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核心题点精练四分析物象意蕴和作用散文中的物象就是散文中所出现的具体的景物形象，它往往包含着作者或人物的思想感情。
它主要出现在托物言志或写景状物的散文作品中。
高考考查散文中的物象，主要是考查其意蕴和作用。
考生宜围绕这两个“题点”进行必要的训练，不断提高答题的精准度。
阅读下面的文字，完成文后题目。
灯火陈夫余秋雨在《乡关何处》中写道，思乡往往可以具体到一个河湾，几棵小树，半壁苍苔。
只是我的乡思没有落脚在河湾、小树或苍苔，而是无数个乡村的灯火。
灯火，是一个个村落最为亮堂的眼睛，黑暗中的无声对话者。
晚曦殆尽，乡野渐渐被黑幔吞噬，这时一村落的某个人家便会亮起第一盏灯火，于是另一家也亮了，另一村落也亮了，一盏再一盏，全亮了。
它们相互欣赏着，相互安抚着，相互守护着，直到一个小村落安然眠睡，直到一个大村落高枕无忧。
子夜的乡村常是万籁俱寂，很容易就被一声突兀的狗吠刺破天地，刺破酣卧在天地的村落。
一盏灯火赫然醒来，在狗吠中也赫然有了起床声，赫然有了开门声，一个村落苏醒了；透过门窗的灯火穿过黑色热烈地奔向远方，于是又一盏灯火醒来，又一个村落醒来。
透过门窗的万家灯火穿过黑色依旧热烈地奔向远方，一个接连着一个，大大小小左邻右舍的村落齐刷刷的全醒了。
村落与村落似乎真的很近，近得只要这有意无意的一盏灯火，整个乡村便在注目；却又好像真的很远，远得让乡人们循了灯火总要趟着黑走上个千折百回，完结一个焦虑一个心事，收获一次喜悦一次乡情。
在我的乡思里，不断演绎着这样一幕幕播种和颂传乡情的美丽记忆：黑夜一来，一两户人家的小村落的孩子便寂寞无聊起来，只有白天那销魂的“游击”还意犹未尽，一屁股落在大门槛上饥渴地胡乱向嘴里扒着饭，眼珠一动不动地死瞅着远方大村落那蛊惑人心的蔚然灯火，仿佛那儿战事正酣。
女人见了，一阵骂。
孩子便不情愿地站起身靠着门框叉着腿撅着屁股继续死瞅，女人又是一阵骂。
正在喝酒的男人白了一眼女人和孩子，猛地将一杯老白烧倒进肚里，微醺着走出门，孩子会意地屁颠颠的紧撵过去。
1 2 3 4 5|A](A](A)[AUA] [BKBKBHBHB] (CJICKCUCHCJ [DHDKDHDHD]6 7 8 9 10I A U A H A H A K A ]ICHCHC)(C](Cl IDHDHDHDKD)11 12 13 14 15 (A H A H A H A H A ][CHCJICJICJIC] (DHD](D)[D](D]一、选择题1. 集合 M={x\x=\+a 21 Q GN*}, P= {x\x=a 2—4a + 5, Q GN*}，则下歹ij 关系中正确的是（ ）A. MQPB. PUMC. M=PD. M P 且 P M2. 在厶ABC^,已知/（—1,0）, C （l,0）,且l^q, \CA\, \AB\成等差数列，则顶点B 的轨迹方 程是（）A 专+[= 1B 专+〒=1 （详血）X 2 V 2? V 2C.才+〒=1D.才+〒=1 （xH±2）x+yW3,3. 已知实数x, y 满足不等式组卜+谆2,若z=x-y,则z 的最大值为（）、x20, y^O. A. 3B. 4C. 5D. 64. （2015-舟山模拟）己知力、B 、C 是圆Q x 2 + v 2=l 上三点，OA + OB = OC.则鮎 鬲等于5. （2015-天津模拟）设数列{如是公差不为零的等差数列，它的前舁项和为S ，且Si ，S2, S4 成等比数列，则譽等于（）A. 3B. 4C. 6D. 76. 如图所示，正六边形ABCDEF 的两个顶点D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在 双曲线上，则该双曲线的离心率是（）»»小题榕练2*[O][1K2](3](4H5H6H7H8H9)2[0)[1][2](3K4H5K6H7H8H9] P [O )(1](2][3](4](5H6H7H8H911A -D 3-2A.V3 + 1B.V3-1C.y[3D.迈7.（2015-杭州模拟）给出下面四个命题：①“直线Q〃直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线/丄平而a内所有直线”的充要条件是“/丄平面/ ；③“直线G, b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a, b不相交”:④“平面a〃平面0”的必要不充分条件是“°内存在不共线三点到0的距离相等”. 其中正确命题的序号是（）A.①②B.②③C.③④D.②④8.在圆”+y2_2x—6y=0内，过点E（0,l）的最长弦和最短弦分别为/C和8D,则四边形MCD 的面积为（）A. 5迈B. 10^2C. 15迈D. 2（^/2二、填空题9.数列｛（一1）"（2卅一1）｝的前2016 项和S2oi6= __________________ .10.如果满足ZMBC=60。
训练 2经典小题加强练内容：三角函数、平面向量、解三角形一、选择题1． (2013 课·标全国 Ⅱ 改编 )设 θ为第二象限角， 若 tan θ＋π＝ 1，则 sin θ＋ cos θ等于 (4 210 10 2 5 2 5A ．－ 5 B. 5C. 5D ．－ 5答案Aπ11分析 ∵ tan θ＋4＝ 2， ∴ tan θ＝－ 3，3sin θ＝－ cos θ， 即且 θ为第二象限角， sin 2θ＋ cos 2θ＝ 1，103 10解得 sin θ＝ 10 ， cos θ＝－ 10.∴ sin θ＋ cos θ＝－10 5.2． 在平行四边形 ABCD 中， AC 为一条对角线，→ → →AB ＝ (2,4) ，AC ＝ (1,3) ，则 BD 等于 (A ． (－ 3，－ 5)B ．(3,5)C ． (2,4)D ．(－ 2，－ 4)))答案 A 分析→ → → → → → BC ＝ AC － AB ＝ (－ 1，－ 1) ，BD ＝ BC － AB ＝ (－ 3，－ 5)，应选 A.3． 已知向量 a ＝ (2,3)， b ＝ (－ 4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为()1365A. 13B. 5C.65D. 5答案 D分析依题意得，向量a 在b 方向上的投影为 a ·b 2× －4 ＋3×765，应选 D.|b | ＝－ 4 2 72 ＝ 5＋4． 在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ， b ，c.若 a 2－ b 2 ＝ 3bc ， sin C ＝ 23sin B ，则 A 等于()A ． 30°B ．60°C ．120 °D ． 150 °答案 A分析依据正弦定理及 sin C ＝ 2 3sin B 得 c ＝ 2 3b.2 22 2 2223b ＋c － ac－ a － bc － 3bc 由于 cos A ＝ 2bc ＝2bc＝2bc＝ 2 ，因此 A ＝ 30°.22→ → → → →()5． 已知 A 、 B 、 C 是圆 O ： x ＋ y ＝ 1 上三点， OA ＋ OB ＝OC ，则 AB ·OA 等于3 33 1 A. 2B ．－ 2C ．－ 2D.2答案C分析 → → →∵ OA ＋ OB ＝ OC ，→ 2 → 2 → → → 2 ∴ OA ＋ OB ＋ 2OA ·OB ＝ OC ，→ → 1∴ OA ·OB ＝－ ，2→ → →→ → →→→23∴ AB ·OA ＝ (OB － OA) ·OA ＝OA ·OB －OA ＝－ 2.6． (2012 浙·江 )把函数 y ＝ cos 2x ＋ 1 的图象上全部点的横坐标伸长到本来的2 倍( 纵坐标不变 )，而后向左平移 1 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，获得的图象是()答案 A分析变换后的三角函数为y ＝ cos(x ＋ 1)，联合四个选项可得 A 正确．→ 2 → → → → → →7． 在△ ABC 中，若 AB ＝ AB ·AC ＋ BA ·BC ＋CA ·CB ，则△ ABC 是A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形答案D分析→ 2 → → → →→ →∵ AB ＝ AB ＋ BA＋ CA ·CB ，·AC ·BC→ 2 → → → → → →AB －AB ·AC ＝BA ·BC ＋ CA ·CB ，→ → → → → → ，即 AB ·CB ＝ BA ·BC ＋ CA ·CB→ →∴ CA ·CB ＝ 0，∴∠ C ＝ 90°，即 △ ABC 是直角三角形．π3π8． 当 x ＝4时，函数 f(x)＝ Asin(x ＋ φ)(A>0) 获得最小值，则函数 y ＝ f4 － x 是A ．奇函数且图象对于点 π 对称， 02B ．偶函数且图象对于点 (π， 0)对称πC ．奇函数且图象对于直线x ＝对称2π D ．偶函数且图象对于点， 0对称2答案 C分析π由题意得， sin4＋ φ ＝－ 1，∴ φ可取－3π 4.()( )3π3π3π∴ f－ x＝ Asin － x －4 ＝－ Asin x ，44∴选 C.9． 已知函数 f(x)＝ (cos 2xcos x ＋sin 2xsin x)sin x ， x ∈ R ，则 f(x)是()A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数 πC ．最小正周期为2的奇函数π D ．最小正周期为的偶函数2答案 A分析1 1－ cos 2xf(x)＝ sin 2xcos 2x ＋ sin 2x221 1 1＝ 2sin 2xcos 2x －2sin 2xcos 2x ＋ 2sin 2x 1＝ 2sin 2x ，故 f(x)的最小正周期为 π，又是奇函数．π10．若函数 y ＝Asin(ωx＋ φ)( A>0， ω>0， |φ|<2 )在一个周期内的图象如下图，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且→ →()OM ·ON ＝ 0，则 A ·ω等于π 7πA. 6B. 127 7C. 6 πD. 3 π答案 C分析 由题中图象知 T π π π 4 ＝3－12 ＝4， ∴ T ＝π， ∴ ω＝ 2.π 7又知 M 12，A ，N 12π，－ A ，→ → 27π 2由 OM ·ON ＝ 0，得 122＝A ，∴A ＝7712 π， ∴ A ·ω＝ 6 π.应选 C.11．若方程 sin 2x ＋ 2sin x ＋ a ＝ 0 有解，则实数 a 的取值范围是()A ． [－ 3,1]B ．(－∞， 1]C ． [1，＋∞ )D ． [－ 1,1]答案A分析令 f(x)＝ sin 2x ＋ 2sin x ，则 f( x)的值域是 [ － 1,3] ，由于方程 sin 2x ＋ 2sin x ＋ a ＝0 一定有解，因此－ 1≤ － a ≤3， ∴ －3≤ a ≤ 1.12．动点2212 秒旋转一周．已A(x ， y)在圆 x ＋ y ＝ 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，1 3知时间 t ＝ 0 时，点 A 的坐标是 2， 2 ，则当 0≤ t ≤ 12 时，动点 A 的纵坐标 y 对于 t(单位：秒 )的函数的单一递加区间是()A ． [0,1]B ．[1,7]C ． [7,12]D ． [0,1] 和 [7,12]答案Dπ分析∵ T ＝ 12， ∴ ω＝ 6，3 ππ π又 ∵ t ＝ 0 时， y ＝ 2 ， ∴φ＝ 3， ∴y ＝ sin 6t ＋3 ，π π π π≤ ≤ 2k π＋ 2，令 2k π－2 6t ＋ 3即 12k － 5≤ t ≤ 12k ＋1， k ∈ Z 时， y 递加． ∵ 0≤t ≤12，∴ 函数 y 的单一递加区间是 [0,1] 和 [7,12] ．