分母有理化ppt

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第16章二次根式专题复习--分母有理化专题(共18张ppt)

x y 的有理化因式是 x y
a x b y 的有理化因式是 a x b y
展示方式：学生起立回答，要求说清楚过程，其余同学直接站起来补充（自学+展示2+2min）
指出下列各式的有理化因式
(1) 2 3
(1) 2 3
(2)2 3 (3) a 1 (4) x2 1 (5) 27
22 5
0.1;
算 2 2 9x 6 x 2x 1;
3
4
x
3 3 x 2x .
32
程序设计：自学、合学+展示（4+4min）
展示方式：每组派学生代表演板，要写清楚过程，
其余同学直接站起来纠错，小组内组长负责纠错
拓展探索
怎样计算下式？观察所得的积是否含有二次根式？
x y x y x y
求a2 ab b2的值
程序设计：合学+展示（2+3min）方法导航：先将a、b的分母有理化，化为最简二次根式再代入求值. 展示方式：学生主动班级展示，要讲清楚过程，
其余同学直接站起来补充。
分母都同乘分母的有理化因式。
一. 分母有理化常规基本法 ---分子分母同乘有理化因式
例如：化简 (1)
6
2 3
(2) 2 1 2 1
程序设计：自学、合学+展示（4+4min）方法导航：分子和分母都乘以分母的有理化因式. 展示方式：随机抽取学生演板，要写清楚过程，
其余同学直接站起来补充，小组内组长负责纠错
(3) 3 2 3
(4) 3 1 3 1
程序：老师检测小组长做题情况，小组成员完成后交给组长检查，组长负责纠错讲解。（3+2min）

分母有理化(根式)

1
49 47 47 49
解：观察： 1 3
3
3
6
3
1 2
3 3
3
1 2
1
3 3
,
5
1 33
5 5
3 3 30
5
15 2
3 3 15
5
1 23 35 5 (2) 1 1
1
3 3 5 3 3 5 7 5 5 7
......
1
49 47 47 49
解：考察一般情况：
1
(2n 1) 2n 1 (2n 1) 2n 1
3、一些特殊的方法供参考！
2x (4)
2x
3y 3y
(2 x 3 y )(2 x (2 x 3 y )(2 x (2 x 3 y )2 (2 x )2 (3 y )2
3 y) 3 y)
4x 9 y 12 xy 4x 9y
(1)观察下列计算找出规律： 1 2 1， 2 1
1 3 2， 1 4 3，............
（a （a
b）的有理化因式是（ a b）的有理化因式是（ a
b） b）
分母有理化的过程即是分子分母同时乘以分母的有理化因式
m 的有理化因式是 m
1
ac
ac
ac
ac ac ac
a b 的有理化因式是 a b
知识
1
23
23
2 3 (2 3)(2 3)
拓展
x a y b 的有理化因式是 x a y b
2 ab
平方差公式
a b 乘以什么式子才能不含有根号呢？
（a
b）（ a
b）
2
a
2
b

分母有理化(根式).

练习：把下式分母有理化
2 x- 3 y
(4)
(4)
2 2
x+ 3 x- 3
y y
分母有理化因式是 2
=
x+ 3 y
2 x+ 3 y 2 x- 3 y
(2 x + 3 y )(2 x + 3 y ) (2 x - 3 y )(2 x + 3 y ) (2 x + 3 y ) 2 (2 x ) 2 - (3 y ) 2
(
2-
)
1 6 = = 6 6
配方约简法
计算：
2
7+4 3 (2) 2+ 3
2 3+ 7+4 3 2 +2创解： (2) = 2+ 3 2+ 3 2+ 3 ) ( = 2+ 3 =2+ 3
2
( 3)
2
计算：
(3)
x- y x+ y
解： (3)
x- y = x+ y =
(
x-
x+
y
)(
xy
y
)
x+ y
3
y b
y2
x±
3
y 的有理化因式是
a- b =
3 xy + x2 a3 - b3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 )
3
(
3
a-
3
b
)(
3
a2 +
3
ab +
3
b2
)
分解约简法
计算： (1)
23 解： (1) = 2 3- 3 2 = 212 26

