浙江省杭州建人高复学校2020届高三下学期4月模拟测试数学试卷含答案

浙江省杭州市建人2020届高复高三下学期数学4月模拟测试试卷一、单选题（共10题；共20分）1.已知全集2，3，4，5，，集合，，则（）A. {2,6}B. 3，5，6}C. {1，3，4，5}D. {12，3，4，5，6}2.已知a，b∈R，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )A. 16+8B. 8+8C. 16+16D. 8+164.如果正数满足，那么（）A. ，且等号成立时的取值唯一B. ，且等号成立时的取值唯一C. ，且等号成立时的取值不唯一D. ，且等号成立时的取值不唯一5.设等差数列{a n}的公差为d，若数列{2a1a n}为递减数列，则( )A. d<0B. d>0C. a1d<0D. a1d>06.已知实数满足则的最小值是（）A. B. C. D.7.定义平面向量之间的一种运算“ ”如下：对任意的，，令.下面说法错误的是（）A. 若与共线，则B.C. 对任意的D.8.对于给定正数k，定义，设，对任意和任意恒有，则（）A. k的最大值为2B. k的最小值为2C. k的最大值为1D. k的最小值为19.如图，点P在正方体的表面上运动，且P到直线BC与直线的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P的轨迹在展开图中的形状是（）A. B.C. D.10.设函数的最大值为，最小值为，则（）A. B.C. D.二、双空题（共4题；共4分）11.已知，若，则________，________；12.已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为________；展开式中系数最大的项为________.13.将字母放入的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为________；若共有行字母相同，则得k分，则所得分数的数学期望为________；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下）a bc ca b14.已知都是单位向量，且，则的最小值为________；最大值为________三、填空题（共3题；共3分）15.已知方程，若该方程表示椭圆方程，则的取值范围是________；16.已知正四面体ABCD和平面，，正四面体ABCD绕边BC旋转，当AB与平面所成角最大时，CD与平面所成角的正弦值为________17.双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于两点，且，延长AO交双曲线右支于点C，若，则该双曲线的离心率为________四、解答题（共5题；共55分）18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角B的大小；（2）求的取值范围.19.如图所示，和所在平面互相垂直，且，，E，F分别为AC，DC的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.20.已知各项均为正数的数列{ }的前n项和满足，且（1）求{ }的通项公式；（2）设数列满足，并记为的前n项和，求证：21.已知A,B是抛物线上位于轴两侧的不同两点（1）若CD在直线上，且使得以ABCD为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积.（2）求过A、B的切线与直线围成的三角形面积的最小值；22.设函数f（x）＝e x﹣ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：f′（）＜0（f′（x）为函数f（x）的导函数）；（3）设点C在函数y＝f（x）的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记t，求（a﹣1）（t﹣1）的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】D二、双空题11.【答案】；12.【答案】10；13.【答案】；（填0.6也对）14.【答案】；三、填空题15.【答案】1＜k＜5或5＜k＜916.【答案】17.【答案】四、解答题18.【答案】（1）解：由题意（2）解：19.【答案】（1）解：证明：（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC= ，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，又EF 面EFO，所以EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B（0,0,0），A(0，-1，),D( ,-1,0)，C(0,2,0),因而,所以，因此,从而，所以.（2）解：（方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF.因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO= EC= BC·cos30°= ，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO= ,从而sin∠EGO= ，即二面角E-BF-C的正弦值为.（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为，设平面BEF的法向量，又,由得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为6，且由题意知6为锐角，则，因此sin∠EGO= ，即二面角E-BF-C的正弦值为20.【答案】（1）解：由，因此由得，又，得从而{ }是首项为2公差为3的等差数列，故{ }的通项公式为（2）解：由可得，从而=于是21.【答案】（1）解：设直线联立直线AB与抛物线方程得：易得：直线AB与CD之间的距离为令，可得所以该正方形的边长为或面积为18或50（2）解：设，（由对称性不妨设）则处的切线方程为：，与直线交点记为M，则则处的切线方程为：，与直线交点记为N，则两条切线交点P（令）于是(令)当时取到等号所以该三角形面积的最小值为22.【答案】（1）解：∵f（x）＝e x﹣ax+a，∴f'（x）＝e x﹣a，若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．∴a＞0，令f'（x）＝0，则x＝lna，当f'（x）＜0时，x＜lna，f（x）是单调减函数，当f'（x）＞0时，x＞lna，f（x）是单调增函数，于是当x＝lna时，f（x）取得极小值，∵函数f（x）＝e x﹣ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），∴f（lna）＝a（2﹣lna）＜0，即a＞e2，此时，存在1＜lna，f（1）＝e＞0，存在3lna＞lna，f（3lna）＝a3﹣3alna+a＞a3﹣3a2+a＞0，又由f（x）在（﹣∞，lna）及（lna，+∞）上的单调性及曲线在R上不间断，可知a＞e2为所求取值范围（2）解：∵，∴两式相减得．记，则，设g（s）＝2s﹣（e s﹣e﹣s），则g'（s）＝2﹣（e s+e﹣s）＜0，∴g（s）是单调减函数，则有g（s）＜g（0）＝0，而，∴．又f'（x）＝e x﹣a是单调增函数，且∴．（3）解：依题意有，则⇒x i＞1（i＝1，2）．于是，在等腰三角形ABC中，显然C＝90°，∴，即y0＝f（x0）＜0，由直角三角形斜边的中线性质，可知，∴，即，∴，即．∵x1﹣1≠0，则，又，∴，即，∴（a﹣1）（t﹣1）＝2。

浙江省杭州建人高复2020届高三技术下学期4月模拟测试试题本试题卷分两部分，第一部分信息技术，第二部分通用技术。

满分100分，考试时间90分钟第一部分信息技术（共 50 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1、下列有关信息说法错误．．的是 ( )A、信息技术从古到今一直都存在并不断发展，如电影、电视技术属于现代信息技术。

B、信息的表示、传播存储必须依附于某种载体，但信息也可以脱离它所反映的事物被存储和传播。

C、信息是看不见摸不着的，我们日常交流用到的语言文字都是信息的载体D、很多人喜欢做自己的个人网站发布信息，网站是由若干个网页组成，网页的基本要素是文字，图形图像和超链接2、使用OCR软件将一篇报纸中的文字识别为文字，后在Word软件中进行排版与编辑，部分编辑界面如图所示：下列说法正确的是 ( )A、使用OCR软件识别前的文件格式可能为”.txt”B、文档中图片的环绕方式可能为四周型C、文档中共有3处修订D、文中添加批注对象为”h1`”3、下列不属于．．．人工智能技术应用的是 ( )A、学校使用人脸识别技术.保障学生安全B、机器人代替人工送外卖C、实验大楼使用声控电梯，无接触选择到达楼层D、在校门口使用红外体温测量仪测量入校者的体温4、使用ACCESS软件创建“图书馆藏书登记”数据表，其设计视图部分界面如图所示。

