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⎨ ⎩ 含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用 x > a 与 x < a 的解集求解。
主要知识：1、绝对值的几何意义： x 是指数轴上点 x 到原点的距离； x 1 - x 2 两点间的距离.。
2、 x > a 与 x < a 型的不等式的解法。
是指数轴上 x 1 ， x 2 当a > 0 时，不等式 x > 的解集是{x x > a ,或x < -a}不等式 x < a 的解集是{x - a < x < a };当a < 0 时，不等式 x > a 的解集是{x x ∈ R }不等式 x < a 的解集是∅ ;3． ax + b > c 与 ax + b < c 型的不等式的解法。
把 ax + b 看作一个整体时，可化为 x < a 与 x > a 型的不等式来求解。
当c > 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x ax + b > c ,或ax + b < -c}不等式 ax + b < c 的解集是{x - c < ax + b < c };当c < 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x x ∈ R }不等式 a + bx < c 的解集是∅ ;例 1 解不等式 x - 2 < 3分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“ x - 2 ” 看着一个整体。
答案为{x - 1 < x < 5}。
(解略)⎧a (a > 0), （二）、定义法:即利用 a = ⎪0(a = 0), ⎪-a (a < 0). 去掉绝对值再解。
高三数学一轮复习考纲、知识点及题库第十三章 数学选修4-4、4-5§13.2 不等式选讲 第1课时 绝对值不等式错误!错误!----------知识梳理 -----------1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 概念方法微思考1．绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？【提示】当a ，b 不共线时，|a |＋|b |>|a ＋b |，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边．2．用“零点分段法”解含有n 个绝对值的不等式时，需把数轴分成几段？ 【提示】一般地，n 个绝对值对应n 个零点，n 个零点应把数轴分成(n ＋1)段． 错误!错误!错误!错误!-----------基础自测 ------------题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( × ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( √ )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( × ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( × ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( √ ) 题组二 教材改编2．[P20T7]不等式3≤|5－2x |<9的解集为( ) A ．[－2,1)∪[4,7) B ．(－2,1]∪(4,7] C ．(－2，－1]∪[4,7) D ．(－2,1]∪[4,7)【答案】D【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7)．3．[P20T8]求不等式|x －1|－|x －5|<2的解集．【解析】①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1；②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2，∴x <4，∴1<x <4；③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)． 题组三 易错自纠4．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________. 【答案】2【解析】∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.5．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．【答案】9【解析】把a ＋b ＋c ＝1代入到1a ＋1b ＋1c 中，得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．错误!错误!------------ 专题突破 ------------题型一 绝对值不等式的解法 例1 (1)解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.【解析】原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x <－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2，解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或.(2)(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. ①当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；②若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 【解析】①当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. (*)当x <－1时，(*)式化为x 2－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，(*)式化为x 2－x －2≤0， 从而－1≤x ≤1；当x >1时，(*)式化为x 2＋x －4≤0， 从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为1x x ⎧⎪-≤⎨⎪⎪⎩⎭.②当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于 当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]． 思维升华 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式． (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解． 跟踪训练1 已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形的面积大于6，求a 的取值范围． 【解析】(1)当a ＝1时， f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A 21,03a -⎛⎫⎪⎝⎭，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．题型二 利用绝对值不等式求最值例2 (1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值； (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值． 【解析】(1)∵x ，y ∈R ， ∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， 当且仅当0≤x ≤1时等号成立， ∴|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3，当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1同时成立时等号成立． ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(2)|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||. (3)利用零点分区间法．跟踪训练2 已知a 和b 是任意非零实数． (1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值；(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围． 