第三章概率的进一步认识专题复习报告

第三章概率的进一步认识单元整理一．单元目标整理1.了解一步实验与两步实验在概率求解方法上的区别，会运用列举法，树状图或表格列举所有可能事件的结果。

2.理解放回实验与不放回实验的区别，能分别运用树状图或表格列举出放回实验和不放回实验所出现的所有可能结果。

3.能够将不等可能性事件转化为等可能性事件，从而利于树状图或表格列举所有可能结果。

4.理解当实验次数足够大时，频率稳定与理论概念，并能够运用其解决实际问题。

二．基础知识过关练1.一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是()A．23B．12C．13D．192.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A.14B.13C.12D.233.在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为()A．14B．23C．13D．3164.某班从甲、乙、丙、丁四位选中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（）A. 13B.14C.16D.185.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A．B．C．D．6.不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是()A．49B．29C．23D．137.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5 B．10C．12 D．158.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________．三．知识结构构建四．能力提升训练1.2020年10月，枣庄市举行“红色故事讲述大赛”活动，峄城区从在比赛中脱颖而出的小贤、小晴、小艺、小志四位同学随机挑选参加市里比赛。

第三章概率的进一步认识复习【教学目标】知识于技能目标：回顾本章的内容，梳理本章的知识结构，建立有关概率知识的框架图..用所学的概率知识去解决某些现实问题，再自我回忆和总结出实验频率与理论概率的关系过程与方法目标.初步形成评价与反思的意识..通过举例，进一步发展学生随机观念和统计观念..学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.形成解决问题的一些策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神情感与态度目标：积极参与回顾与思考的过程，对数学有好奇心和求知欲.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心..形成实事求是的态度.教学重、难点：教学重点：引导学生回顾本章内容，梳理知识结构，共同建立有关概率知识的框架图.教学难点：结合实例，理解实验频率和理论概率的关系【导学过程】【创设情景，引入新课】一、知识链接：（一）、知识指导与梳理：（二）、知识回顾：1、事件发生的可能性也称为事件发生的。

在考察中，每个对象出现的次数称为，而每个对象出现的次数与总次数的比值称为。

2、当实验次数很大时，可以用一个事件发生的来估计这一事件发生的。

3、利用或可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果。

4、用实验的方法统计下列事件发生的概率：（1）、掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为。

（2）、掷一枚均匀的正六面体骰子，3点朝上的概率为。

（3）、掷一枚均匀的正六面体骰子，每次实验掷两次，两次朝上的骰子点数之和为5的概率为。

（三）、例题解析：例1、袋中有4个红球、1个白球，它们除颜色外都相同。

（1）用试验的方法估计，从袋中任意摸出一个球它是白球的概率；（2）从袋中任意摸出一个球它是白球的概率理论上应等于多少？（3）试验估计的结果和理论计算的结果一致吗？为什么？你认为怎样才能得到更为准确的估计值？例2、图2是“配紫色”游戏的两个转盘，你能用树状图或列表的方法求出配成紫色的概率吗？图1例3、某校九年级的初中学生共796名，学生的出生月份统计如下，根据图5中数据回答以下问题：图2（1）出生人数超过60人的月份有哪些？（2）出生人数最多的是几月？（3）在这些学生中至少有两个人生日在10月5日是不可能的，可能的，还是必然的？（4）如果你随机地遇到这些学生中的一位，那么这位学生生日在哪一个月的概率最小？例4、小明和小亮用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正如图3所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张，规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，小明得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，小亮得1分（如图4）该游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方都公平？图 3 图 41、甲、乙两队进行一场篮球赛，“甲队得分为奇数”是 事件，它的概率为 。

