【附20套高考模拟试题】2020届福建省“超级全能生”高考数学模拟试卷含答案

2020届福建省顺昌一中高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布2(84,)N σ，且(7884)0.3P X <≤=.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ）A ．60B ．80C ．100D ．1202．在平面直角坐标系xOy 中，,M N 分别是x 轴正半轴和()0y x x =>图像上的两个动点，且2MN =，则22OMON +的最大值是A ．422- B ．43 C ．4D ．422+3．已知0ω>，函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是( ) A ．15[,]24 B ．17[,]24 C ．39[,]44 D ．37[,]244．2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（ ）A ．411B ．712C ．511D ．11125．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点O ），若双曲线的离心率为5，AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0)B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)6．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A ．甲比乙先出发B ．乙比甲跑的路程多C ．甲、乙两人的速度相同D ．甲比乙先到达终点7．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ） A ．56B ．84C ．112D ．1688．已知如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上异于其中点的动点，Q 为棱1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（ ）A ．1//m D QB ．1m Q B ⊥C ．//m 平面11B D QD ．m ⊥平面11ABB A9．已知函数()()f x x R ∈满足()()=f x f a x -，若函数25y x ax =--与()y f x =的图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，且12mi i x m ==∑，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,a b 是两条异面直线,直线c 与,a b 都垂直,则下列说法正确的是（ ） A ．若c ⊂平面α，则a α⊥ B ．若c ⊥平面α，则//a α,//b a C ．存在平面α，使得c α⊥,a α⊂,//b a D ．存在平面α，使得//c a ,a α⊥,b a ⊥11．已知,M N 是函数2,(),x x a e x a f x e x a--⎧<=⎨≥⎩（其中常数0a >）图像上的两个动点，点(a,0)P ，若PM PN•u u u u r u u u r的最小值为0，则函数()f x 的最小值为（ ）A ．31eB eC ．21e D ．1e12．过抛物线2(0)y mx m =>的焦点作直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，54PQ m =，则m =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考模拟高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{（x，y）|2x+y＝4}，B＝{（x，y）|x﹣y+1＝0}，则A∩B＝（）A．∅B．{2，1}C．{（2，1）}D．{（1，2）}2．已知复数z满足，则z＝（）A．3±4i B．±3+4i C．4±3i D．±4+3i3．已知均为单位向量，若，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．函数f（x）＝3x+x3﹣5的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．C．D．5．班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为（）A．B．C．D．6．若tanα＝2sin（α﹣π），则cos2α＝（）A．B．1C．或0D．或17．已知α，β是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，且α⊥β，m⊂α，α∩β＝l，则“m⊥l”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知过点（0，1）的直线与抛物线x2＝4y交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若，则|AB|＝（）A．B．C．D．9．某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误的是（）A．丙有可能没有选素描B．丁有可能没有选素描C．乙丁可能两门课都相同D．这四个人里恰有2个人选素描10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且当﹣1≤x＜0时，f（x）＝2x ﹣1，则f（log220）＝（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝sin x+cos x，将f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝﹣2，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．πC．2πD．4π12．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，A，B分别是C的左、右顶点，M是C上异于A，B的动点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若1≤k1≤2，则k2的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．若实数x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B+b cos A＝2ac，则a＝．15．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1：3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为．16．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AC上一点，且AD＝3DC．三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O的截面，则所得截面圆的面积的最小值为．三、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1﹣（n+1）a n＝n（n+1），设．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若，求数列{c n}的前n项和．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为菱形，AC∩BD＝O．（1）证明：B1C∥平面A1BD；（2）设AB＝AA1＝2，，若A1O⊥平面ABCD，求三棱锥B1﹣A1BD的体积．19．世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢．2019年10月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1000名志愿者．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40，45）岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m，n的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；（2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查．这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？男性女性总计现场报名50网络报名31总计50参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.82820．已知f（x）＝2xlnx+x2+ax+3．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若存在，使得f（x0）≥0成立，求a的取值范围．21．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线l：3x+4y﹣5＝0相切．（1）求C的方程；（2）直线y＝x+m交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．已知l上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形．若P在直线MN右下方，求m的值．选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝1+2ρcosθ．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P为C2上的任意一点，求P到C1距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c＝2．（1）求a2+b+c的取值范围；（2）求证：++≥18．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{（x，y）|2x+y＝4}，B＝{（x，y）|x﹣y+1＝0}，则A∩B＝（）A．∅B．{2，1}C．{（2，1）}D．{（1，2）}【分析】根据题意，联立解方程组求出即可．解：由得所以A∩B＝{（1，2）}，故选：D．2．已知复数z满足，则z＝（）A．3±4i B．±3+4i C．4±3i D．±4+3i【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），依题意得，2a＝6，a2+b2＝25，联立解得a，b的值，则答案可求．解：设z＝a+bi（a，b∈R），依题意得，2a＝6，a2+b2＝25，联立解得a＝3，b＝±4，∴z＝3±4i，故选：A．3．已知均为单位向量，若，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】根据题意均为单位向量，若，两边平方，解得即•＝﹣，代入夹角公式，根据夹角取值范围，即可求得夹角．解：依题意，||＝||＝1，|﹣|＝，所以2﹣2•＝3，即•＝﹣，所以cos＜，＞＝＝﹣，0°≤＜，＞≤180°，所以＜，＞＝120°．故选：C．4．函数f（x）＝3x+x3﹣5的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．C．D．【分析】利用函数的零点判断定理转化求解即可．解：依题意，f（x）为增函数，f（1）＝3+1﹣5＜0，f（2）＝32+23﹣5＞0，＝＝，所以f（x）的零点所在的区间为，故选：B．5．班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为（）A．B．C．D．【分析】从5个人中随机抽取3人，利用列举法能求出甲、乙同时被抽到的概率．解：从5个人中随机抽取3人，所有的情况为：（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、乙、戊），（甲、丙、丁），（甲、丙、戊），（甲、丁、戊），（乙、丙、丁），（乙、丙、戊），（乙、丁、戊），（丙、丁、戊），共10种，其中满足条件的为（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、乙、戊），共3种，故甲、乙同时被抽到的概率为P＝．故选：C．6．若tanα＝2sin（α﹣π），则cos2α＝（）A．B．1C．或0D．或1【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，进而根据二倍角公式即可求解．解：由题设得，，所以sinα＝0，或．所以cos2α＝1﹣2sin2α＝1，或．故选：D．7．已知α，β是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，且α⊥β，m⊂α，α∩β＝l，则“m⊥l”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由已知结合平面与平面垂直的性质及充分必要条件的判定方法得答案．