04三角形一边平行线的判定

三角形一边的平行线-知识讲解本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March三角形一边的平行线 知识讲解责编：常春芳【学习目标】1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论；判定定理及推论；以及平行线分线段成比例定理的推导与应用；2、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题；3、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略.【要点梳理】要点一、三角形一边的平行线性质定理及推论1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.要点诠释：(1)主要的基本图形：分A 型和X 型；A 型 X 型（2）常用的比例式：,,AD AE AD AE DB EC DB EC AB AC AB AC=== 3.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.要点诠释：(1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.（2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、三角形一边的平行线判定定理及推论1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.要点诠释：判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).要点三、平行线分线段成比例定理1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；（2）平行线分线段成比例没有逆定理；(3) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.【典型例题】类型一、三角形一边的平行线性质定理1. 如图已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.求证：EF：FD=CA：CB.【答案与解析】过D 作DK ∥AB 交EC 于K 点.则，， 即 又∵AD=BE ，∴.【总结升华】运用三角形一边的平行线性质定理，即只要有平行线就可推出对应线段成比例.举一反三【变式】如图,在⊿ABC, DG ∥EC, EG ∥BC,求证:2AE AB AD =⋅【答案】∵DG ∥EC,∴AD AG AE AC=, ∵EG ∥BC,∴AE AG AB AC =, ABC DEG∴AD AE AE AB=, 即2AE AB AD =⋅.2.已知，△ABC 中，G 是三角形的重心， AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，求BG 的长.【答案与解析】延长BG 交AC 于点D,∵G 是三角形的重心，∴点D 是线段AC 的中点，又∵AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，∴AC=5，即DG=， ∵BG:GD=2:1.∴BG=5.【总结升华】三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.类型二、三角形一边的平行线判定定理3. 如图，AM 是△ABC 的中线，P 是AM 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于E 、D 两点.求证：DE ∥BC.GB C A【答案与解析】延长AM到H，使HM=MP，连接BH、CH∵BM=MC∴四边形BPCH是平行四边形∵BH∥CD，CH∥BE在△ABH和△ACH中，有，∴DE∥BC【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，而两条平行线中的线段与所截得的线段不成比例.举一反三【变式】如图，在△ABC（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P,求证：BP BD CP CE.【答案】过点C作CF∥AB交DP于点F,∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC∴∠EFC=∠FEC∴CF=CE∵CF∥AB∴BP BD CP CF=,即BP BD CP CE=.类型三、平行线分线段成比例定理4. 如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，，求证：EF∥DC．【答案与解析】证明：∵DE∥BC，∴=，∵=，∴=，∴=，∴EF∥DC．【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例．注意找准对应关系，以防错解．举一反三【变式】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A.12B. 2C.25D.35【答案】D提示：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直线l1∥l2∥l3，∴=，。

三角形一边的平行线 知识讲解责编：常春芳【学习目标】1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论；判定定理及推论；以及平行线分线段成比例定理的推导与应用；2、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题；3、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略.【要点梳理】要点一、三角形一边的平行线性质定理及推论1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.要点诠释：(1)主要的基本图形：分A 型和X 型；A 型 X 型（2）常用的比例式：,,AD AE AD AE DB EC DB EC AB AC AB AC=== 3.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.要点诠释：(1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.（2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、三角形一边的平行线判定定理及推论1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.要点诠释：判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).要点三、平行线分线段成比例定理1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；（2）平行线分线段成比例没有逆定理；(3) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.【典型例题】类型一、三角形一边的平行线性质定理1. 如图已知直线截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点且AD=BE.求证：EF：FD=CA ：CB.【答案与解析】过D 作DK ∥AB 交EC 于K 点.则，，即 又∵AD=BE ，∴.【总结升华】运用三角形一边的平行线性质定理，即只要有平行线就可推出对应线段成比例.举一反三【变式】如图,在⊿ABC, DG ∥EC, EG ∥BC,求证:2AE AB AD =⋅ 【答案】∵DG ∥EC,∴AD AG AE AC=, ∵EG ∥BC,∴AE AG AB AC =, ADEG∴AD AE AE AB=, 即2AE AB AD =⋅.2.已知，△ABC 中，G 是三角形的重心， AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，求BG 的长.【答案与解析】延长BG 交AC 于点D,∵G 是三角形的重心，∴点D 是线段AC 的中点，又∵AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，∴AC=5，即DG=，∵BG:GD=2:1.∴BG=5.【总结升华】三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.类型二、三角形一边的平行线判定定理3. 如图，AM 是△ABC 的中线，P 是AM 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于E 、D 两点.求证：DE ∥BC.【答案与解析】延长AM 到H ，使HM=MP ，连接BH 、CH∵BM=MC∴四边形BPCH 是平行四边形GBCA∵BH∥CD，CH∥BE在△ABH和△ACH中，有，∴DE∥BC【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，而两条平行线中的线段与所截得的线段不成比例.举一反三【变式】如图，在△ABC（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P,求证：BP BD CP CE=.【答案】过点C作CF∥AB交DP于点F, ∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC∴∠EFC=∠FEC∴CF=CE∵CF∥AB∴BP BD CP CF=,即BP BD CP CE=.类型三、平行线分线段成比例定理4. 如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，，求证：EF∥DC．【答案与解析】证明：∵DE∥BC，∴=，∵=，∴=，∴=，∴EF∥DC．【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例．注意找准对应关系，以防错解．举一反三【变式】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A.12B. 2C.25D.35【答案】D提示：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直线l1∥l2∥l3，∴=，。

