1.3等比数列的性质 第2课时教案(北师大版必修五)

《等比数列》【知识与能力目标】正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列,了解等比数列在生活中的应用。

【过程与方法目标】通过对等比数列概念的归纳，培养学生严密的思维习惯；通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维能力并进一步培养学生善于思考，解决问题的能力。

启发式和讨论式相结合,类比教学【情感态度与价值观】培养学生勇于探索、善于猜想的学习态度，实事求是的科学态度，调动学生的积极情感，主动参与学习，感受数学文化。

【教学重点】等比数列的概念和通项公式。

【教学难点】1、在具体问题中抽象出数列的模型和数列的对比关系；2、对比数列与等差数列的关系。

（一）复习回顾师出示课件第2页，回顾之前了解的关于等差数列的知识，带领学生进行一个简短的复习。

请同学们回忆一下等差数列的定义和什么是等差中项。

1.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等比数列的公差。

公差通常用字母d表示.2.由三个数a,A,b组成的等差数列，A叫做a与b的等差中项。

（二）等比数列1、引例打开课件第3页①如下图是某种细胞分裂的模型：细胞分裂个数可以组成下面的数列：1，2，8，16…②我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。

这样，每日剩下的部分都是前一日的一半。

如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么，得到的数列是：打开课件第5页。

北师大版高中数学必修5：第2课时 等比数列的性质内 容 标 准学 科 素 养 1.理解等比数列的单调性与首项a 1及公比q 的关系，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.2.掌握等比中项的概念，会求同号两数的等比中项.3.掌握等比数列的有关性质，并能综合应用解决有关问题.加强定义理解 精确性质应用 提升数学运算授课提示：对应学生用书第20页[基础认识]知识点一 等比数列的单调性观察下面几个等比数列中项的变化趋势，指出它们的单调性．(1)－1，－12，－14，－18，－116，…(2)9，3，1，13，19，…(3)－1，－2，－4，－8，－16，…(4)1，－13，19，－127，181，…(5)2，2，2，2，2，…提示：(1)项是增加的，且a 1＜0，0＜q ＜1，是单调递增数列． (2)项是减小的，且a 1＞0，0＜q ＜1，是单调递减数列． (3)项是减小的，且a 1＜0，q ＞1，是单调递减数列． (4)项是摆动的，a 1＞0，q ＜0，不是单调数列． (5)项是不变的，a 1＞0，q ＝1，是常数列． 公比q 单调性首项a 1 q ＜0 0＜q ＜1 q ＝1q ＞1 a 1＞0 不具备单调性 递减数列 不具备单调性 递增数列 a 1＜0 不具备单调性 递增数列 不具备单调性递减数列1．在2，8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？提示：设这个数为G ，则G 2＝8G，G 2＝16，G ＝±4，所以这样的数有2个．2．若a ，G ，b 成等比数列，能得出什么结论？提示：因为a ，G ，b 成等比数列，所以G a ＝bG，所以G 2＝ab .如果在a 与b 中间插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，Ga＝bG，G 2＝ab ，G ＝±ab ，我们称G 为a ，b 的等比中项． 2．等比中项与等差中项的异同，对比如下表 对比项 等差中项 等比中项定义若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫作a 与b 的等差中项 若a ，G ，b 成等比数列，则G 叫作a ，b 的等比中项定义式 A －a ＝b －A G a ＝b G 公式 A ＝a ＋b 2G ＝±ab个数 a 与b 的等差中项唯一 a 与b 的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数a 与b 都有等差中项只有当ab ＞0时，a 与b 才有等比中项知识点三 等比数列的性质 思考并完成以下问题给出以下两个等比数列{a n }． ①1，2，4，8，…； ②1，－3，9，－27，…. (1)在上述每一个数列中，请你计算a 2·a 6与a 3·a 5的值，看它们有什么关系？若计算a 1·a 5与a 2·a 4呢？提示：a 2·a 6＝a 3·a 5；a 1·a 5＝a 2·a 4. (2)在上述每一个数列中，a 2·a 6；a 3·a 5的值与a 4的值有什么关系？a 1·a 5；a 2·a 4与a 3的值呢？ 提示：a 2·a 6＝a 3·a 5＝a 24；a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23.知识梳理 类比等差数列的性质得出等比数列的一些性质如下： 若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则(1)a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N ＋)．(2)若m ＋n ＝s ＋t ＝2k (m ，n ，s ，t ，k ∈N ＋)，则a m ·a n ＝a s ·a t ＝a 2k . (3){c ·a n }(c 是非零常数)是公比为q 的等比数列． (4){|a n |}是公比为|q |的等比数列．(5)若{a n }、{b n }分别是公比为q 1、q 2且项数相同的等比数列，则数列{a n ·b n }是公比为q 1·q 2的等比数列．[自我检测]1．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：由于公比q ＝－14＜0，所以数列{a n }是摆动数列．答案：D2．2＋3和2－3的等比中项是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．2解析：设2＋3和2－3的等比中项为G ，则G 2＝(2＋3)(2－3)＝1，∴G ＝±1. 答案：C3．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于______．解析：由a 5＝a 2·q 3，得q 3＝a 5a 2＝142＝18，所以q ＝12.答案：12授课提示：对应学生用书第21页 探究一 等比数列的性质[例1] 已知{a n }为等比数列．(1)若a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25.求a 3＋a 5.(2)若a n ＞0，a 5a 6＝9.求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．[解题指南] (1)由等比数列性质得a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，从而得解． (2)由等比数列性质得a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝a 5a 6，从而进行求解．[解析] (1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25， ∵a n ＞0，∴a 3＋a 5＞0，∴a 3＋a 5＝5. (2)根据等比数列的性质，得a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10 ＝log 3(a 1a 2…a 9a 10) ＝log 395＝10.方法技巧 等比数列的常用性质性质1：通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N ＋)．性质2：若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .性质3：若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列．性质4：在等比数列{a n }中距首末两端等距离的两项的积相等，即a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝…. 性质5：在等比数列{a n }中，序号成等差数列的项仍成等比数列． 跟踪探究 1.(2019·朝阳区模拟)已知等比数列{a n }各项均为正数，公比为q ，满足a n ＋1＜a n ，a 2a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则q 2＝( ) A.53 B.49 C.59 D.23解析：∵a 4a 6＝a 2a 8＝6，a 4＋a 6＝5，等比数列{a n }各项均为正数，解得a 4＝3，a 6＝2，∴q 2＝a 6a 4＝23.故选D. 答案：D2．已知等比数列{a n }的公比为正数，且4a 2a 8＝a 24，a 2＝1，则a 6＝( ) A.18 B.116 C.132 D.164解析：由4a 2a 8＝a 24，得4a 25＝a 24，∴q ＝12， ∴a 6＝a 2q 4＝116.答案：B探究二 等比中项的应用[阅读教材P25练习2第三题]求下列各组数的等比中项． (1)－45和－80.(2)7＋35和7－3 5. (3)(a ＋b )2和(a －b )2.解析：由等比数列性质所得，等比中项的平方等于前后两项的乘积． (1)G ＝±（－45）（－80）＝±60.(2)G ＝±（7＋35）（7－35）＝±2. (3)G ＝±（a ＋b ）2（a －b ）2＝±(a 2－b 2)．[例2] (1)在等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2－11x ＋9＝0的两个根，则a 5a 6a 7＝( )A ．3 3B.112C ．±3 3D ．以上都不对(2)已知1既是a 2与b 2的等比中项，又是1a 与1b 的等差中项，则a ＋b a 2＋b2的值是( )A ．1或12B ．1或－12C ．1或13D ．1或－13[解题指南] (1)由根与系数的关系可得a 3·a 9，又a 3·a 9＝a 26，a 5·a 7＝a 26.可得结果． (2)根据等差及等比中项的定义求解．[解析] (1)由根与系数的关系得a 3a 9＝3，又a 6为a 3与a 9的等比中项，所以a 6＝±3，在等比数列{a n }中，a 5a 6a 7＝a 36＝±3 3. (2)由题意得，a 2b 2＝(ab )2＝1，1a ＋1b＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－1，a ＋b ＝－2.因此a ＋b a 2＋b 2＝a ＋b （a ＋b ）2－2ab ＝1或－13. [答案] (1)C (2)D方法技巧 等比中项的性质(1)由等比中项的定义可知G a ＝bG⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab ＞0)．跟踪探究 3.如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝－3，ac ＝9 B ．b ＝3，ac ＝9 C ．b ＝－3，ac ＝－9 D ．b ＝3，ac ＝－9解析：根据等比中项的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－b ， ①b 2＝ac ②c 2＝－9b ③，①×③得a 2c 2＝9b 2，即ac ＝±3b ④将④代入②得b 2＝±3b ，解得b ＝±3.又由③得b ＜0，∴b ＝－3，ac ＝b 2＝9.故选A. 答案：A探究三 等比数列的实际应用[阅读教材P24例4及解答]据报载，中美洲地区毁林严重，据统计，在20世纪80年代末，每时平均毁林约48 hm 2，森林面积每年以3.6%～3.9%的速度减少，迄今被毁面积已达1.3×107 hm 2，目前还剩1.9×107 hm 2，请你回答以下几个问题：(1)如果以每时平均毁林约48 hm 2计算，剩下的森林经过多少年将被毁尽？(2)根据(1)计算出的年数n ，如果以每年3.6%～3.9%的速度减少，计算n 年后的毁林情况； (3)若按3.6%的速度减少，估算经过150年后、经过200年后、经过250年后及经过300年后森林面积的情况，经过多少年森林将被毁尽？ 题型：等比数列的实际应用方法步骤：(1)先计算出平均每年毁林数，然后用算式得出森林将被毁尽的年数； (2)根据等比数列的通项公式用计算器计算45年后还剩余的森林面积；(3)分别计算150年后，200年后，250年后，300年后，剩余森林的面积数．[例3] 某城市2017年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米．该城市拟自2018年年初开始每年新建住房245万平方米，到2025年年底时，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x )8≈1＋8x (其中0＜x ＜1)) [解题指南]设人口年平均增长率为x →求2025年底人口数量→求2025年底住房面积→列方程求x .[解析] 设这个城市的人口年平均增长率为x (0＜x ＜1)，则该城市2017年年底到2025年年底人口数量组成等比数列，记为{a n }，则a 1＝100，公比q ＝1＋x ，则2025年年底人口数量为a 8＝a 1q 8＝100(1＋x )8.2025年年底住房总面积为100×5＋8×245＝2 460(万平方米)．由题意得 2 460100（1＋x ）8＝24，即(1＋x )8＝4140，因为(1＋x )8≈1＋8x (0＜x ＜1)，所以1＋8x ≈4140，所以x ≈0.003.答：该城市的人口年平均增长率约是0.003.延伸探究 在本例中，若将“该城市拟自2018年年初开始每年新建住房245万平方米”改为“该城市拟自2018年年初开始每年新建住房250万平方米”，则结论如何？解析：由例题解析知2025年年底住房总面积为100×5＋8×250＝2 500(万平方米)，由题意得2 500100（1＋x ）8＝24，解得x ≈0.005.答：该城市的人口年平均增长率约是0.005. 方法技巧 等比数列的实际应用数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．跟踪探究 4.某厂生产电脑，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产电脑多少台？解析：根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x －d ，x ，x ＋d ，(d ＞0)，则实际上3个月生产电脑台数分别为x －d ，x ＋10，x ＋d ＋25，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋10）2＝（x －d ）（x ＋d ＋25），x ＋d ＋25＝3x2－10， 解得x ＝90，d ＝10，故共有(x －d )＋(x ＋10)＋(x ＋d ＋25)＝3x ＋35＝3×90＋35＝305(台)， 即该厂第一季度实际生产电脑305台.授课提示：对应学生用书第22页[课后小结](1)在准确掌握等比数列的定义及通项公式的前提下认识等比数列的性质，可以提高解题速度与解题的准确率．(2)对于等比数列基本量之间的运算应先考虑是否能用性质解决，然后再考虑是否能列出关于a 1，d 的方程组．(3)两个同号的实数a ，b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．[素养培优]忽视等比数列中奇、偶项的符号特点致误在等比数列{a n }中，a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根，则a 7＝________．易错分析 在等比数列中，其奇数项的符号相同，其偶数项的符号也相同，解题过程中如果忽略这一特点，容易造成增解致误，考查精确应用的学科素养． 自我纠正 ∵a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 9＝187，a 5·a 9＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 9＞0，∴a 7＞0.又a 7是a 5与a 9的等比中项， ∴a 27＝a 5·a 9＝1， ∴a 7＝1.。