解：由α⊥β，m⊂α，α∩β＝l，m⊥l，利用面面垂直的性质可得m⊥β；由α⊥β，m⊂α，α∩β＝l，m⊥β，利用面面垂直的性质可得m⊥l．∴α，β是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，且α⊥β，m⊂α，α∩β＝l，则“m ⊥l”是“m⊥β”的充要条件．故选：C．8．已知过点（0，1）的直线与抛物线x2＝4y交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若，则|AB|＝（）A．B．C．D．【分析】由题意可知点（0，1）为抛物线的焦点，再由抛物线的定义即可求出结果．解：由题意可知点（0，1）为抛物线的焦点，则由抛物线的定义可得|AB|＝y1+y2+2＝，故选：B．9．某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误的是（）A．丙有可能没有选素描B．丁有可能没有选素描C．乙丁可能两门课都相同D．这四个人里恰有2个人选素描【分析】甲选择了素描，乙必定没选素描．假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描；不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况，列表讨论可知，乙与丁必有一门课程不相同．解：因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描，选项A，B，D判断正确不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：情形一：甲乙丙丁素描√×√×摄影√××√情形二：甲乙丙丁素描√××√摄影√×√×由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C不正确．故选：C．10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且当﹣1≤x＜0时，f（x）＝2x ﹣1，则f（log220）＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为周期为4的周期函数，据此可得以f（log220）＝f（2+log25）＝f（log25﹣2）＝﹣f（2﹣log25），结合函数的解析式分析可得答案．解：依题意，f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝f（x），所以f（x）为周期函数，周期为4．又2＜log25＜3，所以﹣1＜2﹣log25＜0，所以f（log220）＝f（2+log25）＝f（log25﹣2）＝﹣f（2﹣log25）＝＝＝；故选：B．11．已知函数f（x）＝sin x+cos x，将f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x1）g（x2）＝﹣2，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．πC．2πD．4π【分析】由题意求出函数的周期，|x1﹣x2|的最小值为半个周期，从而得出结论．解：∵，所以，，故g（x）的周期为π，且，．因为g（x1）•g（x2）＝﹣2，所以，或，所以，所以，故选：A．12．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，A，B分别是C的左、右顶点，M是C上异于A，B的动点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若1≤k1≤2，则k2的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由渐近线的方程可得a，b的关系，写出A，B的坐标，设M的坐标求出直线MA，MB的斜率由MA的斜率的范围求出MB的斜率的方程．解：依题意，，则双曲线的方程为：，则A（﹣2b，0），B（2b，0），设M（x0，y0），则，所以，因为k1∈[1，2]，所以，故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．若实数x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为4．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．解：作出可行域如图所示，则当直线z＝2x+y过点A时直线的截距最大，z取最大值．由⇒；∴A（3，﹣2），z取最大值：2×3﹣2＝4．故答案为：4．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B+b cos A＝2ac，则a＝．【分析】利用正弦定理、和差公式、诱导公式即可得出．解：由题设及正弦定理得sin A cos B+sin B cos A＝2a sin C，所以sin（A+B）＝2a sin C．又A+B+C＝π，所以sin C＝2a sin C，所以．故答案为：．15．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1：3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为．【分析】先求出各自的面积，根据面积比即可求得；（也可直接用三角形相似，面积比为边长比的平方来求．解：设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a，则小勒洛三角形的面积S1＝，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1：3，所以大勒洛三角形的面积S2＝＝，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率＝．故答案为：．16．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AC上一点，且AD＝3DC．三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O的截面，则所得截面圆的面积的最小值为12π．【分析】将三棱锥P﹣ABC补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O，记三角形ABC的外心为O1，设球的半径为R，PA＝2x，应用球的截面的性质和直角三角形的勾股定理，结合当截面与直线OD垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r，由勾股定理可得所求最小值．解：将三棱锥P﹣ABC补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O，记三角形ABC的外心为O1，设球的半径为R，PA＝2x，则球心O到平面ABC的距离为x，即OO1＝x，连接O1A，则，所以R2＝x2+25．在△ABC中，取AC的中点为E，连接O1D，O1E，则，，所以．在Rt△OO1D中，，由题意得到当截面与直线OD垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r，则r2＝R2﹣OD2＝x2+25﹣（x2+13）＝12，所以最小截面圆的面积为12π．故答案为：12π．三、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1﹣（n+1）a n＝n（n+1），设．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若，求数列{c n}的前n项和．【分析】本题第（1）题根据，可得a n＝nb n，然后代入递推式，可发现数列{b n}是一个等差数列，即可得到数列{b n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{c n}的通项公式，然后运用分组求和法计算出前n项和．解：（1）依题意，由，可得a n＝nb n，∵na n+1﹣（n+1）a n＝n（n+1），∴n（n+1）b n+1﹣（n+1）nb n＝n（n+1），即b n+1﹣b n＝1，又∵b1＝a1＝1，∴数列{b n}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴b n＝1+（n﹣1）＝n．（2）由（1）知，，设数列{c n}的前n项和为S n，则S n＝c1+c2+…+c n＝（21﹣1）+（22﹣2）+…+（2n﹣n）＝（21+22+…+2n）﹣（1+2+…+n）＝＝．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面为菱形，AC∩BD＝O．（1）证明：B1C∥平面A1BD；（2）设AB＝AA1＝2，，若A1O⊥平面ABCD，求三棱锥B1﹣A1BD的体积．【分析】（1）证明四边形A1B1CD是平行四边形，得到B1C∥A1D，然后证明B1C∥平面A1BD．（2）求出三棱锥A1﹣BCD的体积，通过＝，即可得到结果．【解答】（1）证明：依题意，，且，∴，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴B1C∥A1D，∵B1C⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD．（2）依题意，，在Rt△AA1O中，，所以三棱锥A1﹣BCD的体积＝＝＝．由（1）知B1C∥平面A1BD，∴＝＝．19．世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢．2019年10月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1000名志愿者．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40，45）岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m，n的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；（2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查．这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？男性女性总计现场报名50网络报名31总计50参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）求出志愿者年龄在[40，45）内的频率，利用频率和为1及中位数两侧的面积相等都为0.5列方程组求解m，n的值；（2）由频率分布直方图填写2×2列联表，求出K2的观测值，结合临界值表得结论．解：（1）因为志愿者年龄在[40，45）内的人数为15，所以志愿者年龄在[40，45）内的频率为：；由频率分布直方图得：（0.020+2m+4n+0.010）×5+0.15＝1，即m+2n＝0.07，①由中位数为34可得0.020×5+2m×5+2n×（34﹣30）＝0.5，即5m+4n＝0.2，②由①②解得m＝0.020，n＝0.025．志愿者的平均年龄为（22.5×0.020+27.5×0.040+32.5×0.050+37.5×0.050+42.5×0.030+47.5×0.010）×5＝34（岁）；（2）根据题意得到列联表：男性女性总计现场报名193150网络报名311950总计5050100K2的观测值＝＝5.76＜10.828，11分所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系．20．已知f（x）＝2xlnx+x2+ax+3．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若存在，使得f（x0）≥0成立，求a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入，求导求出斜率，求出切点，由点斜式方程得解；（2）问题等价于在有解，构造函数利用导数研究其最值即可得出结论．解：f'（x）＝2（lnx+1）+2x+a．（1）当a＝1时，f（x）＝2xlnx+x2+x+3，f'（x）＝2（lnx+1）+2x+1，所以f（1）＝5，f'（1）＝5，所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣5＝5（x﹣1），即y＝5x．（2）存在，使得f（x0）≥0成立，等价于不等式在有解．设，则，当时，h'（x）＞0，h（x）为增函数；当1＜x＜e时，h'（x）＜0，h（x）为减函数．又，，故，所以当时，，所以，即a的取值范围为．21．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线l：3x+4y﹣5＝0相切．（1）求C的方程；（2）直线y＝x+m交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．