兴义市天赋中学数学必修一教案：4.4同角三角函数的基本关系式(2)

cot αtan α兴义市天赋中学数学必修一教案： 4.4同角三角函数的基本关系式（2）教学目的：⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．教学重点：同角三角函数的基本关系教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式． 授课类型：新授课 课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：同角三角函数的基本关系公式:αααtan cos sin = αααc o t s i n c o s = 1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1c o s s e c=α⋅α 1cos sin 22=+αα 1t a n s e c 22=-αα 1c o t c s c 22=-αα1︒“同角”的概念与角的表达形式无关，如：13cos 3sin 22=+αα 2t a n 2c o s2s i nααα=2︒上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立3︒由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号这些关 ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系)②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系)③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系)二、讲解范例：例1化简： 440sin 12-解：原式80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 1222==-=+-=例2 已知αααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简解：)sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+----+++=原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2222αααααααα--+=----+=0cos <∴αα是第三象限角， αααααt a n 2c o s s i n 1c o s s i n 1-=----+=∴原式 （注意象限、符号）例3求证：ααααcos sin 1sin 1cos +=-分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法．证法1：左边==+=⋅--=-⋅xxx x x x x x x cos sin 1cos )sin 1(sin 1cos )sin 1(cos cos 2右边，∴原等式成立证法2：左边=)sin 1)(sin 1(cos )sin 1(x x xx -+⋅+＝x x x 2sin 1cos )sin 1(-⋅+x x x 2cos cos )sin 1(⋅+=＝=+xxcos sin 1右边 证法3：∵0cos )sin 1(cos cos cos )sin 1()sin 1(cos cos sin 1sin 1cos 2222=⋅--=⋅---=+--xx xx x x x x x x x x ， ∴xx x cos sin 1cos =-证法4：∵cosx ≠0，∴1+sinx ≠0，∴xxcos sin 1+≠0，∴x x x xcos sin 1sin 1cos +-＝()()x x x sin 1sin 1cos 2-+＝x x 22sin 1cos -＝1，∴xxx x cos sin 1sin 1cos +=-．,cos )sin 1(cos )sin 1(cos sin 1sin 1sin 1cos sin 1,cos )sin 1(cos cos cos sin 1cos :5222xx xx x x x x x x xx xx x x x -=--=--⋅+=⋅-=⋅-=右边左边证法 ∴左边=右边 ∴原等式成立．证法6：∵)sin 1)(sin 1(x x +-＝x 2sin 1-＝x 2cos ＝x x cos cos ∙∴xxx x cos sin 1sin 1cos +=-．证法7：∵1cos sin 22=+αα， ∴x 2cos =x 2sin 1-.cos sin 1sin 1cos )sin 1)(sin 1(cos cos xx x x x x x x +=-∴+-=⋅∴， 例4已知方程0)13(22=++-m x x 的两根分别是θθcos sin ，， 求的值。

θθθθtan 1cos cot 1sin -+-解：θθθθθθθθθθθθcos sin cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin 2222+=--=-+-=原式 213+=∴由韦达定理知：原式 （化弦法） 例5已知ααcos 2sin =，求的值。

