三角函数、平面向量与解三角形

专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。

三角函数、平面向量、解三角形大题：第一方面：向量大题例1：已知三点3(3,0),(0,3),(cos ,sin ),(,).22A B C ππααα∈（1）若AC BC =u u u r u u u r ，求角α；（2）若1AC BC ⋅=-u u u r u u u r ，求22sin sin 21tan ααα++的值.解：（1）因为()()cos 3,sin ,cos ,sin 3AC BC αααα=-=-u u u r u u u r由AC BC =u u u r u u u r 得()()2222cos 3sin cos sin 3αααα-+=+- 整理得sin cos αα= ，所以tan 1α=因为3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭ ，所以54πα= （2）因为1,AC BC •=-u u u r u u u r 所以()()cos cos 3sin sin 31αααα-+-=- 即2sin cos 3αα+= ，所以()24sin cos 9αα+= ，得52sin cos 9αα=- ，所以()()22sin sin cos 2sin sin 252sin cos sin cos 1tan 9cos ααααααααααα++===-++.第二方面：三角函数大题例2.1：已知53)4cos(=+πx ，且471217ππ<<x ，求：① x x sin cos + 的值；②x xx tan 1sin 22sin 2-+的值。

解：（1）Θ471217ππ<<x ，πππ2435<+<∴x由53)4cos(=+πx 得54)4sin(-=+πx 所以524)4sin(2sin cos -=+=+πx x x（2）由524sin cos -=+x x 得2532)524()sin (cos 22=-=+x x 即2572sin ,25322sin 1=∴=+x x )4cos()4sin(2sin sin cos )sin (cos cos sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22ππ++⋅=-+=-+=-+x x x x x x x x x xx x x x x x x 由（1）知54)4sin(-=+πx ，53)4cos(=+πx 所以x xx tan 1sin 22sin 2-+=)4cos()4sin(2sin ππ++⋅x x x =752853)54(257-=-⨯ 小结：本试题主要是考查了两角和差公式的运用，和二倍角公式的综合运用。

新高考高中数学顺序 -回复
新高考高中数学的学习顺序可以按照以下顺序进行：
1. 函数与方程：包括函数的基本概念、初等函数、反函数、方程的解法等内容；
2. 三角函数与解三角形：包括三角函数的概念、性质、图像与解析式、解三角形等内容；
3. 平面向量与解析几何：包括平面向量的定义、运算、数量积、向量的共线与垂直、解析几何中直线、圆等内容；
4. 数列与数列极限：包括数列的定义、等差数列、等比数列、递推数列、数列极限等内容；
5. 导数与微分：包括导数的定义、基本导数、高次导数、导数的应用、微分的定义与性质等内容；
6. 不定积分与定积分：包括不定积分的概念、基本积分、换元积分法、分部积分法、定积分的概念、定积分的计算等内容；
7. 几何证明与解析几何证明：包括几何证明的基本方法、几何图形的性质证明、平面解析几何证明等内容；
8. 概率与统计：包括随机事件、概率的计算、排列与组合、统计的概念、数据分析等内容；
9. 三角函数与数列的扩展：包括三角函数的进一步扩展、数列的进一步深入等内容；
10. 空间几何与立体几何：包括空间几何中的点、直线、平面
的位置关系、立体几何中的球、锥、柱等内容。

以上是一种参考顺序，根据学校和教材的不同，顺序可能会有所调整。

建议根据自己的实际情况，灵活应用，并根据教材进行学习。

三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．3． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x 值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．第二讲 三角变换与解三角形1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3． 三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧． “化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”． (2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 4． 正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ， sin B ＝b 2R ， sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .6． 面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7． 三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：A ＋B ＋C ＝π. (2)A >B >C ⇔a >b >c ⇔sin A >sin B >sin C . (3)a ＝b cos C ＋c cos B .第三讲 平面向量1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影． 2．向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a ·b 运算结果不仅与a ，b 的长度有关而且与a 与b 的夹角有关，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆．。

三角函数平面向量及解三角形的综合运用运用三角函数、平面向量和解三角形的综合运用时，常涉及到问题的空间几何解析、力学问题、电磁场问题等等。

本文将从求解平面三角形、力学问题和电磁场问题三个方面进行综合运用的详细说明。

1.求解平面三角形在平面三角形的解析中，我们经常会使用到三角函数的性质。

例如，已知三角形的两边和一个角，可以通过余弦定理求解出第三边的长。

另外，已知三个角或三个边中的一对和对应的一个角，我们可以利用正弦定理求解出其他的边和角。

举例说明：假设有一个平面三角形ABC，其中已知AB=3，AC=4，∠BAC=60°。

求解BC的长度和∠ABC、∠ACB的大小。

首先，我们可以利用余弦定理计算出BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos(∠BAC)BC² = 3² + 4² - 2·3·4·cos(60°)BC²=9+16-24·0.5BC²=25-12=13BC=√13接下来，利用正弦定理求解∠ABC和∠ACB的大小：sin(∠ABC) / AB = sin(∠BAC) / BCsin(∠ABC) / 3= sin(60°) / √13sin(∠ABC) = 3·sin(60°) / √13∠ABC = arcsin(3·sin(60°) / √13)sin(∠ACB) / AC = sin(∠BAC) / BCsin(∠ACB) / 4 = sin(60°) / √13sin(∠ABC) = 4·sin(60°) / √13∠ACB= arcsin(4·sin(60°) / √13)通过以上计算，我们可以得出BC≈3.605，∠ABC≈39.23°，∠ACB≈80.77°。

