第12~14章_习题课__

第一章习题参考解答3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么解： 若)()(C B A C B A --=⋃-,则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即,A C ⊂.反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.最后证,C B A C B A ⋃-⊂--)()(事实上,)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉;若C x ∈,则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉,则B x ∉,故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.A A CB AC B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.反过来,若A C ⊂,则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂,所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-另一方面,A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉,如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉,所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而C B A C B A ⋃-⊂--)()(于是,)()(C B A C B A --=⋃-4．对于集合A,定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax x A ,0,1)(χ, 假设 n A A A ,,,21是一集列 ,证明：i )(inflim )(inf lim x x nnA nnA χχ=ii )(sup lim )(sup lim x x n nA nnA χχ=证明：i )(inf lim n nm N n n nA A x ≥∈⋂⋃=∈∀,N ∈∃0n ,0n m ≥∀时,m A x ∈.所以1)(=x m A χ,所以1)(inf=≥x mA n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x mnA nm N b A nχχN n A x n n∈∀⇒∉∀inf lim ,有n k A x n n nm ≥∃⇒⋂∉≥有0)(inf0=⇒=⇒∉≥x A x mnk m A nm A k χχ,故0)(inf sup =≥∈x mA nm N b χ ,即)(inf lim x nA nχ=0 ,从而)(inflim )(inf lim x x nnA nnA χχ=5．设}{n A 为集列,11A B =,)1(11>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明i }{n B 互相正交ii i ni i ni B A N n 11,===∈∀证明：i m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m,因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=11,又因为m m A B ⊂,所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂,故 ∅=m n B B ,从而 {∞=1}n n B 相互正交.ii 因为)1(n i i ≤≤∀,有i i A B ⊂,所以i ni i ni A B 11==⋃⊂⋃,现在来证：i ni i ni B A 11==⋃⊂⋃当n=1时,11B A =；当1≥n 时,有：i ni i ni B A 11===则)()()()()(11111111111i ni n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==事实上,i ni A x 1=⋃∈∀,则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈,令}{ni A x i i i ≤≤∈=1|m in 0且则 i ni i i i i i B B A A x 111000=-=⊂=-∈ ,其中,当10=i 时,∅=-=i i i A 110 ,从而, i ni i n i B A 11===6．设)(x f 是定义于E 上的实函数,a 为常数,证明： i })(|{a x f x E >=}1)({1na x f n +≥∞=ii})(|{a x f x E ≥=}1)({1na x f n ->∞=证明：i })(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(}1)(|{1)(,na x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1)(|{1na x f x E n +≥∞=反过来,{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ,使}1)(|{n a x f x E x +≥∈即E x a na x f ∈>+≥且1)( 故})(|{a x f x E x >∈ 所以 })(|{}1)(|{1a x f x E na x f x E n >⊂+≥⋃∞= 故}1)(|{})(|{1n a x f x E a x f x E n +≥>∞=7．设)}({x f n 是E 上的实函数列,具有极限)(x f ,证明对任意常数a 都有：}1)(|{inf lim }1)(|{inf lim })(|{11k a x f x E k a x f x E a x f x E n n k n n k +<=+≤=≤∞=∞=证明：N ∈∀≤∈∀k a x f x E x },)(|{,即ka a x f 1)(+≤≤,且E x ∈ 因为N n x f x f n n ∈∃=∞→，)()(lim ,使n m ≥∀,有ka x f n 1)(+≤,故 ，)}(1)(|{n m k a x f x E x m ≥∀+≤∈ 所以∈x }1)(|{ka x f x E m n m +≤≥ }1)(|{k a x f x E x m n m N n +≤∈≥∈ = }1)(|{inf lim ka x f x E m n +≤,由k 的任意性：}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∞= ,反过来,对于}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∀∞= ,N k ∈∀,有 }1)(|{inf lim ka x f x E x m n +≤∈=}1)(|{k a x f x E m n m N n +≤≥∈ ,即n m N n ≥∀∈∃，时,有：ka x f m 1)(+≤且E x ∈,所以,ka x f x f m m 1)()(lim +≤≤且E x ∈.∞→k 又令,故 E x a x f ∈≤且)( 从而})(|{a x f x E x ≤∈故 })(|{a x f x E ≤=}1)(|{inf lim 1ka x f x E n n k +≤∞=8． 设)}({x f n 是区间a,b 上的单调递增的序列,即≤≤≤≤)()()(21x f x f x f n若)(x f n 有极限函数)(x f ,证明：R a ∈∀,})({})({1a x f E a x f E n n >⋃=>∞=证明： })({a x f E x >∈∀,即：E x ∈且a x f >)(,因为)()(lim x f x f n n =∞→所以00,n n N n ≥∀∈∃,恒有：E )(∈>x a x f n 且,从而,})({0a x f E x n >∈})({1a x f E n n >⊂∞=反过来,N n a x f E x n n ∈∃>∈∀∞=01},)({ ,使})({0a x f E x n >∈,故0n n ≥∀,因此,a x f x f x f n n n >≥=∞→)()()(lim 0且E x ∈,即,})({a x f E x >∈,从而,})({})({1a x f E a x f E n n >=>∞=10．证明：3R 中坐标为有理数的点是不可数的; 证明： 设Q 为有理数集,由定理6：Q 是不可数的;现在证：z y x z y x Q Q Q ,,|),,{(=⨯⨯}都是有理数可数Q x ∈∀,因为Q Q ⨯)}({Qx Q x ⨯=∈ 是可数个有理数集的并,故可数,又因为)}({Q Q Q Qx Q Q x ⨯⨯=⨯⨯∈ 并且Q Q Q Q x Q x ⨯⨯⨯∈∀~}{，,所以Q Q x ⨯⨯}{可数故Q Q Q ⨯⨯可数14．证明：可数集的有限子集的全体仍是可数证明： 设Q 为可数集,不妨记为：},,,,,{321 n r r r r Q =N n ∈∀,令}},,,,{|{321n n r r r r a a A ⊂=则 n A 为有限集n 2n =A ,则 n A =∈Nn A 为正交可数集,即0n C ≤A又因为}{A Q x x Q ⊂∈|}{~,所以A Q C ≤=0 ,故0C A =A 是Q 上一切有限子集的全体;15．设是两两不相交的集所组成的集列,证明：∅==∞→∞→n n n n E E lim lim证明： 因为{ ,,21E E }两两不相交,所以,∅=∈∀∞=m nm E N n ,,故∅=∅=∈=∞=∞=∞=∞→11)(lim n m nm n n n E E另一方面,若∅≠=∞=∞=∞→)(lim 1m nm n n n E E ,我们取n n E x ∞→∈lim 0则k n N k k ≥∃∈∀,,使得k n E x ∈.特别的,当 N k ∈=1时,n E x n ∈≥∃有,11,当11+=n k时：211221,E x n n k n N n ∈>+=≥∈∃，有)21n n < 从而,21n n E E x ∈ 这与∅=21n n E E 矛盾,故∅=∞→n n E lim从而∅==∞→∞→n n n n E E lim lim16．若集A 中每个元素由相互独立的可列个指标所决定,即A=}{21 x x a ,而每个指标i x 在一个势为C 的集中变化,则集A 的势为C;证明：设i x 在势为C 的集合中变化,即A=∏∞=∈121}),,(|{21i ix x B x x a因R B R B i i i i'→':,~ϕϕ 是既单又满的映射, 定义 ∏∏∞=∞∞=∈=∀→1211),,(;:i i i iB x x x R Bϕ,)),(),((),,()(2121 x x x x x ϕϕϕϕ==故∞∞=∏RB i i到是1ϕ得既单又满的映射,从而,∞∞=∏R BA i i~~1从而 C R A ==∞17．设n n A ∞=1 的势是C,证明至少有一个n A 的势也是C;证明：因为n n n A A N n ∞=⊂∈∀1, ,所以C A A n n n =≤∞=1如果C A N n n ≠∈∀,,则C A N n n <∈∀,,即,n A 正交可数,从而,n n A ∞=1正交可数.这与C A n n =∞=1矛盾.故,N ∈∃n ,使C A n =.18．证明：0,1上的实函数全体具有势C2 证明：设]}1,0[|{⊂=A A ,则C 2=记0,1上全体是函数所构成的集合为ϑ 对于 ∈∀x ,定义函数⎩⎨⎧∉∈=A x Ax x A .0,1)(χ ,即A χ是集合A 的特征函数;}{ϑ⊂⊂=]1,0[|A A ⇒ ϑ≤= C 2另一方面,ϑ∈∀f ,定义 ]}1,0[|))(,{(∈=x x f x B f则 2R R R B f =⨯⊂,}|{2R R B B R ⨯⊂=,则C R 22=}|{~ϑϑ∈f B f 2R ⊂,所以 C R 22=≤ϑ,从而,C 2=ϑ20．证明：n R 中孤立点集市有限或可数集证明：E x ∈∀中,E 是n R 的一些孤立点所构成的集合 由定义,0>∃x δ,使得}{),(x E x O x = δ.现在令 }|)2,({E x x O x∈=δξ,则ξ中任意二领域是不相交的事实上,若y x E y x ≠∈∃,,,有∅≠)2,()2,(yxy x O δδ取)2,()2,(yxy x O z δδ⋂∈,并且不失一般性设：y x δδ≤,则y yxy z z x y x δδδρρρ=+<+≤22),(),(),(.故 }{)2,()2,(y y x O x yx=∈δδ ,这推出y x =,这与y x ≠矛盾.E x ∈∀,取一个有限点)2,(xx x O r δ∈,则,当,y x r r y x =⇔≠,所以}|{~E x r E x ∈,故ξ≥∈=}|{E x r E x .E 正交可数.19．设|{0x E R E n=⊂，}的内点是E x 称为E 的内点集,证明：0E 是开集; 证明：0E x ∈∀,因为x 为E 的内点,0>∃ε使得：E x x ⊂+-),(εε,现在证：),(E x x ⊂+-εε事实上,),(εε+-∈∀x x y ,取0|y -x |>-=εδ则E x x y y ⊂+-⊂+-),(),(εεεε,故0E y ∈,从而,0),(E x x ⊂+-εε,即0E 中每个点都是0E 得内点因此,0E 为开集21．假设f(x)是a,b 上唯一有限实函数,证明：它的第一类间断点的全体是可数的; 证明：a,b 中右极限存在的间断点是至多可数的. 令)0()(lim |),[{+=∈=+→'x f x f b a x S xx 有限},N ∈∀n ,作：}0|),[{>∃∈=δb a x E n ,时,使得),[),(,b a x x x x δδ+-∈'''∀ 则：1),{)(1b a x f E n n 在是∞= 上连续点的集合事实上,0,10>∀⋂∈∀∞=εn n E x ,取)1(1εε<>nn 即 因n E x ∈0,故),[),(,,000b a x x x x ⋂+-∈'''∀>∃δδδ有ε<-|)()(|0x f x f 即,)(x f 在0x 点连续;2n E S N n -∈∀,,因)()(lim 0+→'='+x f x f xx 有限,故0>∃x δ使得),[),(b a x x x x ⊂+∈'∀δ ,nx f x f 21|)()(|0<-'+,故,),,(,x x x x x δ+∈'''∀有nx f x f 1|)()(|<''-',从而,n x E x x ⊂+),(δ.现在证：}|),{(n x E S x x x A -∈+=δ 是两两不相交的开区间集,,2121x x E S x x n ≠-∈∀，不妨设 21x x <,如果∅≠++),(),(212211x x x x x x δδ ,取),(),(212211x x x x x x x δδ++∈*则 1121x x x x x δ+<<<*即,n x E x x x ⊂+∈),(2112δ,这与n E S x -∈2矛盾,故A 两两不相交,从而n E S -可数故)(11n n n E S S -⋃=⋂-∞=∞=至多可数;即,),[b a 中第一类间断点至多可数; 20．证明nR 中孤立点集是至多可数集证明：设F 是点集E 中一些孤立点所构成的集合0,>∃∈∀x F x δ,有}{),(x E x O x = δ现在先证：}|)2,({F x x O x∈δ是两两不相交的事实上,2121,,x x F x x ≠∈∀,如果)2,()2,(2121xxx O x O y δδ⋂∈∃,则),(),(),(2121x y y x x x ρρρ+≤22122x xxδδδ≤+<不妨设21x x δδ≤,故}{),(2,212x E x O x x =⋂∈δ,这与21x x =矛盾.所以,}|)2,({F x x O x∈δ是两两不相交的.F x ∈∀,取有理点)2,(xx x O r δ∈,故Q F x r F x ⊂∈}|{~,从而,0C Q F =≤22．证明：nR 中直线上每个闭集必是可数个开集的交,每个开集必是可数个闭集的并. 证明：设F 是R '中的一个闭集,先证：0>∀δ,),(δF O =R ∈x {|}),(δρ<F x 是R 中的开集,其中}|),(inf{),(F y y x F x ∈=ρρ),(δF O x ∈∀,则δρ<),(F x ,取δρδε<-=),(F x ,故),(δF O ),(δF O ⊂事实上,),(εx O t ∈∀,所以),(δF O 是开集 现在证：)1,(1nF O F n ∞== 、事实上,N n ∈∀,)1,(n F O F ⊂,所以)1,(1nF O F n ∞=⊂ .反过来,)1,(1n F O x n ∞=∈∀ ,有nF x 1),(<ρ.故0),(=F x ρ.F x ∉,即F R x -∈.0>∃δ,使),(δx O F R -⊂.所以),(δx O ∅=F .