下列说法正确的是( )A、“收藏日期”字段可以输入”2020/02/29”B、“编号”字段是自动编号，只有自动编号可以设置为主键C、该数据表添加纪录后，就不能对数据表字段名进行修改D、在该数据表中,”35.20元”可以是”价格”字段的有效值5、使用UltraEdit软件查看字符内码，界面如图所示，下列分析正确的是( )A、图中共有10个ASCII码字符B、将字符“V”改成”Z”对应内码的十六进制表示为60HC、字符”10-9”的内码为”3A 2D 39”D、字符“No”的二进制码为”01001110 01101111”6、使用PhotoShop软件为《哪吒之魔童降世》电影中的哪吒与敖丙制作了一张图片，部分界面如图所示：下列说法正确的是（）A、图中36%表示显示比例，若将36%调整50%，则图片的存储容量变大B、当前状态下，“敖丙”图层与“魔童降世”图层添加了相同的图层样式C、当前状态下，“哪吒”图层一定没有添加滤镜效果D、当前状态下，无法删除“背景”图层7、在Photoshop软件中新建一个图像文件，相关参数如图所示，保存为未经压缩的BMP文件，则其存储容量为( )A．6.75 MB B．2.25 MB C．768 KB D．384 KB8、运行下列程序Dim a(1 To 5) As Integera(1) = 1For i = 2 To 5a(i) = Int(Rnd * 5) + 1If a(i) Mod 2 = 0 Thena(i) = a(i) + iElsea(i) = a(i) + a(i - 1)End IfNext ia(1)~a(5)的值不可能．．．的是：（）A 1,2,3,8,9B 1,6,2,10,11C 1,6,11,16,17D 1,4,5,10,79、有如下VB程序段Const n = 8i = 1: j = nk = Val(Text1.Text)Do While i < jm = (i + j) \ 2If a(m) > k Theni = mElsej = m - 1Loopp = (i + k) Mod nLabel1.Caption = Str(a(p))已知数组a（1）到a（8）原始数据为“6,1,8,9,10,11,2,3”，在文本框Text1中输入7，执行上面代码后，Label1中的内容是（）A、6B、10C、11D、210、有如下程序段:s=”ABCDEFGH”i=1Do While i<=Len(s)If i mod 2=0 thens=mid(s,i+1,len(s)-i)& mid(s,1,i-1)end ifi=i+1LoopText1.text=sA、ACEGB、CDEFGC、CDEGHD、GHACD11、有一个有趣的仓鼠繁殖问题：第一个月买来1对仓鼠，2个月后会生1对小仓鼠，以后灭个月都会生1对小仓鼠；而生下来的仓鼠，也会从第二个月开始每月生1对小仓鼠，以此类推。

绝密★启用前2020届浙江省杭州市建人高复高三下学期4月模拟测试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集{1,U =2，3，4，5，6}，集合{}1,4P =，{}3,5Q =，则()(UP Q ⋃=)A ．{}2,6B ．{2,3，5，6}C ．{1,3，4，5}D ．{1,2，3，4，5，6}答案：A进行并集、补集的运算即可． 解：P ∪Q={1，3，4，5}；∴∁U （P ∪Q ）={2，6}． 故选A ． 点评：考查列举法表示集合的概念，并集、补集的运算,属于基础题. 2．已知a ，b ∈R ，21i =-则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A根据复数的基本运算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：解：因为2222()a abi b a bi =+-+， 若1a b ==，则等式成立，即充分性成立，若2(i)2i a b +=成立，即2222a abi b i -=+，所以22022a b ab ⎧-=⎨=⎩解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩即必要性不成立，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的充分不必要条件，故选：A ． 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复数的基本运算是解决本题的关键，属于基础题．3．某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为()A ．16+8πB ．8+8πC ．16+16πD ．8+16π答案：A试题分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体， 半圆柱的底面半径为2，故半圆柱的底面积212=22S ππ=⨯⨯，半圆柱的高4h =． 故半圆柱的体积为8π，长方体的长宽高分别为422，，，故长方体的体积为42216⨯⨯=， 故该几何体的体积为168π+，选A 【考点】三视图，几何体的体积4．如果正数a bc d ，，，满足4a b cd +==，那么（） A ．ab c d +≤，且等号成立时a bc d ，，，的取值唯一 B ．ab c d +≥，且等号成立时a bc d ，，，的取值唯一 C ．ab c d +≤，且等号成立时a bc d ，，，的取值不唯一 D ．ab c d +≥，且等号成立时a bc d ，，，的取值不唯一 答案：A利用基本不等式及等号成立的条件即可得到. 解：42a b ab =+≥∴当且仅当2a b ==等号成立，242c d cd +⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭即4c d +≥， ∴当且仅当2c d ==等号成立，∴ab c d +≤且2a b c d ====等号成立故选：A 点评：本题考查了基本不等式及等号成立的条件，属于较易题.5．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（） A ．0d < B ．0d >C ．10a d <D ．10a d>答案：C试题分析：因为{}n a 是等差数列，则2111(1)1(1)22n a a a a n dn a a n d +-=+-∴=，又由于{}12na a 为递减数列，所以1111-01221202nn a a a d a a a d +=>=∴<，故选C.【考点】1.等差数列的概念；2.递减数列.6．已知实数,x y 满足2246120x y x y +-++=则22x y --的最小值是（）A．5- B．4 C1- D．答案：A根据已知条件把2246120x y x y +-++=转化为圆的标准方程，可得到圆心坐标及半径，而22x y --即可看到圆上的点到直线220x y --=距离的最小值. 解：2246120x y x y +-++=，()()22231x y ∴-++=，即圆心C ()2,3-，半径1r =，22x y --=∴可看到圆上的点(),P x y 到直线220x y --=距离，∴圆上的点(),P x y 到直线220x y --=距离的最小值为圆心C 到直线220x y --=距离d 减去半径即d r -，43255d +-==，∴圆上的点(),P x y 到直线220x y --=距离的最小值为51d r -=-， ∴22x y --的最小值为55-故选：A 点评：本题考查了圆上的点到定直线的距离的最小值，考查了学生的计算能力，属于一般题. 7．定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令a b mq np =-.下面说法错误的是A ．若a b 与共线，则0a b =B ．ab b a =C ．对任意的,()R a b a b λλλ∈=有（）D ．2222()()ab a b a b +⋅=答案：B 解：若a 与b 共线，则有=mq-np=0a b ，故A 正确；因为，而=mq-np ab ，所以有a b ba ≠，故选项B 错误；因为(,)(,)a b m n p q mq nqλλλλλ==-（），()()ab mq np mq np λλλλ=-=-，所以选项C 正确；2222222222222222()()()()()()ab a b mq np mp nq m q n p m p n q m n q p +⋅=--+=+++=++，222222=()()m n a p q b ++，所以选项D 正确.故选B ．8．对于给定正数k ，定义(),()(),()k f x f x k f x k f x k≤⎧=⎨>⎩，设22()252f x ax ax a a =--++，对任意x ∈R 和任意(,0)a ∈-∞恒有()()k f x f x =，则（） A ．k 的最大值为2 B ．k 的最小值为2C ．k 的最大值为1D ．k 的最小值为1答案：B根据已知条件可得：()f x k ≤对任意x ∈R 恒成立，即max ()k f x ≥，结合二次函数的性质可求函数()f x 的最大值即可. 解：因为对任意x ∈R 和任意(,0)a ∈-∞恒有()()k f x f x =， 根据已知条件可得：()f x k ≤对任意x ∈R 恒成立， 即max ()k f x ≥，()22()252,,0f x ax ax a a a =--++∈-∞，()22()1252f x a x a a ∴=--++， ∴当1,0x a ==时有max ()2f x =，即2k ≥故选：B 点评：本题考查了不等式恒成立问题以及二次函数的性质，属于一般题.9．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（）A ．B ．C ．D ．答案：B在平面BCC 1B 1上，P 到直线C 1D 1的距离为|PC 1|，∵P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等， ∴点P 到点C 1的距离与到直线BC 的距离相等， ∴轨迹为抛物线,且点C 1为焦点，BC 为准线； 故排除C ，D ， 同理可得， 在平面ABB 1A 1上，点P 到点B 的距离与到直线C 1D 1的距离相等， 从而排除A ， 本题选择B 选项.10．