等比数列教学设计一、教学目标1.知识与技能目标：理解等比数列的定义，掌握等比数列通项公式及推导过程。

掌握等比中项的定义并能进行相关运算。

能运用等比数列通项公式解决相关问题。

2.过程与方法：在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力3、情感态度与价值观：通过对等比数列通项公式的推导，培养学生分析解决问题的能力，逻辑思维的严密性。

二、教学重点等比数列的概念及应用。

等比数列的通项公式及应用。

三、教学难点应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题四、教学过程1、温故知新等差数列的概念一般地如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 来表示。

数学表达式：)2(1≥=--n d a a n n 或da a n n =-+1等差中项的概念：如果三个数a,A,b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

2A=a+b 等差数列通项公式:d m n a d n a a m n)()1(1-+=-+=那么，还有像等差数列这样前项与后项的关系特殊的数列吗？ （设计意图：复习旧知识，为新知识的学习做准备。

） 2、引入概念举出2个关于等比数列的实际例子，让学生归纳总结出其特点，从而引入等比数列的定义观察下面问题中的数列，归纳它们的共同特点。

（1）你吃过拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条，拉伸，捏合、再拉伸，再捏合，如此反复几次，拉成多少根细面条？ (2) 我国古代学者提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ①1,2,4,8,16，…； ② ,81,41,21,1 （设计意图：通过创设问题情景激起学生学习性趣） 类比等差数列的定义概括出等比数列的定义：一般地如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 来表示(q ≠0)(设计意图:为了增加学生对等比数列定义的理解和记忆，同时培养学生的总结能力和习惯)等比数列的定义还可以用怎样的数学式子来刻画？师生互动得出等比数列数学语言：a na n －1＝q (n >1)(或a n ＋1a n ＝q ，n ∈N ＋).思考：等比数列的各项能否为0？公比q 能否为0？ 师生互动得出结论。