故,δρ≥),(F x ,这与0),(=F x ρ矛盾.所以F x ∈,从而)1,(1nF O F n ∞== .再来证：每个开集必是可数个闭集的并.事实上,若G 是开集,则G R -是闭集.所以存在可数个开集N n n O ∈}{,使得}{n O G R =-,所以)(}{11n n n n Q R O R G -=-=∞=∞= .即G 是可数个闭区间集∞=-1)}{(n n Q R 的并.23.假设∞=1}{i i I 是一列开区间,如果∅≠∞=i i I 1,证明i i I ∞=1是一个开区间证明：N ∈∀i ,记}N ∈=i i |inf{αα,}N ∈=i i |sup{ββ ,其中),(i i i I βα=,因为∅≠∞=i n I 1,所以可取),(10βα⊂∈∈∞=i i n I I x现在我们证：i i I ∞==1),( βα因为N i ∈∀,),(),(βαβα⊂=i i i I ,故),(1βα⊂∞=i i I反过来,),(βα∈∀x ,即βα<<x ,当0x x ≤时,因为x <α,所以N ∈∃1i ,有ββαα≤<≤<<<110i i x x x .所以i i i i i I I x ∞=⊂=∈1),(111 βα. 如果β<≤x x 0,N ∈∃2i ,使220i i x x x β<≤<,故i i i i i I I x ∞=⊂=∈12111),( βα,从而i i I ∞==1),( βα24.设R E '⊂,}|{A B ∈λλ是E 的一个开覆盖,证明：}|{A B ∈λλ中必存在至多可数个}|{N ∈i B i λ,使得iB E i λN∈⊂ .证明：不妨设}|{A B ∈λλ中每一个元都是开区间.E x ∈∀,存在A x ∈λ,有x B x λ∈,故有：R ∃端点的开区间),(R r x x =δ,使得x B x x λδ⊂⊂.即,ix Ex E δ∈⊂ .又因为}|),({E x R r x x x ∈=δ~Q Q E x R r x x ⨯⊂∈}|),{(所以}|{E x x ∈δ可数.不妨设}|{E x x ∈δ=}|{N n x ∈δ,又记=∈}|{E x B n λ}|{N n B n ∈λ.其中,n B n λδ⊂}(N n ∈∀故n B E n n x λδδNn NEx ∈∈∈⊂=⊂25.已知：可数集},21,21,21,1{2 n E =,开区间列)1,1(εε+-,)21,21(εε+-, ),21,21(,n n εε+-,覆盖了它,这里210<<ε,从此覆盖中能否选出集E 的有限子覆盖.答：不能,证明如下：证明：反正如果k n n n ,,21∃,N k ∈,使得)21,21(1n nki E εε+-⊂= ,不妨设 k n n n <<< 21,因为)1(k i i ≤≤∀,12122112121+=->-≥-kk k i n n n n εε,则121+k n)21,21(1k k n n ki εε+-∉= .这与E k n ∈+121矛盾.所以不真.26.设}|{A F ∈λλ是一簇集合,如果A n ∈∀λλλ,,,21 ,有∅≠=i F ni λ1,则称集合簇}|{A F ∈λλ具有有限交性质.证明：如果}|{A F ∈λλ是具有有限交性质的非空有界闭集簇,那么∅≠∈λλF A.证明：取A ∈0λ,令}1),(|{0<∈=λρF x R x G n ,其中=),(0λρF x}|),(inf{0λρF y y x ∈,∑=-=ni i iy xy x 12)(),(ρ,则G 是n R 中开集.且G F ⊂0λ,如果∅=∈λλF A,则)(0λλλλλF G F G G F AA-=-=⊂∈∈ .由Borel 有限覆盖定理P27 定理9,存在m λλλ,,,21 ,使得⊂0λFi mi mi F G F G i λλ11)(==-=- .从而,∅====i mi i mi F F F λλλ01)(0 ,这与}|{A F ∈λλ具有有限交性质矛盾.27.试用Borel 有限覆盖定理证明：Bolzano-Weiestyass 定理P24定理4,若E 是是一个有界无穷点集,则∅≠'E .证明：设E 是nR 中的有界无穷点集,如果∅='E ,则E x ∈∀,0>∃x δ,使得}{),(x E x O x = δ,则),(x Ex x O E δ∈⊂ .由Borel 有限覆盖定理,E x x x n ∈∃,,,21 ,有),(1i x i m i x O E δ=⊂ ,从而)],([1i x i m i x O E E δ== =),(1i x i m i x O E δ ==}{1i mi x = =},,,{21n x x x ,这与E 为无穷集矛盾,从而∅≠'E .29.可数个开集的交称为δG 型集,可数个闭集的并称为σF 型集.证明：有理数集不是δG 型集,但是σF 型集.证明：设Q 为R '中全体有理数所构成的集合.如果Q 是δG 型集,即n n G Q ∞==1,其中n G 是开集,由开集的结构,N n ∈∀,),(k k n n kn G βα =,其中k n n k k )},{(βα是互不相交的开区间. 不是一般性,设 ≤≤≤≤<≤<11111n n n n n n k βαβαβα这是,必有1-∞=1n α事实上,如果-∞≠1n α,即r ∃为有理数,1n r α<.因为N k ∈∀,k n n r αα<<1,故Q G G r n n n n n kk k =⊃=∉∞=1),( βα,这与Q r ∈矛盾.2N k ∈∀,1,,+=k n k n αβ如果N k ∈∃*,1,,**+≠k n k n αβ.则1,,**+<k n k n αβ.因此,Q r ∈∃,有1,,**+<<k n k n r αβ.这有：Q G r n n n kkk⊃=∉),(βα 这是一矛盾.3 +∞==}{sup ,k n kn ββ.事实上,若+∞≠n β,则n β为有限实数,Q r ∈∃,使得k ∀,r n k n <≤ββ,,故Q G r n n n kk k ⊃=∉),(βα ,这也是一矛盾.}|{}{),(,,,,k R G R k n kk n kk n k n kn ααβα ==-'=-'},|{}|{}{,,111k N n k G R G R Q R k n k n n n n n n ∈==-'=-'=-'∞=∞=∞=αα 为可数集,这与C Q R =-'矛盾.因为在R '中单点集是闭集,所以Q r ∈∀,令}{r F r =,则F 为闭集,所以r Qr F Q ∈= ,故Q 为σF 型集.30．定义在]1,0[上的任何函数的连续点构成的集合是一个δG 型集.92'.证明：开区间)1,0(中有理点的全体不是一个δG 型集,但是一个δG 型集.30.是否存在]1,0[上的的函数满足：在有理点处连续,而在无理点处都不连续 是证明你的结论. 回答：不存在.为此,只需证明如下命题命题：开区间)1,0(中的任何函数的连续点构成的集合是一个δG 型集.这是因为,如果存在]1,0[上的函数f ,使得)()(lim |)1,0({)1,0(x f x f x Q xx ='∈=→'' . 当命题成立时,必有Q )1,0(为δG 型集,这与92'题的结论矛盾. 命题的证明：设)(x f 是开区间)1,0(有定义的一实函数,记)()(lim |)1,0({x f x f x E xx ='∈=→'',下证：E 是一个δG 型集.N n ∈∀,令10|),{(<<<=βαβαn A 且⇒∈∀),(2,1βαx xnx f x f 1|)()(|21<-.又记n n A G =.于是,我们只需证：n N n G E ∈= .事实上,E x ∈∀,因为)()(lim x f x f xx ='→'',所以N n ∈∀,0>∃n δ,使得)1,0(),(⊂+-∈'∀n n x x x δδ,恒有nx f x f 21|)()(|<-',所以 )1,0(),(,21⊂+-∈∀n n x x x x δδ,恒有+-≤-|)()(||)()(|121x f x f x f x fnx f x f 1|)()(|2<-,故n n n G x x ⊂+-),(δδ,所以n n n n n G x x x ∞=∞=⊂+-∈11),( δδ即,n n G E ∞=⊂1反过来,n n G x ∞=∈∀1.⇒+-∈'∀>∃>∀),(,0,0:(n n x x x f δδδε)|)()(|2ε<-'x f x f0>∀ε,取N n ∈0,使得ε<01n .因为001n n n n A G G x =⊂∈∈∞=所以R ∈∃βα,：10<<<βα,使得),(βα∈x ,并且),(,21βα∈∀x x 有ε<<-0211|)()(|n x f x f ,取0},min{>--=x x βαδ,故x '∀：δ<-'||x x ,即 x ',),(),(βαδδ⊂+-∈x x x ,所以ε<<-'01|)()(|n x f x f .从而='→'')(lim x f x x)(x f .故E x ∈.因此,n n G E ∞==1 真.31.假设R A '⊂,且对任意R x '∈,存在x 的一个δ-领域),(δδ+-x x ,使得A x x ),(δδ+-最多只有可数个点,证明：A 必有有限级或可列集.证明：因为A x ∈∀,0>∃x δ使得x x x B A x x =+- ),(δδ是一个至多可数集,而),(x x Ax x x A δδ+-⊂∈由24题,A N i x i ⊂∈∃}|{使得：),(1i i x x i n x x A δδ+-⊂∞=又i i i i i x n x x i n x x i n B x x A x x A A ∞=∞=∞==+-=+-=111)),(()],([ δδδδ.即A 至多可数. 32.证明下列陈述相互等价. i A 是无处稠密集ii A 不包含任何非空开区间iii A 是无处稠密集 iv A 的余集A C 是稠密集无处稠密集：nR E ⊂,E 称为是无处稠密的,如果,0>∀δ,nR x ∈∀,),(δx O E ⊄.证明：i ⇒ii.设A 是无处稠密集,即0>∀δ,R x '∈∀有A x x ⊄+-),(δδ. 如果)(,βαβα<'∈∃R ,有A ⊂),(βα.取2βα+=x ,取02>-=αβδ,故A x x ⊂=+-),(),(βαδδ.这与A x x ⊄+-),(δδ得假设矛盾.所以i ⇒ii 真.ii ⇒iii.如果A 不是无处稠密的,即nR x ∈∃0,0>∃δ,使得),(δδ+-x xA ⊂=),(βα.这与A 不包含任何非区间矛盾.iii ⇒iv.设A 无处稠密.现在我们证：R A R '=-'.R x '∈∀,如果A R x -'∉,则A x ∈,所以0>∀δ,有A A x x =⊄+-),(δδ.故∅≠-'+-)(),(A R x x δδ.所以A R x -'∈.iv ⇒i.设R A R '=-',R x '∈∀,0>∀δ,∅≠-'+-][),(A R x x δδ.所以A x x ⊄+-),(δδ.从而,A 无处稠密. 33.证明：若集合E 的聚点0x 不属于E ,则0x 是E 的边界点.定义：0x 称为E 的边界点,如果0>∀δ,有∅≠E x O ),(0δ且∅≠E x O ),(0δ.证明：设E E x -'∈0,则0>∀δ,∅≠=-E x O E x x O ),(}]{),([000δδ.且∅≠-∈)(),(00E R x O x n δ,即,0x 是E 的界点.第二章习题参考解答1：证明：有理数全体是R '中可测集,且测度为0.证：1先证单点集的测度为0.R x '∈∀,令}{x E =.0>∀ε,N n ∈∀)2,2(11+++-=n n n x x I εεε,因为E I I E m n n n n ⊃=∞=∞=∑11||inf{* ε,n I 为开区间≤}∑∑∞=∞===112||n n n nI εεε.故0*=E m .所以E 可测且0=mE .2再证：R '中全体有理数全体Q 测度为0.设∞=1}{n n r 是R '中全体有理数,N n ∈∀,令}{n n r E =.则}{n E 是两两不相交的可测集列,由可测的可加性有：∑∑∞=∞=∞=====11100)(*n n n n n mE E m Q m .法二：设∞==1}{n n r Q ,N n ∈∀,令)2,2(11+++-=n n n n n r r I εεε,其中ε是预先给定的与n无关的正常数,则：∑∑∑∞=∞=∞=∞===≤⊃=11)(112||}||inf{*i i nin i i n IQ I I Q m εεε .由ε得任意性,0*=Q m .2.证明：若E 是nR 有界集,则+∞<E m *.证明：若E 是nR 有界.则∃常数0>M ,使E x x x x n ∈=∀),,(21 ,有=EM xxni ini i≤=-∑∑==1212)0(,即)1(n i i <≤∀,有M x i ≤,从而],[1M x M x E i ni i +-⊂∏=.所以+∞<=≤+-≤∑∏==n ni i n i i M M M x M x m Em )2(2],[**113.至少含有一个内点的集合的外测度能否为零解：不能.事实上,设nR E ⊂,E 中有一个内点 E x x x n ∈=),(1 .0>∃δ,使得E x x x O i ni i ⊂+-=∏=)2,2(),(1δδδ.则0)]2,2([**1>=+-≥∏=n i ni i x x m E m δδδ所以0*≠E m . 4.在],[b a 上能否作一个测度为a b -,但又异于],[b a 的闭集解：不能事实上,如果有闭集],[b a F ⊂使得a b mF -=.不失一般性,可设F a ∈且F b ∈.事实上,若F a ∉,则可作F a F }{*=,],[*b a F ⊂.且mF mF a m mF =+=}{*.这样,我们可记*F 为新的F ,从而),(),(),(],[b a F b a F b a F b a -=-=-.如果∅≠-F b a ],[,即F b a F b a x -=-∈∃),(],[,而F b a -),(是开集,故x 是F b a -],[的一个内点,由3题,0),()],([)],([*≠-=-=-mF b a m F b a m F b a m .这与a b mF -=矛盾.故不存在闭集],[b a F ⊂且a b mF -=5.若将§1定理6中条件")("0∞<≥n k n E m 去掉,等式∀n n n n mE E m ∞→∞→<lim )lim (是否仍成立 解：§1定理6中条件")("0∞<≥n k n E m 是不可去掉的.事实上,N n ∈∀,令),1[n n E n --,则∞=1}{n n E 是两两相交的可测集列,由习题一得15题：∅==∞→∞→n n n n E E lim lim .故0)lim (=∞→n n E m ,但N n ∈∀,1),1[=-=n n m mE n .所以1lim =∞→n n mE .从而)lim (lim n n n n E m mE ∞→∞→≠.6.设1E , ,2E 是)1,0[中具有下述性质的可测集列：0>∀ε,N k ∈∃使ε->1k mE ,证明：1)(1=∞=i i E m证：事实上,0>∀ε,因为N k ∈∃,ε->1k mEε->≥≥≥∞=1)(]1,0[11k i i mE E m m7.证明：对任意可测集B A ,,下式恒成立.mB mA B A m B A m +=+)()( .证明：A A B A B A )(-=且∅=-A A B A )(故 mA A B A m B A m +-=)()( .即)()()(A B m A B A m mA B A m -=-=-又因为)()(A B A B B -=.且∅=-)()(A B A B ,所以=mB)()(A B m A B m +-故)()(B A m mB mA B A m -=-,从而mB mA B A m B A m +=+)()( 8.设是1A ,2A 是]1,0[中的两个可测集且满足121>+mA mA ,证明：0)(21>A A m .证：212121)()(mA mA A A m A A m +=+ .又因为1])1,0([)(21=≤m A A m所以01)()(21212121>-+≥-+=mA mA A A m mA mA A A m9.设1A ,2A ,3A 是]1,0[中的两个可测集,且2321>++mA mA mA ,证明：0)(321>A A A m证：321321321)(])[()(mA A A m A A A m A A A m +=+ =)()()()(21321A A m A m A m A m -++.所以)()()()()][()(32132132121A A A m A m A m A m A A A m A A m -++=+又因为)]()()[(133221A A A A A A m =)]()[(32121A A A A A m =)][()(32121A A A m A A m +)][()[(32121A A A A A m -=)(21A A m + 321)[(A A A m ][(321A A A m -.所以=)(321A A A m -+)][()(32121A A A m A A m )]()()[(133221A A A A A A m =)]()()[()()()()(133221321321A A A A A A m A A A m A m A m A m --++因为1]1,0[)(321=≤m A A A m1]1,0[)]()()[(133221=≤m A A A A A A m .