人教版九年级数学上册分母有理化课件

（ a + b）的有理化因式是（ a - b）
分母有理化的过程即是分子分母同时乘以分母的有理化因式
m 的有理化因式是 m
1
=
a- c = a- c
a- c a- c? a c a- c
a ± b 的有理化因式是 a b
1=
2- 3
2 + 3 (2 + 3)(2-
= 23)
3
x a ± y b 的有理化因式是 x a y b
巧妙地利用公式（平方差）找分母的有理化因式
例：把下列各式分母有理化
（1） a a+1
（2） 1
（3） 15
1+a2 - a
5 3- 3 5
练习：把下列各式分母有理化
2 x- 3 y (1)
2 x- 3 y 2 x - 3 y 分母有理化因式是 2 x + 3 y
2 x + 3 y (2 x + 3 y )(2 x + 3 y )
(1)
=
2 x - 3 y (2 x - 3 y )(2 x + 3 y )
(2 x + 3 y )2 4x + 9y + 6 xy
=
=
(2 x )2 - (3 y )2
4x- 9y
分母有理化的方法１、分子分母同时乘以一个数（式）将分母中根号下的被开方数写成完全平方数（式）
2、利用公式（平方差公式）找分母的有理化因式
分母有理化
化去下列各式中根号中的分母
(1) 7 5
(2) 3x (x > 0, y > 0) 4y
解：（1） 7 = 7´ 5 = 35 5 5´ 5 5

分母有理化

例题
将下列各式分母有理化
3 (1) 7
5 (2) 40
m n (3) mn
2
2
思考：1. k a 的有理化因式是什么？ 2.一个二次根式的有理化因式是唯一的吗？
例题
解下列各式：
3 （1）解方程： 5x 6 3 5x
（2）解不等式： 6 x 2 2 0
思考
（1）二次根式
1 a b
是否是最简二次根式？
（2） a b 的有理化因式是什么？（3）m a n b 的有理化因式是什么？
例题
将下列各式分母有理化
a (1) ( a b) a b
3 (2) 3 1
mn (4) ( m n) m n
1 (3) 4 3 3 2
例题
解下列不等式：
(1) 2x 3 3x
(2)( 2 3) x 3
分母有理化
复习引入
2a 3b
2a 2a 3b 6ab 2a 3b 3b 3b 3b 3b (3b) 2
2a 3b 2a 6ab 3b 3b 3b 3b
基本概念
分母有理化：把分母中的根号化去的过程。
具体做法：分子分母同时乘以一个适当的代数式，使分母不含有根号。有理化因式：两个含有根号的代数式，如果它们的乘积不含根号，称这两个因式互为有理化因式。

二次根式的分母有理化课件

二次根式的分母有理化课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 二次根式的分母有理化的定义与重要性
• 二次根式的分母有理化的基本方法 • 二次根式的分母有理化的应用实例
目录CONTENTS
• 二次根式的分母有理化的注意事项与难点解析
• 二次根式的分母有理化的练习题与答案解析
三角函数中的应用
化简三角函数式
在三角函数中，有些表达式含有根号，通过分母有理化，可以将其转化为标准的三角函数形式。
解决三角函数方程
在解三角函数方程时，分母有理化可以帮助我们找到方程的解。
三角恒等式的证明
在证明三角恒等式时，分母有理化可以起到关键作用。
解决实际问题中的应用
物理问题中的数学模型
b}$。
配方法
总结词
通过配方将原式转化为容易有理化的形式。
详细描述
对于形如 $frac{1}{sqrt{a} + sqrt{b}}$ 的二次根式，可以通过配方将其转化为 $frac{left(sqrt{a} - sqrt{b}right)^{2}}{2left(sqrt{a} + sqrt{b}right)}$，然后进行有理化得到 $frac{sqrt{a} - sqrt{b}}{2left(sqrt{a} + sqrt{b}right)}$。
运算顺序出错
在进行二次根式的分母有理化时，如果不按照先乘除后加减的原则进行运算，会导致结果错误。
化简不完全
在完成分母有理化后，一些学生可能会忽略对结果的进一步化简，导致最终答案不够简洁明了。
01
二次根式的分母有理化的练习题与答

分母有理化(八年级数学)[001]