及αααααααcos sin 2sin cos 2sin 5cos 4sin 2++-解：2tan cos 2sin =∴=ααα611222tan 54tan cos 2sin 5cos 4sin -=-=+-=+-∴αααααα5614241tan tan 2tan cos sin cos sin 2sin cos sin 2sin 222222=++=++=++=+ααααααααααα例6消去式子中的⎩⎨⎧+=+=)2(cot tan )1(cos sin θθθθθy x ： 解：由)3(21cos sin cos sin 21)1(22-=∴+=x x θθθθ：由)4(1cos sin cos sin 1sin cos cos sin )2(yy =∴=+=θθθθθθθθ：12)4()3(2-=x y ：代入将 （平方消去法） 例7已知αβαβα2cos ,tan 3tan ,sin 2sin 求==解：由题设：βα22sin 4sin = ①βα22tan 9tan = ②①/②： βα22c o s 4c o s 9= ③ ①+③： 4cos 9sin 22=+αα 4cos 9cos 122=+-αα 83cos 2=∴α 三、、课堂练习：1．已知cot α=2，求α的其余三个三角函数值．分析：由于cot α=2＞0，因此分α在第Ⅰ、III 象限时，讨论． 解：∵cot α=2＞0 ∴α在第Ⅰ、III 象限当α在第Ⅰ象限时，21cot 1tan ==αα， 51cot sin cos sin sin 1222=+=+=ααααα ∴55sin =α， ∴552cot sin cos =⋅=ααα 当α在第II 象限时，21cot 1tan ==αα 552cot sin cos 55sin 51cot sin 12-=⋅=-=∴-=+-=αααααα2．已知：51sin =α且0tan <α，试用定义求α的其余三个三角函数值．分析：题目要用定义求三角函数值，则解决问题的关键应找到α终边的所在象限． 解：∵051sin >=α，而0tan <α ∴α在第二象限设点P(x ，y)为角α终边上任一点 由51sin =α，可设)0(5>=a a r ，则a y =． ∴a a a x 62)5(22-=--=562cos -==r x α，126tan -==x y α，62cot -==y x α． 3．已知角α的终边在直线y=3x 上，求sin α和cos α的值．解：由题意可知3=xy∵角α的终边在直线y=3x 上∴设P(a ，3a)(a ≠0)为角α终边上的任一点． 当α在第一象限时，a ＞0 ∴)0(10)3(22>⋅=+=a aa a r1010cos 10103103sin =====∴r x aa r y αα 当α在第三象限，)0(10<⋅-=a a r ∴101010cos 10103103sin -=-=-=-=aa aa αα 4．已知 ),1(11cos 22>+-=m m m α求cot α的值分析：由题意可知cos α＞0，∴分α在Ⅰ、Ⅳ象限讨论．利用平方关系可求正弦值，利用商的关系，即可求余切值．解：∵ m ＞1 ∴011cos 22>+-=m m α，∴α在第I 、IV 象限 当α在第I 象限时12)11(1cos 1sin 22222+=+--=-=m mm m αα∴mm 21sin cos cot 2-==ααα 当α在第IV 象限时，m m m m 21cot 12sin 22--=∴+-=αα5．已知2222cos n m n m +-=α，求tan α和sin α的值．分析：由已知条件可知cos α的值可能正可能负,∴要分别讨论分子为正、为负的情形． 解：(1)若│m │＞│n │＞0则cos α＞0 ∴α在Ⅰ、Ⅳ象限 当α在第Ⅰ象限时2222222211cos 1tan n m m n n m n m -=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-=αα 2222222222tan cos sin nm mn n m mn n m n m +=-⋅+-=⋅=ααα 当α在第Ⅳ象限时22222sin ,2tan nm mn nm mn +-=--=αα(2)若0＜│m │＜│n │时，则cos α＜0 ∴α在第II 、III 象限 当α在第Ⅱ象限时22222sin ,2tan nm mn nm mn +=-=αα当α在第III 象限时22sin ,2tan nm mn =--=αα(3)若n=0、m ≠0时，tan α =0，sin α =0 (4) 若m=0、n ≠0时，tan α =0，sin α =0说明：已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意： (1) 角所在的象限；(2) 用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；(3)若题设中已知角的某个三角函数值是用字母给出的，则求其他函数值时，要对该字母分类讨论． 6．已知tan α =3，求下列各式的值αααααααααααααααααααα66222222cos sin )8(cos 1sin 1)7(cos sin )6(cos sin )5(cos sin )4(cos 21sin 43)3(sin 3cos 4cos cos sin 2sin )2(cos 5sin 3cos sin 4)1(++-+⋅+--⋅-+-分析：思路1，可以由tan α =3求出sin α、cos α的值，代入求解即可；思路2，可以将要求值的表达式利用同角三角函数关系，变形为含tan α的表达式． 