设函数22sin 2()cos 2a a x f x a a x ++=++的最大值为()M a ，最小值为()m a ，则（）A ．000,()()2a R M a m a ∃∈⋅=B ．,()()2a R M a m a ∀∈+=C ．000,()()1a R M a m a ∃∈+=D ．,()()1a R M a m a ∀∈⋅=答案：D将函数整理为()()()2sin cos 21a x y x a y -=+-，再由辅助角公式和正弦函数的值域，得到不等式，结合韦达定理，即可得到答案. 解：因为22sin 2cos 2a a x y a a x ++=++，所以有()()()2sin cos 21a x y x a y -=+-，即()()()221x a y ϕ-=+-，ϕ为辅助角，因为()()sin 1x x R ϕ-≤∈，所以()()221a y +-≤，化简得：()()()24222423422340a a y a y a a ++-++++≤，由于42340a a ++>恒成立， 则判别式：()()()422422424243442780a a a a a a ∆=+-++=++>恒成立，即有不等式的解集为{}(),()m a M a ， 由韦达定理可得,()()1a R M a m a ∀∈⋅= 故选：D 点评：本题考查了利用三角函数的范围，辅助角公式以及韦达定理，考查了学生的计算能力，属于较难题. 二、双空题11．已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =_______，(1)f a -=______；根据已知条件可得()4log 30,1a =∈，所以直接把4log 3a =代入即可求出()f a ，()11,0a -∈-，即有()10,1a -∈，再代入计算即可.解：()4log 30,1a =∈，4log 3()22a f a ∴===()11,0a -∈-， ()10,1a ∴-∈，444log 1log 313(1)2223af a --∴-====，(1)f a ∴-=点评：本题考查了对数，指数的运算，考查了学生的计算能力，属于一般题.12．已知2()3)n f x x =展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为______；展开式中系数最大的项为______. 答案：10263405x由题意令1x =可得展开式中各项系数和为4n ，二项式系数和2n ，再根据已知条件可得到5n =，即可求出. 解：2()3)n f x x =，∴令1x =可得展开式中各项系数和为4n ，且二项式系数和2n ，展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，∴42992n n -=解得5n =，则展开式中最大的二项式系数为235510C C ==； 设展开式中第1k +项的系数最大， 由二项式定理可得展开式为()()2104523315533k k kkk kk TC xx C x+-+==，则115511553333k k k k k k k k C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩， 所以3161351k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得：7922k ≤≤， 因为k Z ∈， 所以4k =，因此当4k =时展开式中第5项系数最大的项为263405x 故答案为：10；263405x 点评：本题考查了二项式的展开式以及系数和，考查了学生的计算能力，属于一般题. 13．将字母,,,,,a a b b c c 放入32⨯的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下1ξ=）答案：155（填0.6也对） 分类讨论计算出满足条件的基本事件个数，以及所有的基本事件个数，代入概率计算公式即可；计算出对对应的得分数ξ的概率，代入期望公式即可. 解：第一种：当每一列都不一样时有：第一列,,a b c 三个全排有33A ，第二列剩下的,,a b c 三个全排也有33A ， 第二种：在一列中有其中两个是一样的则有：12113323C C C C ，所以总的基本事件个数有：33121133332390N A A C C C C =+=，当每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的基本事件个数有：3113212N A C ==，记事件“每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同”为A ， 则()11229015N p A N ===； 因为所得分数ξ可能取值为：0，1，3， 则有：()()()483660,1,3909090p p p ξξξ======，所以有48366543139090909005E ξ+⨯+⨯===⨯ 故答案为：215；35点评：本题考查了离散型随机变量的概率和期望的计算，考查了学生的计算能力，属于一般题.14．已知,,a b c 都是单位向量，且12a b ⋅=-，1b c +-⋅的最小值为_____；最大值为________答案：2根据题意可设()()[]131,0,,,cos ,sin ,0,222a b c θθθπ⎛⎫==-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，再代入1b c +-⋅，利用二倍角公式进行化简、求三角函数的值域即可.解：因为,,a b c 都是单位向量，且12a b ⋅=-， 设()()[]131,0,,,cos ,sin ,0,222a b c θθθπ⎛⎫==-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，11cos b c +-⋅=-2226θθθπ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭取当取sin0,cos 0226θθπ⎛⎫≥+≥ ⎪⎝⎭时， 即20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，12sin226b c θθπ⎛⎫+-⋅=++ ⎪⎝⎭22623θθπθπ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，61,b c ⎡+-⋅∈⎢⎣，同理当2,23πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有12sin226b cθθπ⎛⎫+-⋅=+⎪⎝⎭22626θθπθπ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,23πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，61,2b c⎡+-⋅∈⎢⎣1bc+-⋅的最小值为2故答案为：2点评：本题考查了向量的坐标运算以及三角函数的化简、求值域，考查了学生的计算能力，属于较难题.三、填空题15．已知方程22(1)(9)1k x k y-+-=，若该方程表示椭圆方程，则k的取值范围是_______；答案：15k<<或59k<<先对方程进行化简成椭圆的标准方程，再利用椭圆的定义可得到k的取值范围.解：因为方程22(1)(9)1k x k y-+-=，所以22111(1)(9)x yk k+=--，所以有1(1)1(9)11(1)(9)kkk k⎧>⎪-⎪⎪>⎨-⎪⎪≠⎪--⎩即15k<<或59k<<故答案为：15k<<或59k<<点评：本题考查了椭圆的定义，考查了学生的计算能力，属于较易题.16．已知正四面体ABCD 和平面α，BC α⊂，正四面体ABCD 绕边BC 旋转，当AB 与平面α所成角最大时，CD 与平面α所成角的正弦值为______ 答案：36由已知条件可得当AB 与平面α所成角最大时即平面ABC α⊥，以BC 的中点为原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，代入线面角公式即可求出. 解：由题意可得：当AB 与平面α所成角最大时即平面ABC α⊥， 以BC 的中点为原点建立空间直角坐标系O xyz -（如图），过D 作DE ⊥平面ABC ，垂足为E ，设2BC =，则()2631,0,0,0,33C D ⎛ ⎝⎭，即2631,33CD →⎛=- ⎝⎭, 设CD 与平面α所成角为θ，平面α的法向量为()0,0,1n →=，则3sin cos ,6CD nCD n CD nθ→→→→→→===即CD 与平面α3 3 点评：本题考查了利用向量法求线面角的正弦值，考查了学生的计算能力，属于一般题.17．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点，且1||||OF OA =，延长AO 交双曲线右支于点C ，若11||2||CF BF =，则该双曲线的离心率为_________ 答案：173取双曲线的右焦点2F ,连接2CF ，延长交双曲线于D ，连接21,AF DF ，由平面几何的性质可得四边形12F AF C 为矩形，设1122CF BF m ==，运用双曲线的定义和对称性，结合勾股定理，化简可得34m a =，代入方程结合离心率公式即可求出. 