已知l上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形．若P在直线MN右下方，求m的值．【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求b，再由离心率结合隐含条件求得a，则椭圆方程可求；（2）直线y＝x+m的倾斜角为45°，且△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，P在直线MN右下方，可得NP∥x轴．过M作NP的垂线，垂足为Q，则Q为线段NP 的中点，求得P（2x1﹣x2，y2），代入直线l的方程，由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0．再由根与系数的关系联立求解m值．解：（1）依题意，，∵离心率，∴，解得，∴椭圆C的标准方程为；（2）∵直线y＝x+m的倾斜角为45°，且△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，P在直线MN右下方，∴NP∥x轴．过M作NP的垂线，垂足为Q，则Q为线段NP的中点，∴Q（x1，y2），故P（2x1﹣x2，y2），∴3（2x1﹣x2）+4y2﹣5＝0，即3（2x1﹣x2）+4（x2+m）﹣5＝0，整理得6x1+x2+4m﹣5＝0．①由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0．∴△＝36m2﹣48m2+48＞0，解得﹣2＜m＜2，∴，②，③由①﹣②得，，④将④代入②得x2＝﹣1﹣m，⑤将④⑤代入③得，解得m＝﹣1．综上，m的值为﹣1．选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝1+2ρcosθ．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P为C2上的任意一点，求P到C1距离的取值范围．【分析】（1）直接利用和转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）C1的普通方程为x﹣y＝﹣3，即x﹣y+3＝0．曲线C2的直角坐标方程为x2+y2＝1+2x，即（x﹣1）2+y2＝2．（2）由（1）知，C2是以（1，0）为圆心，半径的圆，圆心C2（1，0）到C1的距离，所以直线C1与圆C2相离，P到曲线C1距离的最小值为；最大值，所以P到曲线C1距离的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c＝2．（1）求a2+b+c的取值范围；（2）求证：++≥18．【分析】（1）由条件等式将b+c用a表示，再从a＞0，b＞0，c＞0，进一步求出a的范围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解；（2）根据已知条件转化证明，利用基本不等式即可得证．解：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0且a+b+c＝2，∴2﹣a＝b+c＞0，∴0＜a＜2，∴，∴，∴a2+b+c的取值范围为．（2）∵a＞0，b＞0，c＞0，∴，＝，当且仅当时等号成立，又a+b+c＝2，∴．。

2020届福建省福州市金山中学高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个各面均为直角三角形的四面体容器，有三条棱长为2，若四面体容器内完全放进一个球，则该球的半径最大值为（ ）A ．21- B ．22- C ．1D ．22．执行下面所示的程序框图,则输出的n 值是（ ）．A ．5B ．7C ．9D ．113．已知F 为抛物线C ：26y x =的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且3AF BF =，则(AB =)A ．6B ．8C ．10D ．124．已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为-2，则（ ） A ．14n n a a b b --=B ．14n n a a b b -=C ．14n n a a b b --=- D ．14nn a a b b -=-5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．43B ．1033C ．23D ．8336．在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A ．13B ．23C ．83D ．32或837．已知函数，若是从1，2，3三个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．8．若直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[]0,2C ．[]2,1-D ．(]2,2-9．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．10B ．7C ．8D ．411．设实数，满足约束条件，则的最小值为（ ）A ．-1B ．C ．0D ．12．已知()3cos 5a π-=-，则cos 2a =A．16 25B．1625-C．725D．725-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届福建省普通高等学校招生全国统一考试高三高考模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★（解析版）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位）,则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】由复数的除法运算可整理得到z ,由此得到对应的点的坐标,从而确定所处象限.【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i iiz i i i i ++++====+--+,z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭,位于第一象限.故选：A .2.已知全集U =R ,集合{|lg(1)}A x y x ==-,|B x y⎧==⎨⎩则()U A B =（ ）A. (1,)+∞B. (0,1)C. (0,)+∞D. [1,)+∞【答案】D【解析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ,由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞,()0,B =+∞,[)1,U A ∴=+∞,()[)1,U A B ∴=+∞.故选：D .3.已知3sin 24θ=-,则1tan tan θθ+=（ ）A. 83-B. 43-C. 83 D. 43【答案】A【解析】由二倍角公式求得sin cos θθ,切化弦后,结合同角三角函数平方关系可求得结果. 【详解】3sin 22sin cos 4θθθ==-,3sin cos 8θθ∴=-, 221sin cos sin cos 18tan 3tan cos sin sin cos 38θθθθθθθθθθ+∴+=+===--. 故选：A .4.中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法,最先见于《周礼·春官·大师》,分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音,其中“金、石、木、革”为打击乐器,“土、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”,则含有打击乐器的概率为（ ） A. 314 B. 1114 C. 114 D. 27【答案】B【解析】分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数,根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】从“八音”中任取不同的“两音”共有2828C =种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有228422C C -=种取法；∴所求概率22112814p ==. 故选：B .5.已知不同直线l 、m 与不同平面α、β,且l α⊂,m β⊂,则下列说法中正确的是（ ）A. 若//αβ,则l//mB. 若αβ⊥,则l m ⊥C. 若l β⊥,则αβ⊥D. 若αβ⊥,则m α⊥ 【答案】C【解析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.。

福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．2．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞03．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣ B．﹣C．1 D．5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．26．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．3++B．6+2+2C．3+2D．2++7．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．48．已知抛物线C：y2=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．4 B．12C．18D．3611．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2016，﹣2012）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=______．14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则______．15．以下命题正确的是：______．①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM 于点P，点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F 两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数，然后求解复数的模．【解答】解：复数z满足zi=2i+x（x∈R），可得z==2﹣xi．若z的虚部为2，可得x=﹣2．z=2﹣2i．∴|z|=2故选：B．2．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞0【考点】特称命题；命题的否定．【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，∴命题￢p：∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0，故选：A3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是[0，7]．故选：D．4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣ B．﹣C．1 D．【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值．【分析】法一、由已知推导出cosα+sinα=，cosα﹣sinα=﹣，解得cosα=，由此利用二倍角的余弦求得cos2α的值．法二、利用诱导公式及倍角公式把已知变形，求出cos（α）=﹣，由α得范围求出的范围，进一步求得sin（α），再由倍角公式得答案．【解答】解：法一、∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵2cos2α=sin（α﹣），∴2（cos2α﹣sin2α）=（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα=，①∴1+2sinαcosα=，则2sinαcosα=﹣，（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=1+，∴cosα﹣sinα=，②联立①②，解得cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2（）2﹣1=．法二、由2cos2α=sin（α﹣），得2sin（）=sin（α﹣），则4sin（）cos（α）=sin（α﹣），∴cos（α）=﹣，∵α∈（，π），∴∈（），则sin（）=﹣，则cos2α=sin（）=2sin（）cos（α）=2×．故选：D．