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公开课：弧长和扇形面积

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圆《弧长和扇形面积》课件

圆《弧长和扇形面积》课件

圆环面积可以通过大圆面积减去小圆 面积得到，其中圆环的宽度等于大圆 半径减去小圆半径。
扇形面积在日常生活中的应用
01
02
03
建筑学
在建筑设计中，扇形面积 可用于计算窗户、门和其 他开口的面积，以确保建 筑物的采光和通风效果。
园艺
园艺师可以使用扇形面积 来计算花坛、草坪等区域 的面积，以便合理规划布 局。
综合练习题
综合练习题是为了帮助学生将弧长和扇形面积的知识与其他数学知识结合起来， 提高综合运用能力。这些题目通常包括多个知识点的综合运用和实际问题的解决 。
例如：1. 一个直径为10厘米的轮子，每分钟转45转，求轮子每秒走过的路程（ 即轮子的周长乘以转速）。2. 一个扇形和一个圆弧组成一个环形，大圆的半径为 10厘米，小圆的半径为4厘米，求环形面积。
扇形面积的计算公式
扇形面积等于圆心角（以弧度为单位）乘以半径的平方的一半。
扇形面积的应用
扇形面积在日常生活和生产中应用广泛，如计算物体表面的面积、 工程量等。
扇形面积的性质
扇形面积具有可加性、可分解性等性质，可以用于研究几何图形的 面积关系。
相关数学定理和公式
弧长和角度的关系
01
弧长和角度之间存在线性关系，即弧长等于半径乘以对应的角
家居装修
在家居装修中，扇形面积 可用于计算墙纸、地毯等 材料的用量，以避免浪费。
弧长和扇形面积在数学和其他学科中的应用
物理学
在物理学中，弧长和扇形面积可 用于计算物体运动轨迹的长度和 速度，以及力矩和扭矩等物理量。
工程学
在工程学中，弧长和扇形面积可用 于计算管道、管件和容器的尺寸和 容量。
经济学
在经济学中，弧长和扇形面积可用 于计算投入和产出的比例关系，以 及生产效率和利润等经济指标。

弧长及扇形的面积 优质公开课课件

弧长及扇形的面积 优质公开课课件
2.能够利用弧长计算公式和扇形面积计算 公式解决相关数学问题。
探究活动（一）
(1)半径为R的圆，其周长2πR可以看作__3_6_0__度的圆
心(2角)1所°对的的圆弧心．角所对的弧长是__3_6_10__×_2πR =
πR 180
2πR
πR
(3)2°的圆心角所对的弧长是___18_0___．= 90
北师大版九年级数学第三章第九节
3.9 弧长及扇形的面积
在一块空旷的草地上 有一根柱子,柱子上拴着 一条长3m的绳子,绳子 的另一端拴着一只狗.
问题：（1）这只狗的最大活动区域有多大?
（2）如果这只狗拴在夹角为120°的 墙角,那么它的最大活动区域有多大?如 何计算该区域的周长？
学习目标
1.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算 公式的过程，体会类比思想在数学学习中的 重要性。
360
n （2）圆心角为 °的扇形面积为n R2 nR2 360 360 如果扇形的半径为R , 圆心角为n°，
那么扇形面积的计算公式为
对比联系
A
B
O
O
l nR
180
S扇形
nR 2
360
比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
1
S扇形
lR 2
在一块空旷的草地上 有一根柱子,柱子上拴着 一条长3m的绳子,绳子 的另一端拴着一只狗.
问题：（1）这只狗的最大活动区域有多大?
（2）如果这只狗拴在夹角为120°的 墙角,那么它的最大活动区域有多大?如 何计算该区域的周长？
随堂检测
1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4m，则弧长为_2_π____m
2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8 ，那么这条弧所对的圆心 角为——160°

初中数学《弧长及扇形的面积》公开课课件

初中数学《弧长及扇形的面积》公开课课件
（1）要求扇子外围的弧长，需要知道哪些量？
（2）怎样求这把扇子一面用纸的面积？
圆心角度数，半径长度
大扇形面积—小扇形面积
弧长和扇形的面积公式
如果扇形的半径为r，圆心角为n°，那么

=


扇形 =

1
扇形 =
2
探求新知3——求弓形的面积
A
S阴影= S扇形-S△
B
S阴影=
2.观察该公式，它与我们学过的哪一个公式很类似？
弧长和扇形的面积公式
如果扇形的半径为r，圆心角为n°，那么

=


扇形 =

1
扇形 =
2
练习2
1. 已知扇形的圆心角为120°，半径为20，则该扇形的面积____.