二、填空题π13．已知函数 f(x)＝2cos 3x ， x ≤2 000，则 f[f(2 012)] ＝ ________.x － 12， x>2 000 ，答案－ 1分析∵ 2 012>2 000 ，∴ f[f(2 012)] ＝ f(2 000)．2 000 π ∴ f(2 000)＝ 2cos ＝ 2cos 32π3＝－1.→ → → → → → 14．在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 BC ＝2BD ， CA ＝ 3CE ，则 AD ·BE ＝ ________.答案－141 分析→→→ → →设 BC ＝ b ，则 AD ＝ AB ＋ BD ＝ b ＋ 2a ，＝ a ，AB→→ → → 1 → 2 1BE ＝ BC ＋ CE ＝ BC ＋ 3CA ＝ 3a － 3b ，且 a ·b ＝ cos 120 ＝°－12，→ →12 1因此 AD ·BE ＝ b ＋ 2a ·3a － 3b1 2 1 2 1 1＝ 3a － 3b ＋ 2a ·b ＝－ 4.15．如图，在△ ABC 中， D 是边 AC 上的点，且 AB ＝ AD, 2AB ＝ 3BD ，BC ＝ 2BD ，则 sin C 的值为 ______ ．答案66分析设 AB ＝ a ，则 AD ＝ a ， BD ＝2a， BC ＝ 2BD ＝ 4a，433AB 2＋AD 2－BD 222cos A ＝2a －3a1 2AB ·AD＝2a 2＝ 3，22 2∴ sin A ＝ 1－ cos A ＝ 3 .AB3× 22 6由正弦定理知 sin C ＝ BC ·sin A ＝ 43 ＝6.3π16．已知函数 f(x)＝ sin 2x ＋ 2(x ∈ R )，给出下边四个命题：π①函数 f(x)的最小正周期为π；②函数 f(x)是偶函数； ③函数 f(x)的图象对于直线x ＝ 对4π称；④函数 f(x)在区间 0，2 上是增函数．此中正确的命题是 ________． 答案①②④3π分析函数 f(x)＝ sin 2x ＋ 2 ＝－ cos 2x ，则其最小正周期为π，故 ① 正确；由 ① 易知函π 数 f(x)是偶函数， ② 正确；由 f(x) ＝－ cos 2x 的图象可知，函数f(x)的图象对于直线x ＝4π不对称， ③ 错误；由 f(x)的图象易知函数f(x) 在 0， 2 上是增函数，故④ 正确．。
高考题型冲刺练12＋4分项练 训练1 基础小题保分练内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数 一、选择题1． (2013·浙江)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T 等于( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)答案 C解析 T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}＝{x |－4≤x ≤1}． S ＝{x |x >－2}，∁R S ＝{x |x ≤－2}， ∴(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}＝(－∞，1]．2． (2013·陕西)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，则有cos 〈a ，b 〉＝±1.即〈a ，b 〉＝0或π，所以a ∥b .由a ∥b ，得向量a 与 b 同向或反向，所以〈a ，b 〉＝0或π，所以|a ·b |＝|a ||b |.3． 设集合A ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，B ＝{(x ，y )|(y －x )(y ＋x )≤0}，M ＝A ∩B ，若动点P (x ，y )∈M ，则x 2＋(y －1)2的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，52B.⎣⎡⎦⎤22，52C.⎣⎡⎦⎤12，102D.⎣⎡⎦⎤22，102答案 A解析 在同一直角坐标系中画出集合A ，B 所在区域，取交集后 可得M 所表示的区域如图中阴影部分所示，而d ＝x 2＋(y －1)2表示的是M 中的点到(0,1)的距离，从而易知所求范围是⎣⎡⎦⎤12，52， 选A.4． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2答案 B解析 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，α＝－4；当α>0时，f (α)＝α2＝4，α＝2. 5． 下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题是真命题D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题 答案 D解析 A 中原命题的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 错；B 中，“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 错；C 中，当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；D 中，逆否命题与原命题共真假，易知原命题为真命题，则其逆否命题也为真命题，因此D 正确．6． 设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >b >c答案 D解析 ∵y ＝2x 是增函数， ∴22.5>20＝1＝2.50.又y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫12 2.5<⎝⎛⎭⎫120＝1， ∴a >b >c .7． 若f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是 ( )A ．t ≤－1B ．t >－1C ．t ≥3D ．t >3答案 D解析 P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}，因为函数f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x ＋t <2}＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则有2－t <－1，即t >3，选D.8． 已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，则f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为 ( )A ．2 011B ．1 006C ．2 013D ．1 007答案 C解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，可知f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2，由f (x )＝f (－x＋2)可知函数f (x )关于直线x ＝1对称，因为函数f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，所以函数f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为2 013个，选C. 9． 若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( )A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0答案 B解析 设函数f (x )＝2x －5－x ，易知f (x )为增函数，f (－y )＝2－y －5y ，由已知得f (x )≤f (－y )，∴x ≤－y ，∴x ＋y ≤0.10．若变量x ，y 满足|x |－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数图象大致是( )答案 B解析 由|x |－ln 1y ＝0，有y ＝1e |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x，x ≥0e x，x <0，利用指数函数图象可知答案选B.11．(2013·陕西)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ] 答案 D解析 特殊值法．令x ＝1.5，∵[－1.5]＝－2，－[1.5]＝－1，故A 错；[2×1.5]＝3,2[1.5]＝2，故B错；令x＝1.5，y＝0.5，[x＋y]＝2，[x]＋[y]＝1＋0＝1，故C错．12．已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y ＝|lg x|的图象的交点共有() A．10个B．9个C．8个D．1个答案 A解析根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；0＜x＜10时，|lg x|＜1；x＞10时，|lg x|＞1.因此结合图象及数据特点y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个．二、填空题13．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|kx－y－2≤0}，其中x，y∈R.若A⊆B，则实数k的取值范围是__________．答案[－3，3]解析要使A⊆B，只需直线kx－y－2＝0与圆相切或相离，2≥1，解得：－3≤k≤ 3.∴d＝1＋k214．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为______________．答案(2,3)∪(－3，－2)解析由图象知，当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0.∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．又f(－2)＝1，f(3)＝1，∴由f(x2－6)>1得f(x2－6)>f(－2)或f(x2－6)>f(3)，∴－2<x2－6<0或0≤x2－6<3，则4<x2<9，∴2<x<3或－3<x<－2.15．有一种垫片，其中外购的单价是每个1.10元，若自己生产，则每月需投资固定成本800元，并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共0.60元．设该厂每月所需垫片x个，则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是________．答案x>1 600解析由题意知：800＋0.60x<1.10x时，自己生产垫片比外购垫片合算，解之得x>1 600.16．已知函数f (x )＝ln x －ax.若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围为________．答案 [－1，＋∞)解析 ∵f (x )<x 2，∴ln x －ax <x 2.又x >1，∴a >x ln x －x 3.令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x ，∵当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0， ∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数， ∴g (x )<g (1)＝－1.∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立．。
