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数列的概念 数列的函数特性基础过关练题组一 对数列概念的理解1.下列说法正确的是 ( ) A.1,2,3,4,…,n 是无穷数列B.数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列C.同一个数在数列中不能重复出现D.数列{2n +1}的第6项是13 2.下面四个结论:①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n })上的函数; ②数列若用图像表示,从图像上看都是一群孤立的点; ③数列的项数是无限的; ④数列的通项公式是唯一的.其中正确的是 ( ) A.①② B.①②③ C.②④ D.①②③④ 题组二 数列的通项公式3.数列23,45,67,89,…的第10项是 ( )A.1617B.1819C.2021D.22234.(2019山东菏泽高二期末)设a n =1n +1n +1+1n +2+1n +3+…+1n 2(n ∈N +),则a 2= ( )A.12B.12+13C.12+13+14D.12+13+14+155.(2020河南南阳高二下期中)已知数列√2,2,2√2,4,…,则16√2是这个数列的(深度解析) A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项6.数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的通项公式为 ( )A.a n =19(10n-1) B.a n =29(10n-1)C.a n =13(1-110n )D.a n =310(10n-1)7.如图是关于星星的图案,每个图案中的星星数可构成一个数列,则该数列的一个通项公式是 ( )A.a n =n 2-n +1 B.a n =n (n -1)2C.a n =n (n +1)2D.a n =n (n +2)28.下列各数中,是数列{n (n +1)}中的一项的是 ( ) A .380 B .29 C .32 D .239.设a n =1n +1+1n +2+1n +3+…+12n (n ∈N +),那么a n +1-a n 等于 ( ) A.12n +1 B.12n +2C.12n +1+12n +2D.12n +1-12n +210.数列4,6,8,10,…的一个通项公式为 . 题组三 数列的性质11.已知数列{a n }的通项公式是a n =n3n +1,那么这个数列是( )A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列12.设函数f (x )={(3-n )n -3,n ≤7,n n -6,n >7,数列{a n }满足a n =f (n ),n ∈N +,且数列{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是 ( )A.(94,3)B.[94,3) C.(1,3) D.(2,3)13.若数列{a n }为递减数列,则{a n }的通项公式可能为 (填序号). ①a n =-2n +1;②a n =-n 2+3n +1;③a n =12n;④a n =(-1)n.能力提升练一、选择题 1.()给出以下通项公式:①a n =√22[1-(-1)n];②a n =√1-(-1)n;③a n ={√2,n 为奇数,0,n 为偶数.其中可以作为数列√2,0,√2,0,√2,0,…的通项公式的是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③2.(2021陕西西安一中高二上第一次月考,)已知数列{a n }中,a 1=1,(n +1)a n =na n +1,则a 12=( )A.11B.12C.13D.14 3.()把3,6,10,15,21,…这些数叫作三角形数,这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图),则第7个三角形数是( )A.28B.29C.32D.36 4.()已知数列{a n }中,a 1=3,a n +1=-1nn +1(n ∈N +),能使a n =3的n 可以为 ( )A.17B.16C.15D.14 5.(2019山东烟台招远一中高二月考,)已知a n =n -√79n -√80(n ∈N +),则在数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是 ( ) A.a 1,a 50 B.a 1,a 8 C.a 8,a 9 D.a 9,a 50 6.()在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +lg (1+1n),则a n =( )A.2+lg nB.2+(n -1)lg nC.2+n lg nD.1+n lg n 二、填空题 7.()斐波那契数列(Fibonaccisequence),又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:0,1,1,2,3,5,8,13,21,…,则该数列的第12项为 .8.(2020安徽宣城高一下期末,)已知a n =n 2-tn +2020(n ∈N +,t ∈R),若数列{a n }中的最小项为第3项,则t 的取值范围为 .易错 9.()某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f (n )个小正方形,则f (6)= .……10.()在数列{a n }中,a 1=a ,a 2=b ,a n +1+a n -1=a n (n ≥2且n ∈N +),则a 2020= .三、解答题 11.()写出下列数列的一个通项公式.(1)-11+1,14+1,-19+1,116+1,…; (2)2,3,5,9,17,33,…; (3)12,25,310,417,…;(4)-13,18,-115,124,….12.()在数列{a n }中,a n =(n +1)(1011)n.(1)讨论数列{a n }的单调性; (2)求数列{a n }的最大项.答案全解全析 第一章 数列 §1 数列 1.1 数列的概念1.2 数列的函数特性基础过关练1.D 数列1,2,3,4,…,n ,共n 项,是有穷数列,A 错误;数列中的项是有次序的,B 错误; 数列中的数可以重复出现,C 错误;当n =6时,2×6+1=13,D 正确.2.A 易知①②正确;数列的项数可以是有限的,也可以是无限的,③错;数列的通项公式可能不唯一,比如数列1,0,-1,0,1,0,-1,0,…的通项公式可以是a n =sinn π2,也可以是a n =cos(n +3)π2,④错.故选A .3.C 由题意知数列的通项公式是a n =2n2n +1(n ∈N +),所以a 10=2×102×10+1=2021.