所以02)()()(11)()()()(321321321>-++=--++≥A m A m A m A m A m A m A A A m .10.证明：存在开集G ,使mG G m >证明：设∞=1}{n n r 是]1,0[闭区间的一切有理数,对于N n ∈∀,令)21,21(22+++-=n n n n n r r I ,并且n n I G ∞==1是R '中开集2121121212111=-==≤∑∑∞=+∞=n n n n mI mG .而,]1,0[⊃G ,故mG m G m =>=≥211]1,0[. 11.设E 是R '中的不可测集,A 是R '中的零测集,证明：CA E 不可测.证明：若CA E 可测.因为A A E ⊂ ,所以0*)(*=≤A m A E m .即0)(*=A E m .故A E 可测.从而)()(CA E A E E =可测,这与E 不可测矛盾.故CA E 不可测. 12.若E 是]1,0[中的零测集,若闭集E 是否也是零测集.解：不一定,例如： E 是]1,0[中的有理数的全体.]1,0[=E .0=mE ,但1]1,0[==m E m .13.证明：若E 是可测集,则0>∀ε,存在δG 型集E G ⊃,σF 型集E F ⊃,使ε<-)(F E m ,ε<-)(F G m证明：由P51的定理2,对于nR E ⊂,存在δG 型集E G ⊃,使得E m mG *=.由E 得可测性,mE E m =*.则0>∀ε.0)(=-=-mE mG E G m .即0>∀ε,ε<-)(F G m . 再由定理3,有σF 型集F 使得E F ⊃.且ε<=-=-0)(mF mE F E m15.证明：有界集E 可测当且仅当0>∀ε,存在开集E G ⊃,闭集E F ⊃,使得ε<-)(F G m .证明：)(⇐N n ∈∀,由已知,存在开集E G n ⊃,闭集E F n ⊃使得nF G m n n 1)(<-. 令n n G G ∞==1,则E G ⊃.N n ∈∀,)(*)(*)(*n n n F G m E G m E G m -≤-≤-)(01∞→→<n n.所以,0)(*=-E G m .即E G -是零测集,可测. 从而,)(E G G E --=可测)(⇒设E 是有界可测集因为E I IE m n n n n⊃=∞=∞=∑11||inf{* ,n I 为开长方体+∞<}.故,0>∀ε,存在开长方体序列∞=1}{n n I ,使得E I n n ⊃∞=1.有2*||*1ε+<≤∑∞=E m I E m n n .另一方面,由E 得有界性,存在nR 中闭长方体E I ⊃.记E I S -=,则S 是nR中有界可测集.并且mE mI mS -=.由S 得有界可测性,存在开集S G ⊃*有2)(*ε<-S G m .因为E I ⊃,故S I G ⊃ *.因此mS I G m S I G m -=->)()(2** ε==--)()(*mE mI I G m))((*I G m mI mE --)(*I G I m mE --=令,I G I F *-=,则F 是一个闭集,并且由E I S I G -=⊃ *,有F IG I E =-⊃ *.因此2)()(*ε<--=-=-I G I m mE mF mE F E m ,从而,存在开集E G ⊃,闭集E F ⊃.有))()(()(F E E G m F G m --=- )(E G m -≤)(F E m -+εεε=+<22.由ε的任意性知,0})0{(*=⨯'R m .即}0{⨯'R 是零测集.从而,位于ox 轴上的任意集}0{⨯'⊆R E ,因此,E 为零测集.16.证明：若nm R E ⊂是单调增加集列不一定可测且m n E ∞=1,则m m m n E m E m *lim )(*1∞→∞==证明：m n E E ∞==1,即,E 有界并且E E E E E n ⊂⊂⊂⊂⊂⊂ 321故+∞<≤≤≤≤≤≤E m E m E m E m E m n *****321 ,即∞=1}*{m m E m 单调递增有上界.所以,m m E m *lim ∞→存在并且E m E m m m **lim ≤∞→下证：E m E m m m **lim ≥∞→.由于E 有界,可作一个开长方体),(1∏==∆ni iiβα,有N n ∈∀,∆⊂⊂E En.0>∀ε,因为n i n i i n E I I E m ⊃=∞=∞=∑11||inf{* ,i I 为开长方体}.故,存在开长方体序列}{i I使得n i n E I ⊃∞=1,且ε+<=≤≤∑∑∞=∞=∞=111*||*)(**i n ii ii n n E m II m I m E m .令∆=∞= )(1i n n I G ,则nG 为有界开集,且∆⊂⊂n n G E ,ε+<≤≤∞=n n i n n E m I m G m E m *)(***1.N n ∈∀,又令=n A k n G ∞=1),2,1( =n .且n n A A ∞==1,则由∆⊂⊂n n A E 知,}{n A 是单调递增的可测序列,由P46的定理4,n n n n mA A m mA E m ∞→∞→==≤lim lim *.又由,)(N n G A n n ∈∀⊂,有ε+<≤n n n E m mG mA *.从而ε+≤∞→∞→n n n n E m mA *lim lim .故ε+≤∞→n n E m E m *lim *.由ε得任意性,即得n n n E m mA *lim ∞→≤.从而,n n n m n E m E m mA *lim )(*1∞→∞=== .17.证明：n R 中的Borel 集类具有连续势.证明：为了叙述方便,我们仅以1=n 为例进行证明：用[,]b a 表示R '上的开区间,用),(b a 表示上的一个点.A 表示R '上的所有开区间的集合；Q 表示R '所有闭集；σρ和δϑ分别表示所有的σF 型集,所有δG 型集.因为R R b a R b a b a R b a b a A '⨯'⊂<'∈'∈=},,|),{(~},[,{],又因为A R a b a R ⊂'∈'}[,{]~.故C R R A R ='⨯'≤≤'.所以C A =.又因为|{O A ⊆存在可数个开区间}{k I ,有}1k k I O ∞== .所以Q A ≤.又定义映射Q A →∞:ϕ,∞=∈∀∏A I ni i 1,有Q I I k k ni i ∈=∞==∏11)( ϕ.故ϕ是一个满射.所以C A A Q A C =≤=≤=∞∞)(ϕ. 故C A =.又定义：→∞Q:ψδϑ,→∞Q :τσρ,i i ni i O O ∞===∏11)( ψ,ci i ni i O O ∞===∏11)( τ则ψ与τ都是满射.所以 C Q Q Q C =≤==≤∞∞)(ψϑδ.即,C =δϑ.同理,C =σρ.记β时R '上的Borel 集的全体.因集合的“差”运算可以化成“交”运算,例如：∆⊂=⊂=∞=∞=A A E E n n n n 11c B A B A =- .因此,β中的每个元都是δσϑρ 中可数元的并,交后而成.故C C =≤≤=∞)(δσδσϑρβϑρ .从而,C =β.即,R '上Borel 集的全体的势为C .18.证明对任意的闭集F ,都可找到完备集F F ⊂1,使得mF mF =1.19.证明：只要0>mE ,就一定可以找到E x ∈,使对0>∀δ,有0)),((>δx O E m .证明：设n R E ⊂,0>mE .首先将nR 划分成可数边长为21的左开右闭的n 维长方体 }|)21,2({1Z m m m i i ni i ∈+= .则}|)21,2({11Z m m m E i i ni i ∈+== β互不相交且至多可数.不妨记为1}{)1(1A k k E ∈=β,N A ⊂1.因)1(1k k E E ==β,则0)1(>=∑kkEm mE .故N k ∈∃1,有0)1(1>k mE .又因}|)21,2({212)1(2Z m m m E i i ni i k∈+== β互不相交且至多可数.故可记2}{)2(2A k k E ∈=β,其中 N A ⊂2,又由,)2(2)1(k k k E E ==β.故0)2()1(>=∑k kk E mE ,所以, N A k ⊂∈∃22,有0)2(>k mE .这样下去得一个单调递减的可测集列 ⊃⊃⊃=)2()1()0(210k k k E E E E ,其中：N j >∀,)]21,2([)]21,2([{111j i n i j i j i ni j i j k jk m m E m m EE j j+=+===- .记)]21,2([1j i ni ji j m m E F +== ,故闭集列∞=1}{j j F 单调递减且N j >∀,)(0)21(21)(0)(+∞→→=≤≤<j mF E m jnnj j k jj . 由闭集套定理,j j F x ∞=∈∃1! .对于0>∀δ,因jnj mF )21(≤,取N j >0,使δ<0)21(j n .则 E x O m m E F x j i ni j i j ),()]21,2([0001δ⊂+=∈=,故0)),((0>≥j mF x O E m δ .20.如果nR E ⊂可测,0>α,记}),,(|),,{(11E x x x x E n n ∈= ααα.证明：E α也可测,且mE E m n⋅=αα)(.证明：1先证：E m E m n*)(*⋅=αα因为E I IE m i i i iαα⊃=∞=∞=∑11||inf{)(* ,i I 为开长方体},对于开长方体序列∞=1}{i n I ,若E I i i α⊃∞=1,则E I i i ⊃∞=α11,E I i i ⊃∞=α11也是开长方体序列,且∑∞=≤1|1|*i i I E m α=∑∞=1||1i inIα.即∑∞=≤⋅1||*i i nI E m α.因此≤⋅E m n*αE I I i i i i α⊃∞=∞=∑11||inf{ ,i I 为开长方体}.另一方面,0>∀ε,因为E I IE m i i i i⊃=∞=∞=∑11||inf{* ,i I 为开长方体}.故存在开长方体序列n i i E m I αε+<∑∞=*||1*.所以E I i i αα⊃∞=*1 ,故εαααα+<==∑∑∞=∞=E m I I E m n i i n i i *||||)(*1*1*.由ε得任意性,知E m E m n *)(*αα≤.从而E m E m n *)(*αα=2再证：E α可测事实上,nR T ⊂∀,n R T ⊂α1,由E 得可测性,=)1(T m α+)1(*E T m α)1(*CE T m α.故,=)(1T m n α+)(*1E T m n αα )(*1CE T m n αα.因此=T m *+)(*E T m α )(*CE T m α .E α可测. 因此,当E 可测时,mE E m nαα=*.下面是外测度的平移不变性定理.定理平移不变性设nR E ⊂,nR x ∈0,记}|{}{00E x x x x E ∈+=+.则E m x E m *}){(*0=+证明：当E 是nR 中开长方体时}{0x E +也是一个开长方体,且其相应的边均相同,故E m E x E x E m *|||}{|}){(*00==+=+.如果E 是nR 中的任意点集,对于E 德任意由开长方体序列∞=1}{i i I 构成的覆盖,∞=+10}}{{i i x I 也是覆盖}{0x E +,且仍是开长方体序列,故≤+}){(*0x E m∑∑∞=∞==+110|||}{|i i i iI x I.所以≤+}){(*0x E m E I I i i i i ⊃∞=∞=∑11||inf{ ,i I 为开长方体}=E m *.即≤+}){(*0x E m E m *.下证：E m *≤}){(*0x E m +令}{01x E E +=,由上面的证明知,}){(*01x E m -+≤1*E m .所以=E m *}){(**}){(*0101x E m E m x E m +=≤-+.从而,E m x E m *}){(*0=+.21.设2)(x x f =,R E '⊂.是零测集,证明：}|)()(2E x x x f E f ∈==也是零测集.证明：设R E '⊂,0=mE1当)1,0(⊂E 时,0>∀ε,当0*=E m ,则存在开区间到∞==1)},({i i i i I βα使得)1,0(),(1⊂⊂∞=i i i E βα ,且2)(||11εαβ<-=∑∑∞=∞=i i i i iI.故==∞=)),(()(1i i i f E f βα)1,0(),(221⊂∞=iii βα .))(()(|)(|)(*12211i i i i i iii i i I f E f m αβαβαβ+-=-=≤∑∑∑∞=∞=∞=εεαβ=-=-≤∑∞=22)(21i i i .所以0)(*=E f m .第三章习题参考解答 1.设f 是E 上的可测函数,证明：R a '∈∀,})(|{a x f x E ==是可测集.解：R a '∈∀,因为)(x f 是E 上的可测,所以})(|{a x f x E ==与})(|{a x f x E ≤=均是可测集.从而})(|{a x f x E ==})(|{a x f x E ≥==})(|{a x f x E ≤= 可测.2.设f 是E 上的函数,证明：f 在E 上的可测当且仅当对一切有理数r ,})(|{r x f x E >=是可测集.证：)(⇐R a '∈∀,取单调递减的有理数序列∞=1}{k k r 使得a r k k =+∞→lim ,则})(|{})(|{1k k r x f x E a x f x E >=>=∞= .由每个k r x f x E >)(|{}的可测性,知})(|{a x f x E >=可测.从而,)(x f 在E 上的可测.)(⇒设f 在E 上的可测,即R a '∈∀,})(|{a x f x E >=可测.特别地,当r a =时有理数时,})(|{r x f x E >=可测.3. 设f 是R '上的可测函数,证明：对于任意的常数α,)(x f α是R '上的可测函数. 为证上述命题,我们先证下面二命题：命题1.若E 是R '中的非空子集,则R '∈∀α,有E m E m *||*αα=证明：当0=α时,因为}0{=E α,则E m E m *||*αα=.不妨设,0≠α.因为E I I E m i i i i ⊃=∞=∞=∑11||inf{* ,i I 为开区间}.0>∀ε,存在开区间序列∞=1}{i i I ,E I i i ⊃∞=1 ,||*||*1αε+<≤∑∞=E m I E m i i .又因为E I i i ⊃∞=α1 注：若),(i i i I βα=,则⎩⎨⎧=ααααβααβααα),,(),,(i i i i i I .所以εααααα+⋅<==≤∑∑∑∞=∞=∞=E m I I IE m i i i i i i*||||||||||||*111.由ε得任意性,有i i i i i I E I I E m ,||inf{*11αα⊃≤∞=∞=∑ 为开区间}故存在开区间∞=1}{i i I ,使E I i i α⊃∞=1,且εα+<≤∑∞=E m I E m i i *||*1.又因为E I i i ⊃∞=α11,故εαα+<≤∑∞=E m I E m i i *|1|*1.由ε得任意性,有E m E m αα**||≤从而E m E m αα**||=.命题2.设R E '⊂,+∞<E m *,则E 可测⇔R '∈∀α,E α可测.由题的直接推论.证：)(⇐是直接的,我们仅需证明)(⇒R '∈∀α,如果0=α,则}0{=E α为零测集.故E α可测.不妨设0≠α.现在证明R T '⊆∀,)(*)(**E C T m E T m T m αα +=.事实上,对于R T '⊆∀,则R T '⊆α1,因为E 在R '可测,所以)1(*)1(*)1(*CE T m E T m T m ααα+=,即)(*||1)(*||1*||1CE T m E T m T m αααα+=)(*)(**E C T m E T m T m αα +=即E α可测.3.设f 是R '上的可测函数,证明：对于任意常数α,)(E f α仍是R '上的可测函数.解：记R E '=,对于R '∈∀α,当0=α时,R a '∈∀,⎩⎨⎧>'=≤∅=>af R E a f a f x E )0(,)0(,})0(|{.故})(|{a x f x E >α可测所以：)(x f α可测.当0≠α时,R '∈∀α,令x y α=,则})(|{})(|{a y f xyE a x f x E >=>α= })(|{1a y f y E >α.在因为f 在R '可测,故})(|{a y f y E >可测,又由命题2,})(|{})(|{a x f x E a y f y E >=>可测.从而)(x f α使R E '=上哦可测函数.4.设)(x f 是E 上的可测函数,证明：3)]([x f 在E 上可测.证明：R '∈∀α,因为)(x f 在E 上可测.所以})(|{3a x f x E >是可列集.即})(|{})(|{33a x f x E a x f x E >=>可测.从而3)]([x f 在E 上可测.5.若],[b a 上的函数)(x f 在任意线段],[βα)(b a <<<βα上可测,试证它在整个。