一、选择题1.设i 为虚数单位，复数z=(l+i)2+2,则z 的共辘复数为(A. -2iD. 2+2i答案C解析z=(l+i)2+2 = 2i+2 = 2+2i,所以z 的共辄复数是2-2i.2.集合 M= {x\x=l+a\ G WN”}, P={x\x=a 2~4a+5, Q WN),则下列关系中正确的是()B. PCMD.且©PM 答案A解析 P={x*=l+(d —2)2,当a=2时，x=l,而M 中无元素1,尸比M 多一个元 素. 3. 在中，已知力(一1,0), C(1,O),且\BC\, \CA\,凶冈成等差数列，则顶点B 的轨迹方 程是()答案D解析 V|5C|, \CA\, \AB\成等差数列，・・・QC| + |&I|=2|C4|=4,・・点3的轨迹是以C 为焦 点，半焦距c=l,长轴长2d=4的椭圆.又3是三角形的顶点，A, B, C 三点不能共线，故2 2所求的轨迹方程为亍+牙=1,且pHO.x+尹 W3,4.己知实数x,尹满足不等式组\x+y^2f 若z=x-y,则z 的最大值为().x$0, )90.A. 3B. 4C. 5D. 6答案A x+jW3,解析作出不等式组\x+y^2t所对应的可行域，变形目标函数y=x-z,平移直线尹=兀x^O, y^O —z 可知，当直线经过点(3,0)时，z 取最大值，代值计算可得z=x —y 的最大值为3.小题精练2C. 2-2i C. M=P5.若P为曲线y=\nx±一动点，0为直线y=x+]±一动点，贝U|PQ罰等于（2解析如图所示，直线/与y=\nx相切且与y=x+1平行时，切点P 到直线y=x+l的距离0Q即为所求最小值.（lnx）' =£令2=1,得"I eAx=].2故P（1,O）.故尸0|罰=击=迈.6.若点P是函数>=c A-c-x—*0马）图彖上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为弘则a的最小值是（）答案B解析由导数的几何意义,k=y =孑+“^一3$2停戸一3 = — 1,当且仅当x=0时等号成立.即tanaM —1, aW[O,兀），又Vtan（z<0, ・・・a的最小值为才.7.如图所示，正六边形ABCDEF的两个顶点D为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是（A.^34~ 1B.V3-1D.迄答案A 解析令正六边形的边长为加，则有\AD\ = 2m, \AB\ = m, \BD\=y[im f该双曲线的离心率等于諾备=急卡+「 &如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）答案D 解析 由茎叶图可知评委打出的最低分为79,最高分为93,其余得分为84,84,86,84,87, 故平均分为 方差为 |[3X (84-85)2 + (86-85)2+(87-85)2] = 1.6.9. 给出下列五个命题：① 将/、B 、C 三种个体按3 ： 1 ： 2的比例分层抽样调查，如果抽取的/个体为9个，则样本 容量为30；② 一组数据123,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③ 甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,那么这两组数据中比较稳定的是甲；④ 已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为则x 每增加1个单位，尹 平均减少2个单位；⑤ 统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,则样本数据落在 [114.5,124.5)内的频率为 0.4.其中真命题为()A.①②④B.②④⑤C.②③④ D.③④⑤答案B 解析 ①样本容量为9#=18,①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为*1+2 + 3 + 3+4|[(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2]=|x (4+1 +4+9+4)=4.4, ：•胳＞盒 /.乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个， 4故所求概率为Y Q =0.4,⑤是真命题.10. 在圆x 2+y 2-2x-6y=0内，过点E(0,l)的最长弦和最短弦分别为/C 和购，则四边形 ABCD 的面积为()A. 5迄B. 10V2C. 15迈D. 20^2答案B解析 圆的标准方程为(x-l)2+(y-3)2=10,则圆心(1,3),半径r=VT0,由题意知/C 丄 且|/(?| = 2帧，|A. 84,4.84C. 85,4 79 84 4 6 4 7 93B. 84,1.6D. 85,1.6+ 5) = 3,中位数为3,众数为3,都相同，②是真命题；③x5 + 6+9+10+5血|=2勺10_5 = 2谄,所以四边形ABCD的面积为S=^\AC\ \BD\=^X2y[W X2V5=10A/2.二、填空题11 ・数列｛(-1 )"(2〃一1)｝的前2016 项和52()16= _ •答案2016解析S2O16=-1+3 — 5 + 7+…一(2X2015—1)+(2X2016—1)=? + 2十・..+ 2 =2016.I00&个2相加12. _______________________________________________________ 下图是一个程序框图，若输入x的值为一4,则输出y的值为_______________________________ .答案2解析当兀=一4 时，|一4|>3,则x=7；当x=7时，|7|>3,兀=4；当x=4 时，|4|>3, x=l；当x=l时，|1|>3不成立，则输出j/=2' = 2.13.如果满足ZMC=60。
1 2 3 4 5|A](A](A)[AUA] [BKBKBHBHB] (CJICKCUCHCJ [DHDKDHDHD]6 7 8 9 10 I A U A H A H A K A ]ICHCHC)(C](Cl IDHDHDHDKD)11 12 13 14 15(A H A H A H A H A ][CHCJICJICJIC] (DHD](D)[D](D]一、选择题1. 已知集合 M={x\x^x 2}f N={y^=2\ xGR},则 MQN 等于( )A. (0,1]B. (0,1)C. [0,1)D. [0,1]2. 命题的否定是( ) A. *R, B. VxER, x 2=xC. 3x4R,X 'H XD.R» X 2=X3. 设 Q=(|)|，b=(|£, c=(|% 则 a, b, c 的大小关系是()A- a>c>b B ・ a>b>c C. c>a>bD. b>c>a4. 设加，〃是两条不同的直线，g 0是两个不同的平面，下列命题中正确的是() A. 若加〃a, n//a f 则 m//nB. 若 G 丄〃，加丄“，mQa,则 tn//aC. 若a 丄“,fnUa,则加丄0D. 若加Ucc, 〃Ua, 〃？〃0, n 〃B ，贝lj ct 〃05. 已知M(a, b)(abH0)是圆O ： x 2+y 2=r 2内一点，现有以M 为屮点的弦所在直线加和直线/： ax+by=^f 贝lj()A. m//l,且/与圆相交B. /丄加，且/与圆相交C. m 〃l,且/与圆相离D. /丄加，与/与圆相离兀一y+1 W0,6. 变量x 、y 满足条件<応1,M(X -2)2+J 2的最小值为()X>— 1 ,»»小题苗练4*【0)⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻(9] 2 [0)[1][2](3K4H5K6H7H8H9] 弓[O)(1](2][3](4](5H6H7H8H91B.^5二、填空题9・(2015-绍兴模拟)在厶ABC 中，A. B 、C 的对边分别为a 、b 、s 若a = 3, B=2A, cosA10. 已知向量a, 〃满足|a| = l, \a+b\=y[7, (a, b)=彳，则|方|= ___________ ..xMO,11. 己知平面区域石$0, 恰好被面枳最小的圆C ： (x-a)2+^~b)2=r 2及其内部所x+2y —4^0 覆盖，则圆C 的方程为 ______________ 12. (2015-衢州质检)下列结论：① 若命题P ： 3 VR, tanx= 1 ；命题g ： R, x 2—x~\~ 1>0,则命题"p 1\儀q"是假命题; ② 已知直线厶：祇+3尹一1=0, /2： x+®+l=O,贝昇丄“的充要条件是彳=一3；③ 命题“若3X +2 = 0,则兀=1”的逆否命题：“若兀H1,则,一3x+2H0” .其屮正确 结论的序号为7.A. k=q.B. k =~^f壮r+1(—2Wx<0),的图象如图，贝lj(C. k=-g, co=|, 0=?D. k = —2, ® = 2, 0=亍8.己知整数a, b, c, /满足:2(t +2h=2c ff=字，K'J log 2/ 的最大值是( A. 0 B. Iog23 C. 2D. 3 函数尸2血3+卩)(0匕0<局) 1兀13.设Q0,函数y=sin@x+£j+2的图象向右平移罟个单位后与原图象重合，则®的最小值是___________________________________ .14.已知椭圆的屮心在坐标原点O, A, C分别是椭圆的上下顶点，B是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，直线/F与BC相交于点D若椭圆的离心率为*，则ZBDF的正切值为___________ 15.对向量a=（ci\ f aj, b = （b\,方2）定乂—种运算"©” : a®b=（ci \, U2）®（b\, 〃2）=（。
