高中数学破题致胜微方法函数的周期性：周期数列 答案不全

高中数学函数的周期性一、函数周期性的认识周期性是函数的一个重要性质，指的是函数在一定的时间间隔内重复出现的规律性。

在函数图像上，这种周期性表现为函数图像的重复形状或模式。

函数周期性的理解对于解决与函数相关的数学问题有着重要的意义。

二、函数周期性的判断判断函数是否具有周期性，可以通过以下步骤进行：1、观察函数的图像，看是否存在重复的模式或形状；2、计算函数值之间的差值，看是否存在固定的差值；3、确定函数的定义域，看是否具有周期性；4、根据函数的性质，确定函数的周期。

三、函数周期性的应用函数周期性在数学中有着广泛的应用。

例如，在三角函数中，正弦函数和余弦函数都是具有周期性的函数，它们的周期与角度有关。

函数周期性在信号处理、图像处理等领域也有着广泛的应用。

四、函数周期性的意义函数周期性是数学中一个重要的概念，它反映了函数变化的规律性。

通过对函数周期性的理解和应用，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，为解决与函数相关的数学问题提供帮助。

函数周期性的概念也渗透到了自然科学和社会科学的各个领域，对于这些领域的研究和发展也有着重要的意义。

高中数学函数的周期性是一个非常重要的概念，对于我们理解函数的性质和解决与函数相关的数学问题都有着重要的作用。

在未来的学习和研究中，我们还需要进一步深入理解和应用函数周期性的概念。

原函数与导函数周期性和奇偶性联系的探究标题：原函数与导函数周期性和奇偶性的探究一、引言在数学分析中，函数的周期性和奇偶性是两个非常重要的性质。

对于一个函数来说，如果其值在每隔一定的区间内重复出现，那么这个函数就被称为具有周期性。

而如果一个函数在与其原点的对称点处的值相等，那么这个函数就被称为具有奇偶性。

这两个性质在很多领域都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。

对于周期函数和奇偶函数，其原函数和导函数之间存在一些有趣的和相互影响。

本文将对此进行深入的探究和分析。

二、原函数与导函数的周期性首先，我们观察一个函数与其导函数之间的周期性关系。

基本知识方法1.周期函数的定义：对于 f (X)定义域内的每一个X ,都存在非零常数T ,使得f(x TH f (X)恒成立，则称函数f (X)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT( k∙ Z,k=O)也是f (X)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (X)的最小正周期2. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y = f X满足对定义域内任一实数X (其中a为常数)，①fx=fχ∙a ,贝U y=fx是以T = a为周期的周期函数；②f X ∙ a = -f X ,则f X是以T ≡2a为周期的周期函数；1③f X ∙ a,贝U f X是以T =2a为周期的周期函数；f(X)④f X a = f X -a ,则f X是以T =2a为周期的周期函数;⑤f (X a) J - f (X),贝U f X是以T =2a为周期的周期函数1+ f(x)⑥f(Xa^-Fff，则fx是以T s为周期的周期函数⑦f(X ∙ a) = 1 f (X),贝y f X是以T =4a为周期的周期函数.1-f(χ)1 .已知定义在R上的奇函数f (X)满足f(X • 2) = -f (X),贝U f⑹的值为A. -1B. 0C. 1D. 2 22(1)设f(x)的最小正周期T =2且f (X)为偶函数，它在区间1.0, 1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间∣1,2 ］上,f (X)=-----------函数的周期性2已知函数f(χ)是周期为2的函数，当-1：：：x：：：1时，f(x) = χ2∙1 , 当19 ：：：X ：：： 21时，f (X)的解析式是___________________3 f X是定义在R上的以2为周期的函数，对k∙ Z ,用I k表示区间2k-1,2k∙11, 已知当X I0时，f X = X2,求f X在I k上的解析式。