解：取双曲线的右焦点2F ,连接2CF ，延长交双曲线于D ，连接21,AF DF ，（如图）由12OA OF OC OF c ====， 可得四边形12F AF C 为矩形， 设1122CF BF m ==，由对称性可得：2DF m =，22144AF c m =-即有22244CF c m =-由双曲线的定义可得：22122244a CF CF m c m =-=-在直角三角形1DCF 中，221144,2,2DC m c m CF m DF a m =-==+，可得()()(222222244a m m m c m+=+-，②由①②可得34m a =，即43am =，代入①可得：8223a a m == 化简可得：22179c a =，即有3c e a ==点评：本题考查了双曲线的定义以及性质，考查了学生的计算能力，属于较难题. 四、解答题18．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a b C B =. （1）求角B 的大小；（2）求22sin sin A C +的取值范围. 答案：（1）3π（2）33(,]42(1)根据题意可利用正弦定理把边转化为角，再用两角和的正弦即可；(2)先利用二倍角公式进行化简，再利用角度范围即可求22sin sin A C +的取值范围. 解： （1）由题意sin sin cos sin 3A B C C B =+sin()sin cos sin B C B C C B +=sin cos cos sin sin cos sin B C B C B C C B +=+cos sin sin B C C B =sinC 0≠()3cos sin ,0,3tan 33B B B B B ππ∴=∈∴=∴=（2）221cos 21cos 21sin sin 1(cos 2cos 2C)222A C A C A --+=+=-+ 12141[cos 2cos 2()]1[cos 2cos(2)]232311311(cos 2sin 2)1cos(2)2223A A A A A A A πππ=-+-=-+-=--=-+2(0,)352(,)333A A ππππ∈∴+∈1cos(2)[1,)32A π∴+∈-22133sin A sin C 1cos(2)(,]2342A π∴+=-+∈点评：本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，二倍角公式，考查了学生的计算能力，属于一般题.19．如图所示，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，120ABC DBC ∠=∠=，E ，F 分别为AC ，DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值. 答案：(1)见解析25试题分析：（1）（方法一）过E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连OF ，由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC ，所以∠EOC=∠FOC=2π，即FO ⊥BC ，又EO ⊥BC ，因此BC ⊥面EFO ，即可证明EF ⊥BC.（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得1331 (0,,),(,,0)2222E F,所以33(,0,),(0,2,0)22EF BC=-=，因此0EF BC⋅=,从而得EF BC⊥；（2）（方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF，因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO=12EC=12BC·cos30°=32，由△BGO∽△BFC知，34BOOG FCBC=⋅=,因此tan ∠EGO=2EOOG=,从而sin∠EGO=255，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为1(0,0,1)n=，设平面BEF的法向量2(,,)n x y z=，又,由22{n BFn BE⋅=⋅=得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212cos cos,5n nn nn nθ⋅===⋅，因此sin∠EGO=25，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（1）证明：（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=2π，即FO⊥BC，又EO ⊥BC ，因此BC ⊥面EFO ， 又EF ⊂面EFO ，所以EF ⊥BC.（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B （0,0,0），A(0，-1，3),D(3,-1,0)，C(0,2,0),因而1331(0,,),(,,0)22E F ,所以33(,0,),(0,2,0)22EF BC =-=，因此0EF BC ⋅=,从而EF BC ⊥，所以EF BC ⊥.（2）（方法一）在图1中，过O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ，从而EO ⊥面BDC ，又OG ⊥BF ，由三垂线定理知EG 垂直BF. 因此∠EGO 为二面角E-BF-C 的平面角； 在△EOC 中，EO=12EC=12BC ·cos30°=3，由△BGO ∽△BFC 知，34BO OG FC BC =⋅=,因此tan ∠EGO=2EO OG=,从而sin ∠EGO=25，即二面角E-BF-C 的正弦值为25.（方法二）在图2中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =，又3113(,,0),(0,,)2222BF BE ==,由220{0n BF n BE ⋅=⋅=得其中一个，设二面角E-BF-C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212cos cos ,5n n n n n n θ⋅===⋅，因此sin ∠25，即二面角E-BF-C 的正弦25. 【考点】1.线面垂直的判定；2.二面角.20．已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1n S >，且*6(1)(2),n n n S a a n N =++∈（1）求{n a }的通项公式；（2）设数列{}n b 满足(21)1n bn a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：*231log (3),n n T a n N +>+∈答案：（1）31n a n =-（2）见解析(1)利用已知n S 与n a 的关系求{n a }的通项公式； (2)先根据(1)的结论求出23log 31n nb n =-，再求出{}n b 的前n 项和n T ，利用放缩法证明不等式. 解：解：（1）由1112111(1)(1),16a S a a a S ==++=>结合，因此12a = 由111111(1)(2)(1)(2)66n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++-++得11()(3)0n n n n a a a a +++--=，又0n a >，得13n n a a +-=从而{n a }是首项为2公差为3的等差数列，故{n a }的通项公式为31n a n =- （2）由(21)1n bn a -=可得23log 31n nb n =-，从而 2363log (...)2531n nT n =⋅⋅⋅-323633log (...)2531n n T n =⋅⋅⋅-=3332363log [()()...()]2531n n ⋅⋅⋅-3313231331n n n n n n ++>>-+ 3333132()3131331n n n n n n n n ++∴>⋅⋅--+于是33323633log [()()...()]2531n n T n =⋅⋅⋅-223456783313232log [()()...()]log 234567313312n n n n n n n +++>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-+2231log (32)log (3)n n T n a ∴+>+=+点评：本题考查了已知n S 与n a 的关系求{n a }的通项公式以及利用放缩法证明不等式，属于较难题.21．已知,A B 是抛物线2x y =-上位于y 轴两侧的不同两点（1）若CD 在直线4y x =+上，且使得以ABCD 为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积.（2）求过A 、B 的切线与直线1y =-围成的三角形面积的最小值；答案：（1）18或50；（2(1)联解直线方程和抛物线方程，可求出AB 的弦长||AB =，再结合已知条件以ABCD 为顶点的四边形为正方形可得到正方形的边长，从而可求得面积； (2)分别求出切线方程，由切线方程求出交点坐标，代入三角形的面积公式，利用基本不等式求出面积的最小值. 