中考数学复习课练习题 27.第27课时 与圆有关的位置关系(练习册)
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第六章圆第27课时与圆有关的位置关系基础过关1. (2017宜昌)在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木．则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为( )A. E，F，GB. F，G，HC. G，H，ED. H，E，F第1题图第3题图2. (2017湘西州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定3. (2017上海)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是( )A . 1＜r ＜4B . 2＜r ＜4C . 1＜r ＜8D . 2＜r ＜84. (2017贵阳)小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上．若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为( )A . 2 3 cmB . 4 3 cmC . 6 3 cmD . 8 3 cm5. (2017河北)如图为4×4的网格图，A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，点O 是( )A . △ACD 的外心B . △ABC 的外心C . △ACD 的内心 D . △ABC 的内心第5题图 第6题图 6. (2017衢州)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为( )A . 12B . 22C . 32D . 337. (2017邵阳)如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ，CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连接BD ，AD ，若∠ACD ＝30°，则∠DBA 的大小是( )A . 15°B . 30°C . 60°D . 75°第7题图 第8题图8. (2017荆州)如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线P A 、PB ，切点分别是A 、B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是优弧ABC ︵上不与点A 、点C 重合的一个动点，连接AD 、CD .若∠APB ＝80°，则∠ADC 的度数是( )A . 15°B . 20°C . 25°D . 30°9. (2017赤峰)如图，两同心圆的大圆半径长为5 cm ，小圆半径长为3 cm ，大圆的弦AB 与小圆相切，切点为C .则弦AB 的长是________．第9题图 第10题图10. (2017株洲)如图，△ABC 的内切圆的三个切点分别为D 、E 、F ，∠A ＝75°，∠B ＝45°.则圆心角∠EOF ＝________度．11. (2017益阳)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，若∠P ＝40°，则∠D 的度数为________．第11题图 第12题图12. (2017永州)如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O 到水平直线l 的距离为d ，即OM ＝d .我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m .如d ＝0时，l 为经过圆心O 的一条直线，此时圆上有四个到直线l 的距离等于1的点，即m ＝4.由此可知：(1)当d ＝3时，m ＝________；(2)当m ＝2时，d 的取值范围是________．13. (2017北京)如图，AB 为⊙O 的直径，F 为弦AC 的中点，连接OF 并延长交AC ︵于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点E .(1)求证：AC ∥DE ;(2)连接CD ，若OA ＝AE ＝a ，写出求四边形ACDE 面积的思路．第13题图14. (2017绵阳)如图，AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，点D 是BC ︵的中点，DE ⊥AC于E ，DF ⊥AB 于F .(1)判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若OF ＝4，求AC 的长度．第14题图15. (2017武汉)如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E .(1)求证：AC 平分∠DAB ;(2)连接BE 交AC 于点F ，若cos ∠CAD ＝45，求AF FC 的值．第15题图16. (2017陕西)如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G.第16题图求证：(1)FC＝FG；(2)AB2＝BC·BG.