12＋4综合练(三)一、选择题1． 已知A ＝{x |x 2－4x －5＝0}，B ＝{x |x 2＝1}，则A ∩B 等于( )A ．{1}B ．{1，－1,5}C ．{－1}D ．{1，－1，－5}答案 C解析 因为A ＝{x |x 2－4x －5＝0}＝{－1,5}；B ＝{1，－1}，A ∩B ＝{－1}，故选C.2． 已知复数z 1＝1＋i ，z 2＝11＋i在复平面内对应的点分别为P 1，P 2，O 为坐标原点，则向量OP 1→，OP 2→所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 D解析 因为z 2＝11＋i＝1－i 2，OP 1→＝(1,1)，OP 2→＝⎝⎛⎭⎫12，－12，所以OP 1→·OP 2→＝0，故OP 1→，OP 2→的夹角为π2.3． 已知f (x )＝⎩⎨⎧3sin πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f (23)的值为( )A.12B ．－12C ．1D ．－1答案 B解析 f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝3sin(－π3)＋1＝－32＋1＝－12. 4． 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23答案 A解析 如图，过点D 分别做AC ，BC 的平行线，分别交BC ，AC 于点F ，E ，∴CD →＝CE →＋CF →，∵AD →＝2DB →，∴CE →＝13CA →，CF →＝23CB →，CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.5． 在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋cos x ≥62”发生的概率为( )A.14B.13C.12D.23答案 B解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ≥62，0≤x ≤π，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin (x ＋π4)≥32，0≤x ≤π，即π12≤x ≤5π12.根据几何概型的计算方法，所以所求的概率为P ＝5π12－π12π＝13.6． 设0<a <1时，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)答案 C解析 ∵0<a <1，∴a 2x －2a x －2>1. ∴(a x －1)2－3>1，∴|a x －1|>2，∴a x >3.∴x <log a 3，∴x ∈(－∞，log a 3)．7． 函数y ＝xsin 2x，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0∪⎝⎛⎭⎫0，π2的图象可能是下列图象中的 ( )答案 D解析 由函数y ＝xsin 2x，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0∪⎝⎛⎭⎫0，π2是偶函数，排除A ；又由函数y ＝sin 2x ，y ＝2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的图象可知恒有2x >sin 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以y ＝x sin 2x >12，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，排除B 和C ，故选D.8． 已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29答案 C解析 设公比为q (q ≠0)，则由a 2·a 3＝2a 1知a 1q 3＝2， ∴a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.∴a 1＝16，q ＝12.∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝31.9． 执行如图所示的程序框图，输出的S 是 ( )A ．10B ．15C ．20D ．35答案 D解析 利用程序框图确定运行次数．该程序框图运行5次，各次的S 分别是1,4,10,20,35，所以输出的S ＝35.10．设函数f (x )＝3sin θ3x 3＋cos θ2x 2＋4x －1，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π6，则导数f ′(－1)的取值范围是( )A ．[3,6]B ．[3,4＋3]C ．[4－3，6]D ．[4－3，4＋3]答案 A解析 f ′(x )＝3sin θ·x 2＋cos θ·x ＋4， f ′(1)＝3sin θ·(－1)2＋cos θ·(－1)＋4＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋4， ∵0≤θ≤5π6，∴－π6≤θ－π6≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6≤1，∴3≤f ′(1)≤6. 11．对任意x ∈R ，|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[－1,5]B ．(－1,5]C ．[－1,5)D ．(－1,5)答案 A解析 |2－x |＋|3＋x |＝|x －2|＋|x －(－3)|，它的最小值为5，∴a 2－4a ≤5，∴－1≤a ≤5，∴a ∈[－1,5]．12．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业______年后需要更新设备．( )A ．10B ．11C ．13D ．21答案 A解析 由题意可知x 年的维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年平均污水处理费用y ＝100＋0.5x ＋x (x ＋1)x ＝x ＋100x ＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100x ＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取等号，所以选A.二、填空题13．若命题p ：∀x ∈R ，1x －2<0，则綈p ：________.答案 存在x 0∈R ，使1x 0－2>0或x 0－2＝0(也可以写为：存在x 0∈R ，使x 0≥2)解析 含一个量词的命题的否定，首先否定其结论，然后再改变量词．14．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________． 答案 (1,2)解析 由AB ⊥x 轴，可知△ABE 为等腰三角形，又△ABE 是锐角三角形，所以∠AEB为锐角，即∠AEF ＝12∠AEB <45°，则|AF |<|EF |.由题意，可求得|AF |＝b 2a，|EF |＝a ＋c ，所以b2a <a ＋c ，即c 2－a 2<a 2＋ac ，即e 2－e －2<0，解得－1<e <2.又双曲线的离心率e >1，从而1<e <2.15．已知x >0，有下列不等式成立：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2≥3 3x 2·x 2·4x 2＝3，…， x ＋axn ≥n ＋1，则a ＝______. 答案 n n解析 由题意可得x ＋a x n ＝ ＋axn ≥(n ＋1)＝n ＋1，所以a ＝n n .16．给出下列命题：①若平面α内的直线a 与平面β内的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a ，b 中的一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面；③一定存在平面α同时和异面直线a ，b 都平行．其中正确的命题为________． 答案 ③解析 ①错，c 可与a ，b 都相交；②错，因为a ，c 也可能相交或平行；③正确，例如过异面直线a ，b 的公垂线的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件.。
第1讲 六招求解选择题[题型分析·高考展望] 选择题是高考试题的三大题型之一，其特点是：难度中低，小巧灵活，知识覆盖面广，解题只要结果不看过程.解选择题的基本策略是：充分利用题干和选项信息，先定性后定量，先特殊再一般，先排除后求解，避免“小题大做”.解答选择题主要有直接法和间接法两大类.直接法是最基本、最常用的方法，但为了提高解题的速度，我们还要研究解答选择题的间接法和解题技巧.高考必会题型方法一 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.例1 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若F A →＝2AB →，则双曲线的离心率为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 答案 D解析 设点F (c ，0)，B (0，b )， 由F A →＝2AB →，得OA →－OF →＝2(OB →－OA →)， 即OA →＝13(OF →＋2OB →)，所以点A (c 3，2b3)，因为点A 在渐近线y ＝bax 上，则2b 3＝b a ·c3，即e ＝2. 点评 直接法是解答选择题最常用的基本方法，直接法适用的范围很广，一般来说，涉及概念、性质的辨析或运算比较简单的题多采用直接法，只要运算正确必能得出正确的答案.提高用直接法解选择题的能力，准确地把握题目的特点.用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，在稳的前提下求快，一味求快则会快中出错.变式训练1 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A.2，－π3B.2，－π6C.4，－π6D.4，π3答案 A解析 由图可知，T 2＝11π12－5π12，即T ＝π，所以由T ＝2πω可得，ω＝2，所以函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又因为函数图象过点(5π12，2)，所以2＝2sin(2×5π12＋φ)，即2×5π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又因为－π2<φ<π2，所以φ＝－π3.方法二 特例法特例法是从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等.例2 (1)已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32 B. 2 C.1 D.12(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 均不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A.(1，10)B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24) 答案 (1)A (2)C 解析 (1)如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点，AO →＝23AD →，则有13 AB →＋13AC →＝2m ·AO →， ∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32，故选A. (2)不妨设0<a <1<b ≤10<c ，取特例， 如取f (a )＝f (b )＝f (c )＝12，则易得a ＝1021-，b ＝1021，c ＝11，从而abc ＝11，故选C.点评 特例法具有简化运算和推理的功效，用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.变式训练2 (1)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1，2，3，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( ) A.n (2n －1) B.