第3章概率的进一步认识整理与复习一、概率的基本概念回顾概率是数学中研究事件发生可能性的一门分支。

在初中数学中，我们已经学习了概率的基本概念，包括随机事件、样本空间和概率的计算方法等。

1. 随机事件：随机事件是指在一定条件下，无法预测结果的事件。

在数学中，我们用字母A、B、C等表示随机事件。

2. 样本空间：样本空间是指一个试验中可能出现的所有结果组成的集合，用S表示。

样本空间可以是有限个元素的集合，也可以是无限多个元素的集合。

3. 概率的计算方法：在概率的计算中，我们常使用频率概率和理论概率两种计算方法。

•频率概率是指通过大量重复试验，统计事件发生的次数与总试验次数之比来估计事件发生的可能性。

•理论概率是指根据事件在样本空间中的可能性来计算事件发生的可能性。

二、条件概率以及乘法定理1. 条件概率的概念条件概率是指在已知某一事件B发生的条件下，事件A发生的可能性。

用P(A|B)表示条件概率，读作“事件B发生的条件下，事件A发生的概率”。

条件概率的计算公式如下：$$ P(A|B) = \\frac{{P(A \\cap B)}}{{P(B)}} $$其中，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

2. 乘法定理乘法定理是指计算多个事件同时发生的概率的方法。

对于事件A、B、C，乘法定理可以表示为：$$ P(A \\cap B \\cap C) = P(A) \\cdot P(B|A) \\cdot P(C|A \\cap B) $$其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(C|A ∩ B)表示在事件A和事件B同时发生的条件下，事件C发生的概率。

三、事件的独立性1. 独立事件的概念如果事件A和事件B的发生与否互不影响，即事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，事件B的发生与否也不会改变事件A的发生概率，那么我们称事件A和事件B是独立事件。

第三章概率的进一步认识专题复习专题一知识要点汇总考点一、确定事件和随机事件 1、确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。

不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。

2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。

考点二、随机事件发生的可能性 对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。

要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。

所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。

考点三、概率的意义与表示方法1、概率的意义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。

2、事件和概率的表示方法：一般，事件用英文大写字母ABC …，表示事件A 的概率p ，可记为P （A ）=P考点四、确定事件和随机事件的概率之间的关系 1、确定事件概率（1）当A 是必然发生的事件时，P （A ）=1 （2）当A 是不可能发生的事件时，P （A ）=0 2、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小0 1概率的值 不可能发生 必然发生 事件发生的可能性越来越大 考点五、古典概型1、古典概型的定义：某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。

我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。

2、古典概型的概率的求法一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=nm 考点六、列表法求概率1、列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2、列表法的应用场合：当一次试验要设计两个因素，且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