满分冲关1. (2017潍坊)如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A (8，0)，与y 轴分别交于点B (0，4)与点C (0，16)，则圆心M 到坐标原点O 的距离是( )A . 10B . 8 2C . 413D . 241第1题图 第2题图 2. (2017遵义)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，连接AC ，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则PQ 的长是( )A . 52B . 5C . 52D . 2 2 3. (2017台州)如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )A . 6B . 213＋1C . 9D .323第3题图 第4题图4. (2017鄂州)如图所示，AB 是⊙O 的直径，AM 、BN 是⊙O 的两条切线，D 、C 分别在AM 、BN 上，DC 切⊙O 于点E ，连接OD 、OC 、BE 、AE ，BE 与OC 相交于点P ，AE 与OD 相交于点Q ，已知AD ＝4，BC ＝9.以下结论：①⊙O 的半径为132；②OD ∥BE ；③PB ＝181313；④ tan ∠CEP ＝23.其中正确结论有( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个5. (2017徐州模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12，过A 、D 两点的⊙O 与BC 相切于点E .则⊙O 的半径为________．第5题图 第6题图 6. (2017泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)，B (1－a ，0)，C (1＋a ，0)(a ＞0)，点P 在以D (4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC ＝90°，则a 的最大值是________．7. (2017苏州一模)如图，CA⊥AB，DB⊥AB，已知AC＝2，AB＝6，点P是射线BD 上一动点，以CP为直径作⊙O，点P运动时，若⊙O与线段AB有公共点，则BP的最大值为________．第7题图第8题图8. (2017攀枝花)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上的一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为________．9. (2017德州)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC 于点D，过点E作直线l∥BC.(1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF；(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．第9题图答案基础过关1. A 【解析】设图中小正方形的边长为x ，则OA ＝5x ，OE ＝OF ＝2x ，OG ＝x ，OH ＝22x ，∵OE ＝OF <OA ，OG <OA ，OH >OA ，所以点E 、F 、G 在⊙O 内，点H 在⊙O 外，因此E 、F 、G 三棵树需要被移除．2. A 【解析】如解图，在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，由勾股定理得AB ＝5.过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则S △ABC ＝12AC ×BC ＝12AB ×CD ，解得CD ＝2.4＜2.5，所以直线AB 与⊙C 相交．第2题解图 第3题解图3. B 【解析】连接AD ，则AD ＝AC 2＋CD 2＝42＋32＝5，∵⊙A 与⊙D 相交，∴3－r <5<3＋r ，解得r >2，又∵点B 在⊙D 外，∴r <BD ，即r <4.∴2<r <4.4. B 【解析】如解图，连接OB 、OC ，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，BC ＝12，∴BM ＝12BC ＝12×12＝6，∴∠BOM ＝60°，∴OB ＝OC .∴在Rt△BOM中，OB＝BMsin60°＝6sin60°＝632＝4 3.第4题解图5. B【解析】观察题图可知，点O既在AC的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，所以点O是△ABC的外心．6. A【解析】如解图，连接OC，∵EC与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COE＝∠ACO＋∠A＝30°＋30°＝60°，∴∠E＝180°－∠OCE－∠COE＝180°－90°－60°＝30°，sin∠E＝sin30°＝12.