新湘教版八年级上册第一章第二课时 分式

新版湘教版秋八年级数学上册第一章分式课题分式的基本概念教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第一章分式课题“分式的基本概念”是学生在学习了有理数、方程、不等式等知识后，进一步深化对数学概念的理解的重要内容。

本节课主要让学生掌握分式的定义、分式的性质、分式的运算等基本概念。

教材通过丰富的例题和练习，帮助学生巩固分式的基本概念，并培养学生的数学思维能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对有理数、方程、不等式等知识有一定的了解。

但学生在学习过程中，可能会对分式的抽象概念和运算规则感到困惑。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，通过生动有趣的例子和实际操作，激发学生的学习兴趣，帮助学生理解和掌握分式的基本概念。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握分式的定义、性质和运算方法，能够熟练地运用分式解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生探究数学问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。

四. 教学重难点1.重点：分式的定义、性质和运算方法。

2.难点：分式的运算规则和实际应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入分式的概念，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生主动探究分式的性质和运算方法，培养学生的数学思维能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论和实践，提高学生的合作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示分式的定义、性质和运算方法。

2.练习题：准备分式的相关练习题，巩固学生的学习效果。

3.教学道具：准备实物模型或图示，帮助学生形象地理解分式的概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一个实际问题，如“小明买了一本书，原价是80元，现在打8折，小明实际支付了多少钱？”引导学生思考和解决问题。

学生通过计算得出答案，教师引入“分式”的概念，指出这个问题可以用分式来表示和解决。

八年级数学上册第1章分式（湘教版）第1章分式分式第1课时分式1.理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式.2.能写出分式存在的条件，会求分式的值为0时字母的取值范围.(重难点)3.能根据字母的取值求分式的值.(重点)4.能用分式表示现实情境中的数量关系.(重点)自学指导：阅读教材P2～3，完成下列问题.(一)知识探究1.一般地，如果一个整式f除以一个非零整式g(g中含有字母)，所得商fg叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0.2.(1)分式fg存在的条件是g≠0；(2)分式fg不存在的条件是g＝0；(3)分式fg的值为0的条件是f＝0，g≠0.(二)自学反馈1.下列各式中，哪些是分式？①2b－s；②3 000300－a；③27；④vs；⑤s32；⑥2x2＋15；⑦45b＋c；⑧－5；⑨3x2－1；⑩x2－xy＋y22x－1；⑪5x－7.解：分式有①②④⑦⑩.判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件.2.当x取何值时，下列分式的值不存在？当x取何值时，下列分式的值等于0?(1)3－xx＋2；(2)x＋53－2x.解：(1)当x＋2＝0时，即x＝－2时，分式3－xx＋2的值不存在.当x＝3时，分式3－xx＋2的值等于0. (2)当3－2x＝0时，即x＝32时，分式x＋53－2x的值不存在.当x＝－5时，分式x＋53－2x的值等于0.分母是否为0决定分式的值是否存在.活动1 小组讨论例1 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？(1)甲每小时做x个零件，他做80个零件需多少小时；(2)轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是多少千米/时，轮船的逆流速度是多少千米/时；(3)x与y的差除以4的商是多少.解：(1)80x；分式.(2)a＋b，a－b；整式.(3)x－y4；整式.例2 当x取何值时，分式2x－5x2－4的值存在？