北师大版高中高三数学必修5《等比数列》教案及教学反思一、教学目标1.知识目标•掌握等比数列的概念、性质以及用通项公式求解等比数列问题的方法。

•看出等比数列的规律，理解等比数列的递推公式和通项公式，并能够熟练地应用它们解决等比数列中的各种问题。

2.能力目标•培养学生的逻辑思维和数学分析能力，提高学生的数学运用能力。

•培养学生的解决问题的能力，使学生能够灵活应用所学知识解决实际问题。

3.情感目标•培养学生对数学的兴趣和爱好，增强学生学习数学的意愿和信心。

•培养学生良好的学习习惯和态度，使学生能够积极参与课堂学习，自主学习，提高自己的学习水平。

二、教学过程1.引入老师通过提问，让学生回忆起他们在初中学习的等比数列的相关知识，例如等比数列的定义，等比数列的通项公式等，并向学生阐明本课的主要内容，即如何理解与运用等比数列的概念和公式解决实际问题。

2.讲授老师依次介绍等比数列的概念、特点和性质，重点讲解了等比数列的通项公式、求和公式以及等比数列与几何图形之间的关系等知识点。

并通过例题向学生解释和学习。

3.引导老师通过一系列的实际问题引导学生运用所学知识解决等比数列的各种问题。

通过练习，让学生更好地理解和掌握等比数列的性质和运算技巧。

4.练习老师通过不同难度的练习题，巩固学生对等比数列的基础知识和解题方法的掌握，逐步提高学生的解决问题的能力。

5.测试老师通过考试测试学生的学习成果，以评估学生的学习水平和掌握情况，进一步发现学生的问题和不足，及时进行针对性的指导和帮助。

三、教学反思1.教学特点等比数列作为高中数学中的一大重要内容，需要考虑到学生的具体实际情况，通过运用丰富的教学资源和对学生的实际情况进行分析，制定针对性的教学方案，注意符合学生的学习特点，进而达到促进学生的学习效果和提高教学质量的目的。

2.教学方法在等比数列的教学过程中，应注重引导学生自主学习，发展学生的综合运用能力，加强对学生的引导和帮助，使学生能够在实践中体验到知识的实用价值，并在思考和操作的过程中产生对数学的兴趣和热情。