故选C . 4.C ∵a n =1n +1n +1+1n +2+1n +3+…+1n 2(n ∈N +),∴a 2=12+13+14.故选C .5.B 可将数列改写为√2,(√2)2,(√2)3,(√2)4,…,由此可归纳出该数列的通项公式为a n =(√2)n ,又16√2=(√2)9,所以其为该数列的第9项. 方法总结要判断某一个数是不是数列中的项,其实就是看相应方程有没有正整数解.6.C 数列0.9,0.99,0.999,0.9999,…的通项公式为1-110n ,而数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的每一项都是上面数列对应项的13,故选C .7.C 从题图中可观察星星的构成规律,当n =1时,有1个;当n =2时,有3个;当n =3时,有6个;当n =4时,有10个;……, ∴a n =n (n +1)2.故选C .8.A 令380=n (n +1),即n 2+n -380=0, 解得n =19或n =-20(舍去), 所以380是{n (n +1)}中的第19项. 同理,可检验B 、C 、D 不是该数列中的项.9.D 由题意知a n +1=1n +2+1n +3+…+12n +12n +1+12n +2,所以a n +1-a n =12n +1-12n +2. 10.答案 a n =2n +2解析 各项是从4开始的偶数,所以a n =2n +2. 11.A 因为a n =n 3n +1=13(3n +1)-133n +1=13-13(3n +1)是关于n 的增函数,所以数列{a n }是递增数列.12.D 由a n =f (n ),n ∈N +是递增数列可得{3-n >0,n >1,n (8)>n (7),即{3-n >0,n >1,n 2>18-7n ,解得2<a <3.13.答案 ①③解析 分别作出函数y =-2n +1和y =12n的图像(图略),由图像可知①③中的数列{a n }为递减数列.②中第1项和第2项相等,故不是递减数列.④是摆动数列.能力提升练一、选择题1.D 经代入检验,①②③均可作为已知数列的通项公式.2.B ∵(n +1)a n =na n +1,∴n n n =nn +1n +1, ∴数列{n n n }是常数列,nn n =n 11=1,∴a n =n ,∴a 12=12.故选B.3.D 设3,6,10,15,21,…为数列{a n },则a n =(n +1)(n +2)2,当n =7时,a 7=8×92=36.4.B 由a 1=3,a n +1=-1n n+1,得a 2=-14,a 3=-43,a 4=3,所以数列{a n }是周期为3的周期数列,则由选项知a 16=3,故选B . 5.C 因为y =√79n -√80=1+√80-√79n -√80在(-∞,√80)上单调递减,在(√80,+∞)上单调递减,所以当x ∈(-∞,√80)时y ∈(-∞,1),此时a n ∈[a 8,a 1]⊆(-∞,1),当x ∈(√80,+∞)时y ∈(1,+∞),此时a n ∈[a 50,a 9]⊆(1,+∞),因此数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别为a 8,a 9. 6.A 解法一:由已知得a n +1-a n =lgn +1n, 所以a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1 =lgn n -1+lg n -1n -2+lg n -2n -3+…+lg 21+2 =lg (nn -1×n -1n -2×n -2n -3×…×32×21)+2 =2+lg n.解法二:由a n +1=a n +lg (1+1n )得a n +1=a n +lg(n +1)-lg n ,所以a n +1-lg(n +1)=a n -lg n =a 1-lg1=2,即数列{a n -lg n }是常数列,且a n -lg n =2,所以a n =2+lg n. 二、填空题 7.答案 89信息提取 ①该数列的前9项分别为0,1,1,2,3,5,8,13,21;②求该数列的第12项.数学建模 本题为涉及数学文化的情境题,从“兔子数列”的前几项入手,挖掘出其内在规律:从第3项起,每1项均等于前面两项之和,便可求得其第12项.解析 记“兔子数列”为{a n },则a 10=a 8+a 9=13+21=34,a 11=a 9+a 10=21+34=55,a 12=a 10+a 11=34+55=89,即第12项为89.8.答案 (5,7)解析 函数y =x 2-tx +2020的图像是开口向上的抛物线,其对称轴为直线x =n2,因为数列{a n }中最小项为第3项, 所以52<n 2<72,解得5<t <7. 易错警示将数列的通项a n 看作是关于n 的函数时,要特别注意以下两点:一是其相应的函数图像是由一群离散的点组成的,二是其定义域为正整数集或正整数集的子集. 9.答案 61解析 f (1)=1=2×1×0+1,f (2)=1+3+1=2×2×1+1, f (3)=1+3+5+3+1=2×3×2+1, f (4)=1+3+5+7+5+3+1=2×4×3+1,故f (n )=2n (n -1)+1.当n =6时,f (6)=2×6×5+1=61. 10.答案 -a解析 由已知得a n +1=a n -a n -1,所以a 3=a 2-a 1=b -a ,a 4=a 3-a 2=-a ,a 5=a 4-a 3=-b ,a 6=a 5-a 4=a -b ,a 7=a 6-a 5=a ,……, 所以数列{a n }是以6为周期的周期数列,而2020=336×6+4,所以a 2020=a 4=-a. 三、解答题11.解析 (1)∵第n 项的符号为(-1)n ,分子都是1,分母是n 2+1, ∴a n =(-1)n·1n 2+1.(2)∵a 1=2=1+1,a 2=3=2+1,a 3=5=22+1,a 4=9=23+1,a 5=17=24+1,a 6=33=25+1,……,∴a n =2n -1+1. (3)∵a 1=12=112+1,a 2=25=222+1,a 3=310=332+1,a 4=417=442+1,……,∴a n =n n 2+1.(4)∵a 1=-13=-11×3,a 2=18=12×4,a 3=-115=-13×5,a 4=124=14×6,……,∴a n =(-1)n·1n (n +2).12.解析 (1)由题意知a n >0,令n nn n -1>1(n ≥2), 即(n +1)(1011)n n (1011)n -1>1(n ≥2),解得2≤n <10,即a 9>a 8>…>a 1. 令n nnn +1>1,即(n +1)(1011)n (n +2)(1011)n +1>1,整理,得n +1n +2>1011,解得n >9,即a 10>a 11>….又n 9n 10=1,所以数列{a n }从第1项到第9项递增,从第10项起递减.(2)由(1)知a 9=a 10=1010119最大.。
