. 向量积的模可以通过公式，c， = ，a，，b，sinθ 来计算，其中θ为a和b的夹角。

向量积的运算公式非常重要，它有助于解决关于平面及其运动、力学等方面的问题，下面是一些应用案例：（1）力矩的计算：力矩可以通过向量积来计算。

对于一个由作用力F产生的力矩M，可以表示为：M=r×F其中，r是从力的作用点到旋转轴的矢量。

（2）平面的法向量计算：给定一平面上的两个向量a和b，可以通过叉积来计算平面的法向量n。

具体公式为：n=a×b法向量可以用来计算平面的方程以及平面上点的投影等问题。

（3）力的分解：向量积可以用于将一个力分解为两个分力的向量和。

假设力F的两个分力分别为F1和F2，那么可以计算得到：F=F1+F2其中，F1为向量积c的方向与F相同的分力，F2为向量积c的方向与F相反的分力。

（4）等式的转化：叉积可以用于将复杂的向量等式转化为不同形式的等式，以简化计算。

数量积与向量积知识点梳理

数量积与向量积知识点梳理数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。

它们在物理学、几何学、工程学等领域都有广泛的应用。

本文将对数量积和向量积的定义、性质和应用进行梳理。

一、数量积1. 数量积的定义数量积，也称为点积或内积，是两个向量的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

设有两个向量A和B，它们的数量积用点号表示为A·B或AB。

2. 数量积的计算公式数量积的计算公式为：A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A与B之间的夹角。

3. 数量积的性质数量积具有以下性质： - 交换律：A·B = B·A - 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C - 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中k为常数 - 零向量的数量积为0：0·A = 04. 数量积的几何意义数量积的几何意义是向量A在向量B方向上的投影与向量B的模长的乘积。

具体而言，如果A与B之间的夹角为锐角，数量积为正；如果夹角为钝角，数量积为负；如果夹角为直角，数量积为零。

5. 数量积的应用数量积在物理学和几何学中有广泛的应用，如： - 计算力的功和功率：功等于力和位移的数量积，功率等于功和时间的数量积。

- 判断向量的正交性：若两个向量的数量积为零，则它们互相垂直。

- 计算夹角的余弦值：夹角的余弦等于两个向量的数量积除以它们的模长的乘积。

二、向量积1. 向量积的定义向量积，也称为叉积或外积，是两个向量的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。

设有两个向量A和B，它们的向量积用叉号表示为A×B。

2. 向量积的计算公式向量积的计算公式为：|A×B| = |A| |B| sinθ，其中|A×B|表示向量积的模长，θ表示A与B之间的夹角。

3. 向量积的性质向量积具有以下性质： - 反交换律：A×B = -B×A - 分配律：A×(B + C) = A×B +A×C - 数乘结合律：(kA)×B = k(A×B)，其中k为常数 - 零向量的向量积为零：0×A = 04. 向量积的几何意义向量积的几何意义是一个与向量A和B都垂直的向量，它的模长等于A、B构成的平行四边形的面积，方向由右手法则确定。

向量的数量积与向量积的计算与性质

向量的数量积与向量积的计算与性质向量是高中数学中的一个重要概念，它不仅在几何学中具有重要意义，也在物理学等学科中有广泛应用。

本文将探讨向量的数量积与向量积的计算方法以及它们的性质。

一、向量的数量积的计算数量积，又称点积或内积，是指两个向量的数量上的乘积。

对于两个向量A和B，在数量上的计算方法为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示两个向量之间的夹角。

例如，假设有向量A(3, 4)和向量B(1, 2)，要计算它们的数量积。

首先，计算向量A和向量B的模，分别为|A|=√(3²+4²)=5和|B|=√(1²+2²)=√5。

然后，计算夹角θ的余弦值cosθ=(A·B)/(|A||B|)=(3*1+4*2)/(5*√5)=0.95。

因此，向量A和向量B的数量积为A·B=5*√5*0.95=4.24。

二、向量积的计算向量积，又称叉积或外积，是指两个向量的向量上的乘积。

对于两个向量A和B，在向量上的计算方法为A×B=|A||B|sinθn，其中|A|和|B|表示向量A和B的模，θ表示两个向量之间的夹角，n表示垂直于平面的单位向量。