2.已知扇形面积为
3
，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=___.
探索新知1——弧长公式
例1：制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，
试计算图中所示管道的展直长度 l (结果保留，单位：mm)
思考：
展直长度指的是谁的长？
探求新知1——弧长公式
练习1
1.一个扇形半径是3，圆心角是240°，这个扇形的弧长是( C )
A. 2π
B. π
C. 4π
D. 12π
：
（2）说一说你是如何计算每一个弧长的。
圆心角的度数n°
360°
180°90°ຫໍສະໝຸດ 60°1°n°
计算过程
扇形的弧长 l
探索新知1——弧长公式
活 动（1）已知扇形半径为r，请计算不同圆心角度数所对的弧长，并填表。
：
（2）说一说你是如何计算每一个弧长的。

弧长及扇形面积ppt课件

弧长及扇形面积ppt课件
1
知识结构
圆中的
计算问题
2
弧长、扇形面积
(1) 半径为R的圆周长: C=2πR
(2) 半径为R，n°的圆心角所对的弧长为
A
(3) 半径为R的圆面积:S= πR2
(4) 半径为R，n°的圆心角所 对的扇形面积为
B n°
O
3
圆锥的侧面积、全面积公式为：
圆锥的侧面积为πra， 圆锥的全面积为πra ＋πr2 (其中母线长为a ，底面的半径为r )
(只要画出图形，并直接写出扇形半径)
A
17
C
B
解：可以设计如下图四种方案：
r1=4 r =2
r2=2
18
r =4 -4
5。如图,正三角形ABC的边长为1cm,将线段AC绕
点A•顺时针旋转120°至AP1,形成扇形D1 ;将线段 BP1绕点B顺时针旋转120°到BP2,形成扇形D2 ;•将 线段CP2绕点C顺时针旋120°至CP3,形成扇形D3 ; 将线段AP3绕点A顺时针旋转120°至AP4,形成扇形 D4 … Ln为扇形Dn的弧长(n=1,2,3,4 … 回答 下列问题:
(1)
பைடு நூலகம்
(2)
侧面展开图如图(2)
14
1.根据圆锥的下面条件，求侧面积 (1)r=12cm, l=20cm (2)h=12cm, r=5cm 2.一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm, 圆心角为2400 的扇形.则这个圆锥的底面 半径为__________
15
3.已知：在RtΔABC中,
,则以AB为轴旋转一周所得到的
6
3.已知正三角形ABC的边长为 a，分别以A、B、C为圆心，
以 为半径的圆相切于点D、
E、 F， 图中阴影部分的周长

弧长和扇形面积课件

弧长和扇形面积课件

VS
详细描述
通过观察扇形的形状，我们可以将其分解 为三角形和其他基本图形，然后通过测量 各部分的长度来计算面积。这种方法需要 一定的几何知识，但对于一些简单的情况 非常有效。
04
弧长和扇形面积的应用
在几何图形中的应用
弧长和扇形面积是几何学中重要的概念，广泛应用于各种几何图形的研究和计算。
在圆形、椭圆、抛物线等图形中，弧长和扇形面积的计算对于确定图形的形状、大 小以及解决相关问题具有重要意义。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
扇形面积的单位
扇形面积的单位是面积单位，常用的单位有平方米、平方 厘米、平方千米等。
弧长和扇形面积的关联知识
弧长和扇形面积的关系
在同一个圆或等半径的圆中，如果圆 心角增大，则对应的弧长和扇形面积 都会增大。这是因为弧长和扇形面积 都与圆心角的大小有关。
弧长和扇形面积的应用
在实际生活中，弧长和扇形面积的应 用非常广泛，例如在几何学、工程学 、天文学等领域都有应用。
利用微积分计算弧长
总结词
通过微积分的方法，我们可以对弧长进行精确的计算，适用于复杂曲线的弧长计 算。
详细描述
微积分提供了一种积分的方法来计算曲线的长度。对于弧长，可以通过对曲线函 数进行积分来得到。具体来说，弧长 = ∫(sqrt(1 + (y')^2)) dx，其中 y' 是曲线 在 x 处的导数。
弧长和扇形面积课件
目录
• 弧长和扇形面积的基本概念 • 弧长的计算方法 • 扇形面积的计算方法 • 弧长和扇形面积的应用 • 弧长和扇形面积的扩展知识
01
弧长和扇形面积的基本 概念
弧长的定义
弧长是圆弧上任意两点间的长度，它 是圆的一部分。