第十三章习题册参考答案绪论0-1 判断题1× 2× 3× 4√ 5√ 6× 7×0-2 填空题1确定的相对 2机械 3零件 4构件0-3 选择题1A 2A 3A 4A 5A一、机构的自由度1-1 判断题1× 2√ 3× 4× 5× 6× 7√8√ 9× 10√ 11√ 12× 13× 14×1-2 填空题1运动副 2独立 32 4低 5机构自由度 6机架1-3 选择题1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A8A 9A 10A 11A 12A 13A1-4 解：a F=3n－2p l－p h=3×3－2×4－0=1b F=3n－2p l－p h=3×5－2×7－0=1c F=3n－2p l－p h=3×3－2×4－0=1d F=3n－2p l－p h=3×3－2×4－0=1e F=3n－2p l－p h=3×3－2×4－0=1f F=3n－2p l－p h=3×3－2×4－0=1g F=3n－2p l－p h=3×3－2×4－0=11-5 解：a F=3n－2p l－p h =3×5－2×7－0=1b滚子中心存在局部自由度,F=3n－2p l－p h=3×8－2×11－1=1c E处存在复合铰链,F=3n－2p l－p h=3×5－2×6－1=2d F=3n－2p l－p h=3×6－2×8－1=1e滚子中心存在局部自由度,两移动副处之一为虚约束,三根杆以转动副相连处存在复合铰链F=3n－2p l－p h=3×9－2×12－2=1f齿轮、杆和机架以转动副相连处存在复合铰链,F=3n－2p l－p h=3×4－2×4－2=2g F=3n－2p l－p h=3×3－2×3－0=3h滚子中心存在局部自由度,F=3n－2p l－p h=3×3－2×3－2=1i中间三根杆以转动副相连处存在复合铰链,=3n－2p l－p h=3×7－2×10－0=1 j左边部分全为虚约束,三根杆以转动副相连处存在复合铰链,F=3n－2p l－p h=3×5－2×7－0=11-6 解：a该构件组合为机构,因为该组合自由度F=3n－2p l－p h=3×4－2×5－1=1>0 b该构件组合不是机构,因为该组合自由度F=3n－2p l－p h=3×3－2×4－1=0 c该构件组合不是机构,因为该组合自由度F=3n－2p l－p h=3×4－2×6－0=0d该构件组合为机构,因为该组合自由度F=3n－2p l－p h=3×3－2×4－0=1>0二、平面连杆机构2-1 判断题1× 2× 3√ 4× 5√ 6× 7√8√ 9√ 10× 11× 12√ 13× 14×15√ 16× 17× 18√ 19× 20√ 21×22× 23× 24× 25√2-2 填空题1低 2转动 33 4连杆,连架杆 5曲柄,摇杆6最短 7曲柄摇杆 8摇杆,连杆 92 10＞11运动不确定 12非工作时间 13惯性 14大15中的摆动导杆机构有,中的转动导杆机构无 16机架 17曲柄18曲柄滑块 19双摇杆 20双曲柄机构 21无,有2-3 选择题1A 2C 3B 4A 5B 6B 7A8C 9A 10A 11A 12C 13C 14A15A 16A 17A 18A 19A 20A 21A2-4 解：a双曲柄机构,因为40+110<70+90,满足杆长条件,并以最短杆为机架b曲柄摇杆机构,因为30+130<110+120,满足杆长条件,并以最短杆的邻边为机架c双摇杆机构,因为50+100>60+70,不满足杆长条件,无论以哪杆为机架都是双摇杆机构d双摇杆机构,因为50+120=80+90,满足杆长条件,并以最短杆的对边为机架2-5 解：1由该机构各杆长度可得l AB+ l BC＜l CD+ l AD,由此可知满足杆长条件,当以AB杆或AB杆的邻边为机架时该机构有曲柄存在2以l BC或l AD杆成为机架即为曲柄摇杆机构,以l AB杆成为机架即为双曲柄机构,以l CD杆成为机架即为双摇杆机构2-6 解：1曲柄摇杆机构由题意知连架杆CD杆不是最短杆,要为曲柄摇杆机构,连架杆AB杆应为最短杆0<l AB≤300 mm且应满足杆长条件l AB+l BC≤l CD+l AD,由此可得0<l AB≤150mm 2双摇杆机构由题意知机架AD杆不是最短杆的对边,要为双摇杆机构应不满足杆长条件①AB杆为最短杆0<l AB≤300mm时,l AB+l BC>l CD+l AD,由此可得150mm<l AB≤300mm②AB杆为中间杆300mm≤l AB≤500mm时,l AD+l BC>l CD+l AB,由此可得300mm≤l AB<450mm③AB杆为最长杆500mm≤l AB<1150mm时,l AB+l AD>l CD+l BC,由此可得550mm<l AB<1150mm由此可知：150mm<l AB<450 mm,550mm<l AB<1150 mm3双曲柄机构要为双曲柄机构,AD杆必须为最短杆且应满足杆长条件①AB杆为中间杆300mm≤l AB≤500mm时,l AD+l BC≤l CD+ l AB,由此可得450mm≤l AB ≤500mm②AB杆为最长杆500mm≤l AB<1150mm时,l AB+l AD≤l CD+l BC,由此可得500mm≤l AB ≤550mm由此可知：450mm≤l AB≤550mm2-7 解：a b c d e 各机构压力角和传动角如图所示,图a 、d 机构无死点位置,图b 、c 、e 机构有死点位置2-8 解：用作图法求解,主要步骤： 1计算极位夹角：︒=+-⨯︒=+-⨯︒=3615.115.118011180K K θ 2取比例尺μ=mm3根据比例尺和已知条件定出A 、D 、C 三点,如图所示4连接AC ,以AC 为边作角的另一角边线,与以D 为圆心、摇杆DC 为半径的圆弧相交于C 1和C 2点,连接DC 1和DC 2得摇杆的另一极限位置两个5从图中量得AC =71mm,AC 1=26mm,AC 2=170mm 6当摇杆的另一极限位置位于DC 1时：5mm .2221=⨯=AC AC l AB －μ,5mm .4821=+⨯=AC AC l BC μ 7当摇杆的另一极限位置位于DC 1时：5mm .4922=⨯=AC AC l AB －μ,5mm .12022=+⨯=AC AC l BC μ 答：曲柄和连杆的长度分别为、和、; 2-9 解：用作图法求解,主要步骤： 1计算极位夹角：︒=+-⨯︒=+-⨯︒=4.1612.112.118011180K K θ 2取比例尺μ=mm3根据比例尺和已知条件定出滑块的两极限位置C 1、C 2两点,如图所示4连接C 1C 2,以C 1C 2为直角边作直角三角形C 1C 2P ,使∠C 1C 2P =90°－θ=° 5以C 2P 为直径作圆O6将C 1C 2偏移e 值,与圆O 交于A 点,连接AC 1和AC 2, 7从图中量得AC 1=34mm,AC 2=82mm,则：24mm 212=⨯=AC AC l AB －μ,58mm 221=+⨯=AC AC l BC μ 答：曲柄和连杆的长度分别为24mm 和58mm; 2-10 解：用作图法求解,主要步骤： 1计算极位夹角：︒=+-⨯︒=+-⨯︒=3014.114.118011180K K θ 2取比例尺μ=mm3根据比例尺和已知条件定出机架AC ,如图所示 4根据摇杆的摆角等于极为夹角作出摇杆的两极限位置 5过A 点作摇杆两极限位置的垂线,得垂足点B 1、B 2 6从图中量得AB 1=23mm,则26m m 1=⨯=AB l AB μ 答：曲柄的长度为26mm; 2-11 解：用作图法求解,主要步骤： 1计算极位夹角：︒=+-⨯︒=+-⨯︒=0111118011180K K θ 2取比例尺μ=mm3根据比例尺和已知条件定出D 、C 1、C 2三点,如图所示 4过D 点作C 1D 的垂线,并与C 1C 2的连线交于A 点 5从图中量得AD =220mm,AC 1=234mm,AC 2=180mm,则：27mm 212=⨯=AC AC l AB －μ, 207mm 212=+⨯=AC AC l BC μ,220m m =⨯=AD l AD μ答：曲柄的长度为27mm,连杆的长度为207mm,机架的长度为220mm;三、凸轮机构3-1 判断题1√ 2× 3√ 4× 5× 6× 7× 8× 9√ 10√ 11√ 12√ 13√ 14√ 15× 16√ 17√ 18√ 19× 3-2 填空题1使用 2盘形 3凸轮轮廓 4变曲率 5行程 6行程 7轮廓 8凸轮的转角,从动件的位移 9最小 10法线 11大 12等速 13小 14许用压力角 15低 16大 17大 18内凹 19抛物线 20刚性 3-3 选择题1B 2A 3A 4A 5A 6C 7A 8A 9A 10A 11A 12A 13A 14A 15A 16A 17B 18A 19A 20C 21D 22A 23B 24D 25B 26B 27C 3-4 解：1凸轮的基圆和基圆半径的标注如图所示2从动件的位移线图s-t 和升程h 的标注如图所示 3-5 解：凸轮的位移线图如图所示;3-6 解：1凸轮的位移线图如图所示2凸轮的位移线图如图所示3-7 解：所设计对心直动尖顶从动件盘形凸轮机构如图所示3-8 解：所设计偏置直动滚子从动件盘形凸轮机构如图所示3-9 解：各凸轮机构中b、c点的压力角如图所示四、间歇运动机构4-1 判断题1√ 2√ 3× 4√ 5√ 6× 7× 8×4-2 填空题1周期性 2棘轮 3内 42 5锯4-3 选择题1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A8A 9A 10A 11A五、联接5-1 判断题1× 2√ 3√ 4× 5√ 6√ 7×8× 9× 10× 11× 12√ 13× 14×15× 16× 17√ 18× 19× 20√ 5-2 填空题1牙型 2大 3越高 4自锁性 54 6螺钉 7拧紧力矩 8防松 9一致 10摩擦 11直线 12梯形 13传力,传导,调整 14右 15轴和毂,挤压 16轴的直径,轴头 17A,B,C,C 18增加键的长度 19B 2080 5-3 选择题1B 2A 3A 4C 5D 6C 7B 8A 9A 10D 11B 12A 13B 14B 15C 16A 17B 18A 19A 20B 21A 22B 23A 24B 25C 26B 27D 28B 29C 30A 31A 32A 33A 34D 35A 36A 37A 38A 39A 40A 41A 42B 43A 44D 45A 5-4 解：该螺栓连接为松螺栓连接,其强度条件为：[]214Fσσπd =≤ 拉杆材料为Q235,其235MPa s σ=,取安全系数S =,则：[]235138.24MPa 1.7s σσS=== 则：114.56mm d ≥== 查教材表5-2可知,选小径d 1=,公称直径d =20mm 的粗牙普通螺纹; 答：拉杆螺纹的直径为M20;5-5 解：该螺栓连接为受横向工作载荷的紧螺栓连接,其强度条件为：[]215.2a e F σσπd =≤ 0Ra CF F F zmf=≥,查教材表5-2可知,M16的螺栓的小径d 1=;取C =,则： 答：该螺栓组能承受的横向载荷应不大于; 5-6 解：该螺栓连接为受轴向工作载荷的紧螺栓连接,其强度条件为：[]215.2a e F σσπd =≤ 各螺栓所受轴向工作载荷220005500N 4Q E F F n=== 各螺栓所受残余预紧力F R =,各螺栓所受总轴向拉力F a =F E +F R = F E =×5500=8800N拉杆材料为Q235,其235MPa s σ=,取安全系数S =,则：[]235156.67MPa 1.5s σσS===则：19.64mm d查教材表5-2可知,选小径d 1=,公称直径d =12mm 的粗牙普通螺纹; 答：所求螺栓直径为M12; 5-7 解：该螺栓连接为受横向工作载荷的紧螺栓连接,其强度条件为：[]215.2ae F σσπd =≤ 材料为35钢,其315MPa s σ=,取安全系数S =,则：[]315210MPa 1.5s σσS===查教材表5-2可知,M16的螺栓的小径d 1=;则：0Ra CF F F zmf=≥,[]221420.15 3.1413.83521024.27kN 5.2 5.2 1.2R zmf πd σF C ⨯⨯⨯⨯⨯≤==⨯答：允许承受的最大载荷不大于;5-8解：1确定螺杆的直径该螺栓连接为受轴向工作载荷的紧螺栓连接,其强度条件为：[]215.2a e F σσπd =≤ F a =W =20kN材料为45钢,其355MPa s σ=,该连接不需严格控制预紧力,取安全系数S =4,则：查教材表5-2可知,选小径d 1=,公称直径d =24mm 的粗牙普通螺纹; 2确定扳手手柄的最小长度查教材表5-2可知公称直径d =24mm 粗牙普通螺纹中径d 2=,则：122.05120221102.55mm 200ad F L F ⨯≥==,取L =1103mm 答：1螺杆直径为M24;2扳手手柄的最小长度为1103mm; 5-9解：1校核螺栓的剪切和挤压强度该螺栓连接为受横向工作载荷的铰制孔螺栓连接：剪切强度条件为：[]204F ττm πd =≤；挤压强度条件为：[]p 0p σδσ≤=d F查教材表5-3可知：级的螺栓的σbp =800Mpa ；σs =640Mpa ；查教材表5-4可知：s τ=,s p =则：[]640256MPa 2.5sτστS ===；bp p p800320MPa 2.5σσS ⎡⎤===⎣⎦ 2204424237.72MPa 256MPa /41 3.1412F τm πd ⨯===<⨯⨯；p 02423 5.27MPa<320MPa 2023F σd δ===⨯ 答：所用螺栓满足剪切和挤压强度要求 2平键的选择及强度校核选A 型平键,根据轴径和轴头长度,从设计手册中查得键的尺寸b =16mm,h = 10mm,L = 70mm;键的标记为：键 16×70 GB/T 1096 —2003;答：所选择的键不满足强度要求; 5-10解：该螺栓连接为受横向工作载荷的普通螺栓连接,其强度条件为：[]215.2a e F σσπd =≤ 级的螺栓的640MPa s σ=,取安全系数S =,则：[]640426.67MPa 1.5s σσS===取C =,则：31.263012.115kN 660.166510a CT F fr -⨯≥==⨯⨯⨯则： 查教材表5-2可知,可选小径d 1=,公称直径d =10mm 的粗牙普通螺纹; 答：螺栓直径为M10; 5-11解：该螺栓连接为受横向工作载荷的紧螺栓连接,其强度条件为：[]215.2ae F σσπd =≤ 受力分析如图所示将外载荷P 向螺栓组中心简化得螺栓组所受的转矩T 和横向载荷P 横向载荷P = 10000N ；转矩T =⨯ = 3000000 N ·mm,方向如图所示由于横向载荷作用每个螺栓受到的横向力1234100002500N 44P P P P P F F F F ======由于转矩作用每个螺栓受到的横向力12347071N 4T T T T T F F F F r ======由图可知,螺栓1、2所受的横向力相等,螺栓3、4所受的横向力相等,且螺栓1、2所受的横向力最大,其值为m =1,取C =,则：1 1.29013.867603.5N 10.16a CF F mf ⨯≥==⨯ 查设计手册可知,可选小径d 1=,公称直径d =36mm 的粗牙普通螺纹;答：该螺栓组螺栓的小径须大于,可选M36的螺栓;5-12 解：略 5-13解：1确定螺柱直径该螺栓连接为受轴向工作载荷的紧螺栓连接,其强度条件为：[]215.2a e F σσπd =≤ 每个螺栓平均承受的轴向工作载荷：223.1431607536N 448E πpDF z ⨯⨯===⨯ 取残余预紧力F R =,则各螺栓所受总轴向拉力F a =F E +F R = F E =×7536=级螺栓的400MPa s σ=,按控制预紧力取安全系数S =,则：[]400266.67MPa 1.5sσσS === 则：111.03mm d ≥查教材表5-2可知,可选小径d 1=,公称直径d =16mm 的粗牙普通螺纹; 2确定螺柱分布直径取螺柱间距为5d ,则055816203.82mm 3.14zd D π⨯⨯===,取D 0=200mm答：连接螺栓直径可选M16的粗牙普通螺纹,分布直径为200mm; 5-14解：1平键类型和尺寸选择安装齿轮处的键：选A 型平键,根据轴径和轴头长度,从设计手册中查得键的尺寸b = 25mm,h = 14mm,L =80mm;键的标记为：键 25×80 GB/T 1096 —2003;安装联轴器处的键：选A 型平键,根据轴径和轴头长度,从设计手册中查得键的尺寸b = 20mm,h = 12mm,L =100mm;键的标记为：键 20×100 GB/T 1096 —2003;2平键连接强度的校核安装齿轮处平键强度校核：()()p 