【解析】(1)∵|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，当且仅当(2a ＋b )(2a －b )≥0时等号成立， ∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立，故|2＋x |＋|2－x |≤⎝⎛⎭⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min .由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4，∴x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集． 解不等式得－2≤x ≤2， 故实数x 的取值范围为[－2,2]．题型三 绝对值不等式的综合应用例3 (2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 【解析】(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x >2时，由f (x )≥1，解得x >2， 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}． (2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得 m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x . 而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－232x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋54≤54，当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决． (2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法． 跟踪训练3 设函数f (x )＝x ＋|x －a |. (1)当a ＝2 019时，求函数f (x )的值域；(2)若g (x )＝|x ＋1|，求不等式g (x )－2>x －f (x )恒成立时a 的取值范围． 【解析】(1)由题意得，当a ＝2 019时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2 019，x ≥2 019，2 019，x <2 019，因为f (x )在[2 019，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的值域为[2 019，＋∞)．(2)由g (x )＝|x ＋1|，不等式g (x )－2>x －f (x )恒成立，知|x ＋1|＋|x －a |>2恒成立，即(|x ＋1|＋|x －a |)min >2. 而|x ＋1|＋|x －a |≥|(x ＋1)－(x －a )|＝|1＋a |， 所以|1＋a |>2，解得a >1或a <－3.即a 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．1．对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围．【解析】因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1， 所以|3a －3b |≤3，⎪⎪⎪⎪a －12≤12， 所以|4a －3b ＋2|＝⎪⎪⎪⎪(3a －3b )＋⎝⎛⎭⎫a －12＋52≤|3a －3b |＋⎪⎪⎪⎪a －12＋52≤3＋12＋52＝6， 即|4a －3b ＋2|的最大值为6， 所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6. 即实数m 的取值范围为[6，＋∞)．2．(2018·河北衡水中学模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|，g (x )＝x 2－x －a . (1)当a ＝5时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )解集包含[2,3]，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝5时，不等式f (x )≥g (x )等价于|x ＋1|－|x －2|≥x 2－x －5， ① 当x <－1时，①式化为x 2－x －2≤0，无解；当－1≤x ≤2时，①式化为x 2－3x －4≤0，得－1≤x ≤2；当x >2时，①式化为x 2－x －8≤0，得2<x ≤1＋332，所以f (x )≥g (x )的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1＋332. (2)当x ∈[2,3]时，f (x )＝3，所以f (x )≥g (x )的解集包含[2,3]，等价于x ∈[2,3]时g (x )≤3， 又g (x )＝x 2－x －a 在[2,3]上的最大值为g (3)＝6－a ，所以g (3)≤3，即6－a ≤3，得a ≥3， 所以a 的取值范围为[3，＋∞)．3．(2018·百校联盟TOP20联考)已知f (x )＝|2x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )≤4的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥3a 2－3|2－x |恒成立，求a 的取值范围． 【解析】(1)当a ＝－2时，由f (x )≤4， 得2|x －1|－|x －2|≤4，当x ≤1时，由2(1－x )－(2－x )≤4，得－4≤x ≤1； 当1<x <2时，由2(x －1)－(2－x )≤4，得1<x <2； 当x ≥2时，由2(x －1)－(x －2)≤4，得2≤x ≤4. 综上所述，f (x )≤4的解集为[－4,4]． (2)由不等式f (x )≥3a 2－3|2－x |， 得|2x ＋a |－|x －2|＋3|x －2|≥3a 2， 即|2x ＋a |＋|2x －4|≥3a 2，即关于x 的不等式|2x ＋a |＋|2x －4|≥3a 2恒成立， 而|2x ＋a |＋|2x －4|≥|(2x ＋a )－(2x －4)|＝|a ＋4|， 当且仅当(2x ＋a )(2x －4)≤0时等号成立， 所以|a ＋4|≥3a 2，解得a ＋4≥3a 2或a ＋4≤－3a 2， 解得－1≤a ≤43或a ∈∅.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，43. 4．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )≥1－x 2；(2)若关于x 的不等式f (x )<a －x 2＋|x ＋1|的解集非空，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)由题意f (x )≥1－x 2可知，|x －1|≥1－x 2， 即x －1≥1－x 2或x －1≤x 2－1， 所以x 2＋x －2≥0或x 2－x ≥0， 即x ≤－2或x ≥1或x ≥1或x ≤0， 故原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥1}． (2)f (x )<a －x 2＋|x ＋1|等价于 a >x 2＋|x －1|－|x ＋1|，由于x 2＋|x －1|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x <－1，x 2－2x ，－1≤x ≤1，x 2－2，x >1，所以当x ＝1时，x 2＋|x －1|－|x ＋1|的最小值为－1. 所以实数a 的取值范围为(－1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤2；(2)若∃b ∈R ，不等式|a ＋b |－|a －b |≥f (x )对∀x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤－12，1－3x ，－12<x <2，－x －3，x ≥2，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，x ＋3≤2或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <2，1－3x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，－x －3≤2，解得x ≤－1或－13≤x <2或x ≥2，综上所述，不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－1或x ≥－13. (2)∃b ∈R ，|a ＋b |－|a －b |≥f (x )对∀x ∈R 恒成立等价于 (|a ＋b |－|a －b |)max ≥f (x )max .