当x取何值时，分式2x－5x2－4的值为零？解：当2x－5x2－4的值存在时，x2－4≠0，即x≠±2；当2x－5x2－4的值为0时，有2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝52.分式的值存在的条件：分式的分母不能为0.分式的值不存在的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.活动2 跟踪训练1.下列各式中，哪些是分式？①4x；②a4；③1x－y；④3x4；⑤12x2.解：①③是分式.2.当x取何值时，分式x2＋13x－2的值存在？解：3x－2≠0，即x≠23时，x2＋13x－2存在求下列条件下分式x－2x＋3的值.(1)x＝1；(2)x＝－1.解：(1)当x＝1时，x－2x＋3＝－(2)当x＝－1时，x－2x＋3＝－32.活动3 课堂小结1.分式的定义及根据条件列分式.2.分式的值存在的条件，以及分式值为0的条件. 第2课时分式的基本性质1.理解并掌握分式的基本性质.(重点)2.能运用分式的基本性质约分，并进行简单的求值运算.(重难点)自学指导：阅读教材P4～6，完成下列问题.(一)知识探究1.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为fg＝（fh）gh(h≠0).2.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.(二)自学反馈1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？(1)a2b＝ac2bc(c≠0)；(2)x3xy＝x2y.解：(1)由c≠0，知a2b＝ac2bc＝ac2bc.(2)由x≠0，知x3xy＝x3÷xxy÷x＝x2y.应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有意义的情况下才能应用.2.填空，使等式成立：(1)34y＝3（x＋y）4y（x＋y）(其中x＋y≠0)；(2)y ＋2y2－4＝1（y－2）.在分式有意义的情况下，正确运用分式的基本性质，保证分式的值不变，给分式变形.3.约分：(1)a2bcab；(2)－32a3b2c24a2b3d.解：(1)公因式为ab，所以a2bcab＝ac.(2)公因式为8a2b2，所以－32a3b2c24a2b3d＝－4ac3bd.活动1 小组讨论例1 约分：(1)－3a3a4；(2)12a3（y－x）227a（x－y）；(3)x2－1x2－2x＋1.解：(1)－3a3a4＝－3a.(2)12a3（y－x）227a（x－y）＝4a2（x－y）9.(3)x2－1x2－2x＋1＝（x＋1）（x－1）（x－1）2＝x＋1x－1.约分的过程中注意完全平方式(a－b)2＝(b－a)2的应用.像(3)这样的分子分母是多项式，应先分解因式再约分.例2 先约分，再求值：x2y＋xy22xy，其中x＝3，y＝1.解：x2y＋xy22xy＝xy（x＋y）2xy＝x＋y2.当x＝3，y＝1时，x＋y2＝3＋12.活动2 跟踪训练1.约分：(1)－15（a＋b）2－25（a＋b）；(2)m2－3m9－m2.解：(1)－15（a＋b）2－25（a＋b）＝3（a＋b）5.(2)m2－3m9－m2＝m（m－3）（3＋m）（3－m）＝－mm＋3.2.先约分，再求值：(1)3m＋n9m2－n2，其中m＝1，n＝2；(2)x2－4y2x2－4xy＋4y2，其中x＝2，y＝4.解：(1)3m＋n9m2－n2＝13m－n＝13×1－2＝1.(2)x2－4y2x2－4xy＋4y2＝（x＋2y）（x－2y）（x －2y）2＝x＋2yx－2y＝2＋2×42－2×4＝－活动3 课堂小结1.分数的基本性质.2.约分、化简求值2 分式的乘法和除法第1课时分式的乘法和除法1.理解分式的乘、除法的法则.(重点)2.会进行分式的乘除运算.(重难点)自学指导：阅读教材P8～9，完成下列问题.(一)知识探究分式的乘、除法运算法则：(1)分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.用式子表示为fguv＝fugv.(2)分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：如果u≠0，则规定fg÷uv＝fgvu＝fvgu.(二)自学反馈1.计算xyy2x的结果是12.2.化简m－1m÷m－1m2的结果是下列计算对吗？若不对，要怎样改正？(1)baab＝1；(2)ba÷a＝b；(3)－x2b6bx2＝3bx；(4)4x3a÷a2x＝23.解：(1)对.(2)错.正确的是ba2.(3)错.正确的是－3x.(4)错.正确的是8x23a2.活动1 小组讨论例1 计算：(1)4x3yy2x3；(2)ab22c2÷－3a2b24cd.