4480046.18MPa 100~120MPa 90148025T σdhl⨯===<⨯⨯-安装联轴器处平键强度校核：()()p 4480047.62MPa 50~60MPa 701210020T σdhl⨯===<⨯⨯-所选择的平键满足强度要求 答：所选择的平键满足强度要求5-15解：1平键类型和尺寸选择选A型平键,根据轴径和轴头长度,从设计手册中查得键的尺寸b = 22mm,h = 14mm,L =100mm;此键的标记为：键 22×100 GB/T 1096 —2003;2传递的最大扭矩查教材表5-7得σp =100 ~ 120Mpa,取σp =120Mpa答：能传递的最大扭矩不大于·m;5-16解：1平键类型和尺寸选择选A型平键,根据轴径和轴头长度,从设计手册中查得键的尺寸b= 25mm,h= 14mm,L = 90mm;此键的标记为：键 25×90 GB/T 1096 —2003;2平键连接强度的校核所选择的平键满足强度要求答：所选择的平键为键 25×90 GB/T 1096 —2003;经验算该键满足强度要求;六、带传动和链传动6-1 判断题1× 2× 3√ 4√ 5× 6× 7×8√ 9× 10× 11√ 12× 13√ 14√15× 16× 17× 18× 19× 20× 21√22× 23× 24√ 25×6-2 填空题1中心角,120° 2两侧,40° 3梯形,7,Y4初拉力,摩擦系数,小轮包角 5越大 65~25 7小8带的基准长度 9平行,对称平面应在同一平面 10小11传动比 12张紧轮 13摩擦力 14可以15弹性滑动,打滑 16打滑 1710 18外19主 20小 214 22型号 23主24绳芯 25平均,瞬时 26链轮的多边效应27不能保持恒定的瞬时传动比；传动平稳性差；工作时有噪音等28偶,奇 29疲劳破坏,胶合 30外链板与销轴31制造精度的影响,致使各排链的载荷分布不均32大,跳齿 33少,冲击,动载荷6-3 选择题1C 2B 3B 4A 5A 6A 7C8A 9B 10B 11A 12A 13C 14A15C 16A 17A 18C 19A 20D 21D22A 23A 24B 25A 26A 27A 28A29D 30B 31B 32A 33B 34A 35B36A 37B 38C6-4解：1小轮包角2带的几何长度查教材表6-3可知,选带的基准长度L d=2800mm3不考虑带传动的弹性滑动时大带轮转速1221d d n d i n d ==,11221460150547.5r /min 400d d n d n d ⨯===4滑动率ε=时大带轮的实际转速()12211d d n d i n d ε==-,()()11221146015010.015539.3r /min 400d d n d εn d -⨯⨯-=== 答：1小轮包角为°；2带的几何长度为,应选带的基准长度2800mm ；3不考虑带传动的弹性滑动时大带轮转速min ；4大带轮的实际转速min;6-5解：1确定带的基准长度L d查教材表6-3可知,选带的基准长度L d =1600mm 2确定实际中心距a 取实际中心距a =530mm 3计算所需带的根数z查教材表6-5得P 0＝；查教材表6-6得ΔP 0＝；查教材表6-7得K α=；查教材表6-3,K L =,则：取z =3根答：1带的基准长度L d =1600mm ；2实际中心距a =530mm ；3所需带的根数为3根;6-6解：查教材表6-3可知,选带的基准长度L d =1600mm 取实际中心距a =460mm查教材表6-5得P 0＝；查教材表6-6得ΔP 0＝；查教材表6-7得K α=；查教材表6-3,K L =,查教材表6-8取工作情况系数K A =答：能传递的最大功率为; 6-7解： 1选择V 带型号查教材表6-8取工作情况系数K A =,故：c 1.17.58.25kW A P K P =⨯=⨯= 根据P c 和n 1,由图6-12选用A 型普通Ｖ带; 2确定大小带轮基准直径由1选择知小带轮基准直径d d1的取值范围为112~140mm,又由教材表6-5知此范围内d d1只有112mm 、125mm 、140mm 三种取值,现选取d d1=125mm;则：根据教材表6-2选从动轮基准直径d d2=280mm; 3验算带速带速在5~25m/s 范围内,带速合适; 4求V 带的基准长度和中心距初定中心距的取值范围0283.5810a ≤≤,现取初定中心距a 0=500mm 带的初定长度：查教材表6-3可知,选带的基准长度L d =1600mm 带传动的中心距：d d0016001648500476mm 22L L a a --≈+=+=取实际中心距a =476mm中心距变动范围为452~500mm 5验算小轮包角α1=°>120°,合适;6确定带的根数查教材表6-5得P 0＝；查教材表6-6得ΔP 0＝；查教材表6-7得K α=；查教材表6-3,K L =,则：取z =5根7计算单根Ｖ带的预紧力 查教材表6-1得q =m,则： 8计算带轮轴上的压力 9带轮结构设计略 6-8解： 1求链节数由教材表6-9查得链节距p=取链节数L p=1322求链所能传动的最大功率由教材图6-25查得P0=10kW,查表6-11得K A=,查表6-12得K Z=,单排链取K m=1,则：答：1链节数L p=132；2链所能传动的最大功率P=10kW;6-9解：由教材表6-9查得链节距为p=的链号为12A由n1=min、链号12A查教材图6-25可得P0=20kW6-10解：由教材表6-9查得满足极限载荷Q = 50kN的链号为16A,链节距为p=由教材图6-25查得P0=40kW,查表6-12得K Z=,单排链取K m=1,则：答：链能传递的功率为;6-11解：1选择链号由传动比i= 3查教材表6-10 取z1=25,则z2=i z1=3×25=75查表6-11取K A=,查表6-12取K z=,单排链取K m=1,由式6-22b得根据P0=和n l=720r/min查教材图6-25可选链号10A2确定润滑方式由表6-9查得链节距p=答：由链号10A,v=s,查图6-26,可选择油浴或飞溅润滑;6-12解：1两轮的合理转向如图所示2两轮的包角如图所示3V带与带轮接触处的弯曲应力分布如图所示,σb1＞σb24载荷过大时,打滑首先出现在小带轮处;由于小带轮上的包角小于大带轮上的包角,因此小带轮上的总摩擦力相应地小于大带轮上的总摩擦力,故打滑首先出现在小带轮处5d11 3.1410014607.64m/s 601000601000πd n v ⨯⨯===⨯⨯,带速在5~25m/s 范围内,带速合适6-13解：图a 、b 、c 所示的链传动布置中链轮均按逆时针旋转七、齿轮传动7-1 判断题1√ 2× 3× 4√ 5× 6× 7× 8√ 9× 10√ 11√ 12√ 13√ 14√ 15× 16× 17× 18√ 19× 20× 21× 22× 23× 24× 25× 26× 27√ 28× 29× 30√ 31× 32√ 33× 34× 35× 7-2 填空题1基圆,基圆 220° 3等于,大于 4恒定,不变 5两轮的模数相等、压力角相等 6≥1,实际啮合线段/基圆齿距 7轴向力,8°～25° 8两轮的模数相等、压力角相等、螺旋角大小相等方向相反9右,14°30′,3mm 10相切,相割,相离11正,弯曲 1217 13少,小 14≤350HBS,齿面点蚀 15轮齿折断 16高20～50HBS,5～10mm 17齿面磨损 18硬度 19相反,相同 20相同,不同 21多 22 2320～40 24少,大,弯曲 25浸油 2610 27直径大小 28500 29铸造30同时参加啮合的齿对数 7-3 选择题1B 2C 3A 4C 5B 6B 7C 8B 9C 10D 11D 12D 13A 14D 15B 16D 17A 18C 19A 20C 21A 7-4解：1啮合线N 1N 2如图所示；2节点P 如图所示；3两轮的节圆如图所示 7-5解：分度圆直径：11 2.52050mm d mz ==⨯=,22 2.540100mm d mz ==⨯= 齿顶圆直径：a11a (2)(2021) 2.555mm d z h m *=+=+⨯⨯=齿根圆直径：f 11a (22)(202120.25) 2.543.75mm d z h c m **=--=-⨯-⨯⨯= 基圆直径：b11cos 50cos 2046.985mm d d α==⨯= 标准中心距：125010075mm 22d d a ++=== 答：两轮的分度圆直径分别为50mm 、100mm,两轮的齿顶圆直径分别为55mm 、105mm,两轮的齿根圆直径分别为、,两轮的基圆直径分别为、,标准中心距为75mm;7-6解： 模数：12221204mm 2040a m z z ⨯===++ 分度圆直径：1142080mm d mz ==⨯=,22440160mm d mz ==⨯= 齿顶圆直径：a11a (2)(2021)488mm d z h m *=+=+⨯⨯=齿根圆直径：f 11a (22)(202120.25)470mm d z h c m **=--=-⨯-⨯⨯=答：两轮的模数为4mm,两轮的分度圆直径分别为80mm 、160mm,两轮的齿顶圆直径分别为88mm 、168mm,两轮的齿根圆直径分别为70mm 、150mm;7-7解：1验算齿面接触疲劳强度查表7-6取载荷系数K =,查表7-7取弹性系数Z E =22175325z u z ===,275mm b b ==,1132575mm d mz ==⨯= []Hlim H H S σσ=,查表7-4取Hlim1580MPa σ=、Hlim2300MPa σ=,Hlim Hlim2300MPa σσ== 查表7-8取H 1.1S =,[]Hlim H H300272.73MPa 1.1S σσ===满足齿面接触强度要求; 2验算齿根弯曲强度查图7-26得Y Fa1=、Y Fa2=,查图7-27得Y Sa1=、Y Sa2=[]FFE F S σσ=,查表7-4取FE1450MPa σ=、FE2230MPa σ=,查表7-8取F 1.25S =[]FE1F1F450360MPa 1.25S σσ===,[]FE2F2F 230184MPa 1.25S σσ=== 满足齿根弯曲强度要求;答：齿面接触强度和齿根弯曲强度均满足 7-8解：开式齿轮传动主要失效形式是齿面磨损和齿根折断, 由[]1Fa SaF F 212KTY Y bm z σσ=≤得齿轮所能传递的最大转矩21F 1max Fa Sa[]2bm z T K Y Y σ=⋅查表7-6取载荷系数K =,b =b 2=40mm查图7-26得Y Fa1=、Y Fa2=,查图7-27得Y Sa1=、Y Sa2=考虑磨损对齿厚的影响[]FE F F0.7S σσ=⨯,查表7-4取FE1FE2120MPa σσ==,查表7-8取F 1.3S =F1Fa1Sa 2[]64.6214.232.91 1.56Y Y σ==⨯,F2Fa2Sa2[]64.6216.362.27 1.74Y Y σ==⨯,F F1F2Fa Sa Fa1Sa1Fa2Sa2[][][]min ,14.23Y Y Y Y Y Y σσσ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭齿轮传动传递的最大功率1max 1max 66118583.33500.62kW 9.55109.5510T n P ⋅⨯===⨯⨯ 答：该齿轮传动所能传递的最大功率为; 7-9解：1选择材料、确定许用应力1由表7-4选小齿轮材料用38SiMnMo 调质,硬度为260HBS,σHlim1=720MPa,σFE1=590MPa,大齿轮材料为40Cr 调质,硬度为230HBS,σHlim2=700MPa,σFE2=580MPa;属软齿面传动,二者的硬度差为30HBS;2由表7-8取S H =,S F =,许用应力[]Hlim1H1H720654.55MPa 1.1S σσ===,[]H2700636.36MPa 1.1σ== []FE1F1F590472MPa 1.25S σσ===,[]F2580464MPa 1.25σ== 2按齿面接触强度设计 1设齿轮的精度等级为8级2齿轮齿数取z 1=25,z 2=iz 1=×25=80,实际传动比80 3.225i ==3小齿轮传递的转矩 4计算小齿轮分度圆直径由表7-6取载荷系数K =,由表7-9取齿宽系数d 1φ=,由表7-7取弹性系数Z E =2,则：5模数1153.24 2.13mm 25d m z ===,由表7-1取标准值m = 齿轮分度圆直径：11 2.52562.5mm d mz ==⨯=,22 2.580200mm d mz ==⨯=6齿宽d 1162.562.5mm b d φ==⨯=,取b 2=63mm,b 1=68mm7中心距3验算轮齿的弯曲强度由图7-26得齿形系数Y Fa1=,Y Fa2=,由图7-27得应力修正系数Y Sa1=,Y Sa2= 故所设计齿轮是安全的; 4齿轮的圆周速度查表7-5可知齿轮选用8级精度是合适的; 其他计算从略; 7-10解：1选择材料、确定许用应力1由表7-4大、小齿轮材料均选用40Cr 调质后表面淬火,小齿轮齿面硬度为52HRC,σFE1=720MPa,大齿轮齿面硬度为50HRC,σFE2=700MPa;属硬齿面传动;2由表7-8取S F =,考虑磨损对齿厚的影响,许用应力[]FE F F0.7S σσ=⨯[]FE1F1F7200.70.7403.2MPa 1.25S σσ=⨯=⨯=,[]F27000.7392MPa 1.25σ=⨯= 2按齿轮弯曲强度设计1齿轮齿数取z 1=17,z 2=iz 1=×17=,取z 2=73,实际传动比73 4.2917i ==2小齿轮传递的转矩 3计算齿轮模数由表7-6取载荷系数K =,由表7-9取齿宽系数d 0.6φ=由图7-26得齿形系数Y Fa1=,Y Fa2=,由图7-27得应力修正系数Y Sa1=,Y Sa2=Fa1Sa1F1 3.07 1.530.0116[]403.2Y Y σ⨯==,Fa2Sa2F2 2.26 1.750.0101[]392Y Y σ⨯== 由表7-1取m =3mm 4齿宽d 10.631730.6mm b d φ==⨯⨯=,取b 2=32mm,b 1=37mm其他计算从略; 7-11解： 螺旋角：n 12()4(2150)arccos arccos 184********m z z a β+⨯+'''===⨯ 分度圆直径：n 1142188.73mm cos cos184748m z d β⨯==='''齿顶圆直径：a11n 288.732496.73mm d d m =+=+⨯= 齿根圆直径：f11n 2.588.73 2.5478.73mm d d m =-=-⨯=答：螺旋角为847418'''︒,分度圆直径分别为、,齿顶圆直径分别为、,齿根圆直径分别为、;7-12解：小齿轮传递的转矩：6611109.55109.551079583.33N mm 1200P T n =⨯⨯=⨯⨯=⋅ 小齿轮分度圆直径：n 1132886.96mm cos cos15m z d β⨯=== 圆周力：1t1t 212279583.331830.34N 86.96T F F d ⨯==== 径向力：t1n r1r2tan 1830.34tan 20689.69N cos cos15F F F αβ⨯==== 轴向力：a1a 2t1tan 1830.34tan15490.44N F F F β===⨯= 答：作用在两个齿轮上的圆周力为,径向力为,轴向力为;7-13解：1选择材料、确定许用应力1由表7-4选大、小齿轮材料均用40Cr,并经调质后表面淬火,齿面硬度为50~55HRC,σHlim1=σHlim2=1200MPa,σFE1=σFE2=720MPa,属硬齿面传动;2由表7-8取S H =1,S F =,许用应力[][]Hlim1H1H2H12001200MPa 1S σσσ====,[][]FE1F1F2F 720576MPa 1.25S σσσ==== 2按齿根弯曲强度设计 1设齿轮的精度等级为8级2齿轮齿数取z 1=17,z 2=iz 1=×17=,取z 2=61,实际传动比61 3.5917i ==3小齿轮传递的转矩 4初选螺旋角β=15o 5计算法向模数由表7-6取载荷系数K =,由表7-9取齿宽系数d 0.5φ= 当量齿数：1v1331718.86cos cos 15z z β===,v236167.69cos 15z == 由图7-26得齿形系数Y Fa1=,Y Fa2=,由图7-27得应力修正系数Y Sa1=,Y Sa2=[]Fa1Sa1F1 2.97 1.550.0080576Y Y σ⨯==,[]Fa2Sa2F2 2.29 1.730.0069576Y Y σ⨯== 由表7-1取标准值m n = 6中心距n 12() 