第2课时等比数列得性质•三维目标1 •知识与技能进一步熟练掌握等比数列得概念及通项公式；深刻理解等比中项，掌握等比数列得性质.2.过程与方法通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质得认识.3.情感、态度与价值观充分感受数列就是反映现实生活得模型，体会数学源于现实生活，并应用于现实生活，提高学习得兴趣.•重点难点重点：等比中项得理解与应用.难点：灵活应用等比数列得定义通项公式、性质解决问题.•教学建议本学案得例2就是针对等比中项而设计，让学生通过本例得讲解加深对等比中项得应用，辨别与等差中项得差异.例1、例3就是等比数列性质得考查，在教学中可以类比等差数列得性质来学习等比数列得性质，使学生感受类比思想.•教学流程（对应学生用书第19页）【问题导思】1 1对于数列：① 4, 2, 1, 2, 4…；②2, 2, 2, 2,…；③ 1, 4, 16, 64,…;1④-4,- 2,- 1,- 2,…以上4个数列各有怎样得增减性？【提示】①递减数列；②常数列；③递增数列；④递增数列.如果在a与b中插入一个数G,使得a, G, b成等比数列，我们称G为a, b得等比中项，且G=± ab.（对应学生用书第19页）已知｛a n｝为等比数列.（1）若a n>0, a2a4 + 2a3a5 + a4a6= 25, 求a3 + a5、⑵若a n>0, a5a6 = 9,求Iog3a1 + Iog3a2+ — + Iog3a1o得值.【思路探究】运用等比数列得性质，从整体上对式子变形，找出相关量之间得关系.【自主解答】(1)由等比中项，化简已知条件可得，a32+ 2a3a5+ a52= 25,即(a 3 + a 5)2= 25,'•a n > 0,Aa 3+ a 5 = 5、(2)由等比数列得性质可知： a 5a 6= a i a io = a 2a 9 = a 3a 8= a 4a 7= 9、-■J og 3a i + log 3a 2 +…+ Iog 3a io = Iog 3(a i a 2a 3 …a io )5=Iog 3[(a i a io )(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)] = Iog 39 = 10、1.在⑴中，运用等比中项性质，将 a 2a 4转化为a 32, a 4a 6转化为a 52,简化 了计算•在(2)中，运用了与首末两项等 “距离”两项得乘积相等得性质.2 •等比数列得常用性质：性质1:通项公式得推广：a n = a m q n _m(n , m € N +).性质 2：若｛a n ｝为等比数列，且 k +1 = m + n(k, I, m, n € N +),则 a k a i = a ma n 、1 2 性质3：若｛a n ｝ , ｛b n ｝(项数相同)就是等比数列，则｛入a , ｛二｝ , ｛ a n 2｝ , ｛a n b n ｝, a n｛芽仍就是等比数列.性质4：在等比数列｛a n ｝中距首末两端等距离得两项得积相等， 即a 1a n = a 2a n—1 = a 3a n — 2=…、性质5：在等比数列｛a n ｝中，序号成等差数列得项仍成等比数列.本例(2)中，若将条件a 5a 6 = 9改为a 4a 7 + a 5a 6= 16,如何求Iog 2a 1 + Iog 2a 2+… +Iog 2a 10?【解】 由等比数列得性质得，a 4a 7= a 5a 6, 又 a 4a 7 + a 5a 6= 16,—a 5a 6= &55-■J og 2a i + log 2a 2+・・・ + Iog 2a io = Iog 2(a 5a 6) = Iog 28 = 15、等比数列｛a n｝得前三项得与为168，a2-a5= 42，求a5, a7得等比中项.【思路探究】(1)a5, a7得等比中项就是什么？(2)要求a5, a7需要什么量？(3)如何求a i, q?【自主解答】设该等比数列得公比为q,首项为a i,因为a2 —a5= 42,所以q^l，由已知，得2a i + a i q + a i q = 1684a i q—a i q = 42a i (1 + q+ q2)= 168 ①所以3a i q (1 —q3)= 42 ②因为1 —q3= (1 —q)(1 + q+ q2),1所以由②除以①，得q(1 —q) —4、1 42所以q —2、所以a1—1 1—96、1-(2)4若G就是a5，a7得等比中项，贝卩应有G2—a5a7 —a i q4 a i q6—a i2q10—96 x g)10—9，所以a5, a7得等比中项就是出、1.只有同号得两项才有等比中项，并且这两项得等比中项有两个，它们互为相反数，异号得两数没有等比中项.求2020年底人口数量＞求2020年底住房面积一＞列方程求x2 •证明一个数列就是等比数列得方法a n+1⑴定义法：= q(n€ N+, q^0就是常数)？ {a n}就是等比数列; a n⑵中项法：a n +12= a n a n+2(n€ N+)且a n^O? {a n}就是等比数列.若a+ 1, 2a+ 2, 3a成等比数列，求a得值.【解】倉+ 1, 2a+ 2, 3a成等比数列，•••(2a + 2)2= (a+ 1) 3a,•°a=—1 或一4、又va= —1时a+ 1, 2a+ 2均为0,故舍去，• a= —4、某城市2012年年底人口为100万人，人均住房面积为5米2、该城市拟自2013年年初开始每年新建住房245万米2,到2020年年底时，人均住房面积为24米2,则该城市得人口年平均增长率约就是多少？(精确到0、001，参考公式(1 + x)8〜1 + 8x、(其中0v x v 1))【思路探究】设年平均增长率为x 一【自主解答】设这个城市得人口年平均增长率为x(0v x v 1).则该城市2012年年底到2020年年底人口数量组成等比数列，记为{a n}.则a1 = 100, q= 1+ x, 2010年年底人口数量为a9= a1q8= 100(1 + x)8、2020年年底，住房总面积为100X 5+ 8X 245= 2460(万米2).由题意得2460 100( 1+ x)8 二24,即(1+ x)841 40、= 1、a n— 1 1(n》2 且n€ N+)，•••(1 + x)8~1 + 8x(0v X V 1),■■■1+8x盅.••x V D、003、答：该城市得人口年平均增长率约就是0、003、1.本题涉及增长率问题，利用等比数列可以解决.2•实际生活中常会遇到增长率问题，如果增长量就是个常量，贝U与等差数列有关；如果增长率就是个常量，则与等比数列有关.某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年得产量比上一年增加10%，那么从第一年起，约几年可使年产量达到30万吨（保留到个位）？（lg 6 = 0、778, lg 1、1= 0、041）【解】记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，a n，则依题意可得a1 = 5，从而a n= 5 x 1、1n —1，这里a n= 30，, i g 6 °、778 故1 1—6,即n—1=如、16论、广齐沁，故n= 20、答：约20年可使年产量达到30万吨.（对应学生用书第21页）所以18a5 + a9=-?,05>0,09>0、忽视0n得符号致误在等比数列｛a n｝中，a5, a9就是方程7X2—18x+ 7= 0得两个根，试求a?、【错解】因为05 , 09就是方程7x2—18x+ 7= 0得两个根，a5 a9= 1、又因为a7就是a5, a9得等比中项，r\所以a7 = a5 a9= 1,即a7= ±、【错因分析】上述解法忽视了对a7符号得讨论，由于07 = q2,所以不a5 a7 1论q取正还就是取负，07始终与05与09符号相同.【防范措施】注意等比数列得所有奇数项得符号相同，所有偶数项得符号相同.【正解】-.35, 09就是方程7x2—18x+ 7=0得两个根,1805 + 09= 7 ,05 09= 1、又••07就是05, 09得等比中项，二072= 0 09= 1、由于07= 05 q2, 故07 与05 同号.•••07= 1、1 .学习了等比中项得概念，可以应用等比中项证明等比数列.2.类比等差数列得性质，探究了等比数列得性质.3.在解决与等比数列有关得计算问题时，我们首先想到得方法就是通法，即通过解方程组求两个基本量首项01与公比q,求解过程中要注意整体代换思想得运用，有些问题合理地运用性质求解，可以减少运算量，提高解题效率.4.解数列得实际应用问题时，首先分清就是等差数列，还就是等比数列，就是求某一项，还就是求某些项得与，再用相应得公式求解.