解：(1)原式＝4xy3y2x3＝4xy6x3y＝23x2.(2)原式＝ab22c24cd－3a2b2＝－ab24cd2c23a2b2＝－2d3ac.例2 计算：(1)a2－4a＋4a2－2a＋1a－1a2－4；(2)149－m2÷1m2－解：(1)原式＝（a－2）2（a－1）2a－1（a＋2）（a－2）＝（a－2）2（a－1）（a－1）2（a－2）（a＋2）＝a－2（a－1）（a＋2）.(2)原式＝149－m2m2－7m1＝1（7＋m）（7－m）m（m －7）1＝m（m－7）（7＋m）（7－m）＝－m7＋m.整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式.注意变换过程中的符号.活动2 跟踪训练1.计算：(1)3a4b16b9a2；(2)12xy5a÷8x2y；(3)－3xy÷2y23x.解：(1)原式＝3a16b4b9a2＝43a.(2)原式＝12xy5a18x2y＝12xy5a8x2y＝310ax.(3)原式＝－3xy3x2y2＝－3xy3x2y2＝－9x22y.(2)和(3)要把除法转换成乘法运算，然后约分，运算结果要化为最简分式.2.计算：(1)x2－4x2－4x＋3÷x2＋3x＋2x2－x；(2)2x＋64－4x＋x2÷(x＋3)x2＋x－63－x.解：(1)原式＝x2－4x2－4x＋3x2－xx2＋3x＋2＝（x ＋2）（x－2）（x－3）（x－1）x（x－1）（x＋1）（x ＋2）＝x（x－2）（x－3）（x＋1）＝x2－2xx2－2x－3.(2)原式＝2x＋64－4x＋x21x＋3x2＋x－63－x＝2（x ＋3）（x－2）21x＋3（x＋3）（x－2）－（x－3）＝－2（x＋3）（x－2）（x－3）.分式的乘除要严格按着法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式.运算过程一定要注意符号.活动3 课堂小结1.分式的乘、除运算法则.2.分式的乘、除法法则的运用.第2课时分式的乘方1.理解分式乘方的运算法则.(重点)2.熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算.(重难点)自学指导：阅读教材P10～11，完成下列问题.(一)知识探究分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.用式子表示为(fg)n＝fngn.(其中n为正整数)(二)自学反馈1.计算：(1)(2ab)2；(2)(－b2a)3.解：(1)(2ab)2＝4a2b2.(2)(－b2a)3＝－b6a3.2.计算：(1)(－2ab)2b36a2；(2)(3a2b)2÷(－b2a)2.解：(1)原式＝4a2b2b36a2＝23b.(2)原式＝9a4b2÷b24a2＝9a4b24a2b2＝36a6. 活动1 小组讨论例1 计算：(1)(n2m)3；(2)(a2b－cd3)3.解：(1)(n2m)3＝(2)(a2b－cd3)3＝（a2b）3（－cd3）3＝a6b3－c3d9.分式的乘方运算将分式的分子、分母分别乘方，再根据幂的乘方进行运算.例2 计算：(1)m3n2÷(mn)3；(2)(－n2m)2÷(n2m3)3(2nm)3.解：(1)m3n2÷(mn)3＝m3n2÷m3n3＝m3n2n3m3＝(2)(－n2m)2÷(n2m3)3(2nm)3＝n24m2÷n6m98n3m3＝n24m2m9n68n3m3＝2 分式混合运算，要注意：(1)化除法为乘法；(2)分式的乘方；(3)约分化简成最简分式.活动2 跟踪训练1.计算：(1)2m2n3pq25p2q4mn2÷5mnp3q；(2)16－a2a2＋8a＋16÷a－42a＋8a－2a＋2；(3)(a－1a＋3)2÷(a－1)9－a2a－1.解：(1)原式＝2m2n3pq25p2q4mn23q5mnp＝12n2.(2)原式＝（4＋a）（4－a）（a＋4）22（a＋4）a－4a－2a＋2＝－2（a－2）a＋2.(3)原式＝（a－1）2（a＋3）21a－1（3＋a）（3－a）a－1＝3－aa＋3.2.计算：(1)(－2x4y23z)3；(2)(2ab3－c2d)2÷6a4b3(－3cb2)3.解：(1)原式＝（－2x4y2）3（3z）3＝－8x12y62(2)原式＝4a2b6c4d2b36a4－27c3b6＝－18b3a2cd2化简求值：b2a2－ab÷(ba－b)2a2ba－b，其中a＝12，b＝－3.解：化简结果是ab；求值结果为－32.化简过程中注意“－”.化简中，乘除混合运算顺序要从左到右.活动3 课堂小结1.分式乘方的运算.2.分式乘除法及乘方的运算方法.1.3 整数指数幂同底数幂的除法1.理解同底数幂的除法法则.(重点)2.熟练进行同底数幂的除法运算.(重难点)自学指导：阅读教材P14～15，完成下列问题.