弧长和扇形的面积 公开课课件

弧长和扇形的面积 公开课课件

结束寄语
ห้องสมุดไป่ตู้❖ 在数学领域中,提出问题的艺术比解 答的艺术更为重要.
位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB 的长
L 100 900 500 1570（mm）
180
因此所要求的展直长度 L 27001570 2970（mm） 答：管道的展直长度为2970mm．
扇形： 如图，由组成圆心角的两条半径
和圆心角所对的弧所围成的图形 叫扇形．
Q
l
扇形面积S
上面求的是的圆心角900所对的弧长，若圆心角 为n0，如何计算它所对的弧长呢？
思考：
请同学们计算半径为 r，圆心角分别为1800、900、 450、n0所对的弧长.
图 28.3.2
圆心角占整个周角的
1800
180
360
900
90
360
450
45
360
n0
n
360
所对弧长是
180 2r
360
90 2r
360
45 2r
360
结论：
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那 么，弧长的计算公式为：
练一练：
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此 圆弧的长度.
解：
= 50 cm
3
答：此圆弧的长度为50 cm
3
例2制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长
度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单
Q
l
扇形面积S
n° Or
nr r 1 lr
180 2 2
例4：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是6cm，其中水面高3cm，求截面上有 水部分的面积。

弧长和扇形面积ppt

这个公式是计算扇形面积的基础，通过将扇形角度转换为弧度，并将其除以360， 然后乘以π和半径的平方，可以得出扇形的面积。
扇形面积在几何图形中的应用
总结词
扇形面积在几何图形中有着广泛的应用，如计算圆的面积、 解决实际问题等。
详细描述
在几何学中，扇形面积常常用于计算更复杂的图形，如椭圆 、弓形等。此外，在实际生活中，扇形面积也常用于计算各 种实际问题，如建筑物的通风、管道的通风等。
03
扇形面积
扇形面积的定义
总结词
扇形面积是指一个扇形的内部区 域的面积。
详细描述
扇形面积是从一个圆中切割出来 的一部分，由两条半径和圆弧围 成。它可以用圆的面积和切割角 度来表示。
扇形面积的计算公式
总结词
扇形面积的计算公式是 (θ/360) × π × r^2，其中θ是扇形的角度，r是半径。
详细描述
04
弧长和扇形面积的关系
弧长和扇形面积的关联性
01
弧长和扇形面积都是圆或圆弧的一部分，它们之间存在密切的 关联性。
02
弧长是圆弧的长度，而扇形面积是圆心角和半径的函数。
在相同的圆心角和半径条件下，弧长和扇形面积可以通过特定
03
的公式相互转换。
弧长和扇形面积的转换关系
弧长（s）和扇形面积（A）之 间的关系可以用以下公式表示： s = αr，其中α是圆心角的弧
度数，r是半径。
扇形面积也可以表示为 A = 0.5lr，其中l是弧长。
通过这两个公式，我们可以将 弧长和扇形面积相互转换。
弧长和扇形面积在实际问题中的应用
1
在几何学中，弧长和扇形面积是研究圆和圆弧性 质的重要参数。
2
在物理学中，弧长和扇形面积可以用于描述旋转 体的运动轨迹和能量分布。

教学课件：第1课时弧长和扇形面积

作业布置
完成课后练习题，巩固所学知识 ；预习下一课时内容，了解弧长 和扇形面积在实际生活中的应用 。
THANKS
感谢观看
在实际应用中，可以利用圆周率π的性质和近似值进行计算， 以提高计算效率和精度。
实际生活中的应用
弧长和扇形面积在实际生活中有着广 泛的应用，如建筑设计、机械制造、 航天科技等。
在这些领域中，弧长和扇形面积的计 算方法可以帮助设计师和工程师更好 地理解和设计各种形状和结构，提高 产品的性能和质量。
05
扇形面积公式
总结词
扇形面积的公式是：(θ/360°) × π × r^2，其中θ是扇形的圆心角，r是扇形所在圆的半径。
详细描述
扇形面积的公式是计算扇形面积的关键。该公式为：(θ/360°) × π × r^2，其中θ是扇形的圆心角，r是扇形所在 圆的半径。这个公式基于扇形与圆的关系，通过将圆心角θ转换为角度制并乘以π和半径的平方，来计算出扇形的 面积。
总结词
扇形面积是指一个扇形的面积，它等于该扇形所在圆的面积的1/n，其中n为扇形的圆 心角与360°的比值。
详细描述
扇形面积是一个非常重要的几何概念，它描述了一个扇形的区域大小。扇形面积可以通 过计算扇形所在圆的面积的一部分来获得。具体来说，扇形面积等于该扇形所在圆的面
积的1/n，其中n为扇形的圆心角与360°的比值。
04
弧长和扇形面积的应用
几何图形面积的计算
弧长和扇形面积是几何学中重要的概念，对于计算一些复杂 图形的面积，如椭圆、抛物线等，弧长和扇形面积的计算方 法提供了有效的解决方案。
在计算过程中，需要掌握弧长和扇形面积的计算公式，并能 够灵活运用这些公式进行计算。
圆周率π的应用
圆周率π是计算弧长和扇形面积的关键参数，掌握其近似值 和计算方法对于解决相关问题非常重要。