（对应学生用书第22页）1 •下列四个命题：①公比q> 1得正项等比数列就是递增数列；②公比q v 0得等比数列就是递减数列；③任意非零常数列都就是公比为1得等比数列；④ ｛lg2 n｝就是等差数列而不就是等比数列•正确得个数就是（）A. 1 B . 2 C. 3 D . 4【解析】①③④正确.【答案】C2.数列｛a n｝为等比数列，它得前三项为m—1, m+ 1, 2m+ 2,则通项公式为（）A. a n= 3X 2n—1B. a n= 2nC. a n= 3X 2n D . a n= 3X 2n 1【解析】由题意得，（m+ 1）2= （m—1）（2m+ 2），解得：m= 3或—1,当m=—1时，m+ 1 = 0, 2m + 2= 0,不合题意，二m= 3,故数列｛a n｝得前三项为2, 4, 8,.°.a1= 2, q= 2, a n = 2 2n —1= 2n、【答案】B3._______________________________________ 等比数列a—1, 2a,8a,…得第四项为____________________________________ .【解析】由题意（2a）2= （a—1）8a,即4a2—8a= 0,解得a = 0（舍）或a = 2、第四项为64、【答案】644.已知数列｛a n｝, ｛b n｝满足a1= 1, a2 = 2,且a n, a n+1 就是函数f（x）= x2—b n x+ 2n得两个零点，试求b10得值.【解】依题意，有a n a n+ 1 = 2n,所以a n+ 1a n+ 2= 2n + 1,a n + 2两式相除，得——=2,a n ，=Iog 3(a 2a 9)= 5log 39= 10、i •在等比数列｛a n ｝中，若a i , C . 2【解a 4a 7 = a i a io =2、2.若实数a 、b 、c 成等比数列，则函数 y = ax 2+ bx + c 与x 轴得交点得个数 1[1].3.1 第2课时等比数列的性质 教案（北师大版必修五） 所以a i , a 3, a 5,…成等比数列，a 2, a 4, a 6,…成等比数列, 而 a i = 1, a 2= 2, 所以 a io = 2X 24= 32, a ii = i x 25= 32,.•.b io = a io + a ii = 64、（对应学生用书第9i 页）、选择题a io 就是方程3x 2— 2x — 6= 0得两根，则a 4 a 7B .— 2【答案】 B为（）A . 0B . iC . 2D .无法确定【解析】 a 、b 、c 成等比数列，••• b 2= ac ,.••二次函数y = ax 2+ bx + c 得判 别式△= b 2— 4ac = — 3b 2<0,从而函数与x 轴无交点.【答案】 A3.等比数列｛a n ｝得各项均为正数，且a 2a 9= 9,数列｛b n ｝满足b n = log 3a n ,则 数列｛b n ｝前10项与为()A . 10B . 12C . 8D . 2+ log 35【解析】 b i + b 2 + …+ b i0= log 3a i + log 3a 2 + …+ Iog 3a io = log 3(a i a 2 … a io )5【答案】 A3a3= 1或a13= 3 a3= 3a13= 1，又a15a510_ a13a3•••詈得值为3或34. (2013福州高二检测)在等比数列｛a n｝中，a5a ii = 3, a3 + a i3= 4，贝U 5 =a5 ()1A. 3 B、3、1 、1C. 3 或3 D . —3 或—3【解析】ia5a11 = a3 a13= 3,又a3 + a13= 4,【答案】C5. （2012安徽高考）公比为2得等比数列｛a n｝得各项都就是正数，且a3an_ 16,则log2a10_ （）A. 4B. 5C. 6D. 7【解析】竹3 a11_ 16,.°.a72_ 16、又•••等比数列｛a n｝得各项都就是正数，• a7_ 4、又va10_ a7q3_ 4X 23_ 25,.■J og2a10_ 5、故选B、【答案】B二、填空题6.在等比数列｛a n｝中，已知a1_ 5, a8 a10_ 100,那么a17_ _________ .【解析】'•a1 a17_ a8 a10_ 100, a1_ 5,•'a17_ 20、【答案】20a102•'34 a6 a8 a10 a12_ a85_ 243,—a8_ 3,7.___________________________________________________ 在等比数列｛a n｝中，若a4a6a8a10a12_243,则二；得值为_____________________ .a12【解析】由等比数列性质a4 a12_a6 a10_ a82,•'34 a6 a8 a10 a12_ a85_ 243,—a8_ 3,小22 .a10a io = a8 a i2,.a8 = 3、' a i2【答案】38._____________________________ (2012辽宁高考)已知等比数列｛a n｝为递增数列，且a52= a io, 2(a n + a n+2) =5a n+1,则数列｛a n｝得通项公式a n= .1【解析】a52= a io>O,根据已知条件得2(q+ q) = 5,解得q = 2、所以a i2q8= a i q9，所以a i = 2,所以a n = 2n、【答案】2n三、解答题i i i9.设a, b, c就是实数，3a, 4b, 5c成等比数列，且：，二，；成等差数列，a b c求a+ c得值.c a【解】・.3a, 4b, 5c成等比数列，•••I6b2= I5ac、①1i i•a b，c成等差数列，2i ib a c‘4由①得b；i5ac= 64,③i i 2②代入③得(a + c)2x I5ac= 64, a c•(i丄丄丄_64 .c丄a_ 34-(a2+c2 +ac)ac=i5，.a+c_I5、10.某工厂20I2年i月得生产总值为a万元，计划从20I2年2月起，每月生【解】设从20I2年开始，第n个月该厂得生产总值就是a n万元，则a n+1产总值比上一个月增长m%,那么到20I3年8月底该厂得生产总值为多少万元？=a n + a n m%,【解】设从20I2年开始，第n个月该厂得生产总值就是a n万元，则a n+1由已知a 1= 1,数列｛a 2n —1｝仍就是等比数列，它得首项就是 a 1 = 1,公比就b 1 = 3,a n + 1•••数歹ij{an }就是首项a 1 = a ,公比q = 1 + m%得等比数列.•°a n = a(1 + m%)n _ 1>•••2013年8月底该厂得生产总值为a 2o = a(1 + m%)20"1= a(1 + m%)19万元.11. （2013宿州高二检测）数列｛a n ｝就是公差不为零得等差数列，且 a 5, a s , a 13就是等比数列｛b n ｝相邻得三项，若b 2 = 5,求b n 、【解】 T{a n }就是等差数列，• a 5 = a 1 + 4d , a s = a 〔+ 7d , a 13= a 〔+ 12d , a 5,a s , a 13就是等比数列｛b n ｝相邻得三项，• a s 2= a 5a 13,即⑻ + 7d)2= (a 1 + 4d)(a 1 + 12d),解得 d = 2a 1,a s 55•'q =05=3，b2= b1q = 5,3b 〔=5, 5 n — 1• ° b n = 3 •（教师用书独具）在数列｛a n ｝中，已知 lg a n +1= lg a n + lg 3、设 a 1= 1,求 a 1+ a 3 + a 5+^+ a 2n—1、【思路探究】 先探求数列｛a n ｝得性质，在此基础上，研究数列｛a 2n — 1｝得性质，再求出确定这个数列得基本量.【自主解答】 由 lg a n +1 = lg a n + lg 3，得 a n +1 = 3a n ,•数列｛a n ｝就是等比数列，公比q = 3,是q2= 9,1X (1—9n) -a1+ a3+ a5+■■■ + a2n —1—1—91.对于各项均为正数得数列，｛lg a n｝就是等差数列？ a n就是等比数列.2•数列｛a2n—1｝就是数列｛a n｝得子数列，由此例可瞧出：子数列得性质可通过原数列获得.在本例中，设a1—1,求数列｛a2n —1a2n｝得通项公式.【解】数列｛a2n—1a2n｝仍就是等比数列，它得首项就是a©2—1 X 3—3,公比就是a1a2—q4—81，•••数列｛a2n— 1 a2n｝得通项公式为a2n—1a2n—3X 81n —1—34n—3、。