(一)知识探究同底数幂相除，底数不变，指数相减.设a≠0，m，n是正整数，且m＞n，则aman＝an（am－n）an＝am－n.(二)自学反馈1.计算a10÷a2(a≠0)的结果是(C)A.a5B.－a5C.a8D.－a82.计算：x5÷(－x)2＝x3；(ab)5÷(ab)2＝a3b3. 活动1 小组讨论例1 计算：(1)（－x）5x3；(2)（xy）8（－xy）5.解：(1)（－x）5x3＝－x5－3＝－x2.(2)（xy）8（－xy）5＝x8y8－x5y5＝－x例2 计算：(x－y)6÷(y－x)3÷(x－y).解：原式＝(x－y)6÷[－(x－y)]3÷(x－y)＝－(x－y)6－3－1＝－(x－y)2.活动2 跟踪训练1.计算：(1)a5a2；(2)（x2y3）2（－x2y3）2.解：(1)原式＝a3.(2)原式＝1.2.计算：(p－q)4÷(q－p)3(p－q)2.解：原式＝(p－q)4÷[－(p－q)3](p－q)2＝－(p－q)(p－q)2＝－(p－q)3.活动3 课堂小结同底数幂的除法的运算.1.3.2 零次幂和负整数指数幂1.理解零次幂和整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题.(重难点)2.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.(重点)3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.(重难点) 自学指导：阅读教材P16～18，完成下列问题.(一)知识探究1.任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝1(a≠0).2.a－n＝1an(n是正整数，a≠0).(二)自学反馈1.计算：30＝1；(－2)－3＝－2.用科学记数法表示数0.000 201 6为2.016×10－计算：23－(12)0－(12)－2.解：原式＝8－1－4＝3.活动1 小组讨论例1 计算：(1)3－2；(2)(10)－3；(3)(45)－2.解：(1)3－2＝132＝19.(2)10－3＝1103＝0.001.(3)(45)－2＝(54)2＝2例2 把下列各式写成分式的形式：(1)3x－3；(2)2x－23y－3.解：(1)3x－3＝3x3.(2)2x－23y－3＝6x2例3 用科学记数法表示下列各数：(1)0.000 326 7；(2)－0.00解：(1)0.000 326 7＝3.267×10－4.(2)－0.001 1＝－1.10×10－3.活动2 跟踪训练1.计算：(－2)0＝1；3－1＝2.把(－100)0，(－3)－2，(－13)2按从小到大的顺序排列为(－100)0(－13)2＝(－3)－2计算：(－1)2 012×(3－π)0＋(12)－1.解：原式＝1×1＋2＝3.活动3 课堂小结1.零次幂和整数指数幂的运算性质.2.零指数幂和负整数指数幂的意义负整数指数幂在科学记数法中的应用整数指数幂的运算法则1.理解整数指数幂的运算法则.(重点)2.熟练掌握整数指数幂的各种运算.(重难点)自学指导：阅读教材P19～20，完成下列问题.(一)知识探究1.aman＝am＋n(a≠0，m，n都是整数).2.(am)n＝amn(a≠0，m，n都是整数)(ab)n＝anbn(a≠0，b≠0，m，n都是整数).(二)自学反馈计算：(1)a3a－5＝a－2＝1a2；(2)a－3a－5＝a－8＝1a8；(3)a0a－5＝a－5＝1a5；(4)aman＝am＋n(m，n为任意整数).aman＝am＋n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用.同样正整数指数幂的运算可以推广到整数指数幂的运算.活动1 小组讨论例1 计算：(1)(a－1b2)3；(2)a－2b2(a2b－2)－3.解：(1)原式＝a－3b6＝b6a3.(2)原式＝a－2b2a－6b6＝a－8b8＝b8a8.例2 下列等式是否正确？为什么？(1)am÷an＝ama－n；(2)(ab)n＝anb－n.解：(1)正确.理由：am÷an＝am－n＝am＋(－n)＝ama－n.(2)正确.理由：(ab)n＝anbn＝an1bn＝anb－n.活动2 跟踪训练1.下列式子中，正确的有(D)①a2÷a5＝a－3＝1a3；②a2a－3＝a－1＝1a；③(ab)－3＝1（ab）3＝1a3b3；④(a3)－2＝a－6＝1aA.1个 B.2个 C.3个D.4个2.计算：[x(x2－4)]－2(x2－2x)2＝1（x＋2）2.活动3 课堂小结牢记整数指数幂的运算法则.1.4 分式的加法和减法第1课时同分母分式的加减法1.掌握同分母分式的加、减法则，并能运用法则进行同分母分式的加减运算.(重点)2.会将分母互为相反数的分式化为同分母分式进行运算.(重难点)自学指导：阅读教材P23～24，完成下列问题.