3. 1定义在R上的函数f X满足f X A f X 2 ,当X 3,5】时，fπλ(πλf (x )= 2 - X -4 ,贝U A. f sin —JC f cos—; B- f (Sin1 )> f (COSI)；I 6丿V 6 JC2兀、f2兀、C. f . cos一< f . Sin 一: D- f (COS2)A f (sιn2 )I 3 丿I 3 J2 设f (X)是定义在R上以6为周期的函数，f (X)在(0,3)内单调递减，且y = f (X)的图像关于直线X = 3对称，则下面正确的结论是A. f (1.5) ：：f(3.5) ：：f (6.5)B. f (3.5) ：：f(1.5) ：：f(6.5)C. f (6.5) ：： f(3.5) ：：： f (1.5)D. f(3.5) ：：： f (6.5) ：： f (1.5)4.已知函数f(x)是定义在(-∞,+ ∞)上的奇函数，若对于任意的实数X≥0,都有f(x+2)=f(x), 且当x∈［0,2)时，•'；•二’‘工,'— 1 ',贝U f(-2013)+f(2014) 的值为5. 已知是'上最小正周期为2的周期函数，且当' -时，' ,则函数的图象在区间［0,6］上与轴的交点的个数为________________则"沁=6. 已知f(X)为偶函数，且f(2+X)=f(2-X) ,当-2≤X≤ 0 时，一 -；若•「，… 一,7. 已知定义在R 上的奇函数f 迥，满足/(j →) = -ΛJ ),且在区间上是增函数，则()o A: B ： C ：' ■D ：；：廷:密:Y 曲氏A. B.2 + M C. 2 - 2√2D. 29定义在R 上的函数f X ，对任意χ. R ，有f χ . y . f x _y =2f χ f y ，且fOF ,1求证：fO=1 ；2判断f X 的奇偶性；3若存在非零常数c ,使 2,①证明对任意x∙ R 都有f χ ∙ c = -f χ成立;②函数f X 是不是周期函数，为什么？8.已知函数定义在R 上，对任意实数X 有f{τ) I 2v2,若函数 "=1'的图象关于直线对称,,则」(则"沁=8.已知f (X)是定义在R 上的奇函数，满足f (X • 2) = - f (X),且χ∙ [0, 2时， f(x)= 2x- X . 1求证：f (X)是周期函数；2当χ∙ [2, 4]时，求f(x)的表达式；3 计算 f (1) +f (2) +f ( 3) +……+f (2013)9. ( 05朝阳模拟)已知函数f (X)的图象关于点-3,0对称，且满足f(x)--f(χP), I 4丿2课后作业：1. ( 2013榆林质检)若已知f(x)是R 上的奇函数，且满足f(χ∙4)=f(x),当X 0时，f(x)=2χ2 ,贝U f(7)等于 A -2B. 2C.-98D. 982. 设函数f X ( X ∙ R )是以3为周期的奇函数，且 f 11, f 2 = a ,则A. a 2B. a —2C. a 1D. a -13.函数f(x)既是定义域为 R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f (X)在∣-1,0 1上是减函数，那么 f (X)在∣2,3 1上是A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数,记 f n (X )= f{ f [ f f (X )]},则 f 2007 (X) X 1 n 个 fI 3 I5.已知定义在R 上的函数f (X)满足f(X ^-f x - ,且 f -2=3，则 f (2014)=6.设偶函数 f (x)对任意X R , 1,且当X t 3,-2]时, f(x)f (X )=2x , A.--7则 f (113.5)= B. - C.-7D.- 57.设函数 f (X)是定义在R 上的奇函数，对于任意的1 - f(X ) χ∙ R ,都有 f(x T)= 1 f(X),当 O ：： X ≤ 1 时，f (X) =2x ,则 f(11∙5A.1 -1B. 1C.-2又f (-1) =1 , f(0) 一2 ,求f (1) f(2) f (3)…f (2006)的值高考真题：1. f (x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且 f(2)=0在区间0,6内解的个数的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 52.定义在R 上的函数f(x)满足f (x ∙6) = f(x),当-3 ≤ X ” T 时，2f(x) =p x 2 ,当-1 ≤ X ：：3时，f (X) =X ,则 f(1) f(2) f(3) —f (2012)=A. 335B. 338C. 1678D. 20123•已知函数f (x)为R 上的奇函数，且满足 f(χ∙2)=-f(x)， 当 0 ≤ X <1 时，f(x) X ,贝U f (7.5)等于 A 0.5B. -0.5C. 1.5D. -1.514.函数f X 对于任意实数X 满足条件f X • 2,若f 1 - -5 ,f(X )则 f f 5= ___________7.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且 目=f (X)的图象关于直线对称，则 f (1) f (2)f(3) f(4) f(5)=8.设函数 f (x)在上满足 f (2 -x) = f (2 ∙ x), f (7 -x) = f (7 ∙ x),且在闭区 间 0,7 1 上，只有 f(1)= f(3) =0 .(I )试判断函数 y = f (X)的奇偶性；(∏)试求方程f(X) =0在闭区间∣-2005,20051上的根的个数，并证明你的结论.5.已知 f (x)是周期为2的奇函数，当0：：：x”：1时，f(x) 3 5=f( ), c= f(),则2 2 设 a = f (6),b5 A. a ：：： ：：：C. C ：：： b ：：： a =Ig X.D. c ：： a b 6.定义在R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若f (X)的最小正周期是二，且当 χ∙ [0, 2] ^, f (X H SinX ,则 f5T 的值为A. -12B.丄2C. 一 3D. 23。