三角形的一边的平行线判定定理及其推论好嘞，今天咱们来聊聊三角形和它的一边的平行线判定定理。

这听起来可能有点枯燥，不过别担心，我会尽量让它变得有趣，咱们就当是在喝茶聊天，轻松一下。

三角形，哎，这个小家伙，虽然形状简单，但在几何里可真是个大明星。

它有三个角、三条边，看似平常，但却隐藏了很多有趣的秘密。

说到平行线，这个词儿你肯定不陌生，生活中到处都是平行线，比如铁轨、马路两旁的树，咱们平时走路、开车都在和它们打交道。

啥是三角形的一边的平行线判定定理呢？想象一下，你有一个三角形，像个披萨切了三角形，感觉都饿了。

现在在这三角形的某一边，咱们要画一条平行线，这条线就得和三角形的一边保持平行。

根据这个定理，如果你能找到一个角的对边与这条平行线相交，哎，你会发现这个三角形的某个角和交点的角是相等的，真是个神奇的现象！就像在舞会上，两个人跳舞时，竟然有一个神秘的默契，动作一模一样。

这个小小的定理告诉我们，平行线和三角形之间的关系其实是非常亲密的。

再说说这个定理的推论，听起来好像很高深，其实不然。

咱们看看，平行线有啥妙用。

比如，在生活中设计房子，建筑师经常得用到这些原理。

他们在画图时，得确保墙壁、窗户和楼梯的设计是多么的和谐，跟平行线就有着密不可分的联系。

你说，这能不重要吗？设计一个好房子，简直就像造一个美丽的梦，谁不想住得舒服呢？再举个例子，咱们在学校学几何的时候，老师总是让我们找角、找边，甚至让我们画图。

每次拿起尺子，哎呀，心里就会想，能不能一次性把这个图画得漂亮些。

掌握了平行线的定理，画三角形就像骑自行车一样，越骑越顺手。

你会发现，只要你能找到平行线和三角形的那些联系，画图再也不会是个麻烦事。

如果说生活是一本书，那么几何就像是其中的一章，虽然有点难懂，但只要细细品味，里面的智慧和乐趣就会慢慢显露。

三角形的一边的平行线判定定理，虽然简单，却在不知不觉中教会我们许多道理。

比如，平行线代表着一种稳定和平衡的状态，就像人际关系中那些相互理解的朋友，总是在一条线上，互不干扰却又相互支持。

三角形一边的平行线判定定理推论-回复题目: 三角形一边的平行线判定定理推论引言：在几何学中，三角形是一个基础的图形，拥有各种有趣和重要的性质。

本文将围绕三角形的一边的平行线判定定理推论展开讨论。

这一定理的推论可以帮助我们更好地理解和分析不同形状的三角形。

在本文中，我们将从基本概念开始，逐步展示证明过程，并通过实际示例和图形加深理解。

一、基本概念1. 平行线：当两条直线在同一平面内且不相交时，我们称这两条直线为平行线。

可以使用符号“”表示平行关系。

二、三角形一边的平行线判定定理三角形ABC中，如果一条直线l与边AB和边AC平行且穿过边BC，则我们可以推断直线l与边AB和边AC上所有点都有关系。

三、证明过程要证明这个定理的推论，我们将从以下三个步骤开始证明：1. 证明线段BC的平行线l与边AB和边AC上的另一直线m平行。

证明方法：由于线段BC与直线l平行，且直线l与直线m穿过同一个点B，则根据平行线判定定理的另一个推论，线段BC与直线m平行。

2. 证明线段BC的平行线l与边AB和边AC上的点集合S1和S2相等。

证明方法：由于线段BC与直线l平行，因此线段BC的一个端点B与直线l上的一个点D之间存在唯一的一条直线。

同理，线段BC的另一个端点C也与直线l上的一个点E之间存在唯一的一条直线。

所以，点集合S1 = {B, C}，点集合S2 = {D, E}。

根据平行线定义，直线l与线段BC上的两个端点之间的直线与边AB和边AC上的点的对应关系是一对一的，因此S1 = S2。

3. 证明线段BC的平行线l与边AB和边AC平行。

证明方法：假设线段BC的平行线l与边AB和边AC不平行，那么根据平行线定义，点B和边AB上的点与点C和边AC上的点之间的直线没有对应关系。

然而，根据第二步的证明结果，线段BC的平行线l与边AB和边AC上的点的对应关系是一对一的。

因此，我们得出结论：线段BC的平行线l与边AB和边AC平行。

四、实际示例和图形为了更好地理解和证明这个推论，我们可以通过绘制一个具体的三角形来说明。

基础知识点三角形一边平行线的判定定理:如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

(由成比例得平行)A如图，若EC AE DB AD =(或AC AE AB AD =或ACEC AB BD =)，则DE//BCD EB C三角形一边平行线的判定定理的推论：如果一条直线截三角形两边的延长线(这两条延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于第三边。