(n ＋1)2 C.n 2 D.(n －1)2(2)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A.3∶1B.2∶1C.4∶1D.3∶1 答案 (1)C (2)B解析 (1)因为a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)， 所以令n ＝3，代入得a 5·a 1＝26， 再令数列为常数列，得每一项为8， 则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＝9＝32. 结合选项可知只有C 符合要求.(2)将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有1C AA B V -＝1A ABC V -＝13111ABC A B C V -，故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2∶1.方法三 排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确答案.例3 (1)函数f (x )＝2|x |－x 2的图象为( )(2)函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－22，0 B.[－1，0] C.[－2，－1] D.⎣⎡⎦⎤－33，0 答案 (1)D (2)B解析 (1)由f (－x )＝f (x )知函数f (x )是偶函数， 其图象关于y 轴对称，排除选项A 、C ； 当x ＝0时，f (x )＝1，排除选项B ，故选D. (2)令sin x ＝0，cos x ＝1， 则f (x )＝0－13－2×1－2×0＝－1，排除A ，D ；令sin x ＝1，cos x ＝0，则f (x )＝1－13－2×0－2×1＝0，排除C ，故选B.点评 排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.变式训练3 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A.[－1，2]B.[－1，0]C.[1，2]D.[0，2](2)(2015·浙江)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案 (1)D (2)D解析 (1)若a ＝－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤0，x ＋1x －1，x >0，易知f (－1)是f (x )的最小值，排除A ，B ； 若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，x ＋1x，x >0，易知f (0)是f (x )的最小值，故排除C.故D 正确. (2)∵f (x )＝(x －1x )cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ； 当x ＝π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 方法四 数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法，有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论.例4 (1)已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( ) A.60° B.90° C.120° D.150°(2)定义在R 上的奇函数f (x )和定义在{x |x ≠0}上的偶函数g (x )分别满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，0≤x ＜1，1x，x ≥1，g (x )＝log 2x (x >0)，若存在实数a ，使得f (a )＝g (b )成立，则实数b 的取值范围是( ) A.[－2，2]B.[－12，0)∪(0，12]C.[－2，－12]∪[12，2]D.(－∞，－2]∪[－2，＋∞)答案 (1)B (2)C 解析 (1)如图，因为〈a ，b 〉＝120°， |b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0， 所以在△OBC 中， BC 与CO 的夹角为90°， 即a 与c 的夹角为90°.(2)分别画出函数f (x )和g (x )的图象， 存在实数a ， 使得f (a )＝g (b )成立，则实数b 一定在函数g (x )使得两个函数的函数值重合的区间内， 故实数b 的取值范围是[－2，－12]∪[12，2].点评 图解法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择.变式训练4 (1)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 2，C 1上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A.52－4 B.17－1 C.6－2 2 D.17(2)已知函数f (x )＝4x 与g (x )＝x 3＋t ，若f (x )与g (x )的交点在直线y ＝x 的两侧，则实数t 的取值范围是( )A.(－6，0]B.(－6，6)C.(4，＋∞)D.(－4，4)答案 (1)A (2)B解析 (1)作圆C 1关于x 轴的对称圆C 1′：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1， 则|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|，由图可知当点C 2、M 、P 、N ′、C 1′在 同一直线上时，|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|取得最小值， 即为|C 1′C 2|－1－3＝52－4.(2)根据题意可得函数图象，g (x )在点A (2，2)处的取值大于2，在点B (－2，－2)处的取值小于－2，可得g (2)＝23＋t ＝8＋t >2，g (－2)＝(－2)3＋t ＝－8＋t <－2，解得t ∈(－6，6)，故选B.方法五 正难则反法在解选择题时，有时从正面求解比较困难，可以转化为其反面的问题来解决，即将问题转化为其对立事件来解决，实际上就是补集思想的应用.例5 (1)设集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0<a <6} B.{a |a <2或a >4} C.{a |a ≤0或a ≥6}D.{a |2≤a ≤4}(2)已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，若在[－1，1]上存在x 使得f (x )>0，则实数p 的取值范围是( ) A.[－32，－12]∪[1，3]B.[1，3]C.[－12，3]D.(－3，32)答案 (1)A (2)D解析 (1)当A ∩B ＝∅时，由图可知a ＋1≤1或a －1≥5， 所以a ≤0或a ≥6，故当A ∩B ≠∅时，0<a <6.(2)若在[－1，1]上不存在x 使得f (x )>0， 即当x ∈[－1，1]时，f (x )≤0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0， 解得⎩⎨⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，即p ∈(－∞，－3]∪[32，＋∞)，其补集是(－3，32).点评 应用正难则反法解题的关键在于准确转化，适合于正面求解非常复杂或者无法判断的问题.变式训练5 若函数y ＝e x ＋mx 有极值，则实数m 的取值范围是( ) A.(0，＋∞) B.(－∞，0) C.(1，＋∞) D.(－∞，1) 答案 B解析 y ′＝(e x ＋mx )′＝e x ＋m ，函数y ＝e x ＋mx 没有极值的充要条件是函数在R 上为单调函数， 即y ′＝e x ＋m ≥0(或≤0)恒成立， 而e x ≥0，故当m ≥0时，函数y ＝e x ＋mx 在R 上为单调递增函数，不存在极值， 所以函数存在极值的条件是m <0. 方法六 估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程.因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义.估算法往往可以减少运算量，但是提升了思维的层次.例6 (1)已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，x 2是方程x ＋10x ＝3的根，则x 1＋x 2等于( ) A.6 B.3 C.2 D.1(2)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92B.5C.6D.152 答案 (1)B (2)D解析 (1)因为x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，所以2<x 1<3，x 2是方程x ＋10x ＝3的根，所以0<x 2<1， 所以2<x 1＋x 2<4.(2)该多面体的体积比较难求，可连接BE 、CE ，问题转化为四棱锥E －ABCD 与三棱锥E －BCF 的体积之和， 而V E －ABCD ＝13S ·h ＝13×9×2＝6，所以只能选D.点评 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项. 变式训练6 (1)设a ＝log 23，b ＝232，c ＝334，则( )A.b <a <cB.c <a <bC.c <b <aD.a <c <b(2)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5 (π2<θ<π)，则tan θ2等于( )A.m －3q －mB.m －3|q －m |C.－15 D.5答案 (1)B (2)D解析 (1)因为2>a ＝log 23>1，b ＝232>2，c ＝334-<1，所以c <a <b .(2)由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 一定为确定的值进而推知tan θ2也是一确定的值，又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ2>1.所以D 正确. 高考题型精练1.已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q 等于( ) A.[0，1) B.(0，2] C.(1，2) D.[1，2] 答案 C解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}， ∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}，故选C.2.