因为|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |， 所以|a ＋b |－|a －b |的最大值为2|a |； 当x ≤－12时，f (x )≤52；当－12<x <2时，－5<f (x )<52；当x ≥2时，f (x )≤－5， 所以f (x )max ＝52，所以由原不等式恒成立，得2|a |≥52，解得a ≥54或a ≤－54.即a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－54∪⎣⎡⎭⎫54，＋∞. 6．设f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|. (1)求不等式f (x )≤x ＋2的解集；(2)若不等式满足f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)对任意实数(x ≠0)恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)根据题意可知，原不等式为|x ＋1|－|2x －1|≤x ＋2，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－x －1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤12，x ＋1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x ＋1－2x ＋1≤x ＋2，解得x <－1或－1≤x ≤12或x >12.综上可得不等式f (x )≤x ＋2的解集为R .(2)不等式f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)等价于|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)，因为⎪⎪⎪⎪|x ＋1|－|2x －1||x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪2－1x ≤⎪⎪⎪⎪1＋1x ＋2－1x ＝3，当且仅当⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫2－1x ≤0时取等号，因为|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)，所以|a －2|＋|a ＋1|≥6， 解得a ≤－52或a ≥72，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞.。
绝对值不等式知识集结知识元绝对值不等式知识讲解1．绝对值三角不等式【知识点的认识】绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a﹣c|≤|a﹣b|+|b﹣c|，当且仅当（a﹣b）（b﹣c）≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法【知识点的认识】绝对值不等式的解法1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集不等式a＞0 a＝0 a＜0|x|＜a{x|﹣a＜x＜a} ∅∅|x|＞a{x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R（1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；（2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤﹣c；（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．【解题方法点拨】1、解绝对值不等式的基本方法：（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m（m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．例题精讲绝对值不等式例1.不等式|1-2x|<1的解集为（）A．{x|-1<x<0}B．{x|0<x<1}C．{x|x>1或x<0}D．R例2.不等式|2x-3|<x的解集为（）A．{x|x<1或x>3}B．{x|x<1}C．{x|1<x<3}D．{x|x>3}例3.不等式|x+2|>3的解集是（）A．{x|x<-5或x>1}B．{x|-5<x<l}C．{x|x<-1或x>5}D．{x|-1<x<5}当堂练习解答题练习1.'已知f（x）=|2x+3|+|2x-1|．（1）求不等式f（x）<10的解集；（2）若对任意x∈R，f（x）≥|a-1|恒成立，求实数a的取值范围．'练习2.'已知f（x）=|x-2|-|x-a|（1）当a=-4时，解不等式f（x）<1；（2）当a=4时，求直线y=x-2与函数f（x）的图象围成的平面图形的面积．'练习3.'解不等式x2+2|x-1|<6'练习4.'已知函数f（x）=|2x|+|2x+3|-2．求不等式f（x）≤3的解集．'练习5.'设函数f（x）=|2x-1|．（1）解不等式f（x）>3；（2）设g（x）=f（x）+2|x+|，∃x0∈R，使得g（x0）+2m2<8m成立，求实数m的取值范围．'练习6.'已知函数f（x）=|x-3|+|x-5|．（1）解关于x的不等式f（x）≥4；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t围成的封闭图形面积等于6，试求t的值．'练习7.'设函数f（x）=|2x-1|+|x+1|的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈R，a2+b2+c2=m，求ab+bc的取值范围．'练习8.'已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|．（1）求不等式f（x）>7的解集；（2）若对于任意x∈R，不等式f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．'练习9.'已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）<4-|x-1|；（Ⅱ）已知m>0，n>0，m+n=1，若对任意的x∈R，m>0，n>0不等式|x-a|-f（x）≤（a>0）恒成立，求正数a的取值范围．'练习10.'已知f（x）=x2+|2x-4|+a．（1）当a=-3时，求不等式f（x）>x2+|x|的解集；（2）若不等式f（x）≥0的解集为实数集R，求实数a的取值范围．'练习11.'已知：a≥2，x∈R．求证：|x-1+a|+|x-a|≥3．'练习12.'已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．'。
高中绝对值不等式 (精华版) 适合高三复习用 可直接打印
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 绝对值不等式 绝对值不等式||||||abab，||||||abab 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5
［变题1］解下列不等式：(1)|x+1|>2－x；(2)|2x－2x－6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一
元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于x+1>2－x或x+1<－(2－x) 解得x>12或无解，所以原不等式的解集是{x|x>12} (2)原不等式等价于－3x<2x－2x－6<3x 即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560xxxxxxxxxxxxxxxxx或
2所以原不等式的解集是{x|2
1．解不等式（1）｜x-x2-2｜>x2-3x-4；（2）234xx≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x2-2>x2-3x-4 ① 或x-x2-2<-(x2-3x-4) ②
解①得：1-2解②得：x>-3 故原不等式解集为｛x｜x>-3｝ 分析二 ∵｜x-x2-2｜＝｜x2-x+2｜ 而x2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x2-2｜中的绝对值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4 解得：x>-3 ∴ 原不等式解集为｛x>-3｝
（2）分析 不等式可转化为-1≤234xx≤1求解，但过程较繁，由于不等式234xx≤1两边均为正，所以可平方后求解.