(一)知识探究1.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.即，fg±hg＝f±hg.2.－fg＝f－g＝－fg，－f－g＝fg.(二)自学反馈1.计算：yx＋2x＝y＋2x；5y－ay＝5－ay.2.计算：(1)32－3x－1＋3x2－3x；(2)a2a－b－b2－2abb－a.解：(1)32－3x－1＋3x2－3x＝3－1－3x2－3x＝2－3x2－3x＝1.(2)a2a－b－b2－2abb－a＝a2a－b＋b2－2aba－b＝（a－b）2a－b＝a－b.活动1 小组讨论例1 计算：(1)x－1x＋1x；(2)5x＋3yx2－y2－2xx2－y2.解：(1)原式＝x－1＋1x＝xx＝1.(2)原式＝5x＋3y－2xx2－y2＝3x＋3y（x＋y）（x －y）＝3（x＋y）（x＋y）（x－y）＝3x－y.例2 计算：(1)mm－1－11－m；(2)5xx2－x－51－x.解：(1)原式＝mm－1＋1m－1＝m＋1m－1.(2)原式＝5xx（x－1）－51－x＝5x－1＋5x－1＝5＋5x－1＝10x－1.活动2 跟踪训练1.化简x2x－1＋x1－x的结果是(D)A.x＋1B.x－－xD.x2.化简a2a－b－b2a－b的结果是(A)A.a＋bB.a－ba2－b2D计算：(1)x＋1x－1x；(2)ab＋1＋2ab＋1－3ab＋1.解：(1)原式＝x＋1－1x＝1.(2)原式＝a＋2a－3ab ＋1＝0.1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；2.注意：计算过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.活动3 课堂小结1.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.2.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).第2课时通分1.了解什么是最简公分母，会求最简公分母.(重点)2.了解通分的概念，并能将异分母分式通分.(重难点)自学指导：阅读教材P25～26，完成下列问题.(一)知识探究1.异分母分式进行加减运算时，也要先化成同分母分式，然后再加减.2.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分通分时，关键是确定公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.(二)自学反馈2x，13y的最简公分母是6xy.2.对分式y2x，x3y2，14xy通分时，最简公分母是12xy2通分：(1)3c2ab2与－a8bc2；(2)x4a（x＋2）与x6b（x＋2）.解：(1)3c2ab2＝3c4c22ab24c2＝12c38ab2c2；－a8bc2＝－aab8bc2ab＝－a2b8ab2c2.(2)x4a（x＋2）＝3bx12ab（x＋2），y6b（x＋2）＝2ay12ab（x＋2）.活动1 小组讨论例1 通分：(1)32a2b与a－bab2c；(2)2xx－5与3xx＋5.解：(1)最简公分母是2a2b22a2b＝3bc2a2bbc＝3bc2a2b2c，a－bab2c＝（a－b）2aab2c2a＝2a（a－b）2a2b2c.(2)最简公分母是(x＋5)(x－5).2xx－5＝2x（x＋5）（x－5）（x＋5）＝2x2＋10xx2－25，3xx＋5＝3x（x－5）（x＋5）（x－5）＝3x2－15xx2－25.例2 通分：(1)2cbd与3ac4b2；(2)1x2－4与x4－2x.解：(1)最简公分母是4b2d.2cbd＝8bc4b2d，3ac4b2＝3acd4b2d.(2)最简公分母是2(x＋2)(x－2).1x2－4＝1×2（x＋2）（x－2）×2＝22x2－8，x4－2x＝x－2（x－2）＝－x（x＋2）2（x＋2）（x －2）＝－x2＋2x2x2－8.活动2 跟踪训练1.分式1x2－4，x2（x－2）的最简公分母为(B)A.(x＋2)(x－2)B.2(x＋2)(x－2)2(x＋2)(x－2)2 D.－(x＋2)(x－2)22.分式1x2－1，x－1x2－x，1x2＋2x＋1的最简公分母是x(x＋1)2(x－1)通分：(1)x3y与3x2y2；(2)x－y2x＋2y与xy（x＋y）2；(3)2mn4m2－9与2m－32m＋3.解：(1)x3y＝2xy6y2，3x2y2＝9x6y2.(2)x－y2x＋2y＝x2－y22（x＋y）2，xy（x＋y）2＝2xy2（x＋y）2.(3)2mn4m2－9＝2mn4m2－9，2m－32m＋3＝（2m－3）24m2－9.活动3 课堂小结1.确定最简公分母.2.将异分母分式通分.第3课时异分母分式的加减法1.熟练掌握求最简公分母的方法.2.