分母有理化(八年级数学)[001]
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2
思考：如何将下列a b 乘以什么式子才能不含有根号呢？
(a b )(a b ) (a 2 b )2 a b
平方差公式
2
2(a b) 2(a b)
a b (a b)(a b) ab
(a b )(a b ) (a 2 ) (b ) 2 a b
原式的倒数 1 1 73 57 35 2
原式 7 3 2
1 、分母有理化 2、有理化因式
（1）各种典型的有理化因式；（2）二次根式的除法运算（3）化简分母较复杂的二次根式
谢谢！
2x
(x 1 x2)(x 1 x2)
2x
2x
x2 (1 x2 )
将下列代数式分母有理化
2 3 5 2 3 5
解：原式 ( 235)( 235) ( 235)( 235)
2 15 6 26
10 6 2
计算 15 35 215
32 5 7
解：原式 ( 3 5)( 5 7) ( 3 5)( 5 7)
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个二次根式互为有理化因式
（ a b ）的有理化因式是（ a b ）（ a b ）的有理化因式是（ a b ）
有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用 a a a来确定，如： a与 a ，ab与ab， a b 与 a b 等分别互为有理化因式。
(2) 1
4 33 2
4 33 2
30
(3) m -n (m n ) m n m n
(4) 2 5 2 3

分母有理化(根式).

2a a＋b
＝
2 a a＋ b a＋ b •
2a a＋b ＝ a＋ b a＋b
注意：要进行分母有理化，一般是把分子分母即将分母中根号下的被开方数写成完全平方数（式）都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号的形式
分母是一个多项式
2 2 (2) 计算：（1） 2- 1 a-
b
解： (1)
2 = 2- 1 = 2
解：原式

2015 1 .

2 1 3 2 2015 1 2015 1 2014
2015 2014

2015 1

(2)
1 1 3 3 5 3 3 5 7 1 ...... 49 47 47 49
1 5 5
7
1 3 3 1 3 3 1 3 解：观察： 1 , 6 2 3 3 3 3 2 1 5 3 3 5 1 5 3 3 5 1 3 5 30 2 15 5 5 3 3 5 2 3

(2)
1 1 3 3 5 3 3 5 7 1 ...... 49 47 47 49
1 5 5
7
1 解：考察一般情况： (2n 1) 2n 1 (2n 1) 2n 1

(2n 1) 2n 1 (2n 1) 2n 1 1 ( 2 2 (2n 1) (2n 1) (2n 1) (2n 1) 2
分母有理化
又称“有理化分母”，指的是在二次根式中分母原为无理数，而将该分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。
由于在初中、高中阶段，最后的二次根式结果要求分母不含根号，故分母有理化成为初中学生学习和使用的一种重要方法。将分母有理化，会使根式的运算变得简便。

第五讲分母有理化

代数（四）根式计算（四）——分母有理化【知识要点】1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：=来确定，①单项二次根式：aa-等分别互为有理化因式。

ba-与b②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a+与a，，3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】例1 把下列各式分母有理化（2（3（4）（1例2 把下列各式分母有理化（2（3）（4）（1例3 把下列各式分母有理化：（1（2（3例4已知x =y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+例5 把下列各式分母有理化：（1)a b ≠ （2（3例6 计算：（122⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦（2++例6（1）已知x =y =，求221010x xy y ++的值。

（2，其中2a =2b =【练习】A 组1．计算（1）；（2）⎛- ⎝；（3 （4）+2．设梯形上底为a ，下底长为b ，高为h ，面积为s 。

（1）a =b =h =s ；（2）a =b =h =s ；（3）a =b =，h =s ；3．已知x =，求5x x -的值。

4．已知a =b =的值。

B 组1．计算：（1）；（2（3）（4）（5）（6a b -（33a -+（4）-⎝（55（6+。

16-3 分母有理化(第3课时)

2

5 3
2
2
5 3
1
1
1Байду номын сангаас
1

4 2
6 4
8 6
2018 2016

4 2 6 4 8 6 2018 2016

2018 2 .

3;
课堂小结
1、一个二次根式（或整式）除以一个二次根式，可写成分
式的形式，通过分母有理化进行运算。
解：（3）由已知a b 0，
解：（2）a a b

a
ab
得a b 0, a b 0
除法法则
a a b
ab ab
a 2 b 2 2a 2b

a
ab
ab

a2 b2
（
2 a b）
a b a b
2 ab
a b 2
2
4.
2
a2 b2
（2）
a b
a2 b2
（2）
a b
（a b)( a b)

a b
（a b)(a b) a b

a b a b
（a b)( a b) a b

a b
（a b) a b
2：解不等式： 3 2 6 x 2 2

+
＝
－
.
+ +

+

+ +
(+) − +
+ +][(+) − +]