2.5(1761)100.94mm 2cos 2cos15m z z a β+⨯+===⨯,取实际中心距a =101mm7修正螺旋角 8齿轮分度圆直径n 11 2.51744.03mm cos cos15739m z d β⨯===''',n 22 2.561157.97mm cos cos15739m z d β⨯==='''9齿宽d 10.544.0322.02mm b d φ==⨯=,取b 2=25mm,b 1=30mm3验算齿面接触强度由表7-7取弹性系数Z E =2 所设计齿轮是安全的; 4齿轮的圆周速度查表7-5可知齿轮选用8级精度是合适的; 其他计算从略; 7-14解：分度圆锥角：11219arctanarctan 26335438z z δ'''===, 分度圆直径：1151995mm d mz ==⨯=,22538190mm d mz ==⨯= 齿顶圆直径：a1112cos 9525cos 263354103.94mm d d m δ'''=+=+⨯⨯= 齿根圆直径：f1112.4cos 95 2.45cos 26335484.27mm d d mδ'''=-=-⨯⨯=锥距：1106.21mm 2R === 齿顶角和齿根角：a f 1.2 1.25arctan arctan 31359106.21m R θθ⨯'''====顶锥角：a11a 26335431359294753δδθ'''''''''=+=+= 根锥角：f 11f 26335431359231955δδθ'''''''''=-=-=答：分度圆锥角分别为453326'''︒、66263'''︒,分度圆直径分别为95mm 、190mm,齿顶圆直径分别为、,齿根圆直径分别为、,锥距为,齿顶角和齿根角为95313'''︒,顶锥角分别为357429'''︒、50466'''︒,根锥角为559123'''︒;7-15解：小锥齿轮传递的转矩：661139.55109.551029843.75N mm 960P T n =⨯⨯=⨯⨯=⋅ 小锥齿轮分度圆直径：11425100mm d mz ==⨯= 小锥齿轮分度圆锥角：11225arctan arctan 22371160z z δ'''=== 小锥齿轮齿宽中点的分度圆直径：m111sin 10050sin 22371180.77mm d d b δ'''=-=-=圆周力：N d T F F m t t 98.78377.8075.29843221121=⨯=== 径向力、轴向力：N F F F t a r 28.248117322cos 20tan 98.738cos tan 1121='''︒⨯︒⨯===δα 答：作用在两个齿轮上的圆周力为,齿轮1的径向力和齿轮2的轴向力为,齿轮1的轴向力和齿轮2的径向力为;7-16解：1两图在K 点的圆周力和轴向力的方向如图所示 2两图各轮的转向如图所示 3斜齿轮的旋向如图所示 7-17解：1齿轮2的轮齿旋向及转动方向如图所示 2两轮在啮合点处各力的方向如图所示 7-18解：1从动轮2的转动方向如图所示 2各轮在啮合点处各力的方向如图所示 7-19解：1其它各轴的转向如图所示2齿轮2、3、4的轮齿旋向如图所示3各轮齿在啮合处的三个分力方向如图所示7-20解：1斜齿轮3和斜齿轮4的轮齿旋向如图所示2圆锥齿轮2和斜齿轮3所受各力的方向如图所示八、蜗杆传动8-1 判断题1× 2√ 3× 4× 5× 6× 7√ 8×9× 10√ 11× 12× 13√ 14× 15√8-2 填空题1斜,齿轮 2低,好,1、2、4、6 3越大 4低5合金钢,渗碳淬火,锡青铜 6m a1=m t2=m,αa1=αt2=α ,γ=β旋向相同7斜齿轮齿条的啮合 8mq 9直径系数 10蜗轮11浸油,压力喷油8-3 选择题1C 2A 3A 4A 5A 6A 7A8A 9A 10A 11A 12D 13B 14A15A 16A 17A 18B8-4解：1各图未注明的蜗杆或蜗轮的转动方向如图所示2a图蜗轮左旋,b图蜗杆左旋,c图蜗轮右旋,d图蜗轮右旋3各图蜗杆和蜗轮在啮合点处的各分力方向如图所示a bc d8-5解：1各轮的转动方向如图所示2斜齿圆柱齿轮3、4和蜗轮2、6的轮齿螺旋线方向如图所示 8-6解：25.1345312===z z i ,()()m m 5.157531055.05.02=+⨯⨯=+=z q m a 答：传动比为,标准中心距为; 8-7解：11轮为左旋,2轮为右旋,4轮为顺时针转动 22轮各分力的方向如图所示 3根据中心距相等2cos 2)(4321d d z z m a n +=+=β,解得9105120'''=β根据γtan 33mz d =,解得6381110'''=γ 34341213434ηηi i T i T T == 解得m N 03.4394⋅=T答：斜齿轮螺旋角为12°50′19″,蜗杆导程角11°18′36″,作用在蜗轮上转矩为·m8-8解：1蜗杆旋向如图所示,蜗轮右旋 2蜗轮啮合点处各力的方向如图所示3轴向力和圆周力方向反向,径向力方向不变 4m m 64881=⨯==mq d ,m m 48060822=⨯==mz d ,mm 272248064221=+=+=d d a 答：蜗杆的分度圆直径为64mm,蜗轮的分度圆直径为480mm,传动的中心距为272mm;九、轮系9-1 判断题1× 2√ 3× 4× 5× 6× 7√ 8√ 9√ 10× 9-2 填空题1固定 2周转 3首轮,末 4行星,差动 5行星,差动 6定轴,差动,行星 7行星轮,中心轮 8行星架 9－n H ,转化轮系 10大,简单 9-3 选择题1A 2B 3B 4C 5A 6B 9-4解：1根据213d r r +=和齿轮1、2、3模数相同得：60202202213=⨯+=+=z z z 2该轮系为定轴轮系,其传动比为： 3min r/45.1773.51001515===i n n 4各轮转向如图所示答：齿轮3的齿数为60,轮系的传动比为,n 5大小为min,各轮的转向如图所示; 9-5解：1该轮系为定轴轮系,其传动比为：2各轮转向如图所示答：n 4的大小为min,各轮的转向如图所示; 9-6解：1该轮系为定轴轮系,其传动比为： 2各轮转向如图所示答：n 8的大小为40r/min,各轮的转向如图所示; 9-7解：1该轮系为周转轮系,其传动比为： 25.128010003113－－===n n i 答：n 3=－80 r/min ,i 13=－; 9-8解：1根据2231r r r r ++='和各轮模数相等得：202025652213==='－－－－z z z z 2该轮系为周转轮系,其传动比为：n H 的转向与n 1相同答：齿轮3的齿数为20,n H 的大小为min,n H 的转向与n 1相同; 9-9解：该轮系为周转轮系,其传动比为：n H 的转向与n 1相反答：行星架H 的转速的大小为min,n H 的转向与n 1相反; 9-10解：1该轮系为周转轮系,其自由度F =3n ―2p l ―p h =3×4―2×4―3=1,该轮系为行星轮系2该轮系为周转轮系,其传动比为：208013213231H 13－－－－－====z z z z z z n n n n i H H ,03=n =H i 1 5n 1与n H 转向相同答：图示轮系为行星轮系,轮系的传动比为5,n 1与n H 转向相同;十、轴承10-1 判断题1× 2√ 3× 4√ 5× 6√ 7× 8√ 9√ 10× 11√ 12√ 13× 14× 15√ 10-2 填空题1滑动,滚动 2承受轴向载荷,轴向承载,越大3外圈,内圈,滚动体,保持架 4阻力小,冲击 5向心,推力 660 7深沟球轴承,6312 8轴向承载 9点蚀,磨损,塑性变形 10接触式,非接触式 11外圈,承载 12液体摩擦,非液体摩擦 13向心,推力 14散热,减小接触应力,吸振,防锈 15内表面 16间歇,低,轻 17滑动18形成楔形油楔,相对运动,有一定粘度的润滑油 19低,高 20磨损,胶合10-3 选择题1D 2A 3A 4D 5C 6B 7B 8A 9C 10B 11A 12A 13A 14A 15B 16C 17A 18A 19A 20A 21A22D 23C 24A 25A 26C 27A 28A 29B 30A 10-4解： 1初选轴承型号由于轴径已确定,所以采用验算的方法确定轴承的型号;初选6207轴承,查教材附表3得6207轴承的C =25500N,C 0r =15200N2求当量动载荷F a /C or = 720/15200= ,根据F a /C or 值由教材表10-7线性插值求e 值0.220.260.220.0470.0280.0560.028e --=--,0.247e = F a /F r =720/1770=>e ,由教材表10-7查得X =,根据F a /C or 值由教材表10-7线性插值求Y 值1.99 1.71 1.990.0470.0280.0560.028Y --=--, 1.8Y = P =XF r +YF a =×1770+×720=3求轴承寿命查教材表10-8取f t =1,表10-9取f p = 所选轴承6207不合适改选6307轴承按照上述步骤重新计算,此处不再详细计算,只给出计算结果如下：C =33200N,C 0r =19200N,F a /C or = ,e =,F a /F r =>e ,X =,Y =,P =,L h =12089h>6000h答：所选轴承6307合适 10-5解：P =F r =1500N,查教材表10-8取f t =1,表10-9取f p =,查教材附表3得6309轴承的C =52800N答：该轴承满足使用寿命要求 10-6解： 1选择轴承根据轴承类型为角接触球轴承和轴颈70mm 从表中选择7214C 轴承 2计算轴承寿命P =40600N,查教材表10-8取f t =1,表10-9取f p =,从表中查得7214C 轴承的C =69200N3判断轴承的压紧和放松当A +S 2<S 1时,轴承1被压紧,轴承2被放松答：1选择7214C 轴承；2轴承寿命为13340h ；3当A +S 2<S 1时,轴承1被压紧,轴承2被放松;10-7解：1求轴承所受的径向力80802800933.3N 240240r rC F F ⨯===,2800933.31866.7N rD r rC F F F =-=-= 2确定轴承内部附加轴向力的方向：S C 向左,S D 向右 3求轴承的内部附加轴向力S C ==×=,S D ==×=4求轴承的轴向力A +S D =750+=>>S C ,所以轴承C 被压紧,轴承D 被放松 F aC = A +S D =,F aD = S D =答：F aC =,F aD =10-8解：1确定轴承内部附加轴向力S的方向：S1向左,S2向右2求轴承的内部附加轴向力S1==×1400=952N,S2==×900=612N3求轴承的轴向力A+S2=800+612=1412N>952N>S1,所以轴承1被压紧,轴承2被放松F a1= A+S2=800+612=1412N,F a2= S2=612N4求轴承的当量动载荷查教材表10-7知7210AC轴承的e=F a1/ F r1＝1412/1400＝>= e,查教材表10-7取X1＝,Y1＝F a2/ F r2＝612/900＝= e,查教材表10-7取X2＝1,Y2＝0P1＝X1F r1+Y1F a1=×1400+×1412=P2＝X2F r2+Y2F a2=1×900+0×612=900NP=max{P1,P2}=5求轴承寿命查教材表10-8取f t=1,查教材附表4得7210AC轴承的C=40800N, 答：该轴承的寿命为;10-9解：1确定轴承内部附加轴向力S的方向：S1向右,S2向左2求轴承的内部附加轴向力查设计手册得30212轴承的e=,Y=S1=F r1 /2Y=4800/3=1600N,S2=F r2 /2Y=2200/3=,3求轴承的轴向力A+S1=650+1600=2250N>>S2,所以轴承2被压紧,轴承1被放松F a1=S1=1600N,F a2= A+S1=2250N4求轴承的当量动载荷F a1/ F r1＝1600/4800＝<= e,查教材表10-7取X1＝1,Y1＝0F a2/ F r2＝2250/2200＝>= e,查教材表10-7取X2＝,Y2＝P1＝X1F r1+Y1F a1=1×4800+0×1600=4800NP2＝X2F r2+Y2F a2=×2200+×2250=4255NP=max{P1,P2}=4800N5求轴承寿命查教材表10-8取f t=1,10-9取f p=,查教材附表5得30212轴承的C=102000N, 答：该对轴承合适10-10解：1初选轴承型号由于轴径已确定,所以采用验算的方法确定轴承的型号;初选30207轴承,查设计手册得30207轴承的e=,Y=,C=54200N2求轴承所受的径向力119519527102072.4N 60195255rr FF⨯===+,2127102072.4637.6Nr r rF F F=-=-=3确定轴承内部附加轴向力S的方向：S1向右,S2向左4求轴承的内部附加轴向力S1=F r1 /2Y==,S2=F r2 /2Y==,5求轴承的轴向力A +S 2=960+=>>S 1,所以轴承1被压紧,轴承2被放松 F a1=A +S 2=,F a2= S 2=6求轴承的当量动载荷F a1/ F r1＝＝>= e ,查教材表10-7取X 1＝,Y 1＝ F a2/ F r2＝＝<= e ,查教材表10-7取X 2＝1,Y 2＝0 P 1＝X 1F r1+Y 1F a1=×+×= P 2＝X 2F r2+Y 2F a2=1×+0×= P =max{P 1,P 2}=7求轴承寿命查教材表10-8取f t =1,10-9取f p = 答：选用30207轴承合适 10-11解： 1选择轴承材料选择轴承材料为ZCuSn10P1,查教材表10-16得ZCuSn10P1的p =15Mpa,pv =15Mpa ·m/s,v =10m/s2选择轴承宽径比据径向滑动轴承宽径比的选择范围,选取B/d =1,B =1×100 =100mm 3验算轴承工作能力 压强p 的验算：[]r 200002MPa<15MPa=100100F p p Bd ===⨯ pv 的验算：[]r 20000120012.57MPa m/s<15MPa m/s=1910019100100F n pv pv B ⨯===⋅⋅⨯v 的验算：[]3.1410012006.28m/s<10m/s=601000601000πdn v v ⨯⨯===⨯⨯答：从上面的验算可知所选择的轴承材料合理10-12解： 1选择轴承材料选择轴承材料为ZCuSn5Pb5Zn5,查教材表10-16得ZCuSn10P1的p =8Mpa,pv =15Mpa ·m/s,v =3m/s2验算轴承工作能力 压强p 的验算：[]r 50000.16MPa<8MPa=200160F p p Bd ===⨯ pv 的验算：[]r 50003000.39MPa m/s<15MPa m/s=1910019100200F n pv pv B ⨯===⋅⋅⨯v 的验算：[]3.141603002.51m/s<3m/s=601000601000πdn v v ⨯⨯===⨯⨯答：从上面的验算可知所选择的轴承材料合理 10-13解： 1查许用值查教材表10-16得ZCuSn10P1的p =15Mpa,pv =15Mpa ·m/s 2由压强p 确定的径向载荷 3由pv 确定的径向载荷答：轴承的主要承载能力由pv 确定,由2和3可知,该轴承的最大径向载荷为23875N;十一、轴11-1 判断题1× 2× 3× 4× 5√ 6√ 7× 8√ 9√ 10√ 11× 12× 13× 14× 15√ 11-2 填空题1转轴,心轴,传动轴 2心,转 3回转 4轴径5轴向定位,工作 6相对转动,键连接,花键连接 7轴端,轴向 83nPC d ≥ 9[]w 1-3e e 1.0σσ≤=d M 10应力集中 11-3 选择题1A 2A 3A 4A 5B 6A 7B 8A 9A 10C 11A 12A 13A 14A 15A 16A 11-4解：材料为40Cr 的传动轴,C 取小值98,则：07mm .5280129833=⨯=≥n P C d ,圆整为标准值取d =56mm答：轴的直径可取56mm; 11-5解：由[]3T 62.01055.9nP d τ⨯≥得[]631055.92.0⨯≤nd P T τ,则： 答：该轴能传递的最大功率为; 11-6解： 1计算支反力425.5r/min 1212==n z z n ,mm 246886N 1055.9262⋅=⨯=n PT 圆周力F t ：N 21667632468862222t =⨯⨯==d T F 合力F n ：N 230520cos 2166cos 0t n ===αF F 支反力：N 5.11522n r2r1===FF F2计算弯矩并绘制弯矩图。