高一数学周期函数知识点汇总周期函数是数学中的一种特殊函数类型，其具有重复出现的特点。

在高一数学学习中，周期函数是一个重要的知识点。

本文将对高一数学周期函数的相关知识进行汇总，以帮助学生更好地理解和掌握这一内容。

一、周期函数的定义和性质周期函数指的是具有周期性质的函数。

周期函数的定义如下：若对于任意实数x，都有f(x+T)=f(x)，其中T>0为周期，那么函数f(x)就是周期函数。

周期函数具有以下几个性质：1. 周期函数在一个周期内的取值是相等的。

2. 周期函数的图像在每个周期内是对称的。

3. 周期函数的最小正周期是所有周期中最小的一个。

4. 若f(x)是周期函数，则对于任意的整数n，f(x+nT)=f(x)，其中T为最小正周期。

二、常见的周期函数类型在高中数学中，有几类常见的周期函数，分别是：1. 常函数：f(x)=c，其中c为常数。

常函数是一种特殊的周期函数，其任意实数都是它的周期。

2. 正弦函数：f(x)=sin(x)。

正弦函数的最小正周期是2π。

3. 余弦函数：f(x)=cos(x)。

余弦函数的最小正周期也是2π。

4. 正切函数：f(x)=tan(x)。

正切函数的最小正周期是π。

5. 指数函数：f(x)=a^x，其中a>0且a≠1。

指数函数以a为底的指数函数的最小正周期是lna。

6. 对数函数：f(x)=loga(x)，其中a>0且a≠1。

对数函数以a为底的对数函数的最小正周期是1。

三、周期函数的图像特点周期函数的图像具有一些特点，对于学生来说，通过观察并了解这些特点，可以更好地理解周期函数的性质。

1. 常函数的图像是一条水平直线，与x轴平行。

2. 正弦函数的图像是一条上下波动的曲线，称为正弦曲线。

在一个周期内，正弦曲线的最大值为1，最小值为-1。

3. 余弦函数的图像也是一条上下波动的曲线，称为余弦曲线。

与正弦曲线相比，余弦曲线的最大值和最小值的位置有所不同。

4. 正切函数的图像在每个周期内都会出现无穷多个间断点，这些点的位置由tan(x)=0确定。

高中数学-函数的周期性及题型x ，使f(x T) f(x)恒成立则f (x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二•基本结论:1、设函数y=f(x)的定义域为D ，x € D,存在非0常数T ,有f(x+T)=f(x) f f(x)为周期函数，T 为f(x)的一个周期;若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。

1y=f(x)满足f(x+a)= f x (a>0),则f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。

1X (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

T= n /| w|周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法;周期不变(如：y=|cos2x| 的周期是n /2 ，y=|cotx| 的周期是n.【经典例题赏析】例1、设f(x)是(-X ，+ X )上周期为 2的奇函数，当 0 < x < 1时,［解析］:由题意可知，f(2+x) = f(x) f(7.5) = f(8-0.5)= f(-0.5) =- f(0.5) =-0 .5当x 10时，f (x) x 2.求f (x)在I k 上的解析式例2.设f (x)是定义在区间()上且以2为周期的函数，对 k Z ，用l k 表示区间(2k 1,2k 1),已知•定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任 若函数f x a f x a，则f x是以T 2a 为周期的周期函数若函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x a)』1 f(x)，则 f(x a)Lfx!1 f(x)，则f x是以T 2a 为周期的周期函数. f x是以T4a为周期的周期函数.正弦、余弦函数的最小正周期为2 n ， 函数y=Asin( w x+ $)和y=Acos( w x+ $)的最小正周期是 T = 2 n | w|正切、余切函数的最小正周期为n,函数y=Atan( w x+ $)和 y=Acot( cdx+ ◎的周期是10、 11、 一般地，sin w x 和cos w x 类函数加绝对值或平方后周期减半,tan w x 和cot w x 类函数加绝对值或平方后f(x)=x,求 f(7.5)解：设x (2k 1,2k 1), 2k 1 x 2k 1 1 x 2k 1x2I 0 时，有f (x) x ,由 1 x 2k 1得f(x2k)2(x 2k)2f (x) 是以2 为周期的函数， f (x 2k) f(x),f(x)2(x 2k).例3 ．设f (x) 是定义在( ,) 上以 2 为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间2,3上，f(x)2(x 3)2 4.求x1,2时，f (x)的解析式.解：当x 3, 2 ，即x2,3 ，f(x) f( x)2( x3)2 4 2(x 3)24又f (x) 是以 2 为周期的周期函数，于是当x 1,2 ，即3 x 4 2时，有f(x) f(x 4)22f(x) 2(x 4) 3 24 2(x 1)24(1 x 2).f (x) 2(x 1)2 4(1 x 2).例4.已知f (x)的周期为4，且等式f(2 x) f (2 x)对任意x R均成立，判断函数f (x)的奇偶性解：由f (x)的周期为4，得f (x) f (4 x)，由f (2 x) f (2 x)得f( x) f (4 x)，f( x) f (x),故f (x)为偶函数.[3,4]上是增函数针对性课堂练习1、在 R 上定义的函数 f(x) 是偶函数，且 f(x)f (2 x) . 若 f (x) 在区间 [1,2] 上是减函数，则上是减函数，在区间A. 在区间 [ 2, 1]上是增函数，在区间 [3,4] 上是减函数B. 在区间 [ 2, 1]上是增函数，在区间[3,4] 上是减函数f (x) ( )C. 在区间 [ 2, 1]D. 在区间[ 2, 1] 上是减函数，在区间[3,4] 上是增函数2、f x f 398 x f 2158 x f 3214 x ，则f 0f2 f 999f 999中最多有（）个不同的值.A.165B.177C.183D.1993、函数f （x）在R上有定义，且满足f（x）是偶函数，且f 0 2005gx是奇函数，则f 2005的值为（。