能根据异分母分式的加减法则进行计算.(重难点) 自学指导：阅读教材P27～29，完成下列问题.(一)知识探究异分母的分式相加减时，要先通分，即把各个分式的分子、分母同乘一个适当的整式，化成同分母分式，然后再加减.(二)自学反馈1.化简分式1x＋1x（x－1）的结果是(C)A.xB.1x2x－1D.xx－12.下列计算正确的是(D)A.1x＋12x＝13xB.1x－1y＝1x－xx＋1＋1＝1x＋1 D.1a－1－1a＋1＝2a2－1活动1 小组讨论例1 计算：(1)3x＋2y；(2)1a＋1－1a－1.解：(1)原式＝3yxy＋2xxy＝3y＋2xxy.(2)原式＝a－1（a＋1）（a－1）－（a＋1）（a＋1）（a－1）＝－2（a＋1）（a－1）.例2 计算：(1)(1－ba＋b)÷aa2－b2；(2)12p＋3q＋12p－3q.解：(1)原式＝a＋b－ba＋ba2－b2a＝aa＋b（a＋b）（a－b）a＝a－b.(2)原式＝2p－3q（2p＋3q）（2p－3q）＋2p＋3q（2p ＋3q）（2p－3q）＝2p－3q＋2p＋3q（2p＋3q）（2p－3q）＝4p4p2－9q2.活动2 跟踪训练1.计算(a2a－3＋93－a)÷a＋3a的结果为(A)A.aB.－a(a＋3)2D.12.化简(1＋4a－2)÷aa－2的结果是(A)A.a＋2aB.aa＋2a－2aD.aa－23.化简x2－1x2－2x＋1x－1x2＋x＋2x的结果是3x 化简(1－1m＋1)(m＋1)的结果是m.1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；2.注意：化简过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.活动3 课堂小结1.分式加减运算的方法思路：异分母相加减――→通分转化为同分母相加减――→分母不变分子（整式）相加减2.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式) 可化为一元一次方程的分式方程第1课时可化为一元一次方程的分式方程1.理解分式方程的意义.2.了解分式方程的基本思路和解法.(重点)3.理解分式方程可能无解的原因，并掌握验根的方法.(重点)自学指导：阅读教材P32～34，完成下列问题.(一)知识探究1.分母中含有未知数的方程叫作分式方程.2.在检验分式方程的根时，将所求的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根解分式方程有可能产生增根，因此解分式方程必须检验.(二)自学反馈1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？①x－22＝x3；②4x＋3y＝7；③1x－2＝3x；④x（x －1）x＝－1；⑤3－xπ＝x2；⑥2x＋x－15＝10；⑦x－1x＝2；⑧2x＋1x＋3x＝1.解：①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程.判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数.2.解分式方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根；(4)小结.活动1 小组讨论例1 解方程：2x－3＝3x.解：方程两边同乘x(x－3)，得2x＝3(x－3).解得x＝9.检验：当x＝9时，x(x－3)≠0.所以，原分式方程的解为x＝9.例2 解方程：xx－1－1＝3（x－1）（x＋2）.解：方程两边同乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.解得x＝1.检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0.所以x＝1不是原方程的解.所以，原方程无解.活动2 跟踪训练解方程：(1)12x＝2x＋3；(2)xx＋1＝2x3x＋3＋1；(3)2x－1＝4x2－1；(4)5x2＋x－1x2－x＝0.解：(1)方程两边同乘2x(x＋3)，得x＋3＝4x.化简得3x＝3.解得x＝1.检验：当x＝1时，2x(x＋3)≠0.所以x＝1是方程的解.(2)方程两边同乘3(x＋1)，得3x＝2x＋3x＋3.解得x＝－32.检验：当x＝－32时，3x＋3≠0.所以x＝－32是方程的解.(3)方程两边同乘x2－1，得2(x＋1)＝4.解得x＝1.检验：当x＝1时，x2－1＝0，所以x＝1不是方程的解.所以原方程无解.(4)方程两边同乘x(x＋1)(x－1)，得5(x－1)－(x＋1)＝0.解得x＝32.检验：当x＝32时，x(x＋1)(x－1)≠0.所以x＝32是原方程的解.方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母.