例如，假设有向量A(3, 4)和向量B(1, 2)，要计算它们的向量积。

首先，计算向量A和向量B的模，分别为|A|=√(3²+4²)=5和|B|=√(1²+2²)=√5。

然后，计算夹角θ的正弦值sinθ=sinθ=(A×B)/(|A||B|)=(3*2-4*1)/(5*√5)=0.6。

最后，计算n的值，垂直于A和B的平面可以取z轴正方向，所以n=(0, 0, 1)。

因此，向量A 和向量B的向量积为A×B=5*√5*0.6*(0, 0, 1)=(0, 0, 6)。

三、向量的数量积和向量积的性质1. 交换律：向量的数量积满足交换律，即A·B=B·A；而向量的向量积不满足交换律，即A×B=-B×A。

数量积及应用讲解

数量积及应用讲解数量积（dot product），又称内积、点积或标量积，是在向量空间中两个向量的运算。

它将两个向量的长度和夹角的余弦相乘，得到一个标量（数量）。

数量积在几何和物理学中有广泛的应用，例如计算向量的长度、计算向量的夹角、计算向量在某一方向上的分量等等。

本文将对数量积的定义、计算方法以及应用进行详细的讲解。

一、数量积的定义：设有两个n 维向量A 和B，它们的数量积定义为A·B = A B cosθ，其中 A 和 B 分别表示向量A 和向量B 的长度（模），θ表示向量A 和向量B 之间的夹角。

二、数量积的计算方法：设向量A = (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ)，向量B = (b₁, b₂, b₃, ..., bₙ)，则数量积A·B = a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃+ ... + aₙbₙ。

即将两个向量对应分量相乘再相加得到数量积。

三、数量积的性质：1. 对于任意的向量A 和向量B，有A·B = B·A，即数量积的结果与向量的顺序无关。

2. 对于任意的向量A，有A·A = A ²，即一个向量与其自身的数量积等于该向量的长度的平方。

3. 若A·B = 0，则向量A 和向量B 垂直，即夹角为90，反之亦然。

四、数量积的应用：1. 计算向量的长度：设向量A 的数量积A·A = A ²，由此可以得到向量A 的长度 A = √(A·A)。

2. 计算向量的夹角：设向量A 和向量B 的数量积A·B = A B cosθ，根据这个公式可以求得向量A 和向量B 之间的夹角θ。

3. 判断向量的方向：设有一个n 维向量A，若其与某一特定的向量B 的数量积A·B 大于0，则表示向量A 在向量B 的方向上，反之亦然。

4. 计算向量在某一方向上的分量：设向量A = (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ)，向量B = (b₁, b₂, b₃, ..., bₙ)，则向量B 在向量A 的方向上的投影长度为 B cosθ，其中θ表示向量A 和向量B 之间的夹角。