16.3(3)分母有理化

找出下列各式的有理化因式
(1) a b (2) 12
(3) 5 2
(4)5 2
(5) 7 10
(6)3 2 6 (7)2 3 8 11
(8)a x2 a2 (x a)
你能说一说下列各式的有理化因式吗？
11 2;2 a 1;32 u v;4 b a ;5 a 1
ab
答：(1)1 2 (2) a 1 (3)2 u v
解:
(1) 3 18
3
3
3• 2 6
18 3 2 3 2 • 2 6
(2) 1 1 3
32
3 3 2 3 • 3 ( 3 2)( 3 2)
3 ( 3 2) 4 3 2
3
3
1、什么是分母有理化？答：将分母中的根号化去.
2、二次根式： 16x3 18n x y
.
他们的有理化因式是怎样的？
把分母中的根号化去，叫做分母有理化. ：
分母有理化的方法，一般是把分子和分母乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号.
例如上面分母中的：3b 3b 3b
这个过程称为分母有理化
解：(1) 2 5
(2) 5 33
1.对下面各式进行分母有理化
(1) 2 5
25
(2) 5 （3） 2a
33
ab
提示：分母有理
（3）因为m≠n，所以m-n≠0，分式的分子、分母
同时乘以分母的有理化因式： m n
m n (m n) m n 或原式
m n ( m n) m n
2
2
m n
m n
m n m n mn
m
n
m
n
m n
m n
方法2中， m=n有意义

初二数学提高班-第06讲分母有理化

第六讲分母有理化【知识要点】1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2.有理化因式（1）定义：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.（2）确定方法：a =来确定．如：a a 与，b a b a ++与，b a b a --与等分别互为有理化因式. ②两项二次根式：利用平方差公式22))((b a b a b a -=-+来确定．如：b a b a -+与，b a b a -+与，y b x a y b x a -+与分别互为有理化因式。

3.分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【经典例题】【例1】把下列各式分母有理化 ①231 ②421 ③ 273④15362 ⑤50381- ⑥32121【例2】把下列各式分母有理化 ①1145- ② 1486-- ③ 3322-④322333- ⑤3535-+【例3】已知,325,325+=-=b a 求b a 11-的值。

【例4】已知121-=x ，求41412+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 的值【例5】观察下列算式：【初试锋芒】1．下列各式：①y x +，②y b x a +，③y a x b -，④x y -的有理化因式是（）A.①②B.②③ C ．③④ D ．④①2．下面化简正确的是（） A.2328325a a a = B.b b 2323= C.212ba b a -=- D.xy y y x 156112523=3. 求4554452021515+-+的值（） A ．4 B ．52 C ．523-D ．529 4.下列式子运算正确的是（） A.123=- B.248= C. 331= D.4321321=-++ 5.化简253-时，甲的做法是：25)25)(25()25(3253+=-+-=- 乙的做法是：25)25()25)(25(253+=--+=-，以下判断正确的是（） A.甲的解法正确，乙的解法不正确 B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确.6.已知121,12-=+=b a ，则a 与b 的关系（） A ．a=b B.ab=1 C.a=-b D.ab=-1 7．)57(21+的倒数是 8.已知,132-=a 则222+-a a = 9.已知ab=1，其中2008)223(+=a ，则b= 10.23,23-=+=b a ，则b a 11+= 【大展身手】1.已知3=x 、31=y ，求xy x y x x +--431的值。

九年级数学思维培训第二讲分母有理化

第二讲分母有理化
一、知识要点与思维方法
把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化,又称有理化分母,是数学上的专有名词,指的是在二次根式中分母原为无理数,而将该分母化为有理数的过程,也就是将分母中的根号化去.
⑴在计算二次根式除法时,当被开方数不能恰好为整数时,常用分母有理化的方法化简.
⑵分母有理化的依据是:分式的基本性质和二次根式的性质()()()0,022≥=≥=a a a a a a .
二、例题选讲
例1、化简 ①671
- ②32347++
③5326
2-+ ④355353--
⑤()()75537
523-+-+
⑥x x x x x x x x -++++++-+1111
例2、已知2231
+=x ，求3262-+-x x x 的值.
例3、解不等式x x 332<
-
三、课堂练习
1、化简 ①
22341+ ②y x y x 3232-+
③()()()()13123322---+ ④5325
32+++-
2、计算
③
154510-- ② 221111x x x x +-+++
③494747491
75571
53351
331
++++++++。

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2 3
前两个分母满足平方差,可通分相加.
2 1 3 2 1 3
1 3 1 3

1 4
3 1 3
2 2.
计算： [例8 ]
1 2 1 1 2

1 3 22 3 .