高中数学周期性常用结论
1. 三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数的周期均为2π；
2. 函数的周期性：函数f(x)的周期T是满足f(x+T)=f(x)的最小正数；
3. 周期性的性质：函数的最大周期是其定义域的周期；
4. 周期性的极限：当x趋近于某一极限时，函数的周期性也会趋近于某一极限；
5. 周期性的对称性：函数f(x)的周期T是满足f(x+T/2)=f(-x+T/2)的最小正数；
6. 周期性的积分：函数f(x)的周期T是满足∫f(x)dx=0的最小正数；
7. 周期性的微分：函数f(x)的周期T是满足f'(x+T)=f'(x)的最小正数；
8. 周期性的变换：函数f(x)的周期T是满足f(ax+b)=f(x)的最小正数。

高一数学必修一函数周期性和奇偶性经典题型函数的奇偶性与周期性提高精讲定义：奇函数与偶函数是指函数f(x)在定义域内的任意一个x（定义域关于原点对称），都满足f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的函数。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

常用结论：对于两个奇函数或两个偶函数，它们的和是偶函数，差是奇函数。

而对于一个偶函数和一个奇函数，它们的和是奇函数，差是偶函数。

周期函数是指存在一个非零常数T，使得函数y=f(x)在定义域内的任何值x，都满足f(x+T)=f(x)的函数。

T被称为这个函数的周期。

常见结论：1）若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a。

2）若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为2a。

3）若f(x+a)=f(x)，且a>0，则函数的周期为2a。

4）若f(x+a)=-f(x)，且a>0，则函数的周期为2a。

对称函数是指函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)的函数，其中a和b为常数。

这种函数的图像关于直线x=(a+b)/2对称。

练题：1.若函数f(x)=(2x+1)/x是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(-∞,-1)。

2.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=e^x，则g(x)=(e^x-e^-x)/2.3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x^2-4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为(4,∞)。