5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x ﹣2y 的最大值为2，确定约束条件中a 的值即可． 【解答】解：画出约束条件表示的可行域 由⇒A （2，0）是最优解，直线x +2y ﹣a=0，过点A （2，0），所以a=2，故选D6．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．3++B ．6+2+2C ．3+2D ．2++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，画出该几何体的直观图，结合图形求出答案来．【解答】解：根据几何体的三视图得，该几何体是底面为直角三角形的三棱锥，如图所示；∴它的表面积为S=S 底+S 侧=××+（××2+×2×2+××）=1+（+2+）=3++．故选：A ．7．（1﹣x ）6（1+x ）4的展开式中x 2的系数是（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．3D ．4【考点】二项式系数的性质．【分析】把已知二项式变形，然后展开二项式定理，则展开式中x2的系数可求．【解答】解：（1﹣x）6（1+x）4 =（1﹣2x+x2）（1﹣x2）4=（1﹣2x+x2）．∴（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是．故选：B．8．已知抛物线C：y2=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，直线y=k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，∵k＞0，∴点B的坐标为（1，2），∴k==．故选：A．9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】求得x≥2时，x＜2时，可得函数f（x）的单调性和值域，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．通过图象观察，即可得到所求区间．【解答】解：f（x）=，可得x≥2时，f（x）=递减，且f（x）∈（0，1]；当x＜2时，f（x）=（x﹣1）3递增，且f（x）∈（﹣∞，1）．画出函数f（x）的图象，如图：令g（x）=f（x）﹣k=0，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．由图象可得，当0＜k＜1时，直线y=k和y=f（x）有两个交点，可得函数g（x）=f（x）﹣k的两个零点在（1，+∞）．故选：D．10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．4 B．12C．18D．36【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由勾股定理的逆定理得出AB⊥BC，故O在底面ABC上的投影为斜边AC的中点，利用勾股定理计算出棱锥的高，代入体积公式计算．【解答】解：∵AB=6，BC=2，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．过O作OD⊥平面ABC，则D为AC的中点．∴OD===2．===4．∴V O﹣ABC故选A．11．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】取PF2的中点A，利用=2，可得⊥，从而可得PF1⊥PF2，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．【解答】解：取PF2的中点A，则=2∵（）•=0，∴2•=0∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=（﹣1）|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴c=|PF2|，∴e===故选B12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2016，﹣2012）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过观察2f（x）+xf′（x）＞x2，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x，∵x＜0，∴会得到2xf（x）+x2f′（x）＜x3，而这时不等式的左边是（x2f（x））′，所以构造函数F（x）=x2f（x），则能判断该函数在（﹣∞，0）上是减函数，根据函数f（x）的奇偶性，得到F（x）是偶函数，发现不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0可以变成F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2），从而|x+2014|＜2，解这个不等式便可．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0）；得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3即[x2f（x）]′＜x3＜0；令F（x）=x2f（x）；则当x＜0时，F'（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数；∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2）；即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＜0；∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数；偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，f（﹣x）=f（x），∴F（﹣x）=F（x），F（x）在（0，+∞）递增，∴由F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2）得，|x+2014|＜2，∴﹣2016＜x＜﹣2012．∴原不等式的解集是（﹣2016，﹣2012）．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=9．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．可得q2．于是a2+a8=．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．∴q2=2或．则a2+a8==9．故答案为：9．14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则10．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的几何意义即可得到答案．【解答】解：=（）=﹣•，如图，根据向量数量积的几何意义得）﹣•=6||﹣4||=6×3﹣4×2=10，故答案为：10．15．以下命题正确的是：①③④．①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据三角函数的图象平移关系进行判断．②根据几何概型的概率公式进行判断．③根据排列组合的计数原理进行判断．④根据正态分布的概率关系进行判断．【解答】解：①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y=3sin[2（x﹣）+]=3sin （2x﹣+）=3sin2x，即可得到y=3sin2x的图象；故①正确，②解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣；故②错误；③可分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种正确，故③正确，④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．则正态曲线关于x=2对称，若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在[1，2]的概率P（1＜x＜2）=0.5﹣0．=4，则在（2，3）内取值的概率P（2＜x＜3）=P（1＜x＜2）=0.4．故④正确，故答案为：①③④16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理． 【分析】由（3+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，a=3，利用正弦定理可得（a +b ）（a ﹣b ）=（c ﹣b ）c ，化简利用余弦定理可得A ，再利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出． 【解答】解：∵（3+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，a=3， ∴（a +b ）（a ﹣b ）=（c ﹣b ）c ， ∴b 2+c 2﹣a 2=bc ， ∴cosA==， ∵A ∈（0，π），∴A=．∴b 2+c 2=9+bc ≥2bc ，化为bc ≤9，当且仅当b=c=3时取等号． ∴S △ABC ==．故最大值为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =3a n ﹣1，其中n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设a n b n =，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（ I ）分n=1与n ≥2讨论，从而判断出{a n }是等比数列，从而求通项公式； （ II ）化简可得=3（﹣），利用裂项求和法求解．【解答】解：（ I ）∵，①当n=1时，a 1=a 1﹣，∴a 1=1， 当n ≥2时，∵S n ﹣1=a n ﹣1﹣，② ①﹣②得： a n =a n ﹣a n ﹣1， 即：a n =3a n ﹣1（n ≥2）， 又∵a 1=1，a 2=3， ∴对n ∈N *都成立，故{a n }是等比数列， ∴． （ II ）∵，∴=3（﹣），∴，∴，即T n =．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）设各组的频率为f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，由此求出视力在5.0以上的频率，从而能估计该校高三学生视力在5.0以上的人数．（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（I）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，∴视力在5.0以上的频率为1﹣（0.03+0.07+0.27+0.26+0.23）=0.14，估计该校高三学生视力在5.0以上的人数约为1000×0.14=140人．…（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，，，，．…X的分布列为X 02 31PX的数学期望．…19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）连结AB、A1B1，则可证明几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，以O为原点建立坐标系，设AA1=2，求出和的坐标，通过计算得出AB1⊥A1D；（II）求出平面A1B1D的法向量，则AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（Ⅰ）连结AB、A1B1，∵C1，C分别是矩形A1ABB1边A1B1、AB的中点，∴AC⊥CC1，BC⊥CC1，AC∩BC=C∴CC1⊥面ABC∴∠ACB为二面角A﹣CC'﹣A'的平面角，则∠ACB=60°．∴△ABC为正三角形，即几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，则OA⊥平面BB1C1C，OO1⊥BC．以O为原点，以OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设AA1=2，则A（0，0，），B1（1，2，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，）．∴=（1，2，﹣），，∴=1×（﹣1）+2×（﹣1）+（﹣）×（﹣）=0，∴∴AB1⊥A1D．（Ⅱ）=（1，0，﹣），设平面A1B1D的法向量为=（x，y，z）．则，．∴，令z=1，得．∴cos＜＞===﹣．∴AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为．