第6题解图7. D【解析】如解图，连接OD，∵CA，CD是⊙O的切线，∴OA⊥AC，OD⊥CD，∴∠OAC＝∠ODC＝90°，∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝360°－∠C－∠OAC－∠ODC ＝150°，∵OB＝OD，∴∠DBA＝∠ODB，又∵∠AOD＝∠DBA＋∠ODB，∴∠DBA＝∠ODB＝12∠AOD＝75°.第7题解图第8题解图8. C【解析】如解图，连接OA，则∠P AO＝90°.根据切线长定理可得∠APO＝40°，则∠O＝50°.再根据圆周角定理，得∠ADC＝12∠O＝25°.9. 8 cm【解析】∵AB是小圆的切线，∴OC⊥AB，∵OB＝5 cm，OC＝3 cm，∴BC ＝OB2－OC2＝4 cm，∵AB是大圆的弦，OC过圆心，OC⊥AB，∴AB＝2BC＝2×4＝8 cm.10. 120 【解析】由题图知，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠A＝75°，∠B＝45°，∴∠C ＝180°－75°－45°＝60°，在四边形OECF中，∠EOF＝360°－60°－90°－90°＝120°.11. 115°【解析】连接OC，如解图，由题意可得，∠OCP＝90°，∠P＝40°，∴∠COB＝50°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝65°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝115°.第11题解图12. (1)1；(2)1<d<3 【解析】(1)当d＝3，即OM＝3时，M点在⊙O外，∵⊙O的半径为2，则此时只有OM与⊙O的交点到直线l的距离为1，故m＝1；(2)由题意可知当0≤d<1时，m＝4；当d＝1时，m＝3；当1<d<3时，m＝2；当d＝3时，m＝1；当d>3时，m＝0.故答案为1<d<3.13. (1)证明：∵ED与⊙O相切于点D，∴OD⊥DE，∵F为弦AC的中点，∴OD⊥AC，∴AC∥DE；(2)解：①如解图，作DH⊥AB于点H，连接AD，第13题解图②由∠EDO＝90°，EA＝AO，OA＝OD，得AD＝AO＝DO，△DAO为等边三角形；③由AF是△ODE的中位线，得AF＝12DE，AF＝12AC，DE＝AC且DE∥AC，得四边形AEDC为平行四边形；④由△DAO为等边三角形，得DH＝32a；⑤S▱AEDC ＝EA×DH＝32a2.【一题多解】①连接AD、DC，如解图，②由直角三角形斜边上的中线性质可得AD＝a，进而可得△ADO是等边三角形；③由∠AOD＝60°可解得：ED＝3a，DF＝12a，AC＝3a；④S四边形ACDE ＝S△EDA＋S△ADC＝32a2.14. 解：(1)DE与⊙O相切．证明如下：连接OD，AD，如解图，第14题解图∵点D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝CD ︵，∴∠DAO ＝∠DAC .∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ODA ，∴∠DAC ＝∠ODA ，∴OD ∥AE .∵DE ⊥AE ，∴DE ⊥OD ，∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 与⊙O 相切；(2)如解图，连接BC 交OD 于点H ，延长DF 交⊙O 于点G ， 由垂径定理可得：OH ⊥BC ，BC ︵＝2BD ︵＝2DC ︵，BD ︵＝BG ︵，∴DG ︵＝BC ︵，∴DG ＝BC ，∴弦心距OH ＝OF ＝4.∵AB 是⊙O 的直径，∴BC⊥AC，∴OH∥AC，∴OH是△ABC的中位线，故AC＝2OH＝8.15. (1)证明：如解图①，连接OC，第15题解图①∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠OCA，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAB；(2)解：如解图②，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，第15题解图②∵cos∠CAD＝4 5，∴设AD＝4x，则AC＝5x，CD＝3x，∴tan∠DAC＝3 4，∵∠DAC＝∠EBC＝∠BAC，∴tan∠EBC＝tan∠BAC＝3 4，∴CFBC＝BCAC＝34，∴BCAC·CFBC＝34×34，∴CFAC＝916，∴CFAF＝CFAC－CF＝916－9＝97，∴AFFC＝79.16. 证明：(1)如解图，∵EF∥BC，AB⊥BG，第16题解图∴EF⊥AD.又∵E是AD的中点，∴F A＝FD.∴∠F AD＝∠D.又∵GB⊥AB，∴∠GAB＋∠G＝∠D＋∠1＝90°.∴∠1＝∠G.而∠1＝∠2，∴∠2＝∠G.∴FC＝FG；(2)如解图，连接AC，∵AB⊥BG，∴∠CBA＝90°，∴AC是⊙O的直径．又∵FD是⊙O的切线，切点为C，∴AC⊥DF，∴∠1＋∠4＝90°，又∵∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠3.而由(1)可知∠1＝∠G，∴∠3＝∠G，∴△ABC∽△GBA，∴ABGB＝BCBA，故AB2＝BC·BG.满分冲关1.D【解析】∵C(0，16)，B(0，4)，A(8，0)，∴BC＝12，OA＝8.如解图，作MD⊥y 轴于点D，则CD＝BD＝6，∴OD＝10，连接MA，则MA⊥x轴，四边形DOAM是矩形，所以MA＝OD＝10，连接OM.在Rt△OAM中，OM＝OA2＋AM2＝241.