活动3 课堂小结解分式方程的思路是：第2课时分式方程的应用能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结.(重难点)自学指导：阅读教材P35～36，完成下列问题.(一)知识探究列分式方程解应用题的一般步骤是：(1)审题设未知数；(2)找等量关系列方程；(3)去分母，化分式方程为整式方程；(4)解整式方程.(5)验根是否符合实际意义；(6)答题.(二)自学反馈重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半.后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半.乙型挖土机单独挖这块地需要几天？甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖12÷4＝18，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天，那么一天挖1x；两台挖土机一天共挖18＋1x；两台一天完成另一半.所以列方程为18＋1x＝12；解得x＝83，即乙单独挖需83天.认真分析题意.根据等量关系列方程.活动1 小组讨论例甲、乙两人分别从相距36千米的A，B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇.已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？分析：路程速度时间甲18＋1×2x＋0.518＋1×2x＋0.5乙18x18x等量关系：t甲＝t乙.解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为(x＋0.5)千米/小时.根据题意，列方程得18＋1×2x＋0.5＝18x.解得x＝检验：当x＝4.5时，x(x＋0.5)≠0.所以x＝4.5是原方程的解.则x＋0.5＝5.答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时.等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米.活动2 跟踪训练1.A、B两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度.解：设大汽车的速度为2x千米/小时，则小汽车的速度为5x千米/小时.根据题意，列方程得135－2x×52x＝135－12×5x5x.解得x＝9.检验：当x＝9时，10x≠0.所以，x＝9是原方程的解.则2x＝18，5x＝答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时.等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间.2.一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？解：设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需(x＋3)天，根据题意，列方程得2x＋xx＋3＝1.解得x＝6.检验：当x＝6时，x(x＋3)≠0.所以，x＝6是原方程的解.答：规定日期是6天.活动3 课堂小结1.列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤.2.列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可设间接)的前提下找出等量关系解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系注意不要遗漏检验和写答案。

第3章 实 数
要点梳理
一、平方根
1. 平方根的概念及性质 a (1)定义：若r2=a，则r叫作a的一个平方根. (2)性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0，负数没有平方根.
2. 算术平方根的概念及性质 a (1)定义：a的正平方根叫作a的算术平方根. (2)性质：0的算术平方根是0，只有非负数才有算术平
2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理(判定) 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3. 线段垂直平分线的作法
五、全等三角形 1.全等三角形的性质
对应角相等，对应边相等
2.全等三角形的判定 SAS ASA AAS SSS
3.三角形的稳定性
依据：SSS