20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM 于点P，点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，从而推导出点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，由此能求出E的轨迹方程．（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合题意能求出|DE|+|FG|的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，所以PB+PA=PM=8所以点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，所以a=4，c=2，，所以E的轨迹方程是．…（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），设D（x1，y1），E（x2，y2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0…，，所以DE===，…设直线l2的方程为，所以，所以，…设t=k2+1，所以t＞1，所以，因为t＞1，所以，所以|DE|+|FG|的取值范围是．…21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的概念求解即可；（Ⅱ）构造函数，只需求出函数的最小值小于零即可，求出函数的导函数，对参数m进行分类讨论，判断函数的单调性，求出函数的最小值，最后得出m 的范围．．【解答】解：（Ⅰ）∵，函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．∴f'（1）=1﹣a=2∴a=﹣1（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得成立，构造函数的最小值小于零．…①当m+1≥e时，即m≥e﹣1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，…由可得，因为，所以；…②当m+1≤1，即m≤0时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，由h（1）=1+1+m＜0可得m＜﹣2；…③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1时，最小值为h（1+m），因为0＜ln（1+m）＜1，所以，0＜mln（1+m）＜m，h（1+m）=2+m﹣mln（1+m）＞2此时，h（1+m）＜0不成立．综上所述：可得所求m的范围是：或m＜﹣2．…四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F 两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BF⊥FH，DH⊥BD，由此能证明B、D、F、H四点共圆．（2）因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，解得AD=4，BF=BD=1，由△AFB∽△ADH，得DH=，由此能求出△BDF的外接圆半径．【解答】（Ⅰ）证明：因为AB为圆O一条直径，所以BF⊥FH，…又DH⊥BD，故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，所以B、D、F、H四点共圆．…（2）解：因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，即（2）2=2•AD，解得AD=4，…所以BD=，BF=BD=1，又△AFB∽△ADH，则，得DH=，…连接BH，由（1）知BH为DBDF的外接圆直径，BH=，故△BDF的外接圆半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出圆的普通方程，然后求解圆C的参数方程；（Ⅱ）利用圆的参数方程，表示出x+y，通过两角和与差的三角函数，求解最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）利用绝对值的意义，|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标，从而得出结论．（2）转化不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≤，利用函数恒成立以及绝对值的几何意义，求出x的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，故不等式|x﹣1|+|x﹣2|≥2的解集为﹛x|x≤或x≥﹜，（2）由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]，故答案为[，]．。

2020年福建省福州市高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数z1+i所对应的点为(2,−1)，i是虚数单位，则z=()A. −3−iB. −3+iC. 3−iD. 3+i2.已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2−3x+2<0}，则A∩∁R B=()A. {x|0≤x≤1}B. {x|0≤x≤1或x≥2}C. {x|1<x<2}D. {x|0≤x<1或x>2}3.已知a=(12019)2019，b=201912019，c=log120192019，则()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<c<a4.样本中共有五个个体，其值分别为1，m，n，2.5(m,n∈N∗).若该样本的中位数与平均数都为3，则mn=()A. 6B. 8C. 10D. 125.如图是计算12+14+16+⋯+120的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是()A. i<10B. i>10C. i<20D. i>206.一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 2π3B. 43π C. 2π D. 8π37. 函数f(x)=2+ln|x|x 2的图象大致为( )A.B.C.D.8. 已知抛物线y 2=2px(p >o)的焦点为F ，过点M(p,0)的直线交抛物线于A ，B 两点，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AF||BF|=( ) A. 2B. 52C. √2D. 与p 有关9. 若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于( )A. 11B. 9C. 5D. 310. 已知f(x)是R 上的可导函数，其导函数为f′(x)，若对任意实数x ，都有f(x)>f′(x)，且f(x)−1为奇函数，则不等式f(x)<e x 的解集为( )A. (−∞,0)B. (−∞,e 4)C. (e 4,+∞)D. (0,+∞)11. 在锐角△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且bcosA =a +acosB ，则1tanA −1tanB 的取值范围为( )A. (1,23√3)B. (√2,23√6)C. (1,√3)D. (1,+∞)12. 方程x +|y −1|=0表示的曲线是( )A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得1分，取得白球得2分，两人总分和为X ，则X =3的概率是______ ．14. 已知△ABC 中，BC =4，AC =8，∠C =60°，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =________． 15. 函数y =2cos(−14x −π6)周期为______ ．16. 设ΔABC 的三边长分别为a ，b ，c ，ΔABC 的面积为S ，内切圆的半径为r ，则r =2Sa+b+c ，类比这个结论可知，四面体S −ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为R ，四面体S −ABC 的体积为V ，则R =________ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设数列{a n }满足：a 1=1，且2a n =a n+1+a n−1(n ≥2)，a 3+a 4=12．(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{1an a n+2}的前n 项和．18. 如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB =BC =BD =2，∠ABC =∠DBC =120°， E 、F 分别为AC 、DC 的中点． (Ⅰ)求证：AD ⊥BC ；(Ⅱ)求四棱锥B −ADFE 的体积．19. 如图是某企业2013年至2019年污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2013～2019．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 和t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程，预测2020年该企业污水净化量；附注：参考数据：y =54,∑(t i −t − )7i=1(y i −y − )=21，√14≈3.74，∑(y i −y − )7i=12=18参考公式：相关系数r =i −t)n i=1i −y )√∑(t i −t)ni=1∑(y i −y )2n i=1回归方程y ̂=a ̂+b ̂t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(t i −t −)2n i=1,â=y −b ̂t20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，P 是椭圆C 上的一个动点，且△PF 1F 2面积的最大值为√3． (1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率存在的直线PF 2与椭圆C 的另一个交点为Q ，是否存在点T(0,t)，使得|TP|=|TQ|？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．21. 设函数f(x)=1−e −x ，证明：当x >−1时，f(x)≥xx+1．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23. 证明下列不等式；(1)a(a −b)≥b(a −b).(2)已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证：(ab +cd)(ac +bd)≥4abcd ．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的四则运算，属于基础题．根据复数z1+i 在复平面内对应的点为(2,−1)可得z1+i=2−i，化简即可求出z．【解答】解：因为复数z1+i在复平面内对应的点为(2,−1)，所以z1+i=2−i，所以z=(1+i)(2−i)=3+i．故选D．2.答案：B解析：解：A={x|2x≥1}={x|x≥0}，B={x|x2−3x+2<0}={x|(x−1)(x−2)<0}={x|1< x<2}，则∁R B={x|x≥2或x≤1}，则A∩∁R B={x|0≤x≤1或x≥2}，故选：B．求出集合A，B的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．3.答案：C解析：【分析】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题．由指数函数、对数函数的性质易知，0<a<1，b>1，c=−1，比较大小即可．【解答】解：∵0<a=(12019)2019<(12019)0=1，b=201912019>20190=1，c=log120192019=−log20192019=−1，∴c<a<b．故选C．4.答案：D解析：【分析】本题考查了中位数he和平均数，根据题意kede可得m或n有一个为3，再根据平均数算出另一个值，即可得出结果．【解答】因为中位数为3，可知m或n中有一个为3，假设m为3，又因为平均数也是3，则有1+2+3+n+55=3，可知n=4，故mn=12，故选D．5.答案：B解析：解：根据算法的功能是计算12+14+16+⋯+120的值，∴终止程序运行的i=11，∴判断框中应填入的条件是：i>10或i≥11．故选：B．根据算法的功能是计算12+14+16+⋯+120的值，确定终止程序运行的i=11，由此可得判断框中应填入的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程确定终止程序运行的i值是关键．6.