4.设偶函数f(x)=x^3-8(x≥0)，则{x|f(x-2)>0}={x|x4}。

给定函数 $y=f(x)$，定义在区间 $[-1,1]$ 上，是一个减函数且是奇函数。

如果 $f(a^2-a-1)+f(4a-5)>0$，求实数 $a$ 的取值范围。

假设函数 $y=f(x)$ 定义在区间 $[-1,1]$ 上，且为减函数和奇函数。

现在，如果 $f(a^2-a-1)+f(4a-5)>0$，那么需要找出实数 $a$ 的取值范围。

智才艺州攀枝花市创界学校理解三角函数的周期性问题的提出：等式sin(2π)sin ()x k x k +=∈Z ，及cos(2π)cos ()x k x k +=∈Z 成立，sin y x x =∈R ，和cos y x x =∈R ，的图象每隔2π重复．函数周期性定义：对于函数()f x ，假设存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． 1． 理解定义时，要抓住定义域内任一个x 都满足()()f x T f x +=成立才行 如：πππsin sin 424⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5ππ5πsin sin 424⎛⎫+= ⎪⎝⎭，但πππsin sin 626⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭， π2∴不是sin y x =的周期． 周期并不惟一，假设T 是()y f x =的周期，那么2T 也是()y f x =的周期． 这是因为(2)[()]()()f T x f T T x f T x f x +=++=+=；假设T 是()y f x =的周期，k ∈Z 且0k ≠，那么kT 也是()f x 的周期． 2π是函数sin y x =和cos y x =的周期，那么2π(0)k k k ∈≠Z 且也是sin y x =和cos y x =的周期．2． 最小正周期的概念假设在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．例如：函数sin y x =的周期2π2π4π4π--，，，，…中，存在最小正数2π，那么2π就是sin y x =的最小正周期．函数cos y x =的最小正周期也是2π．例1 求以下函数的最小正周期T ．〔1〕()3sin f x x =；〔2〕()sin 2f x x =；〔3〕1π()2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 解：〔1〕()3sin 3sin(2π)(2π)f x x x f x ==+=+，最小正周期2πT =． 〔2〕()sin 2sin(22π)sin 2(π)(π)f x x x x f x ==+=+=+，最小正周期πT =；〔3〕1π1π()2sin 2sin 2π2424f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1π2sin (4π)(4π)24x f x ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦， 最小正周期4πT =．总结一般规律：sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期是2πω；tan()y A x ωϕ=+的最小正周期是πω．例2求证：1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2π． 证明：1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2π4π12=， 根据函数的图象特征，可知函数的周期减半，故其周期为2π． 注：遇到求形式较复杂的函数的周期时要结合函数图象处理．。

高中数学函数基础解题的关键：12个抽象函数的周期性重要总结
高中数学函数中抽象函数的周期没有具体公式，它需要掌握一定的规律，记住一些抽象函数的格式。

往往这部分是函数基础解题的一些关键点！
所以下面小编把12个抽象函数的周期性重要总结给大家罗列出来！大家一定稍有用心的去记一下！
另外，清北学霸高考必备资料库中关于数学函数基础完全突破有专门的一个系列，将高考中，函数常考的五种类型进行解题技巧提高的攻关，而针对函数的周期性也有12个细分精讲。

函数是高中数学的基础根本，所以大家一定要掌握好这部分！
小编想说成绩取决于每个人的学习能力，而学习能力取决于，能否构建健全的知识体系，衡中的学霸，都有属于自己的学习体系！所以，无论是贪玩的学生，还是苦学的学生，成绩上不来，本质就是知识体系不健全或有漏洞。

希望同学们能够从自己薄弱的科目入手！
微信
2475026381
即刻添加免费领取清北学霸笔记，更多学习方法、学习技巧等着你！
清北学霸从实战中总结高考潜规则，解读出题规律，带你了解高考潜规则，学会逆向思维，一体化学习，掌握高分攻略，快速攻克考点、难点、易错点、薄弱点！
试想一下：如果学生高一就掌握某种正确满分模板，每一次考试都对模板进行熟悉，经过三年的熟悉，最后会达到一个什么样的状况？
好了。

下面是本文的主题：12个抽象函数的周期性重要总结！！。

1在研究函数时，我们学习过周期函数，类比数列，有一些数列也有周期性。

今天我们就来研究周期数列及其相关性质。

先看例题例：已知数列{a n }满足：11+=2,1n n a a a +=-且，则2016a =根据已知，可以求得：23a =，31a =-，43a =51a =-，63a =由此可知，数列{a n }是摆动数列，-1,3,-1,3,-1,3……所以该数列为：奇数项为-1偶数项为3，则20163a =周期数列对于数列{a n }，如果存在一个常数T ，使得对任意的正整数i 恒有i i T a a +=成立，则称数列{a n }是周期为T 的周期数列先写出数列{a n }的前几项，观察发现规律，找到周期T.再看一个题目，加深印象。

2练：数列{a n }满足：*1112,()1n n na a a n N a ++==∈-则2017a = 根据已知，可以先写出几项的值，找到规律： 如23,a =-31,2a =-413a =52,a = 于是发现，21n n a a +=-类比周期函数的性质，可知：422211()1n n n na a a a a +++==-=-=- 所以可知，数列是以4为周期的周期数列，4n n a a += 注意：我们也可以通过计算3111111n n n n n a a a a a +--==++，再计算a 4的值， 但这种计算比较复杂，不建议使用。

又因为20172016145041=+=⨯+所以201712a a ==总结：1.明确周期数列的概念，以及通项形式2.当没有思路时，通过观察几项的值，找到数列规律3练习：1.数列{a n }的通项公式cos 12n n a π=+,前n 项和为S n ,则S2012=________.2.数列{a n }满足：*11513(),2,37n n n a a n N a a +-=∈=-则2017a =。