1 4 3 3 4

（1988年新加坡中学数学竞赛试题）
100 99 99 100
.
分母中被开方数较大， 7 7 11 6 11 7 可设原式为A，能分解吗？ 11 5 7 4 6 1 11 7 7 6 先求出， A 11 7 4 7 6 盯住分子将分母分解。再求A.
如果把原式的分子、分母互换，该如何化简？
1 2 3
2 1 3
1 2 3 1 2 盯住分母将分子分组分解。
1 2.
（1995年四川省初中数学联赛试题）
[例5 ] 化简
解
6 4 3 3 2 ( 6 3 )( 3 2 )
.
6 3 3 3 2 能否看作原式能盯住分母将分子分组吗。 6 3 3 2 两分式之
k 1
解原式个分数之和式子中有 99 , 2 1( 2 1) 3 2( 3 2) 4 3( 4 3) 1 一般要通过裂抵消方可化简 . 1 1 ( 100 99) 100 99
1
1
1
k k k 1
2 1
k 1 k 2 1 3 2 4 3 100 99 请看通式 1 1 1 1 k 1k 1 1 1 1 13 4 1 2 2 3 99 100 k k 1 1 1 . 10
（1996年“东方航空杯”——上海市初中数学竞赛试题）

3 2 5
.
2 6( 3 2 5) 解：原式分母中有三个根号，
一次运用平方差不能达到目的。 2 6( 3 2 5) 试两次运用平方差。 2 2
2 2 2 2 3 2 5 . 注意到 3 2 5 , 3 2 5 2 6. 2

7 6 11 7 7 6 11 7

11 1
7

7 4
6

11
6.
（1999年全国初中数学联赛试题）
[例7 ] 计算：
1 1 4 3

1 1 4 3

2 1 3
.
解原式

1 4 3 1 4 3
2 2
有何特点？ 4 4 1 3 1 3 1
3

33 2
3
2
3 2
3 3
3

分母可写为 ( 2 ) 2 3 ( 3) ,
3 3 2
33
3 3 3 3
9
2 2 3
3

3 ,
3 2 2
3
3
2
3
33 2

3
6 3 2 3 3.
它是立方差公式的一个因式. 可用(a b)(a ab b ) a b 求解.
2 2 3 3
3 3 3 2.
（第五届全国部分省市初中数学通讯赛试题）
3 2 2 3 6 [例4 ] 分母有理化 . 1 2 3
解
1 2 3 2 2 6 原式分子中项数较多， 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 能分解因式约分吗？
初二数学讲座
分母有理化
主讲马多志
二00四年四月
2的一个有理化因式是 2， 2 1 的一个有理化因式是 2 1，但你知道3 2的有理化因式是什么？
分母有理化常常是根式运算的关键，
而寻找有理化因式，巧妙运用乘法法则又是分母有理化的关键。另外我们还可采用因式分解，
裂项相消等方法来简化分母有理化的过程。
[( 3 2 ) 5 ][( 3 2 ) 5 ] ( 3 2) ( 5) 2 6( 3 2 5)
三个根号如何分组好呢？ 2 6
视分母为 3 2 5好.

（1995年第七届“五羊杯” 初中数学竞赛初三试题）
[例2 ] 分母有理化 . 1 2 3
解 (1 2 ) 3 原式 [(1 2 ) 3 ][( 1 2) 1 2 3 2 2 (1 2 ) 3
1

3 2 6 3 3 2

3
3 2

3 2

3 6 3 6 3

和？
6 3

3 2 6 3
6 2.
（1991年湖北省黄冈地区初中数学竞赛试题）
[例6 ] 化简
解原式
11 5 7 4 6 7 77 66 42
11 5 7 4 6
k 1 如何裂项呢?
3 2
k
4 3
k 1
100 99
k

.
按要求座
以后每次前移一排
一班二班三班四班五班六班七班八班
1
如何分组好呢？
3]

请仿上题做 . 1 2 3
2 2 2 (1 2 3 ) 2 2 2
2 2 4 6 .

（1993年山东省初中数学竞赛试题）
[例3 ] 化简 3
解原式 3 3 2
3
1 4 3 6 3 9
3
.
分母中各数字有何特点呢？
4
3
2 ,

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