解：（1）设直线:AB y x b =+联立直线AB 与抛物线方程得：20x x b ++=易得：||AB =直线AB 与CD=26b =--或所以该正方形的边长为面积为18或50；（2）设2(,)A a a -，2(,)B b b -（由对称性不妨设0,0a b <>）则A 处的切线方程为：22y ax a =-+，与直线1y =-交点记为M ，则21(,1)2a M a+-则B 处的切线方程为：22y bx b =-+，与直线1y =-交点记为N ，则21(,1)2b N b+-两条切线交点P (,)2a bab +-2222111()(1)222()(1)(1)()4()(1)4)4PMNb aS abb ab a ab abt aabb t btbtbtbt++=--+---+==-++=+≥△令于是2222222()(1)21111333(1)2qqqq qqq==+=+=+++≥+∴≥=当b a=-=时取到等号点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系求弦长，求过点的切线方程，利用基本不等式求最小值，考查了学生的计算能力，属于较难题.22．已知函数()xf x e x=+，（a R∈）其图象与x轴交于12(,0),(,0)A xB x两点，且12x x<. （1）求a的取值范围；（2）证明：123'()04x xf+<；（'()f x为()f x的导函数）；（3）设点C在函数()f x的图象上，且ABC∆为等边三角形，记t=，求(1)(t a-的值.答案：（1）见解析;（2）-.【试题分析】（1）依据题设条件运用导数的知识分析探求；（2）运用题设条件中的坐标关系，巧妙借助导数的知识求解：（1）∵()x f x e ax =+，∴()'xf x e a =+，若0a ≥，则()'0f x >，则函数()f x 在R 上单调递增，这与题设矛盾.∴0a <易知()f x 在()(),ln a -∞-上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增，∴()()()()min ln ln f x f a a a a =-=-+-，且x →-∞时，()f x →+∞；x →-∞时，()f x →+∞，∴()()ln ln 0f a a a a =-+-<，两式相减得2121x x e e a x x -=--.记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221'222x x x x x x s s x x e e e f e s e e x x s ++-+-⎛⎫⎡⎤=-=-- ⎪⎣⎦-⎝⎭，设()()2s s g s s e e -=--，则()()'20s s g s e e -=-+<，∴()g s 是单调减函数，则有()()00g s g <=，而12202x x e s +>， ∴12'02x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭，又∵()'x f x e a =+是单调增函数，且1212342x x x x ++<， ∴12123''042x x x x f f ++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由12120{0x x e ax e ax +=+=得1212{x x e ax e ax =-=-，∴122x x e +=-()00,P x y ，在等边三角形ABC 中，易知()12012,2x x x x x +=∈，()000y f x =<，由等边三角形性质知)2102x x y -=-，∴)21002x x y -+=，即())1221221022x x x x a e x x +-+++=，∴())2121022x x a x x --+++=， ∵10x >，∴212111022x x x a x ⎫+-⎪⎛⎫⎝⎭-++= ⎪⎝⎭， ∴())2211022t a at t --+++=，(220a t at a +-+=，∴(()10a t a t ⎡⎤+-=⎣⎦，又∵1t >，∴(0a t a +=，∴t =1t -=()(1t a -=-. 点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数的有关知识在研究函数的单调性与极值（最值）等方面的综合运用．求解第一问时，充分借助题设条件运用分析推证的思想方法求解；解答第二问时，则借助题设中的坐标进分析推证；第三问则依据等边三角形的题设条件进行分析探求，综合运用等价转化的数学思想及数形结合的思想和意识，从而使得问题简捷、巧妙地获解．。

杭州建人高复2020届第二学期模拟测试数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+；V Sh =如果事件,A B 相互独立，那么椎体的体积公式()()()P A B P A P B ⋅=⋅；13V Sh =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么球的表面积公式n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率24S R π=()(1)k kn k n n P k C P P -=-（k =0，1，…，n ）.球的体积公式台体的体积公式343V R π=选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,U =2，3，4，5，6}，集合{}1,4P =，{}3,5Q =，则()(UP Q ⋃=)A. {}2,6B. {2,3，5，6}C. {1,3，4，5}D. {1,2，3，4，5，6}【答案】A 【解析】 【分析】进行并集、补集的运算即可．【详解】P ∪Q={1，3，4，5}；∴∁U （P∪Q）={2，6}． 故选A ．【点睛】考查列举法表示集合概念，并集、补集的运算,属于基础题. 2.已知a ，b ∈R ，21i =-则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的基本运算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：因为2222()a abi b a bi =+-+， 若1a b ==，则等式成立，即充分性成立，若2(i)2i a b +=成立，即2222a abi b i -=+，所以22022a b ab ⎧-=⎨=⎩解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩即必要性不成立，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的充分不必要条件， 故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复数的基本运算是解决本题的关键，属于基础题．3.某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )A. 16+8πB. 8+8πC. 16+16πD. 8+16π【答案】A 【解析】试题分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体， 半圆柱的底面半径为2，故半圆柱的底面积212=22S ππ=⨯⨯，半圆柱的高4h =． 故半圆柱的体积为8π，长方体的长宽高分别为422，，，故长方体的体积为42216⨯⨯=， 故该几何体的体积为168π+，选A 考点：三视图，几何体的体积4.如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） A. ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 B. ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 C. ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 D. ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 【答案】A 【解析】正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2()2c d cd +≤，∴ c+d≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2，选A ．5.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ） A. 0d < B. 0d >C. 10a d <D. 10a d >【答案】C 【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，则2111(1)1(1)22n a a a a n dn a a n d +-=+-∴=，又由于{}12na a 为递减数列，所以1111-01221202nn a a a d a a a d +=>=∴<，故选C.考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.6.已知实数,x y 满足2246120x y x y +-++=则22x y --的最小值是（ ）A. 55-B. 45-C. 51-D. 55【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件把2246120x y x y +-++=转化为圆的标准方程，可得到圆心坐标及半径，而22x y --可转化为2255x y --⨯即可看到圆上的点到直线220x y --=距离的最小值. 