(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C.y ＝sin 2x ＋cos 2x D.y ＝sin x ＋cos x答案 B解析 A 项，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意； B 项，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意； C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意； D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意. 3.已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 227＝1B.y 29－x 227＝1C.y 212－x 224＝1D.y 224－x 212＝1 答案 B解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为(0，6)， 所以双曲线的焦点坐标为(0，6)和(0，－6)， 所以双曲线中c ＝6，又因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，所以a b ＝33，所以a 2b 2＝13，又a 2＋b 2＝36， 得a 2＝9，b 2＝27. 故选B.4.图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )答案 B解析 由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.5.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.[－1，13]B.[－12，13]C.[－12，＋∞)D.[－12，1)答案 B解析 如图，z ＝y －1x ＋1表示可行域内的动点P (x ，y )与定点A (－1，1)连线的斜率.6.函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )等于( )A.e x ＋1 B.e x －1 C.e －x ＋1D.e－x －1答案 D解析 依题意，f (x )向右平移一个单位长度之后得到的函数是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e－x向左平移一个单位的结果，所以f (x )＝e－x －1.7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) A.1 B. 2 C.2－12 D.2＋12答案 C解析 由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12. 8.给出下面的程序框图，若输入的x 的值为－5，则输出的y 值是( ) A.－2 B.－1 C.0 D.1答案 C解析 由程序框图得：若输入的x 的值为－5， (12)－5＝25＝32>2， 程序继续运行x ＝－3，(12)－3＝23＝8>2，程序继续运行x ＝－1，(12)－1＝2，不满足(12)x >2，∴执行y ＝log 2x 2＝log 21＝0， 故选C.9.(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1B.[0，1]C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.[1， ＋∞)解析 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＜0，且S 2 015＝0，则当S n 取得最小值时，n 的取值为( )A.1 009B.1 008C.1 007或1 008D.1 008或1 009 答案 C解析 等差数列中，S n 的表达式为n 的二次函数，且常数项为0，故函数S n 的图象过原点，又a 1＜0，且存在n ＝2 015使得S n ＝0，可知公差d ＞0，S n 图象开口向上，对称轴n ＝2 0152，于是当n ＝1 007或n ＝1 008时，S n 取得最小值，选C.11.已知四面体P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( ) A.7π B.8π C.9π D.10π 答案 C解析 依题意，记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2，1，2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9，4πR 2＝9π，所以球O 的表面积为9π.12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于( ) A.100 B.101 C.200 D.201 答案 A解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以a 1＋a 200＝1， S 200＝a 1＋a 2002×200＝100.13.若(x －2x )n 的二项展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( )A.6B.10C.12D.15解析 ∵T k ＋1＝C k n (x )n －k(－2x)k ＝C k n (－1)k 2k32-n kx ，∴T 5＝C 4n ·24·122-n x.令n －12＝0，∴n ＝12.14.在抛物线y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A.(－2，1)B.(1，2)C.(2，1)D.(－1，2) 答案 B解析 如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|， 当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号. ∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1， 则可排除A 、C 、D ，故选B.15.已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A.[2－2，2＋2] B.(2－2，2＋2) C.[1，3] D.(1，3) 答案 B解析 ∵f (a )>－1，∴g (b )>－1， ∴－b 2＋4b －3>－1， ∴b 2－4b ＋2<0， ∴2－2<b <2＋ 2. 故选B.16.若不等式m ≤12x ＋21－x 在x ∈(0，1)时恒成立，则实数m 的最大值为( )A.9B.92C.5D.52答案 B解析 12x ＋21－x ＝(12x ＋92x )＋[92(1－x )＋21－x ]－92 ≥212x ×92x ＋2 92(1－x )(21－x )－92＝2×32＋2×3－92＝9－92＝92，当且仅当⎩⎨⎧12x ＝92x ，92(1－x )＝21－x即x ＝13时取得等号，所以实数m 的最大值为92，故选B.17.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )在R 上恒有f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为( ) A.(1，＋∞) B.(－∞，－1) C.(－1，1) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 D解析 记g (x )＝f (x )－12x －12，则有g ′(x )＝f ′(x )－12<0，g (x )是R 上的减函数，且g (1)＝f (1)－12×1－12＝0，不等式f (x 2)<x 22＋12， 即f (x 2)－x 22－12<0，g (x 2)<0＝g (1)， 由g (x )是R 上的减函数得x 2>1， 解得x <－1或x >1，即不等式f (x 2)<x 22＋12的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞). 18.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg (－x )|，x <0，x 2－6x ＋4，x ≥0，若函数F (x )＝f 2(x )－bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.(2，8)C.(2，174] D.(0，8)答案 C解析 函数f (x )的图象如图所示：要使方程f 2(x )－bf (x )＋1＝0有8个不同实数根，令f (x )＝t ，意味着0<t ≤f (0)(f (0)＝4)且t 有两个不同的值t 1，t 2，0＜t 1＜t 2≤4， 即二次方程t 2－bt ＋1＝0在区间(0，4]上有两个不同的实数根.对于二次函数g (t )＝t 2－bt ＋1， 这意味着Δ＝b 2－4>0(或g (b2)<0)，0<b2<4(或t 1＋t 2＝b ∈(0，8))， 因为g (0)＝1>0(不论t 如何变化都有图象恒过定点(0，1))， 所以只需g (4)≥0，求得b ≤174， 综上可得b ∈(2，174].。
12＋4综合练(二)一、选择题1． 复数1＋i 4＋3i的虚部是 ( ) A.125i B.125 C ．－125D ．－125i 答案 B解析 1＋i 4＋3i ＝(1＋i )(4－3i )(4＋3i )(4－3i )＝725＋i 25，所以虚部为125. 2． 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |2<x <4}，那么集合B ∩(∁U A )等于( )A ．{x |－1≤x ≤4}B ．{x |2<x ≤3}C ．{x |2≤x <3}D ．{x |－1<x <4}答案 B3． “α＝π6”是“cos 2α＝12”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析 当α＝π6时，则cos 2α＝cos π3＝12成立，但是cos 2α＝12，得到α＝±π6＋k π，k ∈Z ，不一定可以推出α＝π6，因此“α＝π6”是“cos 2α＝12”的充分不必要条件． 4． 已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3) 答案 B解析 ∵f (a )>－1，∴g (b )>－1，∴－b 2＋4b －3>－1，∴b 2－4b ＋2<0，∴2－2<b <2＋ 2.选B.5． 如果log x <log y <0，那么( ) A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x 答案 D解析 因为y ＝log 12x 为(0，＋∞)上的减函数，所以x >y >1. 6． 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，且z ＝2x ＋y 的最小值为4，则实数b 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．412 12答案 C解析 画出可行域可知y ＝－2x ＋z 过⎝⎛⎭⎫b 3，2b 3时z 取得最小值，所以2×b 3＋2b 3＝4，b ＝3. 7． 