向量的数量积向量积

03
向量数量积满足结合律，即(a · b) · c = a · (b · c)。
几何意义
向量数量积的几何意义是表示 两个向量在垂直于它们夹角平 面的方向上的投影长度之积。
当两个向量的夹角为锐角时， 向量数量积大于0；当夹角为 直角时，向量数量积等于0； 当夹角为钝角时，向量数量
积小于0。
向量数量积可以用于描述两个 向量的相似程度，如果两个向 量的数量积较大，则表示它们
分配律
总结词
分配律是指向量的数量积满足分配律， 即数量积满足线性性质。
详细描述
设$mathbf{A}, mathbf{B}, mathbf{C}$是任意向量，则有 $mathbf{A} cdot (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} cdot mathbf{B} + mathbf{A} cdot mathbf{C}$。
当两向量的夹角为$0^{circ}$时，它们的数量积为正无穷大 ；当夹角为$180^{circ}$时，数量积为负无穷大。
向量积为零的情况分析
01
当两个非零向量的夹角为 $90^{circ}$时，它们的向量积 为零向量。
02
向量积为零可能是由于两个向 量的模长为零，或者两个非零 向量的夹角为$90^{circ}$。
CHAPTER
向量数量积与向量积的注意 事项
零向量的特殊处理
01 零向量与任意向量进行数量积或向量积运算，结 果都为零向量。
02 零向量与零向量进行数量积运算，结果为零。 03 在进行向量积运算时，如果两个向量为零向量，
则结果未定义。
向量夹角的取值范围
向量夹角的取值范围是$0^{circ}$到$180^{circ}$，包括 $0^{circ}$和$180^{circ}$。
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( )
cos ∠ a, b = 0 ,
( )
若 a = 0 或 b = 0 ,则 a ⊥ b , 若 cos ∠ a, b = 0 ,则 a ⊥ b .
1
( )
2.代数性质(运算律) ① ②
a ⋅b = b ⋅ a
(λ a ) b = λ ( a ⋅ b) = a (λb) (a + b) c = a ⋅ c + b ⋅ c ( ) ( )
PA = a , PB = b , PC = c ，
则
AB = b − a , BC = c − b , CA = a − c ∵ PA ⊥ BC , PB ⊥ CA ， PA ⋅ BC = 0 , PB ⋅ CA = 0 a c − b = 0 , 即 ac = ab
B F
A
a
P
E
(
)
b
D
c
C
b a − c = 0 ，即 ab = bc
( ) ( ) ( )
X a Y a Z a = = =
cos α = cos β = cos γ =
X X +Y2 + Z2
2
Y X +Y2 + Z2
2
Z X +Y2 + Z2
2
且 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 证明: ∵ a ⋅ i = X ⋅1 + Y ⋅ 0 + Z ⋅ 0 = X , 又 a ⋅ i = a i cos ∠ a, i = a cos α
P 1P 2 =
2.向量的方向余弦
( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + ( z1 − z2 )
2 2
2
方向角:矢量与坐标轴(或坐标矢量)所成的角.
3
⎧ ∠ a, i = α ⎪ ⎪ a 的方向角 ⎨∠ a, j = β ⎪ ⎪∠ a, k = γ ⎩
定理:设非零矢量 a = X i + Y j + Z k ,则 a 的方向余弦为:
X 1 X 2 + Y1Y2 + Z1Z 2
2 X 12 + Y12 + Z12 X 22 + Y22 + Z 2
.
a ⊥ b ⇔ X 1 X 2 + Y1Y2 + Z1Z 2 = 0
例 2.已知三点 A(1,0,0),B(3,1,1),C(2,0,1),求:①.AB 边长,.②.三角形的内角,.③. BC 在 AB 上的射影. 解: ①. AB = (2,1,1) , AB = 4 + 1 + 1 = 6 ,
∴a = b − c
2 2 2
A
(
)
2
= b − 2b ⋅ c + c = b + c − 2 b c cos ∠ b, c22ຫໍສະໝຸດ 22( )
B
a
b
C
即
a = b + c − 2 b c cos ∠ b, c
2 2 2
2
( )
c
所以, a = b + c − 2bc cos A . (2).设 ΔABC 的 BC 和 CA 边上的高 AD、BE 交于一点 P，连结 CP，再设
( )
∴ a cos α = X
即
cos α = cos β = cos γ =
X a Y a Z a
=
X X 2 +Y2 + Z2 Y X 2 +Y2 + Z2 Z X +Y2 + Z2
2
,
同理:
=
,
=
.
且
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