六、用尺规作三角形 1.作一个角的平分线
方程； （2）解：解这个整式方程； （3）验：把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的
值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则， 这个解不是原分式方程的解，而是其增根，舍去；
（4）写根：写出原方程的根.
3.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：审清题意，弄清楚已知量和未知量的关系； （2）找：找出题目中的等量关系； （3）设：根据题意设出未知数； （4）列：列出分式方程； （5）解：解这个分式方程； （6）验：检验，既要检验所求的解是否为所列分式方程
分式的除法
（1）同分母分式相加减
分式的乘方
（2）异分母分式加减时需通分化为同分母分式加减.这个相同的 分母叫公分母.
(确定公分母的方法:一般取各分母系数的最小公倍数与各分母各 个因式的最高次幂的积为公分母)
三、整数指数幂
1.同底数幂除法：a m an
amn
(a≠0, m、n为正整数且m>n)

第一章 分式分式的概念：一般的，用B A ,表示两个整式，B A ÷就可以表示成BA的形式．如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式． 注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别； (2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义； (3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零． 分式的相关概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分．一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)．分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如：BAB A B A B A --=--=--=． 分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数．当分子、分母中的系数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数”一般是n10，其中n 等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小．(1)b a b a 41313121-+； (2)22226.0411034.0y x y x -+． 分式的运算法则1、 分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcad c d b a d c b a =⨯=÷． 2、 分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛(n 为整数)．3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cba cbc a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：bdbcad d c b a ±=±．分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的．例、计算78563412+++++-++-++x x x x x x x x ． 分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法” ． 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：nm nmaa a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a a app,0(1≠=-为正整数)． 科学计数法：把一个数记成na 10⨯±的形式，其中：n a ，101<≤是整数，这种记数法叫做科学记数法．第二章三角形命题、定理、证明命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题．注意：命题的定义包括两层涵义：①命题必须是一个完整的句子；②这个句子必须对某件事情做出判断．例如：“直角都相等” ，“相等的角是对顶角”等都是命题．“连结P 、Q 两点” 、“过点p 作直线l ”等都不是命题． 命题的一般形态：任一个命题都可以写成形式：“如果……，那么……．”如果对应命题的题设(条件)部分，那么对应命题的结论部分。