设l ，m ，n 为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是( )①若l ⊥α，则l 与α相交；②若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α；③若l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α，则n ⊥α；④若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥α，则l ∥n .A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于不能确定直线m ，n 是否相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性，l ∥n ，故当l ⊥α时，一定有n ⊥α，命题③正确；m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，又l ∥m ，即l ∥n ，命题④正确．8． 执行如图所示的程序框图，若输入x ＝0.1，则输出的m 的值是 ( )A ．0B ．0.1C ．1D ．－1答案 A解析 当x ＝0.1时， m ＝lg 0.1＝－1，因为－1<0，执行m ＝m ＋1＝－1＋1＝0，将0赋给m ，输出的m 的值是0.9． 过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右焦点F ，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM 交y 轴于点P ，切圆于点M ，且2OM →＝OF →＋OP →，则双曲线的离心率是 ( ) A. 2B. 3 C ．2 D. 5答案 A解析 由已知条件知，点M 为直角三角形OFP 斜边PF 的中点，故OF ＝2OM ，即c ＝2a ，所以双曲线的离心率为 2.10．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，则身高为176 cm 的同学被抽中的概率为 ( )A.15B.25C.35D.45 答案 B 解析 从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，共有10种不同的取法．设A 表示随机事件“抽到身高为176 cm 的同学”，则A 中的基本事件有4个．故所求概率为P (A )＝410＝25. 11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( ) A.2n ＋1－13 B.2n ＋1－23C.22n －13D.22n －23答案 C解析 依题意得，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1，a n＝2n －1也适合a 1.因此，a n ＝2n －1，a n ＋1a n＝2，数列{a n }是等比数列，数列{a n }的奇数项的前n 项和为1×(1－22n )1－22＝22n －13. 12．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max {}x 1，x 2，…，x n ，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ， 则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1. ∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝c a .又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝a c， 即a b ＝a c 或b c ＝a c，得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形．∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．二、填空题13．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－2,2)解析 由于函数f (x )是连续的，故只需要两个极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，得x ＝±1，只需f (－1)·f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2)．14．已知湖南有醴陵中国红、浏阳菊花石、安化黑茶、长沙湘绣，在湖南卫视的“百科全说第二季”栏目中，有一道试题分别给出了中国红、菊花石、黑茶、湘绣，要求与醴陵、浏阳、安化、长沙在答题板上用笔一对一连起来，每连对一组得2分，连错不得分，得4分及其以上者可以参加下一关的挑战，则挑战者得2分的概率为________．答案 13解析 由题意知挑战者连线的所有方式一共有24种，挑战者得2分即连线仅仅连对一组，其余三组都连错，其连线方式有4×2＝8种，故得2分的概率为824＝13. 15．如图所示是函数＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|∈(0，π2))图象的一部分，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝2sin(23x ＋π6)＋1 解析 由于最大值和最小值之差等于4，故A ＝2，b ＝1.由于2＝2sin φ＋1，且|φ|∈(0，π2)，得φ＝π6，由图象知ω(－π)＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，得ω＝－2k ＋23(k ∈Z )．又2πω>2π，∴0<ω<1，∴ω＝23，∴函数f (x )的解析式是f (x )＝2sin(23x ＋π6)＋1. 16．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准 线的距离之和的最小值为________．答案 172解析 如图，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于 点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点M (0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点M (0,2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为1 4＝17 2.4＋。
第二篇 考前静悟篇专题一 解题求规范，小处不丢分第一讲 审题求规范审题即弄清题意，是解题的基础，是快速、正确解题的前提，“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”审题能力的高低是决定成绩的重要因素，不良的审题习惯会导致解题失误，运算繁冗．正确合理的审题可以使解题有条不紊，快速高效．审题包含两方面的内容：题目信息的整合和解题方法的选择．通过对题目条件、结论进行多角度地观察，由表及里，由数到形，由条件到结论，洞察问题实质，选择合适的解题方法，审题时不要急于求成．本讲结合实例，教你规范审题，不在小处丢分． 一审词——看清条件和结论词，无疑是指题目中的关键词，数学审题，首先要抓住关键词，看清题目的条件和结论．全面、深刻、准确地把握关键词是审题的基本要求，体现了对细节的关注．在此基础上，对条件结论进行挖掘、转化．例1 将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )A.19B.112C.115D.118规范审题 (1)锁定关键词：连续抛掷三次、依次成等差数列；(2)关键词的转化：连续抛掷三次：基本事件总数6×6×6＝216种；依次成等差数列：列举符合条件的基本事件．解析 基本事件总数为6×6×6＝216(种)； 当公差为1时，首项可以为1,2,3,4； 当公差为2时，首项可以为1,2； 当公差为－1时，首项可以为6,5,4,3； 当公差为－2时，首项可以为6,5； 当公差为0时，首项可以为1,2,3,4,5,6.符合条件的基本事件数为4＋2＋4＋2＋6＝18(种)．故所求概率为18216＝112.答案 B例2 已知直线l 过点P (5,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为________．规范审题 (1)锁定关键词：l 在两坐标轴上的截距相等；(2)关键词的转化：l 过原点(两截距均为0)、l 不过原点且在两坐标轴上的截距相等． 解析 当直线l 过原点时，易得l ：2x －5y ＝0；当l 不过原点时，设l ：x a ＋ya ＝1.将P (5,2)代入l 方程可得a ＝7，此时l ：x ＋y －7＝0.故所求直线l 的方程为2x －5y ＝0和x ＋y －7＝0. 答案 2x －5y ＝0和x ＋y －7＝0跟踪训练1 (1)(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点，若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________． 答案10，－1解析 |P A |2＝(x －a )2＋⎝⎛⎭⎫1x －a 2＝x 2＋1x 2－2ax －2ax ＋2a 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2a ＋2a 2－2 ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x －a 2＋a 2－2 由x >0，得x ＋1x ≥2，由已知条件⎩⎨⎧ a ≥2a 2－2＝8或⎩⎨⎧a <2(2－a )2＋a 2－2＝8 解得a ＝10或a ＝－1.(2)具有性质f (1x )＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数．则下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (0＜x ＜1)，0(x ＝1)，－1x (x ＞1).满足“倒负”交换的函数是________．答案 ①③解析 ①f (1x )＝1x －11x＝1x －x ＝－(x －1x)＝－f (x )，故该函数为“倒负”交换的函数；②f (1x )＝1x ＋11x ＝1x＋x ＝f (x )，故该函数不是“倒负”交换的函数；③当x ＝1时，1x ＝1，显然此时f (x )＝0，f (1x )＝0，故有f (1x )＝－f (x )；当0<x <1时，1x >1，此时f (x )＝x ，f (1x )＝－11x＝－x ，故有f (1x)＝－f (x )；当x >1时，0<1x <1，此时f (x )＝－1x ，f (1x )＝1x ，故有f (1x )＝－f (x )．综上，只有①③为“倒负”交换的函数． 二审图——关系特征要明晰图形或者图象的力量比文字更为简洁有力，挖掘其中蕴含的有效信息，正确理解问题是解决问题的关键．对图形或者图象的独特理解很多时候成为问题解决中的亮点．此处审题的要求是：图形有何重要特征包括图形隐含的特殊关系、变化的趋势、图形对应数值的特点等；利用数形结合的思想方法对条件进行转化，找到和要求证结论的联系．例3 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．规范审题 向量OA →，OB →，OC →均为单位向量，∠AOC 的大小影响x ＋y ，可以利用数量积将向量间的关系转化为数量关系．