【详解】2246120x y x y +-++=，()()22231x y ∴-++=，即圆心C ()2,3-，半径1r =，222255x y x y ----=⨯，∴225x y --可看到圆上的点(),P x y 到直线220x y --=距离，∴圆上的点(),P x y 到直线220x y --=距离的最小值为圆心C 到直线220x y --=距离d 减去半径即d r -，43255d +-==∴圆上的点(),P x y 到直线220x y --=距离的最小值为51d r -=， ∴22x y --的最小值为55【点睛】本题考查了圆上的点到定直线的距离的最小值，考查了学生的计算能力，属于一般题.7.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令a b mq np =-.下面说法错误的是A. 若a b 与共线，则0a b =B. ab b a =C. 对任意的,()R a b a b λλλ∈=有（）D. 2222()()ab a b a b +⋅=【答案】B 【解析】【详解】若a 与b 共线，则有=mq-np=0ab ，故A 正确；因为，而=mq-np a b ，所以有a b b a ≠，故选项B 错误；因为(,)(,)a b m n p q mq nq λλλλλ==-（），()()ab mq np mq np λλλλ=-=-，所以选项C 正确；2222222222222222()()()()()()ab a b mq np mp nq m q n p m p n q m n q p +⋅=--+=+++=++，222222=()()m n a p q b ++，所以选项D 正确.故选B ．8.对于给定正数k ，定义(),()(),()k f x f x k f x k f x k≤⎧=⎨>⎩，设22()252f x ax ax a a =--++，对任意x ∈R 和任意(,0)a ∈-∞恒有()()k f x f x =，则（ ） A. k 的最大值为2 B. k 的最小值为2 C. k 的最大值为1 D. k 的最小值为1 【答案】B 【解析】根据已知条件可得：()f x k ≤对任意x ∈R 恒成立，即max ()k f x ≥，结合二次函数的性质可求函数()f x 的最大值即可.【详解】因为对任意x ∈R 和任意(,0)a ∈-∞恒有()()k f x f x =， 根据已知条件可得：()f x k ≤对任意x ∈R 恒成立， 即max ()k f x ≥，()22()252,,0f x ax ax a a a =--++∈-∞，()22()1252f x a x a a ∴=--++， ∴当1,0x a ==时有max ()2f x =，即2k ≥故选：B【点睛】本题考查了不等式恒成立问题以及二次函数的性质，属于一般题.9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】在平面BCC1B1上，P到直线C1D1的距离为|PC1|，∵P到直线BC与直线C1D1的距离相等，∴点P到点C1的距离与到直线BC的距离相等，∴轨迹为抛物线,且点C1为焦点，BC为准线；故排除C，D，同理可得，在平面ABB1A1上，点P到点B的距离与到直线C1D1的距离相等，从而排除A ， 本题选择B 选项.10.设函数22sin 2()cos 2a a x f x a a x ++=++的最大值为()M a ，最小值为()m a ，则（ ）A. 000,()()2a R M a m a ∃∈⋅=B. ,()()2a R M a m a ∀∈+=C. 000,()()1a R M a m a ∃∈+=D. ,()()1a R M a m a ∀∈⋅=【答案】D 【解析】 【分析】将函数整理为()()()2sin cos 21a x y x a y -=+-，再由辅助角公式和正弦函数的值域，得到不等式，结合韦达定理，即可得到答案.【详解】因为22sin 2cos 2a a x y a a x ++=++，所以有()()()2sin cos 21a x y x a y -=+-，即()()()221x a y ϕ-=+-，ϕ为辅助角，因为()()sin 1x x R ϕ-≤∈，所以()()221a y +-≤，化简得：()()()24222423422340a a y a y a a ++-++++≤，由于42340a a ++>恒成立， 则判别式：()()()422422424243442780a a a a a a ∆=+-++=++>恒成立，即有不等式的解集为{}(),()m a M a ， 由韦达定理可得,()()1a R M a m a ∀∈⋅= 故选：D【点睛】本题考查了利用三角函数的范围，辅助角公式以及韦达定理，考查了学生的计算能力，属于较难题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =_______，(1)f a -=______；【答案】3- 【解析】 【分析】根据已知条件可得()4log 30,1a =∈，所以直接把4log 3a =代入即可求出()f a ，()11,0a -∈-，即有()10,1a -∈，再代入计算即可.【详解】()4log 30,1a =∈，4log 3()22a f a ∴===()11,0a -∈-， ()10,1a ∴-∈，444log 1log 313(1)2223af a --∴-====，(1)f a ∴-=3-【点睛】本题考查了对数，指数的运算，考查了学生的计算能力，属于一般题.12.已知方程22(1)(9)1k x k y -+-=，若该方程表示椭圆方程，则k 的取值范围是_______； 【答案】15k <<或59k << 【解析】 【分析】先对方程进行化简成椭圆的标准方程，再利用椭圆的定义可得到k 的取值范围. 【详解】因为方程22(1)(9)1k x k y -+-=，所以22111(1)(9)x y k k +=--，所以有10(1)10(9)11(1)(9)k k k k ⎧>⎪-⎪⎪>⎨-⎪⎪≠⎪--⎩即15k <<或59k <<故答案为：15k <<或59k <<【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了学生的计算能力，属于较易题.13.已知2()3)n f x x =展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为______；展开式中系数最大的项为______. 【答案】 (1). 10 (2). 263405x 【解析】 【分析】由题意令1x =可得展开式中各项系数和为4n ，二项式系数和2n ，再根据已知条件可得到5n =，即可求出.【详解】2()3)n f x x =，∴令1x =可得展开式中各项系数和为4n ，且二项式系数和2n ，展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，∴42992n n -=解得5n =，则展开式中最大的二项式系数为235510C C ==； 设展开式中第1k +项的系数最大， 由二项式定理可得展开式()()2104523315533k k kk k kk T C xx C x+-+==，则115511553333k k k k k k k k C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，所以3161351k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得：7922k ≤≤， 因为k Z ∈， 所以4k =，因此当4k =时展开式中第5项系数最大的项为263405x 故答案为：10；263405x【点睛】本题考查了二项式的展开式以及系数和，考查了学生的计算能力，属于一般题. 14.将字母,,,,,a a b b c c 放入32⨯的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下1ξ=）【答案】 (1). 215 (2). 35（填0.6也对） 【解析】 【分析】分类讨论计算出满足条件的基本事件个数，以及所有的基本事件个数，代入概率计算公式即可；计算出对对应的得分数ξ的概率，代入期望公式即可. 【详解】第一种：当每一列都不一样时有：第一列,,a b c 三个全排有33A ，第二列剩下的,,a b c 三个全排也有33A ，第二种：在一列中有其中两个是一样的则有：12113323C C C C ，所以总的基本事件个数有：33121133332390N A A C C C C =+=，当每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的基本事件个数有：3113212N A C ==，记事件“每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同”为A ， 则()11229015N p A N ===； 因为所得分数ξ可能取值为：0，1，3，则有：()()()483660,1,3909090p p p ξξξ======， 所以有48366543139090909005E ξ+⨯+⨯===⨯ 故答案为：215；35【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率和期望的计算，考查了学生的计算能力，属于一般题.15.已知正四面体ABCD 和平面α，BC α⊂，正四面体ABCD 绕边BC 旋转，当AB 与平面α所成角最大时，CD 与平面α所成角的正弦值为______【解析】 【分析】由已知条件可得当AB 与平面α所成角最大时即平面ABC α⊥，以BC 的中点为原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，代入线面角公式即可求出.