答案：B解析：解：综合正视图，侧视图和俯视图可以判断出这个几何体是半个圆锥体，且底面半圆的半径2，高为2，则该几何体的体积是：12V 圆锥=12×(13×π×22×2)=43π， 故选B ．根据三视图可判断这个几何体为半个圆锥体，根据题意可知底面半径以及高，易求体积． 本题要先根据三视图确定出是什么几何体然后再根据其体积公式进行求解．7.答案：B解析： 【分析】分析函数的奇偶性和零点，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性和函数的零点，难度中档． 【解答】解：函数f(x)=2+ln|x|x 2满足f(−x)=f(x)，即函数为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除D ； 又f(1)=2≠0，故排除A 、C ， 故选：B ．8.答案：B解析： 【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识，考查抛物线的定义，属于中档题．设直线方程为x =my +p ，代入y 2=2px ，可得y 2−2pmy −2p 2=0，利用向量条件，求出A 、B 的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论． 【解答】解：设直线方程为x =my +p ，代入y 2=2px ，可得y 2−2pmy −2p 2=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=2pm ，y 1y 2=−2p 2， ∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(p −x 1,−y 1)=2(x 2−p,y 2)，∴x 1=−2x 2+p ，y 1=−2y 2， 可得y 2=p ，y 1=−2p ， ∴x 2=12p ，x 1=2p ，∴|AF||BF|=2p+12p12p+12p =52．故选B ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查双曲线中线段长的求法，是基础题，解题时要注意双曲线定义及简单性质的合理运用．设|PF 2|=x ，由双曲线的定义及性质得|x −3|=6，由此能求出|PF 2|. 【解答】解：设|PF 2|=x ， ∵双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，∴a =3，b =4.c =5，∴|x −3|=6，解得x =9或x =−3(舍)． ∴|PF 2|=9． 故选B ．10.答案：D解析：解：设g(x)=f(x)e x，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x<0，∴g(x)是减函数，∵f(x)−1为奇函数，∴f(0)−1=0，即f(0)=1， ∴g(0)=1， ∴当x >0时，g(x)=f(x)e x <1，即f(x)<e x ，故选D ．构造函数g(x)=f(x)e x，利用导数判断g(x)的单调性，根据单调性得出g(x)<1的解．本题考查了导数与函数单调性的关系，属于中档题．11.答案：A解析：解：因为：bcosA=a+acosB，可得：sinBcosA−sinAcosB=sinA，所以：sin(B−A)=sinA，可得：B=2A．结合在锐角△ABC中，有π3<B<π2，由1tanA −1tanB=cosAsinA−cosBsinB=sin(B−A)sinAsinB=sinAsinAsinB=1sinB∈(1,2√33)．故选：A．由正弦定理，两角差的正弦函数公式化简已知等式可得sin(B−A)=sinA，可得B=2A.结合在锐角△ABC中，有π3<B<π2，化简所求即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．12.答案：B解析：【分析】本题主要考查了方程所表示的曲线，属于基础题．方程x+|y−1|=0可化为|y−1|=−x≥0，可得x≤0，即可得结果．【解答】解：方程x+|y−1|=0可化为|y−1|=−x≥0，则x≤0．所以曲线方程为x+y−1=0(x≤0,y≥1)或x−y+1=0(x≤0,y<1)故选B．13.答案：35解析：【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，是基础题．利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求解．【解答】解：当X =3时，甲取到黄球，乙取到白球或甲取到白球，乙取到黄球，故P(X =3)=25×34+35×24=35．故答案为35．14.答案：−16解析：【分析】本题考查向量的数量积的运算，考查计算能力．直接利用向量的数量积的运算法则求解即可．【解答】解：因为△ABC 中，BC =4，AC =8，∠C =60°，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos120°=−16． 故答案为−16．15.答案：8π解析：解：函数y =2cos(−14x −π6)=2cos(14x +π6)的周期为T =2π14=8π，故答案为：8π．由条件根据函数y =Acos(ωx +φ)的周期为2πω，可得结论．本题主要考查诱导公式、函数y =Acos(ωx +φ)的周期性，利用了函数y =Acos(ωx +φ)的周期为2πω，属于基础题．16.答案：3VS1+S2+S3+S4解析：【分析】本题主要考查了类比推理，属于中档题型．根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V=13(S1+S2+S3+S4)R，∴R=3VS1+S2+S3+S4．故答案为3VS1+S2+S3+S4．17.答案：解：(1)由2a n=a n+1+a n−1(n≥2)，则a n−a n−1=a n+1+a n(n≥2)，可知数列{a n}是等差数列，设公差为d，∵a1=1，且a3+a4=12，∴2a1+5d=12，解得d=2，∴{a n}的通项公式为a n=1+2(n−1)=2n−1(n∈N∗).(2)由(1)知a n=2n−1，则1a n a n+2=1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，设数列{1a n a n+2}的前n项和为S n，则S n=14[(1−15)+(13−17)+(15−19)+⋯+(12n−1−12n+3)]=14(1+13−12n+1−12n+3)=13−n+1(2n+1)(2n+3)解析：本题主要考查了数列的通项公式，利用列项相消法进行数列的求和，考查学生的计算能力和推理能力，难度适中．(1)根据题意可知a n−a n−1=a n+1+a n(n≥2)，从而可得数列{a n}为等差数列，从而即可得{a n}的通项公式．(2)根据(1)中a n=2n−1，利用列项相消法即可求得数列{1a n a n+2}的前n项和．18.答案：证明：(Ⅰ)取AD的中点M，连结BM，CM，∵AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC=DC，AM=MD，∴AD⊥CM，∵AB=BD，AM=MD，∴AD⊥BM，∵CM∩BM=M，∴AD⊥平面BCM，∵BC⊂平面BCM，∴AD⊥BC．解：(Ⅱ)过A作AN⊥BC，交CB延长线于N，由题意AN⊥平面BCM，且AN=√3，∴V A−BCD=13×12×2×2×sin120°×√3=1，∴V E−BCF=13×(12×S△BCD)×12AN=14，∴棱锥B−ADFE的体积：V=V A−BCD−V E−BCF=1−14=34．解析：本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(Ⅰ)取AD的中点M，连结BM，CM，推导出AD⊥CM，AD⊥BM，由此能证明AD⊥平面BCM，从而AD⊥BC．(Ⅱ)过A作AN⊥BC，交CB延长线于N，棱锥B−ADFE的体积V=V A−BCD−V E−BCF，由此能求出结果．19.答案：解：(1)由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，∵t =4 ，∑(t i −t)2n i=1=28, ∑(t i −t)n i=1(y i −y )=21，∑(y i −y )2n i=1=18， ∴r =i −t)n i=1i −y )√∑(t i −t)n i=1∑(y i −y )2n i=1=√28×18≈0.935，∵0.935>0.75，故y 与t 之间存在较强的正相关关系； (2)由y =54及(1)得b ∧=i −t)n i=1i −y )∑(t −t)2n i=1=2128=34， a ∧=y −b ̂t =54−34×4=51． 所以，y 关于t 的回归方程为：y ∧=34t +51． 将2020年对应的t =8代入回归方程得：y ∧=57，所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约57亿吨．解析：本题考查的知识点是线性回归方程，考查线性相关与线性回归方程的求法与应用，计算量比较大，计算时要细心．(1)由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；(2)根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2020年对应的t 值为8，代入可预测2019年我国生活垃圾无害化处理量．20.答案：解：(Ⅰ)∵椭圆离心率为12，当P 为C 的上顶点时，△PF 1F 2的面积有最大值√3．∴{ca =1212×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，∴a =2，b =√3，c =1．故椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1．(Ⅱ)设直线PQ 的方程为y =k(x −1)，当k ≠0时，y =k(x −1)代入x 24+y 23=1，得：(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0； 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，线段PQ 的中点为N(x 0,y 0)，x 0=x 1+x 22=4k 23+4k 2，y 0=y 1+y 22=k(x 0−1)=−3k 3+4k 2， 即N(4k 23+4k 2,−3k 3+4k 2)，∵|TP|=|TQ|，∴直线TN为线段PQ的垂直平分线；∴TN⊥PQ，则k TN⋅k PQ=−1．所以−3k4k2+3−t4k24k2+3⋅k=−1，⇒t=k4k2+3=14k+3k，当k>0时，因为4k+3k ≥4√3，∴t∈(0,√312];当k<0时，因为4k+3k ≤−4√3，∴t∈[−√312,0);当k=0时，t=0符合题意．综上，t的取值范围为[−√312,√312]．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的方程的求法，圆锥曲线的范围的求法，考查转化思想以及计算能力．(Ⅰ)根据椭圆离心率为12，△F1PF2的面积为√3.列式计算a，b，c即可．(Ⅱ)设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，得出关于x的一元二次方程；再设出P、Q的坐标，表示出线段PQ的中点R，根据k TN⋅k PQ=−1.，求出T点的横坐标t的取值范围，即可得出结论．21.答案：证明：由1−e−x≥xx+1⇔e x≥1+x．当x>−1时，f(x)≥xx+1当且仅当e x≥1+x．令g(x)=e x−x−1，则g′(x)=e x−1．当x≥0时，g′(x)≥0，g(x)在[0,+∞)上为增函数，当x≤0时，g′(x)≤0，g(x)在(−∞,0]上为减函数，于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当x∈R时g(x)≥g(0)，即e x≥1+x．所以当x>−1时，f(x)≥xx+1．解析：把给出的不等式f(x)≥xx+1等价变形，然后构造函数，求出函数的导函数，利用导函数的符号判断原函数的单调性，从而求出最小值，原不等式得到证明．本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了数学转化思想方法，考查了函数构造法，是中档题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα(α为参数)转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，经过伸缩变换{x′=x y′=y 2得到曲线C 2．得到：x 24+y 2=1．(Ⅱ)曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，转换为直角坐标方程为√3x −y −√3=0，由于点P(1,0)在直线l 上，故{x =1+12t y =√32t (t 为参数)．所以把直线的参数方程代入x 24+y 2=1，得到13t 2+4t −12=0，(t 1和t 2为M 、N 对应的参数) 所以t 1+t 2=−1413，t 1⋅t 2=−1213，所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√103．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：证明：(1)a (a −b )−b (a −b )=(a −b )2⩾0，所以a(a −b)≥b(a −b)；(2)由a ，b ，c ，d 都是正数，得ab+cd 2≥√ab ·cd ，ac+bd 2≥√ac ·bd ，所以(ab+cd)(ac+bd)4≥abcd ，即(ab +cd)(ac +bd)≥4abcd ．解析：(1)本题主要考查作差法证明不等式．(2)本题主要考查均值不等式证明不等式．。