第1题解图2. B 【解析】如解图，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，过点Q 作QE ⊥AB 于点E ，过点P作PH ⊥QE 于点H ，⊙P 与⊙Q 的半径均为3＋4－52＝1，所以PF ＝HE ＝AE ＝BF ＝1，QH ＝1，EF ＝2，在Rt △QPH 中，PQ ＝1＋22＝ 5.第2题解图3. C 【解析】如解图①时，PQ 长最大，∵102＝62＋82，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，最大值＝AB －AQ ＝AB －(OA －OQ )＝10－(5－3)＝8；第3题解图① 第3题解图②如解图②时，PQ 长最小，最小值＝OP －OQ ＝4－3＝1，所以最大值与最小值和为9.4. B 【解析】根据切线长定理可知DE ＝AD ＝4，CE ＝BC ＝9，∴DC ＝13，过点D作DH⊥BC于点H，∵AM、BN与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，∴AB⊥AM，AB⊥BN，∴四边形ABHD是矩形，∴BH＝AD＝4，DH＝AB，∴CH＝5，在Rt△DHC中，由勾股定理得DH＝DC2－CH2＝12，∴⊙O的半径为6，故①错误；连接OE，则OA ＝OE，DA＝DE，∴OD⊥AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，∴OD∥BE，故②正确；在Rt△OBC中，OB＝6，BC＝9，∴OC＝62＋92＝313，易得BP⊥CO，∴BC·OB＝OC·BP，∴BP＝BC·OBOC＝9×6313＝181313，故③正确；由CB＝CE得∠CEP＝∠CBP，又∵∠CBP＝∠COB，∴tan∠CEP＝tan∠COB＝BCOB＝96＝32，故④错误．∴正确的结论有2个．第4题解图5. 254【解析】如解图，连接EO并延长交AD于点F，连接OA，∵⊙O与BC边相切于点E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴OF⊥AD，∴AF＝DF＝12AD＝6，易得四边形ABEF为矩形，则EF＝AB＝8，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OF＝8－r，在Rt△AOF中，∵OF2＋AF2＝OA2，∴(8－r)2＋62＝r2，解得r＝254，即⊙O的半径为254.第5题解图6. 6 【解析】∵A (1，0)，B (1－a ，0)，C (1＋a ，0)，∴BC ＝|1＋a |＋|1－a |＝1＋a ＋a －1＝2a ，而AB ＝1－(1－a )＝1－1＋a ＝a ，∴A 是BC 的中点，又∵∠BPC ＝90°，∴AP ＝AB ＝AC ，∴当AP 取最大值时，a 有最大值，由题意可知，当AP 经过点D 时，AP 的值最大，由点D (4，4)、A (1，0)可求AD ＝5，再由⊙D 的半径为1，可得AP ＝6，∴a 的最大值为6.7. 92【解析】当AB 与⊙O 相切时，PB 的值最大，如解图，设AB 与⊙O 相切于点E ，连接OE ，则OE ⊥AB ，过点C 作CF ⊥PB 于点F ，∵CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴AC ∥OE ∥PB ，四边形ABFC 是矩形，∴CF ＝AB ＝6，∵CO ＝OP ，∴AE ＝BE ，设PB ＝x ，则PC ＝2OE ＝2＋x ，PF ＝x －2，∴在Rt △PCF 中，(x ＋2)2＝(x －2)2＋62，解得：x ＝92，∴BP 的最大值为92.第7题解图8. 67【解析】如解图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥BC 于点F ，连接OB ，∵AB 、BC 是⊙O 的切线，点E 、F 是切点，∴OE ＝OF ，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，∴由勾股定理，得BC ＝4；又∵D 是BC 边的中点，∴S △ABD ＝S △ACD ，∵S △ABD＝S △ABO ＋S △BOD ，∴12AB ·OE ＋12BD ·OF ＝12BD ·AC ，即5×OE ＋2×OE ＝2×3，解得OE ＝67，∴⊙O 的半径是67.第8题解图9. (1)解：直线l 与⊙O 相切．第9题解图理由：连接OE 、OB 、OC ，如解图， ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE ，∴BE ︵＝CE ︵，∴∠BOE ＝∠COE ，∵OB ＝OC ，∴OE ⊥BC ，又∵l ∥BC ，∴OE ⊥l ，∵OE 为⊙O 半径，∴直线l 与⊙O 相切；(2)证明：∵BF 平分∠ABC ， ∴∠ABF ＝∠CBF .又∵∠CBE ＝∠CAE ＝∠BAE ，∴∠CBE ＋∠CBF ＝∠BAE ＋∠ABF ， 又∵∠EFB ＝∠BAE ＋∠ABF . ∴∠EBF ＝∠EFB ，∴BE ＝EF ；(3)解：由(2)知，BE ＝EF ＝DE ＋DF ＝7，在△BED 和△AEB 中，∠DBE ＝∠BAE ，∠DEB ＝∠BEA ， ∴△BED ∽△AEB ，∴DE BE ＝BE AE ，即47＝7AE， ∴AE ＝494，∴AF ＝494－7＝214.。