概率的进一步认识小结与复习基础盘点1．概率的理论计算：计算涉及两步或者两步以上试验的随机事件发生的概率一般采用画树状图的方式或列表法，用这两种方法求概率时，应注意各种情况出现的可能性务必 ． 2．游戏公平与否问题．游戏是否公平的判断标准是看游戏双方获胜的概率 ，相等则公平，否则不公平．3．用频率估计概率利用概率可以预测不确定事件进行大数次试验后平稳的 ，反过来，利用平稳的 可以估计相应的概率，这是人们在反复试验中得到的规律．关键是要理解用频率估计概率时需要真正的动手操作、试验大数次后才能获得较好的估计值．考点在线考点1 用列表法或树状图法求概率例1（2013·恩施）一个不透明的袋子里装有编号分别为1，2，3的球（除编号以外其余都相同），其中1号球1个，3号球3个，从中随机摸出一个球是2号球的概率为13． （1）求袋子里2号球的个数；（2）甲、乙两人分别从袋中摸出一个球（不放回），甲摸出球的编号记为x ，乙摸出球的编号记为y ，用列表法或树状图法求点A （x ，y ）在直线y ＝x 下方的概率． 解析：（1）设袋子里2号球的个数为x 个．根据题意，得13xx ++＝13．解得x ＝2．经检验，x ＝2是原分式方程的解，且符合题意． 所以袋子里2号球的个数为2个． （2）列表如下：由表格，知共有30种等可能的结果，点A （x ，y ）在直线y=x 下方的有11种，所以点A （x ，y ）在直线y ＝x 下方的概率为1120． 例2（2012·聊城）我市初中毕业男生体育测试成绩有四项，其中“立定跳远”“100米跑”“肺活量测试”为必测项目，另一项为“引体向上”和“推铅球”中选择一项测试.小亮、小明和大刚从“引体向上”和“推铅球”中选择同一个项目的概率是 . 解析：分别用A ，B 代表“引体向上”与“推铅球”，画树状图如下：由表格，行共有8种等可能的情况，小亮、小明和大刚选择同一个测试项目的有2种情况，所以小亮、小明和大刚选择同一个测试项目的概率是41． 考点2 游戏公平与否的判定例3 （2013·鞍山）小明和小亮玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．（1）用列表或画树状图的方法，列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况； （2）请判断该游戏对双方是否公平？并说明理由． 解析：（1）列表如下：从上面表中可看出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况为：2，3，4，5，6. （2）不公平.理由如下：因为和为偶数的有5次，和为奇数的有4次，所以P （小明胜）=，P （小亮胜）=，所以此游戏对双方不公平． 考点3 用频率估计概率例4一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ）A.28个B.30个C.36个D.42个解析：设口袋中有白球x 个，则口袋中共有球（x ＋8）个，根据概率与频率的关系，得88x ＝88400．解得x ≈28．故白球的个数为28个．故选A ．小亮 小明 大刚第1张第2张 和误区点拨1．混淆两种不同的“抽取”方式例1（2013·淮安）一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的3只球，球上分别标有2，3，5三个数字．（1）从这个袋子中任意摸一只球，所标数字是奇数的概率是；（2）从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字，不放回，再从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字．将第一次记下的数字作为十位数字，第二次记下的数字作为个位数字，组成一个两位数．求所组成的两位数是5的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”的方法写出过程）错解：（1）从这个袋子中任意摸一只球，所标数字是奇数的概率是23．（2）列表如下：由列表可以看出，所有可能出现的结果共有9种，而且每种结果出现的可能性都相同，其中所组成的两位数是5的倍数的结果共有3种，所以P（组成的两位数是5的倍数）＝39＝13．剖析：（2）小题中，虽然结果正确，但计算方法不正确.在连续两次摸球游戏或抽卡片的概率问题中，有两种方式：有放回和无放回．解题时要注意区分，以免发生混淆．本题为摸取后不放回，错解对此未加区分而致错．正确解法是：列表如下：由列表可以看出，所有可能出现的结果共有6种，而且每种结果出现的可能性都相同，其中所组成的两位数是5的倍数的结果共有2种，所以P（组成的两位数是5的倍数）＝26＝13．2．审题不清例2（2013·陕西）甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：i)每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指；ii)两人伸出的手指中，大拇指只胜食指，食指只胜中指，中指只胜无名指，无名指只胜小拇指，小拇指只胜大拇指，否则不分胜负，依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时：（1）求甲伸出小拇指取胜的概率；（2）求乙取胜的概率．错解：设用A，B，C，D，E分别表示大拇指、食指、中指、无名指、小拇指，列表如下：由表格可知，共有25种等可能的结果．（1）由表格，知甲伸出小拇指取胜有5种可能的结果，所以P（甲伸出小拇指取胜）＝5 25＝15．（2）由表格知，乙取胜有10种可能的结果，所P（乙取胜）＝1025＝25．剖析：上述错解错在没弄明白要关注的结果是什么，没有审清题意. 正解：（1）由表格，知甲伸出小拇指取胜有1种可能的结果，所以P（甲伸出小拇指取胜）＝1 25.（2）由表格知，乙取胜有5种可能的结果，所以P（乙取胜）＝525＝15．3．错误进行频率估计例3调2013-2014第二学期43期1版的误区点拨思想方法类比调2013-2014第二学期43期3版的类比（三）中考真题练调2013-2014第二学期43期3版真题演练，将2，4去掉。