《模拟电子技术基础》教案 1、本课程教学目的本课程是电气信息类专业的主要技术基础课。

其目的与任务是使学生掌握常用半导体器件和典型集成运放的特性与参数，掌握基本放大、负反馈放大、集成运放应用等低频电子线路的组成、工作原理、性能特点、基本分析方法和工程计算方法；使学生具有一定的实践技能和应用能力；培养学生分析问题和解决问题的能力，为后续课程和深入学习这方面的内容打好基础。

2、本课程教学要求1．掌握半导体器件的工作原理、外部特性、主要参数、等效电路、分析方法及应用原理。

2．掌握共射、共集、共基、差分、电流源、互补输出级六种基本电路的组成、工作原理、特点及分析，熟悉改进放大电路，理解多级放大电路的耦合方式及分析方法，理解场效应管放大电路的工作原理及分析方法，理解放大电路的频率特性概念及分析。

3．掌握反馈的基本概念和反馈类型的判断方法，理解负反馈对放大电路性能的影响，熟练掌握深度负反馈条件下闭环增益的近似估算，了解负反馈放大电路产生自激振荡的条件及其消除原则。

4．了解集成运算放大器的组成和典型电路，理解理想运放的概念，熟练掌握集成运放的线性和非线性应用原理及典型电路；掌握一般直流电源的组成，理解整流、滤波、稳压的工作原理，了解电路主要指标的估算。

3、使用的教材杨栓科编，《模拟电子技术基础》，高教出版社主要参考书目康华光编，《电子技术基础》（模拟部分）第四版，高教出版社童诗白编，《模拟电子技术基础》，高等教育出版社，张凤言编，《电子电路基础》第二版，高教出版社，谢嘉奎编，《电子线路》（线性部分）第四版，高教出版社，陈大钦编，《模拟电子技术基础问答、例题、试题》，华中理工大学出版社，唐竞新编，《模拟电子技术基础解题指南》，清华大学出版社，孙肖子编，《电子线路辅导》，西安电子科技大学出版社，谢自美编，《电子线路设计、实验、测试》（二），华中理工大学出版社，绪论本章的教学目标和要求要求学生了解放大电路的基本知识；要求了解放大电路的分类及主要性能指标。

选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章 空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0， 即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →， 即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)， 即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线． 又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上， 即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →， 从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1， 由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心， 则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1， 则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14， 所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]， 所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， 所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)， 则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )， 又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )， 所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线， 所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →， 故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )， 则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )， 因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0， 所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)， 所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )。

第一章习题答案A 选择题1.4.1（A ） 1.4.2（C ） 1.4.3（C ） 1.4.4（B ） 1.5.1（B ） 1.5.2（B ） 1.6.1（B ） 1.6.2（B ） 1.8.1（B ） 1.9.1（B ） 1.9.2（B ）1.9.3 （B ） 1.11.1(A) 1.12.1(B) 1.12.3 (B) 1.12.4 (B) 1.12.5 (B) B 基本题1.4.5 （1）略 （2）元件1和2为电源 ，元件3，4和5为负载（3）（-560-540+600+320+180）*w=0 平衡1.4.6 380/(2110/8+R)=8/110，所以R ≈3.7K Ω，W R =（8/110）2×3.7K ≈20W 1.4.7 电阻R=U/I=6/50*310-=120Ω，应选者（a ）图.1.4.8 解：220/（R1+315）=0.35A ，得R1≈314Ω.220/（R2+315）=0.7A ， 得R2≈0Ω.1.4.9(1)并联R2前，I1=E/(0R +2R e +1R )=220/（0.2+0.2+10）≈21.2A. 并联R2后，I2=E/(0R +2R e +1R ∥2R )≈50A.(2)并联R2前，U2=R1*I1=212V,U1=(2R e +1R )*I1=216V. 并联R2后，U2=(1R ∥2R )*I1=200V,U1=2R e +1R ∥2R =210V. (3)并联R2前，P=212*21.2=4.5KW. 并联R2后，P=200*50=10KW.1.5.3 I3=I1+I2=0.31ｕA ，I4=I5-I3=9.61-0.31=9.3ｕA ，I6=I2+I4=9.6ｕA. 1.6.3 因为电桥平衡，所以不管S 断开还是闭合 abR =5R ∥（1R +3R ）∥（2R +4R ）=200Ω. 1.6.4 解：aU=1U =16V,b U =＜[(45+5) ≈5.5]+45＞×16/＜[(45+5) ∥5.5] ∥5.5+45＞≈1.6.cU=（45+5）∥5.5×b U /总R ≈b U /10=0.16V ，同理dR ≈cU/10=0.016V.1.6.5 解：当滑动端位于上端时，2U =（R1+RP ）1U /（R1+RP+R2）≈8.41V. 当滑动端位于下端时，2U =R2*1U /（R1+RP+R2）≈5.64V. 所以输出范围为5.64-8.14. 1.6.61.7.1 解：等效电路支路电流方程：IL=I1+I2E2-RO2*I2+RO1*I1-E1=0 RL*IL+RO2*I2-E2=0 带入数据得I1=I2=20A,IL=40A1.8.2解：先利用叠加定理计算R 1上的电流 分成两个分电路 ① U 1单独作用：解A 5212111R )//R (R R U I 43211'1=++=++=② I S 单独作用： 分流A R 545.0112*1稩)//(R R R R I S32144''1=++=++=所以A 56I I I ''1'11=+=, A53I *0.5I 13==1.9.4解：根据KCL 得 则1A 1-2I -I I 123===40V2*1020I R U U 20V,1*20I R U 2212311=+=+====1A 电流源吸收的功率:20W 1*20I U P 111=== 2A 电流源吸收的功率:-80W2*-40I -U P 222===R 1电阻吸收功率:20W 1*20I R P 2231R1===R 2电阻吸收功率:40W 2*10I R P 2222R 2===1.9.5解：将电流源转换成电压源，如下图则(1//1)1121I 1+++=,53I 3=A1.9.6解：将两个电压源转换成电流源再合并为一个1A 21122-8I =+++=1.9.7解：设E 单独作用u ab’= E/4 = 1/4 ×12 = 3V则两个电流源作用时u ab’’= u ab - u ab’=10-3=7V1.10.1解：设1Ω电阻中的电流为I（从上到下）U o c=4×10－10 = 30VR eq=4ΩI=30/(4+1)= 6A 1.10.2解：先利用电源等效变换得下图：AR U I R V U OCOC 124682eq eq =+=Ω==+-=则1.10.3解：先利用网孔电流法解出21,I IAR U I R V I I U A I AI I I I I OCOC 510050410205512014101501020eq eq 21212121-=+=∴=-=--=∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=-1.10.4 解：先用网孔法求出1I114228102471028224)43(1212221I R R R I R U U A I I I A I A I I U I R I R R EQOC 的电流从下到上为该Ω===-=-==⇒⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧===-+1.10.5 解：设有两个二端口网络等效为则（a ）图等效为有U 1=E 1=4V（b ）图等效为有I1=2E1/2R1=4/R1=1A =>R1=4ΩI=4/4+1=4/5A1.11.4 解：V AV B VAV AV C V B1.12.9 解：1.开关第一次动作uc(0+)=uc(0-)=10v从1-72后, uc(--)=0, t放=RC=10msUc(t)=10exp(-100t)V(0<=t<= )Uc(t)=10exp(-1)v=3.68v2.开关第二次动作Uc(t+)=uc(t-)=3.68vUc(--)=10, t充=10/3msUc(t)=10-6.32exp(-300(t-0.01))vUc(2*10E-2s)=10-6.32exp(-3)v=9.68v3.开关第三次动作Uc(0.02+)=uc(0.02-)=9.68vuc(--)=0 t=10msuc(t)=9.68exp(-100(t-0.02))1.12.10 解：i(0+)=i(0-)=-6/5AI(--)=6/5AT=i/R=9/5sI(t)=6/5-12/5exp(-5/9t)A利用叠加法得：i(t)=9/5-8/5exp(-5/9t)A1.11.2 解：VX UA S VX UA 212209.23128.51220209.3324S =+-=-=+++-=闭合时，断开时， 1.11.3 解： 利用叠加定理计算7/100'''7200)3//2(2)50(3//2''v 50.27100)3//2(1503//2'v 50.1-=+=∴-=+-=-=+=VA VA VA R R R X R R VA R R R X R R VA 单独作用单独作用1.12.6 解：（a ）i(0+)=i(0-)=0,i(∞)=3A（b ）i(0+)= i(0-)=0,i(∞)=1.5A （c ）i(0+)= i(0-)=6A,i(∞)=0 （d ）i(0+)= i(0-)=1.5A,i(∞)=1A1.12.7 解: uc(0+)=uc(0-)=R3I=60V Uc(∞)=0τ=RC=[(R2//R3)+R1]C=10mS ∴ Uc(t)=60e-100ti1(t)=Uc(t)/(R1+(R2//R3))=12e-100t mA1.12.8 解: uc(0+)=uc(0-)=54V Uc(∞)=18v τ=RC=4mSUc(t)=36e-250t+181.9.9 解: (1) 利用叠加定理求IU1单独作用:I’=U1/(R1+R)=5AIS单独作用:I’’=R1/(R1+R) IS=1AI=6A(2) KCL: IR1=IS-I=-4AIR3=U1/R3=2AIU1=IR3-IR1=6AUIS=RI+R2IS=10V(3) PU1=60WPIS=20WPR3=20W PR1=16W PR2=8W PR=36PU1+PIS=PR1+PR2+PR3+PR=80W 功率电工学简明教程第二版（秦曾煌主编）习题A选择题2.1.1（2） 2.2.1（2） 2.2.2 （1）2.3.1（1） 2.3.2（3） 2.4.1（2）2.4.2（3） 2.4.3（2） 2.4.4（1）2.5.1（2）（4）2.5.2（1） 2.7.1（1）第2.2.2题2.8.1（3） 2.8.2（2） 2.8.3（3）2.8.4（3）B基本题2.2.3U=220V,错误!未找到引用源。

四年级语文上册第12课《盘古开天地》课时练习题（含答案）第一部分基础巩固1．下面加点字注音全对的一项是（）A．混．沌（hún）咔嚓．（chā）巍峨．（é）B．四肢．（zhī）躯．干（qū）奔．腾（bēn）C．滋．润（zhī）劈．开（pǐ）裂缝．（fèng）D．宇宙．（zhòu）斧．头（hǔ）撑．起（chēng）2．根据课文内容，下列文言文句子排序最恰当的一项是（）。

（选做题）①万八千岁，天地开辟，阳清为天，阴浊为地。

②如此万八千岁，天数极高，地数极深，盘古极长。

③天日高一丈，地日厚一丈，盘古日长一丈。

④天地混沌如鸡子，盘古生其中。

⑤盘古在其中，一日九变，神于天，圣于地。

A．⑤①③②④B．④①⑤③②C．④③①②⑤D．④②⑤①③3．下列说法符合文意的是（）A．没有盘古就没有我们人类，所以我们应该记住他。

B．盘古用他的整个身体创造了美丽的世界，他的这种无私奉献的精神值得我们学习。

4．下列句子的修辞手法与其他三项不同的一项是（）A．天和地还没有分开，宇宙混沌一片，像个大鸡蛋。

B．盘古这个巍峨的巨人就像一根柱子，撑在天和地之间，不让它们重新合拢。

C．各种想法在他脑子里像火花一个个爆发，然后又熄灭了。

D．秋雨就像是要停了一样，我估计太阳要出来了。

5．根据课文内容填空。

（1）《盘古开天地》是____________，作者____________。

讲述了_________________的故事。

作者用神奇的想象、生动准确的语言塑造了_______________的形象，赞美了______________。

同时也让我们懂得___________________ ___。

（2）盘古创造宇宙前是什么样子的？___________________ _________________ （3）这样过了一万八千年，天升得高极了，地变得厚极了。

盘古这个巍峨的巨人就像一根柱子，撑在天和地之间，不让它们重新合拢。

部编版六年级语文第12课《为人民服务》课时练习题（含答案）一、基础巩固1．读拼音，写词语。

gé mìng hóng máo yāpòchè dǐjìtuōxīng wàng mù biāo xī shēng2．下列词语中没有错别字的一项是（）A．砌底迁移解救目标野炊B．剥削压泊缺点批评牺牲C．责任秦山奋斗目标埋葬D．兴旺必要制度寄托寓弄3．下列对词语中加点字的解释不正确的一项是（）A．鼎．力相助：大。

B．鼎．盛时期：正当，正在。

C．革故鼎．新：建立D．大名鼎鼎．．：古代煮东西用的器物。

4．依次填入下面横线上的词语，恰当的一组是（）季羡林先生那种朴实平和的___________，那种宽厚仁慈的___________，至今还在我心中留下_____________的印象。

A．品德风度深刻B．习惯态度深远C．品质胸怀深刻D．习气意志深厚5．下列句子中，加点的成语使用不正确的一项是（）A．正月十五，处处张灯结彩．．．．，整条大街像是办喜事，红火而美丽。