解：(1)原式分子分母同除以0cos ≠α得，原式=14115331345tan 31tan 4=+⨯-⨯=+-αα(2)原式的分子分母同除以0cos 2≠α得：原式=2323341329tan 341tan 2tan 222-=⨯--⨯-=---ααα(3) 用“1”的代换原式=402919219431tan 21tan 43cos sin cos 21sin 43222222=++⨯=++=++αααααα (4)原式=1031tan tan cos sin cos sin 222=+=+⋅αααααα (5) 2)cos (sin αα+ ＝ααcos sin 21⋅+＝,cos sin cos sin 2122αααα++＝58531tan 1tan 212=+=++αα ∴5102cos sin ±=+αα (6)同(5),52531cos sin 21)cos (sin 2=-=-=-αααα ∴.510cos sin ±=-αα(7)310103552cos sin cos sin cos 1sin 1=±=+=+αααααα (8)66cos sin +α=)cos cos sin )(sin cos (sin 422422αααααα+-+ =αααα22222cos sin 3)cos (sin -+=αα22cos sin 31-=222cos sin cos sin 31⎪⎭⎫ ⎝⎛+-αααα =221tan tan 31⎪⎭⎫ ⎝⎛+-αα=2213331⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10073说明：数字“1”的代换，表面上看增加了运算，但同时它又可以将原表达式整体结构发生改变，给解决问题带来方面，故解题时，应给于足够的认识．7 化简下列各式1．),2(cos 1cos 1cos 1cos 1ππθθθθθ∈-+++-2．xx xx x x sin tan sin tan cos 1sin +-⋅- 3．θθθθcos cos 1sin 1sin 22-+- 分析：在化简前应先复习“⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a θα”以及绝对值的概念．解：（１）原式＝θθθθ2222sin )cos 1(sin )cos 1(++- ＝θθθθsin cos 1sin cos 1++-＝θθsin 2sin 2= ),2(ππθ∈（２）原式＝xxx xx xx xsin cos sin sin cos sin cos 1sin +-⋅-＝)cos 1(sin )cos 1(sin cos 1sin x x x x x x +-⋅- ＝xxx x x x sin sin sin cos 1cos 1sin =-⋅- ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈++++∈-∈++++∈=)()22,232()232,2(1)()2,22()22,2(1z k k k k k x z k k k k k x πππππππππππππππ θθθθcos sin cos sin )3(+=原式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+<<+∈+<<+-+<<++<<=)(0)22232(0)()2322(tan 2)222(0)222(tan 2πθππθππππθππθππθππππθπθk k k z k k k k k k k说明：在三角式的化简或恒等变形中，正确处理算术根和绝对值问题是个难点．这是由于算术根和绝对值的概念在初中代数阶段是一个不易理解和掌握的基本概念，现在又以三角式的形式出现，就更增加了它的复杂性和抽象性，所以形成新的难点．为处理好这个问题，要先复习算术根和绝对值的定义．8．求证：)sin 2)(cot 2()cot 21)(cos2(2222αααα-+=+-证明：可先证：αααα2222cot 21cot 2sin 2cos 2++=-- （※） 右式＝αααα2222sin cos 21sin cos 2++＝αααα2222cos 2sin cos sin 2++ ＝αααα2222sin 22sin cos cos 22-++-＝αα22sin 2cos 2--＝左式 ∴（※）式成立，即原等式成立．9．已知c d b d c a =+=-ααααtan sec ,tan sec2222d c b a +=+求证：证：由题设：⎩⎨⎧+-=+=)2(tan sec )1(tan sec c d b d c a αααα2222222222tan )(sec )()2()1(d c d c b a +++=++αα：αα222222sec )(sec )(d c b a +=+2222d c b a +=+∴四、小结 几种技巧五、课后作业： 六、板书设计（略） 七、课后记：1已知sin α＋cos α＝231-，且0＜α＜π，则tan α的值为( ) 3D. 33C. 3-B. 33.-A 2若sin 4θ＋cos 4θ＝1，则sin θ＋cos θ的值为( )A B 1 C －1 D ±1 3若tan θ＋cot θ＝2，则sin θ＋cos θ的值为( )A C －2 D ±24若ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-＝10，则tan α的值为5若tan α＋cot α=2，则sin 4α＋cos 4α＝ 6若tan 2α＋cot 2α＝2，则sin αcos α＝7求证2cos sin 1cos sin 14466=----x x x x 8已知tan θ＋sin θ＝ｍ，tan θ－sin θ＝ｎ求证：(1)cos θ＝nm nm +- （2）mn n m =-222)4( 9已知tan θ＋cot θ＝2，求sin 3θ－cos 3θ的值参考答案：1A 2D 3D 4－2 526±217(略) 8略90。