【详解】由题意可得：当AB 与平面α所成角最大时即平面ABC α⊥， 以BC 的中点为原点建立空间直角坐标系O xyz -（如图），过D 作DE ⊥平面ABC ，垂足为E ，设2BC =，则()2631,0,0,0,33C D ⎛ ⎝⎭，即2631,33CD →⎛=- ⎝⎭,设CD 与平面α所成角为θ，平面α的法向量为()0,0,1n →=，则3sin cos ,6CD nCD n CD nθ→→→→→→===即CD 与平面α所成角的正弦值为363【点睛】本题考查了利用向量法求线面角的正弦值，考查了学生的计算能力，属于一般题.16.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点，且1||||OF OA =，延长AO 交双曲线右支于点C ，若11||2||CF BF =，则该双曲线的离心率为_________ 17【解析】 【分析】取双曲线的右焦点2F ,连接2CF ，延长交双曲线于D ，连接21,AF DF ，由平面几何的性质可得四边形12F AF C 为矩形，设1122CF BF m ==，运用双曲线的定义和对称性，结合勾股定理，化简可得34m a =，代入方程结合离心率公式即可求出.【详解】取双曲线的右焦点2F ,连接2CF ，延长交双曲线于D ，连接21,AF DF ，（如图）由12OA OF OC OF c ====， 可得四边形12F AF C 为矩形， 设1122CF BF m ==，由对称性可得：2DF m =，22144AF c m =-即有22244CF c m =-由双曲线的定义可得：22122244a CF CF m c m =-=-在直角三角形1DCF 中，221144,2,2DC m c m CF m DF a m =-==+，可得()()(222222244a m m m c m+=+-，②由①②可得34m a =，即43am =， 代入①可得：22228642244439a a a m c m c =-=-化简可得：22179c a =， 即有173c e a ==17【点睛】本题考查了双曲线的定义以及性质，考查了学生的计算能力，属于较难题.17.已知,,a b c 都是单位向量，且12a b ⋅=-1b c +-⋅的最小值为_____；最大值为________【答案】 【解析】 【分析】根据题意可设()()[]131,0,,,cos ,sin ,0,222a b c θθθπ⎛⎫==-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，再代入1b c +-⋅，利用二倍角公式进行化简、求三角函数的值域即可.【详解】因为,,a b c 都是单位向量，且12a b ⋅=-， 设()()[]131,0,,,cos ,sin ,0,222a b c θθθπ⎛⎫==-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，11cos b c +-⋅=-2226θθθπ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭取当取sin0,cos 0226θθπ⎛⎫≥+≥ ⎪⎝⎭时， 即20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，12sin226b c θθπ⎛⎫+-⋅=++ ⎪⎝⎭22623θθπθπ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，61,b c ⎡+-⋅∈⎢⎣， 同理当2,23πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有12sin226b c θθπ⎛⎫+-⋅=+ ⎪⎝⎭22626θθπθπ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,23πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，61,2b c ⎡+-⋅∈⎢⎣1b c +-⋅的最小值为2【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数的化简、求值域，考查了学生的计算能力，属于较难题.三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.18.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 3a b C B =+. （1）求角B 的大小；（2）求22sin sin A C +的取值范围. 【答案】（1）3π（2）33(,]42【解析】 【分析】(1)根据题意可利用正弦定理把边转化为角，再用两角和的正弦即可；(2)先利用二倍角公式进行化简，再利用角度范围即可求22sin sin A C +的取值范围. 【详解】（1）由题意sin sin cos sin 3A B C C B =+sin()sin cos sin 3B C B C C B +=+sin cos cos sin sin cos sin B C B C B C C B +=3cos sin sin sinB C C B=sinC0≠()3cos sin,0,3tan33B B BBBππ∴=∈∴=∴=（2）221cos21cos21sin sin1(cos2cos2C)222A CA C A--+=+=-+12141[cos2cos2()]1[cos2cos(2)]232311311(cos2sin2)1cos(2)2223A A A AA A Aπππ=-+-=-+-=--=-+2(0,)352(,)333AAππππ∈∴+∈1cos(2)[1,)32Aπ∴+∈-22133sin A sin C1cos(2)(,]2342Aπ∴+=-+∈【点睛】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，二倍角公式，考查了学生的计算能力，属于一般题.19.如图所示，ABC∆和BCD∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD===，120ABC DBC∠=∠=，E，F分别为AC，DC的中点.（1）求证：EF BC⊥；（2）求二面角E BF C--的正弦值.【答案】(1)见解析(2)255【解析】试题分析：（1）（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=2π，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，即可证明EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得1331(0,,),(,,0)2222E F,所以33(,0,),(0,2,0)22EF BC=-=，因此0EF BC⋅=,从而得EF BC⊥；（2）（方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF，因此∠EGO为二面角E-BF-C 的平面角；在△EOC中，EO=12EC=12BC·cos30°=3，由△BGO∽△BFC知，34BOOG FCBC=⋅=,因此tan∠EGO=2EOOG=,从而sin∠EGO=25，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为1(0,0,1)n=，设平面BEF的法向量2(,,)n x y z=，又,由22{n BFn BE⋅=⋅=得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212cos cos,5n nn nn nθ⋅===⋅，因此25，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.（1）证明：（方法一）过E 作EO⊥BC，垂足为O ，连OF ，由△ABC≌△DBC 可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=2π，即FO⊥BC， 又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO ， 又EF ⊂面EFO ，所以EF⊥BC.（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B （0,0,0），A(0，-133,-1,0)，C(0,2,0),因而1331(0,,0)22E F ,所以33(,0,),(0,2,0)EF BC =-=，因此0EF BC ⋅=,从而EF BC ⊥，所以EF BC ⊥.（2）（方法一）在图1中，过O 作OG⊥BF，垂足为G ，连EG ，由平面ABC⊥平面BDC ，从而EO⊥平面BDC ，从而EO⊥面BDC ，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG 垂直BF. 因此∠EGO 为二面角E-BF-C 的平面角； 在△EOC 中，EO=12EC=12BC·cos30°=32，由△BGO∽△BFC 知，3BO OG FC BC =⋅=,因此tan∠EGO=2EO OG=,从而25，即二面角E-BF-C 25.（方法二）在图2中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =，又3113(,,0),(0,,)222BF BE ==,由220{0n BF n BE ⋅=⋅=得其中一个，设二面角E-BF-C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212cos cos ,5n n n n n n θ⋅===⋅，因此25，即二面角E-BF-C 的正弦值为25. 