B．全场沸腾了，雷鸣般的掌声经久不息．．．．。

C．每天早晨，同学们从五湖四海．．．．赶来，走进学校上课。

D．见微知著、善于发问并不断探索的能力，不是凭空产生的。

6．下列对于课文内容理解有误的一项是（）A．文章是毛泽东于1944年9月8日在张思德同志追悼会上所作的演讲。

B．课文从正确对待批评、搞好团结两个方面来说明要完全彻底地为人民服务。

C．本文的论点是完全、彻底地为人民服务。

D．文中采用了引用、对比、举例子等方法进行论证。

7．比一比，再组词鸿( )迁( )族( )鼎( )宏( )忏( )旅( )顶( )8．选择恰当的词语填在括号里。

危险危急危难（1）越是有( )，我们越应该冲上前去。

（2）在这( )关头，消防战士赶来了。

（3）一个人在( )的时候，更需要别人的帮助。

不是……而是……只有……才……虽然……但是……（4）评委们一致认为( )具备这种素质的人，( )是真正的世界一流的音乐指挥家。

统编版三年级语文上册第12课《总也倒不了的老屋》同步练习题（含答案）一、基础练习1．看拼音，写词语。

zhǔn bèi chībǎo piào lianɡqiánɡ bì bào yǔzhīzhū2．下面加点字读音全部正确的一项是（）A．喵．喵（miǎo）孵．小鸡（fú）B．凑．近（zòu）叽．喳（jī）C．屋檐．（yán）偶．尔（ǒu）D．砍．倒（kǎn）晒．太阳（sài）3．下面的句子中，标点符号有错误的一句是（）。

A．小猫从破窗户里跳了出来：“喵喵，谢谢！”B．“我觉得很难。

”小狗对小公鸡说道。

C．“等等，老屋！”一个小小的声音在它门前响起，“再过二十几天，行吗？”D．一只小蚂蚁在队列里嘀咕：“要是偷嘴的是您呢？”蚂蚁队长说，“照样要受处罚。

”4．下列哪个句子是病句？（）A．小弟弟正在搭积木，突然他大声哭了起来。

B．小明按照爸爸的说法，果然找到了北斗七星。

C．妈妈说今天天气闷热，会下雨。

傍晚忽然下起大雨。

D．我以为小狗看见我会大声叫，没想到它居然摇尾巴。

5．下列关于老屋不倒的原因叙述不正确的一项（）A．小猫找不到安心睡觉的地方。

B．老母鸡找不到安心孵蛋的地方。

C．小蜘蛛找不到安心织网抓虫的地方。

D．老屋还想坚持站着。

6．下列词句说明老屋越来越老分析错误的一项是（）A．“使劲往前凑”说明老屋眼睛老花了。

B．“墙壁吱吱呀呀地响”说明老屋墙壁不结实了。

C．“眼睛眯成一条线”说明老屋眼睛看不清东西了。

D．“它就开始听小蜘蛛讲故事”说明老屋老了喜欢听故事。

7．形近字组词。

洞( ) 准( ) 暴( ) 壁( ) 撞( ) 抱( )同( ) 堆( ) 瀑( ) 碧( ) 童( ) 饱( )8．写出下列句子运用了什么描写方法？A、心理描写B、动作描写C、语言描写（1）老屋低头看看，把老花的眼睛使劲往前凑，眼睛眯成一条缝。

环境工程微生物学课后习题答案（周群英第四版）目录环境工程微生物学................................................................................... 错误!未定义书签。

绪论 (2)1、何谓原核微生物？它包括哪些微生物？ (2)2、何谓真核微生物？它包括哪些微生物？ (2)3、微生物是如何分类的？ (2)6、写出大肠埃希氏杆菌和桔草芽孢杆菌的拉丁文全称。

(2)7、微生物有哪些特点？ (2)第一章病毒 (2)第二章原核微生物 (7)1、细菌有哪几种形态？各举一种细菌为代表。

(7)2、细菌有哪些一般结构和特殊结构？它们各有哪些生理功能？ (7)3、荚膜、粘液层、菌胶团和衣鞘 (7)第三章真核微生物 (12)第四章微生物的生理 (15)第五章微生物的生长繁殖与生存因子 (20)第六章微生物的遗传与变异 (28)第七章微生物的生态 (35)第八章微生物在环境物质循环中的作用 (40)第九章水环境污染控制与治理的生态工程及微生物学原理 (44)第十章有机固体废物与废弃的微生物处理及微生物群落 (48)第十一章有机固体废物与废气的微生物处理及其微生物群落 (54)1，何谓堆肥法，堆肥化和堆肥？ (54)2，叙述好氧堆肥的机理。

参与堆肥发酵的微生物有哪些？ (54)3，好氧堆肥的运行条件有哪些？ (55)4，好氧堆肥法有几种工艺？简述各个工艺的过程。

(55)第十二章微生物学新技术在环境工程中的应用 (60)1. 酶制剂剂型有几种？ (60)2. 何谓固定化酶和固定化微生物？ (60)3. 酶和酶菌体固定化方法有哪几种？各用什么载体？ (60)4. 固定化酶和固定化微生物有什么优点？存在什么问题？ (60)5. 生物膜是固定化微生物吗？为什么？ (60)6. 何谓表面活性剂？生物表面活性剂有哪几类？ (60)7. 絮凝剂有几类？微生物絮凝剂在污水生物处理中起什么作用？ (60)8. 叙述污水处理中微生物絮凝剂的作用原理？ (60)9. 微生物制剂有哪些用途？ (60)10. 有几种产氢微生物？它们是如何产氢的？ (61)11. 请叙述微生物产氢电池的工作原理。

人教版八年级数学上册12章三角形全等之倍长中线（讲义）➢课前预习1.填空（1）三角形全等的判定有：三边分别___________的两个三角形全等，即（____）；两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）；斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）．（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明，其中AAA，SSA不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．2.想一想，证一证已知：如图，AB与CD相交于点O，且O是AB的中点．（1）当OC=OD时，求证：△AOC≌△BOD；（2）当AC∥BD时，求证：△AOC≌△BOD．O BCA➢知识点睛1.“三角形全等”辅助线：见中线，要__________，________之后______________．2. 中点的思考方向：①（类）倍长中线D C BAMAB CD延长AD 到E ，使DE =AD ， 延长MD 到E ，使DE =MD ， 连接BE 连接CE②平行夹中点F EDCBA延长FE 交BC 的延长线于点G➢ 精讲精练1. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ． （2）求证：△ACD ≌△EBD ． （3）求证：AB +AC >2AD ．D A（4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．D CB ADB A4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF=∠EAF．5.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．求证：AD为△ABC的角平分线．FED CAGFE DB A6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE的长．7. 如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．GFE DCAGF EDCBAFE DCB A【参考答案】➢课前预习1.（1）相等，SSS；夹角，SAS；夹边，ASA；对边，AAS；直角，HL（2）全等，三，边2.（1）证明：如图∵O是AB的中点∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ） ➢ 精讲精练 1. 解：（1）如图，21BCDA（2）证明：如图， ∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） （3）证明：如图，∵△BDE ≌△CDA ∴BE =AC ∵DE =AD ∴AE =2AD在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （4）在△ABE 中， AB -BE <AE <AB +BE由（3）得AE =2AD ，BE =AC ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE∴AB =AC3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线21EDCBA∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CDCB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3321MA BCDEF∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC∴∠3=∠G ∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3G AFD GFC DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG ∵AD =2.7 ∴CG =2.7 ∵AE =BE ∴∠1=∠B321MABCD EF G∵AB ⊥AF ∴∠1+∠2=90° ∠B +∠G =90° ∴∠2=∠G ∴EG =AE =5 ∴CE =EG -CG=5-2.7=2.37. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90° ∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG ∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB ∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG⊥CG，∠3=∠4=45°∴∠2=∠3=45°∴EG=CG三角形全等之倍长中线（随堂测试）1.在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是_______________．思路分析：①画出草图，标注条件：②根据题目条件，见_________，考虑_____________；添加辅助线是______________________________________；③倍长之后证全等：__________≌___________（），证全等转移边：______=_______；④全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到AB的取值范围．2.如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，且AG=1，BF=2．若GE⊥EF，则GF的长为多少？【参考答案】GFEADBC1. 3<AB <13①图略②中线AD 倍长中线延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ③△ADC △EDB SAS ACEB ④略2. AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，平行夹中点；AG =BH ，GE =HE ；到线段两端点的距离相等，FH ，AG +BF 解：如图，延长GE 交CB 的延长线于点H ∵AD ∥BC ∴∠GAE =∠HBE ∵E 为AB 边的中点 ∴AE =BE在△AGE 和△BHE 中，AEG BEH AE BEGAE HBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGE ≌△BHE （ASA ） ∴BH =AG ，HE =GE ∵GE ⊥EF ∴GF =HF ∵BF =2，AG =1 ∴GF =HF =BF +BH =BF +AG =2+1 =3三角形全等之倍长中线（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．A B D CE F【思路分析】 读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示：②考虑倍长AE ，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中， ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩？？FE C D BA AB DCE F？？GG？？FECDBA AB D CE F？？∴△DEF≌△CEG（SAS）∴DF=CG，∠DFE=∠G∵DF=AC∴CG=AC∴∠G=∠CAE∴∠DFE=∠CAE∵DF∥AB∴∠DFE=∠BAE∴∠BAE=∠CAE∴AE平分∠BAC➢巩固练习1.已知：如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，点D为BC边的中点，且AD是整数，则AD=________．A2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．ADF ECBEFAD C3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．求证：EF=2AD．4.如图，在△ABC中，AB >AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：GFE D CAFEDB CA➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题．方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BECDB A21ECDBA方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ．DC21ECDB A【参考答案】➢巩固练习1. 22.证明略（提示：延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明△ADG≌△EDF，转角证明AB=EF）3.证明略（提示：延长AD到点G，使得GD=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD，△EAF≌△GCA）4.证明略（提示：延长FE到点H，使得EH=FE，连接CH，证明△BFE≌△CHE，转角证明BF=CG）5.证明略（提示：延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF≌△GCF，转角证明AF⊥EF）➢思考小结1.倍长中线SAS AAS 角2.证明略。

四年级语文上册第12课《盘古开天地》知识点总结、同步练习题（有答案）【知识点】一、我会写组词翻fān（翻身、翻新、人仰马翻）劈pī（劈杀、劈砍、劈柴）缓huǎn（缓和、缓慢、缓冲）浊zhuó（浑浊、浊浪、浊流）丈zhàng（丈夫、一丈、万丈高楼）撑chēng（支撑、撑腰、撑船）竭jié（竭诚、竭力、竭尽全力）累lèi（劳累、拖累、累人）血xuè（血液、鲜血、血压）液yè（液晶、液态、液体）奔bēn（奔跑、奔波、奔腾）茂mào（茂密、茂盛、声情并茂）滋zī（滋润、滋养、滋生）二、我会认组词隆lóng（隆重、隆冬、轰隆隆）肢zhī（肢体、四肢、节肢动物）躯qū（躯干、躯体、身躯）三、多音字降xiáng（投降）jiàng （降落）倒dǎo（倒下）dào（倒立）盛shèng（盛开）chéng（盛饭）四、近义词缓缓一一慢慢巍峨一一高耸巨大——庞大茂盛一一茂密滋润一一滋养创造一一发明奔流不息一一川流不息五、反义词合拢——张开上升——下降巨大——微小茂盛——稀疏滋润——干枯黑暗一一光明精疲力竭——精力充沛奔流不息一一停滞不前六、理解词语宇宙：包括地球及其他一切天体的无限空间。

混沌：传说中宇宙形成以前模糊一团的景象。

巍峨：形容山或建筑物高大雄伟。

精疲力竭：精神非常疲劳，体力消耗已尽，形容极度疲乏。

隆隆：形容剧烈震动的声音。

照耀：(强烈的光线）照射。

奔流不息：指水急速地流动而不停息。

造句：时间就像奔流不息的江水，永不停止。

滋润：增添水分，使不干枯。

创造：想出新方法、建立新理论、做出新的成绩或东西。

造句：只有认真研究，才能有所创造。

七、句子解析1.很久很久以前，天和地还没有分开，宇宙混沌一片，像个大鸡蛋。

这句话运用了比喻，把天地比作大鸡蛋，写出了天地的样子。

“混沌”的意思是指我国民间传说中指盘古开天辟地之前天地模糊一团的状态。

第一章习题答案1.1 选择题1. A2. C3. C4. B5. C6. A7. C8. B9. D 10. A 11. D 12. A 13. A 1.2 填空题数据数据的逻辑独立性数据的物理独立性层次数据模型，网状数据模型，关系数据模型能按照人们的要求真实地表示和模拟现实世界、容易被人们理解、容易在计算机上实现实体、记录属性、字段码域一对一、一对多、多对多E-R模型E-R模型层次模型、网状模型、关系模型数据操作、完整性约束矩形、菱形、椭圆形层次模型、一对多网状模型关系模型关系外模式、模式、内模式三级模式、两级映像外模式、模式、内模式数据、程序数据逻辑、数据物理DBMS(数据库管理系统)、DBA(数据库管理员)1.4 综合题2.(注：各实体的属性省略了)3.第二章习题答案1.1 单项选择题1. C2. A3. B4. C5. C6. D7. A8. B1.2 填空题集合2. 能唯一标识一个实体的属性系编号，学号，系编号关系，元组，属性关系模型，关系，实体，实体间的联系投影1.4 综合题1. πsno(σcno=’2’(SC))2. πsno(σcname=’信息系统’(SCCOURSE))3. πsno,SNAME,SAGE(STUDENT)第三章习题答案1.1select * from jobs1.2select emp_id,fname+'-'+lname as 'Name' from employee1.3select emp_id,fname+'-'+lname as 'Name',Year(getdate())-Year(hire_date) as 'worke time' from employee order by 'worke time'2.1select * from employee where fname like 'f%'2.2select * from employee where job_id='11'2.3select emp_id,fname+'-'+lname as 'Name', Year(getdate())-Year(hire_date) as worketimefrom employeewhere (Year(getdate())-Year(hire_date)) >5order by worketime2.4select * from employee where cast(job_id as integer)>=5 and cast(job_id as integer)<=82.5select * from employee where fname='Maria'2.6select * from employee where fname like '%sh%' or lname like '%sh%'3.1select * from sales where ord_date <'1993-1-1'4.1select distinct bh, zyh from stu_info wherebh in(select bh from stu_infogroup by (bh)having count(*)>30 and count(*)<40)order by bh或者是select bh,zyh from stu_infogroup by zyh,bhhaving count(bh)>30 and count(bh)<40order by bh4.2select * from gbanwhere bh like '计%'4.3select * from gfiedwhere zym like '%管理%'4.4select xh,xm,zym,stu_info.bh,rxsj from stu_info,gfied,gban where nl>23and stu_info.zyh=gfied.zyh and stu_info.bh=gban.bh4.5select zyh,count(*) from gbanwhere xsh='03'group by zyh第四章习题答案4.1 单项选择题：B2、A3、C4、A5、A6、C7、C8、D9、B10、A11、C(或B,即书上121页例题中from的写法)12、A13、C14、C15、C4.2 填空题：drop tablealter table add <列名或约束条件>with check option基本表基本表distinct group by roder by数据定义数据操纵数据控制distinctlike % _自含式嵌入式10、order by asc desc4.3 综合题1、SELECT XH, XM, ZYM, BH, RXSJFROM STU_INFO, GFIEDWHERE STU_INFO.ZYH = GFIED.ZYH AND NL > 23 AND XBM = '男'2、SELECT ZYM 专业名, count(*) 人数FROM STU_INFO, GFIEDWHERE STU_INFO.XSH = '03' AND STU_INFO.ZYH = GFIED.ZYHGROUP BY ZYM注意：该题目中给出的条件XSH = '03'中的03代表的是“控制科学与工程”学院，信息学院的代码是12，大家可根据具体情况来做该题。