北师大版高中必修5《等比数列》教案《北师大版高中必修5《等比数列》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！3.4.1等比数列教案课题：3.4.1等比数列(一)教学目标教学知识点等比数列的定义.等比数列的通项公式.能力训练要求掌握等比数列的定义.理解等比数列的通项公式及推导.德育渗透目标培养学生的发现意识.提高学生的逻辑推理能力.增强学生的应用意识.教学重点等比数列的定义及通项公式.教学难点灵活应用等比数列的定义及通项公式解决一些相关问题.教学方法比较式教学法采用比较式教学法,从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用.教学过程Ⅰ 复习回顾前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容1、等差数列定义：an-an-1=d(n≥2)(d为常数)a+b22、等差数列性质：①若a、A、b成等差数列，则A=②若m+n=p+q，则，am+ an= ap+ aq,③Sk ，S2k - S3k，S2k…成等差数列.3、等差数列的前n项和公式：Ⅱ 新课讲授下面我们来看这样几个数列，有何时共特点?1，2，4，8，16，…，263 ;①5，25，125，625，…; ②1418121，- ，，- ，…; ③仔细观察数列，寻其共同特点：数列①：;数列②:数列③:共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.(也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的式都具有“相等”的特点)1、定义12等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即：an ：an-1= q(q≠0)数列①②③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，- ，与等差数列比较，仅一字之差。