另有结论: X = a cos α , Y = a cos β , Z = a cos γ , X : Y : Z = cos α : cos β : cos γ .
(
)
所以
ac = bc ，即 c b − a = 0 ，∴ PC ⊥ AB ，因此 P 在第三条高线 CF 上，命题得证。
(
)
③．设直线 a, b, c 在平面π 内，且 n ⊥ a , n ⊥ b , a, b 相交，分别在直线 a, b, c, n 上取非零矢 量 a , b, c , n , 因为 a, b 相交, a, b, c 共面,则有 c = λ a + μ b 又因为 n ⊥ a , n ⊥ b , 则有 所以,
cos ∠ a, b =
( )
a ⋅b a b
=
X 1 X 2 + Y1Y2 + Z1Z 2
2 2 + Y22 + Z 2 X + Y12 + Z12 X 2 2 1
证明: ∵ a ⋅ b = a b cos ∠ a, b , a b ≠ 0 ,
( )
=
∴ cos ∠ a, b =
推论:
( )
a ⋅b a b
∑
3
i =1
b i2
7
证明: 设 因为
§1.7 两向量的数性积(数量积、内积、点积)
一.定义 两个矢量 a 与 b 的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量 a 与 b 的数性积， 记做 a ⋅ b ,或 ab . 即 二.性质 1.几何性质: ①(几何意义)设 a, b 均为非零矢量,有 a ⋅ b = a 射影 a b = b 射影 b a . a ⋅ b = a b cos ∠ a, b .
所以点 P 的坐标为 ( −1, 0, 0 ) 或 ( 9, 0, 0 ) . 例 5. 设矢量 a + 3b 垂直于矢量 7 a − 5b ,矢量 a − 4b 垂直于矢量 7 a − 2b ,试求 a 与 b 间的夹 角. 解: 由题意得,
( a + 3b )( 7a − 5b ) = 7 a ( a − 4b )( 7a − 2b ) = 7 a
b b b
而
a ⋅ λb = λb ⋅ a = λ b ⋅ a = λ a ⋅ b ,
( ) ( )
( ) ( )
所以
(λ a ) b = λ ( a ⋅ b) = a (λb) . ( a + b ) c = c 射影 ( a + b ) = c (射影 a + 射影 b )
c c c
③
= c 射影 c a + c 射影 c b = a ⋅ c + b ⋅ c . 推论: λ a + μ b ⋅ c = λ a ⋅ c + μ b ⋅ c . 例 1.证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和. 证明:如图,在平行四边形 ABCD 中,设
2
当 a = b 时, a ⋅ a = a ,记做: a ⋅ a = a . ②(正交条件) a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 . 证明: ⇒ 设 a ⊥ b ,则 cos ∠ a, b = 0 ,所以 a ⋅ b = 0 .
2
( )
⇐ 设 a ⋅ b = 0 , 即 a ⋅ b = a b cos ∠ a, b = 0 , 则 a = 0 , 或 b = 0 , 或 有
①-②得,
2
2
+ 16a ⋅ b − 15 b = 0
2
2
①
2
− 30a ⋅ b + 8 b = 0
2
②
−23 b + 46a ⋅ b = 0 ,
2 2
即
2ab = b ,
①×15+②×8 得, 161 a − 161 b = 0
2
即
a =b,
所以,
cos ∠ a, b =
( )
a ⋅b a b
1
=
A
② BC = {−1, −1, 0} , BC = 2 , AC = {1, 0,1} , AC = 2
cos ∠ AB, AC =
(
)
AB ⋅ AC AB AC
=
3 3 = 2 6⋅ 2
B
C
∴∠A = ∠ AB, AC =
(
)
π
6 ∴∠B = ∠A =
∵ BC = AC = 2 ,
π
6
, ∠C = π −
即
m + n =2 a + b
(
2
)
}
三. 坐标表示 在空间直角坐标系 o; i, j , k 下, (1). i ⋅ i = 1 , i ⋅ j = 0 , i ⋅ k = 0 , j ⋅ j = 1 , j ⋅ k = 0 , k ⋅ k = 1 , (2).设 a = X 1 i + Y1 j + Z1 k , b = X 2 i + Y2 j + Z 2 k ,则 a ⋅ b = X 1 X 2 + Y1Y2 + Z1Z 2 . 证明:
π
6
−
π
6
=
2π . 3
π⎞ 6 ⎛ . ③.射影 AB BC = BC cos ∠ AB, BC = 2 cos ⎜ π − ⎟ = − 6⎠ 2 ⎝
(
)
例 3. 已知矢量 a 与 x 轴, y 轴所成的方向角分别为α = 60 , β = 120 ,且 a = 2 ,试求 a 的 坐标. 解: 设 a 与 z 轴的夹角为 γ , a 的坐标为 ( X , Y , Z ) ,则
(
)
OA = a , OB = b , OC = m , BA = n ,则 m = a +b , n = a−b
m = a+b