解析 ∵OC →＝xOA →＋yOB →，设∠AOC ＝α， 则⎩⎪⎨⎪⎧OC →·OA →＝xOA →2＋yOA →·OB →OC →·OB →＝xOA →·OB →＋yOB →2，即⎩⎨⎧cos α＝x －y2cos (120°－α)＝－12x ＋y .∴x ＋y ＝2[cos α＋cos(120°－α)]＝2sin(α＋30°)． ∴x ＋y ≤2(当且仅当α＝60°时取等号)． ∴x ＋y 的最大值是2. 答案 2跟踪训练2 (1)已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0解集为( )A ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案 B解析 由f (x )的图象可知在(－∞，－1)和(1，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,1)上f ′(x )<0， ∴不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －3>0x <－1或x >1(Ⅰ)或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3<0－1<x <1(Ⅱ) 由(Ⅰ)得x >3或x <－1； 由(Ⅱ)得－1<x <1.故所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．(2)如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝2，|OB →|＝32，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则 ( )A ．λ＝4，μ＝2B ．λ＝83，μ＝32C ．λ＝2，μ＝43D ．λ＝32，μ＝43答案 C解析 由图知OB →，OC →夹角为90°， ∴⎩⎪⎨⎪⎧OB →·OC →＝λOB →·OA →＋μOB →2，OC →·OA →＝λOA →2＋μOB →·OA →，∴⎩⎨⎧0＝λ×32×2×⎝⎛⎭⎫－12＋94μ，23×2×cos 30°＝λ×4＋μ×32×2×⎝⎛⎭⎫－12，解得λ＝2，μ＝43.三审表——透过数据看规律在日常生活和生产中经常会出现图表问题，如每日的股市曲线图、菜场上的价目表等，都是高考命题的源泉．表格中隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系，对于表格的分析要能慧眼独具，不为浮云遮望眼，透过现象看本质．看清表格的本质，问题解决也就有了基础．审题的要求是：认真观察图表、分析数据的特征和规律，根据规律解决问题． 例4 已知函数f (x )，g (x )则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值为________．规范审题第一步：直接根据函数值填写；第二步：函数值比较少且规律不明显，可以使用枚举的办法解决．解析①∵g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1.②当x＝1时，f[g(x)]＝f[g(1)]＝f(3)＝1.g[f(x)]＝g[f(1)]＝g(1)＝3.此时1<3，也即f[g(x)]<g[f(x)]，不合题意．当x＝2时，f[g(x)]＝f[g(2)]＝f(2)＝3.g[f(x)]＝g[f(2)]＝g(3)＝1.此时3>1，即f[g(x)]>g[f(x)]，符合题意；当x＝3时，f[g(x)]＝f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(x)]＝g[f(3)]＝g(1)＝3，此时f[g(x)]<g[f(x)]，不合题意．故所求x的值为2.答案1 2跟踪训练3观察下列三角形数表：其中从第2行起，每行的每一个数为其“肩膀”上两数之和，则该数表的最后一行的数为()A．101×298B．101×299C．99×299D．100×299答案 A解析该数表共100行，第2行的第1个数为3＝3×20，第3行的第1个数为8＝4×21，第4行的第1个数为20＝5×22，第5行的第1个数为48＝6×23，……∴第100行的第1个数为101×298，故选A.跟踪训练4(2013·湖南)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． (1)(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg 的概率．解 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：所种作物的平均年收获量为51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615＝69015＝46.(2)由(1)知，P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25.四审式——数式结构找关系数学问题中各种量的关系一般以关系式的形态出现，从关系式的角度分析也是我们最常用的方法，理解了关系式也就对各种量的本质联系有了清晰的认识．审题的基本要求是：挖掘关系式的内在特点；寻找已知条件和结论中式子的联系以及它们和一些公式间的联系，然后再转化．例5 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B的值是________．规范审题 已知条件b a ＋ab ＝6cos C 中既有角，又有边，考虑到所求式子，可进行边角互化．转化时，可使用余弦定理将cos C 值表示出，将式子全部转化成边代入；也可以利用正弦定理对条件进行转化，得到角的关系式代入所求式子．解析 由b a ＋ab＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C .化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan Ctan B 切化弦，得sin C cos C ·(cos A sin A ＋cos B sin B )＝sin C cos C ·sin (A ＋B )sin A sin B ＝sin C cos C ·sin C sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B. 根据正、余弦定理得sin 2C cos C sin A sin B ＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c2＝4. 答案 4跟踪训练5 (2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cosB －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 解 (1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.又0<A <π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题意知a >b ，则A >B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.五审理——字里行间皆有理数学中的“理”，不仅仅是指常用的公式和原理，更是指我们经常讲的合情推理：根据已有的事实、结论或者实践的结果，以个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳和类比就是数学活动中常用的合情推理．在高考中该方面的问题有明显的增长趋势．有些问题很难直接和一般的知识点联系起来，考查的是综合应用数学知识解决问题的能力，有很强的区分度．例6 随着科学技术的不断发展，人类通过计算机已找到了630万位的最大质数．某同学在学习中发现由41,43,47,53,61,71,83,97组成的数列中每一个数都是质数，他根据这列数的一个通项公式，得出了数列的后几项，发现它们也是质数．于是他断言：根据这个通项公式写出的数均为质数．则这个通项公式为________，该同学断言是________的(填“正确”或者“错误”)．规范审题通过观察相邻两数之差成等差数列；根据发现的规律寻找通项公式，进行判断．解析根据题意知，通项公式a n＝41＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n(n－1)＋41.取n＝41，得a n＝41×41＝1 681，显然不是质数，从而该同学断言是错误的．答案a n＝n(n－1)＋41，n∈N*错误跟踪训练6(1)如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为()A．15 B．16 C．17 D．18答案 B解析这是一道运筹问题，需要用函数的最值加以解决．设A→B的件数为x1(规定：当x1<0，则B调整了|x1|件给A，下同！)B→C的件数为x2，C→D的件数为x3，D→A的件数为x4，依题意可得x4＋50－x1＝40，x1＋50－x2＝45，x2＋50－x3＝54，x3＋50－x4＝61，从而x2＝x1＋5，x3＝x1＋1，x4＝x1－10，故调动件次f(x1)＝|x1|＋|x1＋5|＋|x1＋1|＋|x1－10|，画出图象(或绝对值的几何意义)可得最小值为16.(2)(2012·北京)已知f(x)＝m(x－2m)·(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.则m的取值范围是________．答案－4<m<－2解析将①转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0解集的子集求解；②转化为f(x)>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．①中，若g(x)＝2x－2<0，则x<1.又∵∀x∈R，g(x)<0或f(x)<0，∴[1，＋∞)是f(x)<0的解集的子集．又由f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0知，m不可能大于或等于0，因此m<0.当m<0时，f(x)<0，即(x－2m)(x＋m＋3)>0.当2m＝－m－3，即m＝－1时，f(x)<0的解集为{x|x≠－1}，满足条件．当2m >－m －3，即－1<m <0时， f (x )<0的解集为{x |x >2m 或x <－m －3}．依题意2m <1，即m <12，∴－1<m <0.当2m <－m －3，即m <－1时， f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}． 依题意－m －3<1，即m >－4，∴－4<m <－1. 因此满足①的m 的取值范围是－4<m <0. ②中，∵当x ∈(－∞，－4)时，g (x )＝2x －2<0， ∴问题转化为∃x ∈(－∞，－4)，f (x )>0， 即f (x )>0的解集与(－∞，－4)的交集非空． 又m <0，则(x －2m )(x ＋m ＋3)<0.由①的解法知，当－1<m <0时，2m >－m －3， 即－m －3<－4，∴m >1，此时无解．当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2恒小于或等于0，此时无解． 当m <－1时，2m <－m －3，即2m <－4，∴m <－2. 综合①②可知满足条件的m 的取值范围是－4<m <－2.。