若CE AC BD AB =(或AE AC AD AB =或AC EC AD BD =) 若AC AE AB AD =(或EC AE BD AD =或CEAC BD AB =) 则DE//BC 则DE//BC例题解析例题解析:在△ABC 中，点D 、E 在边AB 、AC 上，根据下列给定的条件，试判断DE 与BC 是否平行？ 并说明理由.(1)AD=3cm ，DB=4cm ，AE=1.8cm ，CE=2.4cm ；(2)AD=6cm ，BD=9cm ，AE=4cm ，AC=10cm;答案：(1)是；(2)不是.变式:在△ABC 中，点D 、E 在边AB 、AC 上，根据下列给定的条件，试判断DE 与BC 是否平行？ 并说明理由.(1)AD=8cm ，AC=16cm ，AE=6cm ，AB=12cm;(2)AB=3BD ，AE=32AC;(3)AB=2BD ，AC=2CE.答案：(1)不是；(2)是；(3)是.例题解析:如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE//BC 的条件是( )。

A.AD:AB=DE:BCB.AD:DB=DE:BCC.AD:DB=AE:ECD.AE:AC=AD:DB 答案:解析：∵AD:DB=AE:EC ，∴DE//BC ，故选:C ．变式:在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判定DE//BC 的是( )。

A.= B.= C.= D.=解析：∵=，∴DE//BC ，选项A 不符合题意；∵=，∴DE//BC ，选项B 不符合题意； ∵=，∴DE//BC ，选项C 不符合题意；=，DE//BC 不一定成立，选项D 符合题意.故选：D ．例题解析:已知:如图，点D ，F 在△ABC 的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE//BC ，ABAD AD AF =，求证:EF//DC. 解答:证明:∵DE//BC ，∴AC AE AB AD =， ∵AB AD =，∴AC AD =，∴ADAC =，∴EF//DC.变式:如图，在△ABC 中，EF//CD ，DE//BC 。

基础知识点三角形一边平行线的判定定理:如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

(由成比例得平行)A如图，若EC AE DB AD =(或AC AE AB AD =或ACEC AB BD =)，则DE//BCD EB C三角形一边平行线的判定定理的推论：如果一条直线截三角形两边的延长线(这两条延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于第三边。

若CE AC BD AB =(或AE AC AD AB =或AC EC AD BD =) 若AC AE AB AD =(或EC AE BD AD =或CEAC BD AB =) 则DE//BC 则DE//BC例题解析例题解析:在△ABC 中，点D 、E 在边AB 、AC 上，根据下列给定的条件，试判断DE 与BC 是否平行？ 并说明理由.(1)AD=3cm ，DB=4cm ，AE=1.8cm ，CE=2.4cm ；(2)AD=6cm ，BD=9cm ，AE=4cm ，AC=10cm;答案：(1)是；(2)不是.变式:在△ABC 中，点D 、E 在边AB 、AC 上，根据下列给定的条件，试判断DE 与BC 是否平行？ 并说明理由.(1)AD=8cm ，AC=16cm ，AE=6cm ，AB=12cm;(2)AB=3BD ，AE=32AC;(3)AB=2BD ，AC=2CE.答案：(1)不是；(2)是；(3)是.例题解析:如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE//BC 的条件是( )。

A.AD:AB=DE:BCB.AD:DB=DE:BCC.AD:DB=AE:ECD.AE:AC=AD:DB 答案:解析：∵AD:DB=AE:EC ，∴DE//BC ，故选:C ．变式:在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判定DE//BC 的是( )。

A.= B.= C.= D.=解析：∵=，∴DE//BC ，选项A 不符合题意；∵=，∴DE//BC ，选项B 不符合题意； ∵=，∴DE//BC ，选项C 不符合题意；=，DE//BC 不一定成立，选项D 符合题意.故选：D ．例题解析:已知:如图，点D ，F 在△ABC 的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE//BC ，ABAD AD AF =，求证:EF//DC. 解答:证明:∵DE//BC ，∴AC AE AB AD =， ∵AB AD =，∴AC AD =，∴ADAC =，∴EF//DC.变式:如图，在△ABC 中，EF//CD ，DE//BC 。