原不等式等价于2234xx≤1 9x2≤(x2-4)2 (x≠±2) x4-17x2+16≥0 x2≤1或x2≥16 -1≤x≤1或x≥4或x≤-4 注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.
第2变 含两个绝对值的不等式 ［变题2］解不等式（1）|x－1|<|x+a|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜f2(x)〈g2(x)两边平方去掉绝对值符号。 （2）题可采用零点分段法去绝对值求解。
［解题］（1）由于|x－1|≥0，|x+a|≥0，所以两边平方后有： |x－1|2<|x+a|2 即有2x－2x+1<2x+2ax+2a，整理得(2a+2)x>1－2a
当2a+2>0即a>－1时，不等式的解为x>12(1－a)；
当2a+2=0即a=－1时，不等式无解； 当2a+2<0即a<－1时，不等式的解为x<1(1)2a （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5. 解：当x≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3. 当-355>5无解. 当x≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>52x>4x>2. 综合得：原不等式解集为｛x｜x>2或x<-3｝.
［请你试试4—2］ 1 解关于x的不等式|log(1)||log(1)|aaxx(a>0且a≠1) 解析：易知－1lg(1)lg(1)||||lglgxxaa
∴22|lg(1)||lg(1)|xx 于是22lg(1)lg(1)0xx ∴[lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0xxxx
∴21lg(1)lg01xxx ∵－1∴0<1－2x<1 ∴lg(1－2x)<0
∴1lg1xx<0 ∴1011xx 解得0
2．不等式|x+3|-|2x-1|<2x+1的解集为 。 解：
|x+3|-|2x-1|=)3(4)213(24)21(4xxxxxx ∴当21x时124xx ∴x>2 当-3 当3x时124xx∴3x 综上72x或x>2 故填),2()72,(。 3．求不等式1331loglog13xx的解集. 解：因为对数必须有意义，即解不等式组 0103xx
，解得03x
又原不等式可化为33loglog31xx (1)当01x时，不等式化为33loglog31xx
即
33log3log3xx
∴ 33xx ∴ 34x 综合前提得：304x。
(2)当1∴ 2330xx x。 (1) 当23x时，333loglog3log3xx (2) ∴33xx ∴94x，结合前提得：934x。
综合得原不等式的解集为390,,344
第3变 解含参绝对值不等式 ［变题3］解关于x的不等式 34422mmmxx ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成3|2|mmx，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m的正负进行讨论。 ［解题］原不等式等价于 3|2|mmx 当03m即3m时， )3(232mmxmmx或
∴333mxmx或 当03m即3m时， 0|6|x ∴x6 当03m即3m时， xR
［请你试试4—3］
1．解关于x的不等式：0922aaaxx 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数a进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。 解：当
029929222aaxxaxaaxxax
ax即时，不等式可转化为
abxa173 02992)(222aaxxaxaxaaxax
ax即时不等式可化为当
aaaaxaax6173,32
3,(323故不等式的解集为
或
。 2．关于x的不等式|kx－1|≤5的解集为{x|－3≤x≤2}，求k的值。 按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k值的不确定，要以k的不同取值分类处理。 解：原不等式可化为－4≤kx≤6 当k>0时，进一步化为46xkk，依题意有4433632kkkk
，此时无解。
当k=0时，显然不满足题意。 当k<0时，64xkk，依题意有42263kkk 综上，k=－2。
第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 ［变题4］若不等式|x－4|+|3－x|集，求a的取值范围。 ［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|，便把问题简化。