2020年福建省高考理科数学仿真模拟试题（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合A= {*∈-N x x x ,0<72},则B={A y N yy ∈*∈,6|}的子集个数是（ ） A.4 个 B.8 个 C.16 个 D.32 个2. 某食品的广告词为:“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果却大着呢，原来这句话的等价命题是（ ）A.不拥有的人们不一定幸福B.不拥有的人们可能幸福C.拥有的人们不一定幸福D.不拥有的人们不幸福3. 已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A. 64B. 32C. 16D. 44. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4i i e eππ表示的复数在复平面中位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差2d =，1a ，3a ，4a 成等比数列，则8S =（ ） A. -20B. -18C. -10D. -86. 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.16B.2524C.34D.11127．直线 m,n 和平面βα, 则下列命题中，正确的是（ ）A ．m ∥n, m αβα⇒⊆⊆n ,∥βB ．m αβα⇒⊆⊥⊥n n m ,,∥β C.m ∥n,n ,β⊥m βαα⊥⇒⊆ D.m ∥n,m βαβα⊥⇒⊥⊥n , 8．已知函数()sin()(,0)4f x x x πωω=+∈>R 的最小正周期为π，为了得到函数()cos()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度9. 下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A. 12B. 15C.D.10. 在平面区域，内任取一点，则存在，使得点的坐标满足的概率为（ ）A.B.C.D.11. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则||MN 的最小值为（ ） A. 1D.312. 已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈） A. 5 B. 6C. 7D. 8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

“超级全能生”福建省2020届高三数学上学期11月联考试题 理注意事项：1.本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}240A x x x =∈-≤N ,{}220R B x x x =-->ð,则=B A ( )A.{}43210，，，，B.{}3210，，，C.{}210，，D.{}21， 2.已知复数z 满足zz-i i=-,其中i 为虚数单位,则z 在复平面内对应的点位于 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.2"3"x >是2"log 1"x >的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件4.已知函数(2f x -)的定义域为[]02,,则函数(21)f x -的定义域为 ( )A.[2,0]-B.[1,3]-C.35[,]22D.11[,]22- 5.已知8.02=a ,0.312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,5ln 21=c 则cb a ,,的大小关系为( )A.c a b ＜＜B.a b c ＜＜C.b a c ＜＜D.c b a ＜＜6.函数3()x xx f x e e -=-的大致图象为( )7.已知函数()()22344,34x x f x lo x g x -⎧-<⎪=⎨+⎪⎩，≥，，若()5f m =,则()30f m -=( ) A.1073-B.1073C. 10727-D.107278.在ABC △中,记=AB a ,=AC b ,2,AB=,ABC=4π∠,AD 是边BC 的高线,O 是线段AD的中点,则AO =( ) 错误!A.b a 3121+ B.b a 2131+C.b a 4131+ D.b a 6131+ 9.已知cos 2,(0,),t a 21s i n 2πβαβαβ∈=-则αβ-=( )A.2πB.4πC.34π D.π10.已知在平面直角坐标系中,(1,0),(0,1),(3,0),(0,0),A B C P -,1,PQ PA PB λμλμ=++=且||1CD =,||PQ PD -的最小值是 ( )A.B.2C.1D.11.已知函数()2cos ([0,])f x x x π=∈的图象与函数()3tan g x x =的图象交于A 、B 两点,则OAB △(O 为坐标原点)的面积为 ( ) A.4πB.4C.2πD.212.设函数2,3()12,3x x f x x e x ⎧>⎪=-⎨⎪-<⎩,若函数2()()g x f x mx =+有两个极值点,则实数m 的取值范围是( )A.3(,)26e eB.3(,)26e e -C.3(,)62e e-D.3(,)62e e --二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知()f x 是定义域R 上的奇函数,周期为4,且当[0,1]x ∈时,2()log (1)f x x =+,则(31)f = _____________.14.已知向量||||2==a b ,若3+=-a b a b ,则2+=a b _____________.15.若直线y kx b =+既是曲线ln 2y x =+的切线,又是曲线ln 3y x =+（）的切线,则b=_____________.16.在ABC △中,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,D 是AB 上的三等分点(靠近点A ),且1CD =,()()()sin sin sin a b A c b C B -=+-,则2a b +的最大值是_____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(12分)已知1sin ,)2x ω=-a ,(cos ,cos 2)x x ωω=b )0(>ω,若函数()f x =⋅a b ,()f x 的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)将函数)(x f 的图象向右平移)20(πϕϕ<<个单位长度后,得到函数)(x g 的图象,若函数)(x g 为偶函数,求函数)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π，上的值域.18.(12分)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,a b c ,,且22sin 30C C -++=. (Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)若b =,ABC ∆的面积为sin 2A B ,求sin A 及c 的值.19.(12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且2222.b c a b cosA abcosB ＋－＝＋ (Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)已知ABC ∆的外接圆半径R 求ABC ∆的周长l 的取值范围.20.(12分)已知函数()()323f x ax bx =+,在1x =时有极大值3. (Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)求函数()f x 在[]1,3-上的最值.21.(12分)已知函数mx mx x G -+=)1ln()(,2)(ax x g =,其中10≤<m .(Ⅰ)当1=m 时,设)()()(x g x G x f -=,存在区间[]⎥⎦⎤ ⎝⎛⊆31,0,21t t ,使得[]2121,,t t x x ∈∀,都有0)()(2121>--x x x f x f ,求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若函数2)(ax x g =的图象在))1(,1(g 处的切线与直线01=-+y x 平行,试讨论函数)()()(x g x G x f -=的零点个数.(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时,请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩(α为参数).以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为(sin )1ρθθ-=. (Ⅰ)分别求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若P ,Q 分别是曲线1C 和2C 上的动点,求PQ 的最小值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数()23=-f x x . (Ⅰ)解不等式(1)()4-+≤f x f x ; (Ⅱ)若11|1|)2(-≤+-ax x f 对R ∈∀x 恒成立,求实数a 的取值范围.“超级全能生”2019年福建省高三年级11月联考数学(理科)答案详解一、单项选择(共60分,12小题)1.C 【解题思路】因为集合{}{}4,3,2,1,0042=≤-∈=x x x A N ,集合{}{}21022≤≤-=≤--=x x x x x B ,所以{}210，，=B A .故选C. 2.B 【解题思路】由题意zz-i i=-,2z iz i =-+,(1)1i z +=-, ∴11(1)111z 1(1)(1)222----+====-+++-i i i i i i ,在复平面对应的点为11(,)22-, 故z 在复平面内对应的点位于第二象限,故选B.3.C 【解题思路】由23x >可得x x ><设集合A=(,(3,)-∞+∞.由2log 1x >可得2x >,设集合B=(2,)+∞,显然集合B 是A 的真子集,故2"3"x >是2"log 1"x >的必要不充分条件.故选C.4.D 【解题思路】因为函数(2f x -)的定义域为[]02,,所以()f x 的定义域为[]20-，,5.B 【解题思路】∵a b ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=-8.03.03.02221＜,∴a b ＜＜1.又∵1ln 5ln 5ln 21===e c ＜, ∴a b c ＜＜.故选B.6.D 【解题思路】由33()()()x xx x x x f x f x e e e e----===--可知,()f x 为偶函数,排除B 、C; 因为311(1)1(1)11f e e e e-===<--,所以排除A,故选D. 7.C 【解题思路】24,()5345-<⎧=⇔⎨-=⎩m m f m 或()24,35,m log m ≥+=⎧⎨⎩解得4,m 4,429,≥(舍去)或<⎧⎧⎨⎨==⎩⎩m m m 所以29m =,故()()31073013427f m f ---=-=-=. 故选C.8.D 【解题思路】由题意易得由得1BD=BC 3,1111111111()()[()]+2223233636AO AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ==+=+=+-==a +b 故选D.9.B 【解题思路】2222cos 2cos sin cos sin 1tan tan tan()1sin 2cos sin 2sin cos cos sin 1tan 4ββββββπαβββββββββ-++=====+-+---所以,4παβ=+即4παβ-=,故选B.10.C 【解题思路】由,1PQ PA PB λμλμ=++=且知,Q 在AB 所在的直线上,又:1=+AB l y x ，且||||PQ PD DQ -=,即D 到Q 的距离的最小值为||-PQ PD 的最小值，又D 是以(3,0)C 为圆心,1为半径的圆上的点,那么点D 到点Q 的距离的最小值,就可以看成圆C 上的点到直线AB l 距离的最小值,即圆心到直线AB l 的距离d减去半径.