总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”这常数，则为等差数列，之“比”这常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.注意公差①“d”可为0，②公比“q”不可为0.2、等比数列的通项公式请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一推等比数列的通项公式.解法一：由定义式可得a2= a1qa3= a2q=( a1q)q= a1q2a4= a3q=( a2q)q=( (a1q)q)q= a1q3……an= an-1q= a1qn-1(a4，q≠0)，n=1时，等式也成立，即对一切n∈N*成立.解法二：由定义式可得：(n-1)个等式①②a2a1= qa3a2= qn-1n-1a na n-1……若将上述n-1个等式相乘，便可得：即: an = a1qn-1(n≥2)当n=1时，左=a1，右=a1，所以等式成立.∴等比数列通项公式为： an= a1qn-1(a1，q≠0)写出数列①②③的通公式.数列①: an=1×2n-1(a1，q≠0)数列②: an=5×5n-1=5n(a1，q≠0)数列③: an=与等差数列比较,两者均可用归纳法求得通项公式.或者, 等差数列是将由定义得到的n-1个式子相“加”，便可求得通项公式;而等比数列则需将由定义行到的n-1个式子相“乘”，方可求得通项公式.[例1]一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式.解：设这个等比数列的首项是a1，公比是q，= q②÷①得：③③代入①得：∴∴答：这个数列的第1项与第2项分别是评析：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.Ⅳ课堂练习课本P128练习1、2，Ⅴ课时小结：本节为要学习了等比数列的定义，即：.等比数列的通项公式：an= a1qn-1(n≥2)及推导过程.Ⅵ课后作业(一)课本P129 习题3.9 1(二)1、预习内容：课本P127～P1282、预习提纲：⑴什么是等比中项?⑵等比数列有哪些性质?③怎样应用等比数列的定义式、通项公式以有重要性质解决一些相关问题.北师大版高中必修5《等比数列》教案这篇文章共5020字。