弧长和扇形面积(公开课)课件

电磁学
在电磁学中，弧长和扇形面积可以用 于计算带电粒子在磁场中运动的轨迹 长度和角度，进而研究电磁场的变化 。

在日常生活中的应用
建筑学
在建筑学中，弧长和扇形面积可以用 于计算各种形状的建筑物的表面积、 体积等参数，进而进行建筑设计、施 工和预算等工作。
艺术
在艺术领域中，弧长和扇形面积可以 用于设计各种形状的艺术作品，例如 雕塑、绘画等，使作品更加美观、协 调。
圆心角与弧长的关系
通过弧长公式可以看出，圆心角越大 ，弧长越长。
弧长计算的实例
实例1
一个圆的半径为5cm，圆 心角为60°，求弧长。
实例2
一个圆的半径为8cm，圆 心角为90°，求弧长。
实例3
一个圆的半径为10cm，圆 心角为120°，求弧长。
03
扇形面积的计算方法
扇形面积公式
总结词
扇形面积公式是计算扇形面积的关键公式，它基于圆的面积 和圆心角。
02
弧长的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度 为单位），弧长l可以通过公式 l=rθ计算得出。
扇形面积的定义
扇形面积是指由圆心角和半径确定的 扇形区域的面积，通常用字母"A"表 示。
扇形面积的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度为单 位），扇形面积A可以通过公式 A=(θ/2π)×πr²计算得出。
详细描述
扇形面积公式为 (S = frac{1}{2} r^2 (θ))，其中 (S) 是扇形面 积，(r) 是半径，(θ) 是圆心角（以弧度为单位）。这个公式 是计算扇形面积的基础，通过它可以将扇形的面积与半径和 圆心角联系起来。
扇形面积公式的应用
总结词

弧长和扇形面积-ppt课件

第二十四章
圆
24.4
弧长和扇形面积
感悟新知
知1－讲
知识点 1 弧长公式
1.弧长公式
在半径为 R 的圆中， n°的圆心角所对的
弧长 l 的计算公式为l=

.