三角函数与平面向量、解三角形综合题题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2的最大值.题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π3)的值．题型三. 三角函数与平面向量的模的综合【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值.题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例3】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例5】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，tan C =． （1）求cos C ；（2）若52CB CA ⋅=，且9a b +=，求c ．题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例6】()f x a b =⋅，其中向量(,cos 2)a m x =，(1sin 2,1)b x =+，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。

题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+. （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值集.题型八：三角函数平移与向量平移的综合【例8】把函数y ＝sin2x 的图象按向量→a ＝(－π6，－3)平移后，得到函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(A＞0，ω＞0，|ϕ|＝π2)的图象，则ϕ和B 的值依次为（ ）A ．π12，－3B ．π3，3C ．π3，－3D ．－π12，3题型九：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值【例9】已知04πα<<，β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=⋅=，求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．题型十：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例10】如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。

第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0， 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1， 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。

三角函数和解三角形知识点汇总三角函数和解三角形是高中数学中的重要内容，这两个知识点在解决几何问题和求解三角方程等方面具有广泛的应用。

本文将对三角函数和解三角形的相关概念和性质进行汇总和总结。

一、三角函数的基本概念和性质1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比。

在单位圆中，正弦函数定义为点在单位圆上的纵坐标。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边之比。

在单位圆中，余弦函数定义为点在单位圆上的横坐标。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边之比。

在单位圆中，正切函数定义为点在单位圆上的纵坐标与横坐标之比。

4. 三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数都具有周期性，周期为360度或2π弧度。

5. 三角函数的基本关系：正弦函数、余弦函数和正切函数之间存在一定的关系，如正弦函数与余弦函数的平方和等于1，正切函数与正弦函数的比值等于余弦函数。

二、解三角形的基本方法1. 解直角三角形：直角三角形是最简单的三角形，可以通过已知两个角或两个边长度，求解出三个角和三个边的长度。

解直角三角形常用的方法包括正弦定理、余弦定理和勾股定理。

2. 解一般三角形：一般三角形包括三个不等边和三个不等角。

解一般三角形的关键是要找到足够的已知条件，一般包括已知两个角和一个边的长度，或已知两个边和一个角的大小。

解一般三角形常用的方法有正弦定理和余弦定理。

三、三角函数和解三角形的应用1. 几何问题的求解：三角函数和解三角形广泛应用于几何问题的求解，如求解三角形的面积、角度、边长等。

2. 物理问题的求解：三角函数和解三角形也在物理问题的求解中发挥着重要作用，如求解力的合成与分解、两个物体之间的角度等。

3. 工程问题的求解：在工程问题中，三角函数和解三角形用于求解斜面的倾斜角度、测量高楼大厦的高度等。

四、总结本文对三角函数和解三角形的相关知识进行了汇总和总结。

1 教学课题：三角函数 、解三角形 课时规划：4 教学目标：掌握三角函数的化简、三角函数图形的变换，解三角形。

教学重点：三角函数的图像性质运用，解三角形中正余弦定理的运用 教学难点：解三角形 教学过程一、知识链接（包括学情诊断、知识引入和过渡）1. 复习三角函数诱导公式，倍角公式，两角和差的正余弦公式，三角函数图像变换等知识点。

2.复习三角形正弦定理，余弦定理，在一定区间内求值域的方法等。

3.向量的概念、向量有关的计算；向量垂直于平行的应用。

二、名题探究（包括精讲、例题、跟进练习题） 例1 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是_________．A ．B ．C ．D ．例2 设函数)(),0)(2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x .(10分)（1） 求;ϕ（2） 求函数y=f(x)，x []ππ,-∈的单调增区间. 例3、中，三内角成等差数列，则的最大值为 ( )A ．B ．C ．D ．2 例4、 函数的图象大致是例5 已知平面向量，的夹角为60°，，，则——————————————例6 △ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－)，n ＝(cos2B,2cos 2－1)，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．三、易错题点拨（找几个易错的例题讲解，包括疑难辨析，跟进练习） 例1 若函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图像沿x 轴向左平移8π个单位，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（ ）（A ）43π （B ）4π （C ）0 （D ）4π-例2 函数x x x y sin cos +=的图象大致为y = f (x )(A)3 四、拓展练习（题目题型训练）1. 设ABC ∆的三个内角为A,B,C1cos()m n A B ⋅=++，则C 等于（ ）2. 设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边为,,,a b c 且76,2,c o s .9a cb B +===()I 求,a c 的值；()I I 求()sin A B -的值。