高中数学第一章数列1.3.1 等比数列教案北师大版必修5编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学第一章数列１.3.1 等比数列教案北师大版必修５)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

3。

1 等比数列(1)本节教材分析本节首先给出了两个实例，让学生通过观察实例,归纳出等比数列的定义。

其中拉面的例子,接近学生的生活实际，易于激发学生学习数学的兴趣，在“问题与思考”中拉出１0万根面条,需要捏合、拉伸1８次，让学生初步体会等比数列的性质特征。

教材重视突出等比数列的函数特征,利用指数函数的知识来认识等比数列的性质.三维目标知识与技能：掌握等比数列的定义;理解等比数列的通项公式及推导;过程与方法:通过实例，理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质,能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力;体会等比数列与指数函数的关系。

情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

教学重点:等比数列的定义及通项公式；教学难点:灵活应用定义式及通项公式解决相关问题教学建议:等比数列与等差数列在内容上是完全平行的,包括定义、性质、通项公式等,两个数的等差（比)中项、两种数列在函数角度下的解释等。

因此在教学时要充分利用类比的方法，以便弄清它们之间的联系与区别.本节首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像. 新课导入设计导入一: (情景导入)将一张厚度为0.０44m ｍ的白纸一次又一次地对折，如果对折10０0次（假设是可能的）纸的厚度将是,104.4296m ⨯相当于约292100.5⨯个珠穆朗玛峰的高度和,这可能吗？但是一位数学家曾经说过：你如果能将一张报纸对折3８次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球.将一张报纸对折会有那么大的厚度吗？这就是我们今天要解决的问题,让学生带着这个问题来展开新课。