感悟新知
知1－讲
特别提醒
●公式中，n表示1°的n 倍， 180 表示1°的180 倍，
n， 180 不带单位.
●题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表
知3－讲
感悟新知
知3－讲
(2)圆锥的母线： 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的
线段叫做圆锥的母线 .
(3)圆锥的高： 连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥
的高 .
感悟新知
知3－讲
特别提醒
1.圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面 .
2.圆锥的母线长都相等 .
3.圆锥的母线l、高h及底面圆的半径r构成直角三角
∠ACB=90°，AC=BC=2 ，以点A为圆心，AC为半
径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，
交AB于点F，则图中阴影部分的面积是
(
)
A.π－2
B.2π－2
C.2π－4
D.4π－4
感悟新知
知2－练
思路导引：
感悟新知
知2－练
解：在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90 °，AC=BC=
求所得旋转体的全面积 .
知3－练
感悟新知
知3－练
思路导引：
感悟新知
解：(1)∵∠ C=90°， AC=6， BC=8，
∴ AB= + =10.
∴ S 底=π AC2=36π， S 侧=π× 6× 10=60π .
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_圆心角 越大，弧长越大.
学以致用
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”， 再下料，试计算图所示管道的展直长度L.
( 取3.14，结果取整数)
A
B
100 °
C
O
D
解：由弧长公式，可得弧AB的长
l n R 100 900 500 (mm)
180
180
所要求的展直长度 L 2 700 500 2970(mm)
180
R
180l n
n
180l R
小结：
弧长公式涉及三个变量l,n,R，知道其中任意两个量， 就可以求第三个量.
图片欣赏
生活中的扇形
概念学习
问二题5、什扇么形是定扇义形？
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫
做扇形.
B
B
圆心角 O
A
扇形
O A
记作：扇形OAB
火眼金睛 下列图形是扇形吗？
R n°
A
B
注意：
公式中n的意义.n表示1°圆心角的倍数，它不带单位.
一、弧长公式
问题4 弧长与哪些因素有关？ 圆心角、半径
A
E
B
C
A
n R
l
O
●
B DF
180
O
C
●
D
_圆__心__角__大小不变时，对应 圆的 半径 不变时，对应的
的弧长大小与__半__径__有关， 弧长大小与 圆_心角 有关，
_半__径__越大，弧长越大.
人教版教科书 九年级上册 第二十四章圆
学习目标
➢ 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点） ➢ 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）
情境引入 问题1 如图，4×100米比赛中，跑步运动员们分布 在不同的跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
导入新课
情境引入 问题3 如图，在一块三角形空草地上的顶点A处的 柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一 匹马，你能画出这匹马在草地上活动的最大区域吗？ 怎样来计算这片区域的面积呢?
A
5m N
N
B
C
一探究、一弧长公式
R
1.半径为R的圆,周长是__2_π__R____
结论：在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的扇形
面积的计算公式为
注意:
S扇形
明确公式中n的意义．
nR 2
360
Rn°
三、扇形的面积公式
问题5 扇形的面积与哪些因素有关？
E
C
A
O
●
S扇形
nR 2
360
B DF
圆心角、半径 A B
O
C
●
D
圆心_角__大小不变时，对应 圆的 半径 不变时，扇形面 的扇形面积与 半_径_ 有关， 积与 圆心角有关，圆心角越 __半_径 越长，面积越大. 大，面积越大. 总结:知道了S,n,R 中任意两个量， 就可以求第三个量.
ห้องสมุดไป่ตู้
× ×
√
×
√
问题6 我们该如何计算扇形的面积呢？
探究二
三、扇形的面积公式
R
1. 若圆的半径为R，则圆的面积为 __R_2
O
2. 圆的面积可以看做是__3_6_0_度的圆心角
所对的扇形的面积.
R2
3. l°的圆心角对应的扇形面积为__3_6_0_
R l°
4 . n°的圆心角对应的扇形面积为__36R_02__n___n_36_R0_2 __
图
阴影部分的面积S. S 3
2
课堂小结
一、知识与技能
弧长
计算公式：l n R
180
扇形
定义 公式
S扇形
n R2
360
S扇形
1 2
C1R
弓形 公
二、思想与方法
式
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
类比，转化
割补法
作业布置
必做题：课本115页，习题24.4第6，7题
选做题：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径 是0.6m，其中水面高0.9m，求截面上有水部分的面积.
O
2.圆的周长可以看作是_3__6_0_度的
圆3.心1°角的所圆对心的角弧所长对.的弧长是_2_3_6_0R____1_8R_0___
4.n°的圆心角所对的弧长是__1_8R_0___n___n1_8_0R___
R 1°
结论：在半径为R 的圆中,n°的圆心角
所对的弧长的计算公式为
l n R
180
O
A
D EB
0
C
总结升华 弓形的面积求法
规律提升
0
0
S弓形=S扇形-S△
S弓形=S扇形+S△
小结：
弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差
大展身手
1.已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm,
则该扇形的面积是__32____cm2,
2.已知正三角形ABC的边长为 2 ，分别以A、B、
C为圆心，以1为半径的圆相切于点D、E、F，求
答：管道的展直长度为2970mm．
小结： 在计算弧长时，关键是确定n与R的值.
小试牛刀
1.在半径为24的圆中，60°的圆心角所对的弧长
为 8π；
2.75°的圆心角所对的弧长是2.5π，则此弧所在圆
的半径为 6 ；
3.已知一条弧的半径为9，弧长为8 π，那么这条弧
所对的圆心角为 160°；
l n R
是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积
（结果保留小数点后两位）.
提示：
要求的面积，可以通过哪些图形 面积的和或差求得
S弓形= S扇形- S⊿
0
D
A
B
C
学以致用
例题变式：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径 是0.6m，其中水面高0.9m，求截面上有水部分的面积.
S弓形 = S扇形+ S△
探究三
四、弧长公式和扇形面积公式的关系
问题8：弧长和扇形面积都与哪几个变量有关？ 圆心角、半径 问题9：弧长公式与扇形的面积公式有联系吗？
l nR
180
S扇形
nR 2
360
S扇形
nR
180
R 2
1 nR
2 180
R
1 lR 2
问题10：扇形的面积公式与什么公式类似？
S
1 2
ah
学以致用
例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径
A
B
0
谢谢大家！