又d ==,所以min||1PQ PD -=,故选C.11.D 【解题思路】函数()2cos =f x x ([0,]x π∈)和函数()3tan =g x x 的图象交于A,B 两点,点O 为坐标原点,由2cos 3tan x x =,可得22cos 3sin x x =,即22sin 3sin 20x x +-=,求得1sin 2x =,或sin 2x =-(舍去),∵[0,]x π∈,∴,6x π=或56x π=,∴A (6π,B 5(6π,画图象如图所示, 根据函数图象的对称性可得AB 的中点(,0)2C π,∴△△△S =+OABOAC BOCSS 1111=O ||||||222222π⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅-=⋅⋅=A B A B C y OC y OC y y ,故选D.12.A 【解题思路】当3>x 时,212)(mx x x g +-=,所以mx x x g 2)1(2)('2+--=.令0)('=x g ,得2)1(1-=x x m ,设()2)1(1-==x x x t y ，所以()x t y =在),3(+∞上单调递减,所以当1210<<m 时,有一个极值点;当0≤m 或121≥m 时,无极值点;当3<x 时,22)(mx e x g x +-=,所以mx e x g x2)('+-=.令0)('=x g ,因为0=x 不是极值点,所以x e m x =2,记x e x h x =)(.因为2)1()('xx e x h x -=,所以)(x h y =在)0,(-∞和)1,0(上单调递减,在)3,1(上单调递增,所以当0<m 时,有一个极值点;当20em ≤≤时,无极值点;当623e m e <<时,有两个极值点.综上所述,实数m 的取值范围是)6,2(3e e ,故选A ．13.1-【解题思路】()f x 是定义域R 上的奇函数,周期为4,且当[0,1]x ∈时,2()log (1)f x x =+,∴()(31)47+3(3)(1)(1) 1.=⨯==-=-=-f f f f f14.2【解题思路】由2==a b ,3+=-a b a b 得22(3)()+=-a b a b ,解得4⋅=-a b ,所以22+=a b15.31+ln2【解题思路】设直线:=+l y kx b ,l 与曲线ln 2y x =+相切于点11,ln (2)x x ＋,则l 的方程为1111ln )2=(y x x x x ---,设l 与曲线(3)y ln x =＋相切于点22ln )3(()x x ,＋，则l 的方程为2221l ()()n 33y x x x x -+-+＝，所以1221221131ln ln(3)3，，⎧=⎪+⎪⎨⎪+=-++⎪+⎩x x x x x x 解得132x =,232x =-,所以2,3k =设l 与曲线ln 2y x =+相切于点33(,ln2)22+,即233ln 2322b ⨯+=+,即3 1ln 2b +＝.16.解题思路】由()()()B C b c A b a sin sin sin -+=-及正弦定理得()()()b c b c a b a -+=-,整理得C ab ab c b a cos 2222==-+,所以21cos =C .因为π＜＜C 0,所以3π=C ,因为点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点,所以2133=+CD CA CB , 两边同时平方得C ab a b cos 949194122++=,整理得92422=++ab b a ,即()92229222+⎪⎭⎫⎝⎛+≤⨯+=+b a b a b a ,当且仅当32==b a 时取等号,解得322≤+b a,所以b a 2+的最大值是32.17.解:(Ⅰ)因为1,)2ωx =-a ,(cos ,cos2)=ωx ωx b ,所以cos cos sin f(x)ωx ωx ωx ωx π=⋅=-=-12(2)26a b (3分) 因为)(x f 的最小正周期为π, 所以1,22==ωπωπ. (5分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,)62sin()(π-=x x f ,其图象向右平移ϕ个单位长度后,得到函数)622sin()(πϕ--=x x g 的图象. (7分) 因为函数()g x 为偶函数,所以262k ππϕπ+=+,k ∈Z .解得26k ππϕ=+,k ∈Z .又)20(πϕ，∈,所以6πϕ=, (9分)所以x x x g 2cos )22sin()(-=-=π.因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈30π，x ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3202π，x , 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈1,212cos x ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,1)(x g . (12分)18.解：(Ⅰ)∵22sin 30C C -++=,可得:22(1cos )30C C --++=,∴22cos 10C C ++=, (3分)cos 0,2C C π∴=-<<3C=4π∴. (5分) (Ⅱ)∵由余弦定理得2222222cos 325,=+-=+=c a b ab C a a ac ,∴=由正弦定理得sin ,=C Asin ,10A C ∴== (8分)ABC 1S =sin ,2ab C AsinB ∆= (10分)2sin ()sin sin sin sin a b c C C A B C∴⋅⋅== c 1.∴== (12分)19.解:(Ⅰ)因为2222,b c a b cosA abcosB -＋＝＋所以222cos cos 22b c a b A a B bc c+-+=, 所以osA bcosA acosB ＝＋ (2分) 由正弦定理得2.()sinCcosA sinBcosA sinAcosB sin A B sinC ＝＋＝＋＝ (4分)因为0sinC ≠，所以12cosA ＝.又因为0A π<<,所以A=3π. (6分)(Ⅱ)因为2sin aR A＝， 所以233＝＝＝πa RsinA . (8分)由余弦定理可得2222＝＋-a b c bccosA , 即bc c b -+=229,所以22222393()()4)(＝＋＝＋＋＋，--≥-b c bc b c bc b c b c (10分) 解得6b c ≤＋，又3b c >＋，故69.l <≤ (12分)20解:(Ⅰ)函数)(3)(23bx ax x f +=,可得bx ax x f 69)('2+=, (2分) 由题意可知 (1)3,333,'(1)0960,=+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩f a b f a b 解得3,2=-=b a . (5分）(Ⅱ)由(Ⅰ)可知)1(181818)(',96)(223--=+-=∴+-=x x x x x f x x x f (7分） 令0)('=x f ,解得0=x 或1=x ,∴函数()x f 在()01-，和()31，上单调递减,在()10，上单调递增. (9分） ∵6951)1(f =+=-,9(1)63f =-+=,0(0)f =,1(3)8f =-,∴函数()x f 在[]31-，上的最大值为15,最小值-81. (12分） 21.解:(Ⅰ)当1=m 时,2)1ln()(ax x x x f --+=,所以22(21)()1ax a xf x x--+'=+. (2分）由题意可知函数)(x f 在区间1(0]3，上有单调递增区间, 即0)12(22>+--x a ax 在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛310，上有解. 即要求()220a x x x ++<在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛310，上有解,因为⎥⎦⎤ ⎝⎛∈310，x , 所以041)21(22>-+=+x x x ,即当⎥⎦⎤⎝⎛∈310，x 时,max 121a x ⎛⎫<- ⎪+⎝⎭.又因为11+-x 区间⎥⎦⎤⎝⎛310，上单调递增,所以4311max-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x ,所以38a <-,即实数a 的取值范围是3(,)8-∞-. (4分) (Ⅱ)因为ax x g 2)('=,所以12)1('-==a g ,所以21-=a .由题意,得221)1ln()(x mx mx x f +-+=,所以'1()()1mx x m m f x mx⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=+. (6分) 令0)('=x f ,解得0=x 或mm x 1-=. （i ）当1=m 时,函数())()(x g x G x f -=的定义域为),1(+∞-,此时021==x x ,xx x f +=1)(2',所以当()∞+-∈，1x 时,01>+x ,02≥x ,0)('≥x f ,)(x f 单调递增.又因为0)0(=f ,所以函数)(x f 在()∞+-∈，1x 上有且只有1个零点; (8分)（ii ）当10<<m 时,函数())()(x g x G x f -=的定义域为),1(+∞-m ,01<-m m ,且mm m 11-<-.当⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈m m m x 1,1时,01>+mx ,0<mx ,0)1(≤--m m x ,此时0)('≥x f .同理,当⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈0,1m m x 时,0)('≤x f ,当()∞+∈，0x 时,0)('≥x f , 所以函数)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛--m m m 1,1上单调递增,在⎥⎦⎤ ⎝⎛-0,1m m 上单调递减,在),0(+∞上单调递增,故当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈0,1m m x 时,0)0()(=>f x f ;当()+∞∈,0x 时,0)0()(=>f x f ，所以函数()x f 在),1(+∞-m m 上有且只有1个零点0=x . (10分) 因为1,0⎛⎫∈-⎪⎝⎭x m 时,212y mx x =-+单调递减,所以222211)1ln(21)1()1ln()21()1ln()(mmx m m m mx x mx mx x f +++=+--+<+-++=. 当21ln(1)102mx m +++<时,21121me x m---<-. 因为2112110mem m----<-<,所以21121()0m ef m----<.由函数零点存在性定理得⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈∃m m mx 1,10,使得0)(0=x f .综上可知,当10<<m 时,函数)(x f 有2个零点;当1=m 时,函数)(x f 有1个零点. (12分) 22. 解:(Ⅰ)因为曲线1C 的参数方程为()2cos ,2sin x a y αα=-+⎧⎨=+⎩，为参数所以曲线1C 的普通方程为1)2()2(22=-++y x . (2分) 又因为曲线2C 的极坐标方程为1)cos 3(sin =-θθρ,所以曲线2C 的直角坐标方程为013=+-y x . (5分) (Ⅱ)设)sin 2,cos 2(θθ++-P ,因为点P 到直线2C 的距离2132)6cos(2212sin cos 332--+=+--+-=πθθθd , (7分) 所以当1)6cos(=+πθ时,即62ππθ-=k ,Z ∈k 时,d 最小,即2132min -=PQ . (10分) 23.解:(Ⅰ)由()23f x x =-,(1)()4f x f x -+≤,可得2|3||4|≤-+-x x . (2分)当3＜x 时，原不等式可化为432-+-+≤x x ,解得532x ≤<; 当43≤≤x 时，原不等式可化为432-++-≤x x ，解得34x ≤≤;当4＞x 时，原不等式可化为432-+-≤x x ,解得942<≤x . 综上,不等式的解集为59{|}22x x ≤≤． (5分) (Ⅱ)令()1612⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭x g x f x x x ,若()11-≤ax g 对R ∈∀x 恒成立， 则()11max -≤ax g 对R ∈∀x 恒成立. (7分) ∵71616=---≤+--x x x x , ∴只需117-≤a 即可,解得810≤a ＜,1,0(. (10分)即实数a的取值范围是]8。