考点：1.线面垂直的判定；2.二面角.20.已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1n S >，且*6(1)(2),n n n S a a n N =++∈（1）求{n a }的通项公式；（2）设数列{}n b 满足(21)1n bn a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：*231log (3),n n T a n N +>+∈【答案】（1）31n a n =-（2）见解析 【解析】 【分析】(1)利用已知n S 与n a 的关系求{n a }的通项公式； (2)先根据(1)的结论求出23log 31n nb n =-，再求出{}n b 的前n 项和n T ，利用放缩法证明不等式.【详解】解：（1）由1112111(1)(1),16a S a a a S ==++=>结合，因此12a = 由111111(1)(2)(1)(2)66n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++-++得11()(3)0n n n n a a a a +++--=，又0n a >，得13n n a a +-=从而{n a }是首项为2公差为3的等差数列，故{n a }的通项公式为31n a n =- （2）由(21)1n bn a -=可得23log 31n nb n =-，从而 2363log (...)2531n nT n =⋅⋅⋅-323633log (...)2531n n T n =⋅⋅⋅-=3332363log [()()...()]2531n n ⋅⋅⋅- 3313231331n n n n n n ++>>-+ 3333132()3131331n n n n n n n n ++∴>⋅⋅--+ 于是33323633log [()()...()]2531n n T n =⋅⋅⋅- 223456783313232log [()()...()]log 234567313312n n n n n n n +++>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-+ 2231log (32)log (3)n n T n a ∴+>+=+【点睛】本题考查了已知n S 与n a 的关系求{n a }的通项公式以及利用放缩法证明不等式，属于较难题.21.已知,A B 是抛物线2x y =-上位于y 轴两侧的不同两点 （1）若CD 在直线4y x =+上，且使得以ABCD 为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积.（2）求过A 、B 的切线与直线1y =-围成的三角形面积的最小值；【答案】（1）18或50；（2）9 【解析】【分析】(1)联解直线方程和抛物线方程，可求出AB 的弦长||AB =，再结合已知条件以ABCD 为顶点的四边形为正方形可得到正方形的边长，从而可求得面积；(2)分别求出切线方程，由切线方程求出交点坐标，代入三角形的面积公式，利用基本不等式求出面积的最小值.【详解】（1）设直线:AB y x b =+ 联立直线AB 与抛物线方程得：20x x b ++=易得：||AB =直线AB与CD=26b=--或所以该正方形的边长为面积为18或50；（2）设2(,)A a a-，2(,)B b b-（由对称性不妨设0,0a b<>）则A处的切线方程为：22y ax a=-+，与直线1y=-交点记为M，则21(,1)2aMa+-则B处的切线方程为：22y bx b=-+，与直线1y=-交点记为N，则21(,1)2bNb+-两条切线交点P(,)2a bab+-2222111()(1)222()(1)(1)()4()(1)4)4PMNb aS abb ab a ab abt aabb t btbtbtbt++=--+---+==-++=+≥△令于是2222222()(1)21111333(1)29qqqq qqq==+=+=+++≥+∴≥=当3b a=-=时取到等号【点睛】本题考查了直线与抛物线位置关系求弦长，求过点的切线方程，利用基本不等式求最小值，考查了学生的计算能力，属于较难题.22.设函数()()xf x e x a a α=-+∈R ，其图象与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围；（2）证明：f 0（f ′（x ）为函数f （x ）的导函数）；（3）设点C 在函数y ＝f （x ）的图象上，且△ABC =t ，求（a ﹣1）（t ﹣1）的值．【答案】（1）见解析; （2）见解析（3）2【解析】【详解】（1）∵f （x ）＝e x ﹣ax +a ，∴f '（x ）＝e x ﹣a ， 若a ≤0，则f '（x ）＞0，则函数f （x ）是单调增函数，这与题设矛盾． ∴a ＞0，令f '（x ）＝0，则x ＝lna ， 当f '（x ）＜0时，x ＜lna ，f （x ）是单调减函数， 当f '（x ）＞0时，x ＞lna ，f （x ）是单调增函数， 于是当x ＝lna 时，f （x ）取得极小值， ∵函数f （x ）＝e x﹣ax +a （a ∈R ）的图象与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2）， ∴f （lna ）＝a （2﹣lna ）＜0，即a ＞e 2， 此时，存在1＜lna ，f （1）＝e ＞0， 存在3lna ＞lna ，f （3lna ）＝a 3﹣3alna +a ＞a 3﹣3a 2+a ＞0，又由f （x ）在（﹣∞，lna ）及（lna ，+∞）上的单调性及曲线在R 上不间断，可知a ＞e 2为所求取值范围． （2）∵121200x x e ax a e ax a ⎧-+=⎨-+=⎩，∴两式相减得2121x x e e a x x -=-． 记()2102x x s s -=＞，则()121221212221'222x x x x x x s s x x e e e f e s e e x x s ++-+-⎛⎫⎡⎤=-=-- ⎪⎣⎦-⎝⎭， 设g （s ）＝2s ﹣（e s ﹣e ﹣s ），则g '（s ）＝2﹣（e s +e ﹣s）＜0，∴g （s ）是单调减函数，则有g （s ）＜g （0）＝0，而12202x x e s+＞， ∴12'02x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭＜． 又f '（x ）＝e x ﹣a是单调增函数，且122x x +∴'0f ＜．（3）依题意有0i x i e ax a -+=，则()10i xi a x e -=＞⇒x i ＞1（i ＝1，2）． 于是122x x e +=，在等腰三角形ABC 中，显然C ＝90°，∴()120122x x x x x +=∈，，即y 0＝f （x 0）＜0， 由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-， ∴21002x x y -+=， 即()1221212022x x x x a ex x a +--+++=，∴()2112022x x ax x a -+++=，即()()()()21121111022x x a x x ---⎡⎤-+-+=⎣⎦． ∵x 1﹣1≠0，则2211111110212x x x a x --⎛⎫--++= ⎪-⎝⎭，t =， ∴()()22111022a at t t -++-=， 即211a t =+-， ∴（a ﹣1）（t ﹣1）＝2．点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数的有关知识在研究函数的单调性与极值（最值）等方面的综合运用．求解第一问时，充分借助题设条件运用分析推证的思想方法求解；解答第二问时，则借助题设中的坐标进分析推证；第三问则依据等边三角形的题设条件进行分析探求，综合运用等价转化的数学思想及数形结合的思想和意识，从而使得问题简捷、巧妙地获解．。

绝密★启用前杭州2024届高中毕业生适应性测试数学（答案在最后）命题，审校：2024.4本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，找出每小题答案后，用铅笔将对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选､多选､错选均不得分.1.在复平面内表示复数（1﹣i ）（a +i ）的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（）A.（﹣∞，1）B.（﹣∞，﹣1）C.（1，+∞）D.（﹣1，+∞）【答案】B 【解析】【分析】把复数化为代形式，然后得出对应点坐标，由点在第二象限得出结论．【详解】2(1)()1(1)i a i a i ai i a a i -+=+--=++-，对应点为(1,1)a a +-，由题意1010a a +<⎧⎨->⎩，解得1a <-．故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数的几何意义，属于基础题．2.设a ，b 为单位向量，a 在b 方向上的投影向量为12b -，则2a b -= （）A.1B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】首先根据投影向量公式求a b ⋅的值，再代入向量模的公式求解.【详解】1==a b rr ，a 在b 方向上的投影向量为()12a b b a b b b b b⋅⋅=⋅⋅=-，所以12a b ⋅=-r r ，所以2a b -== .故选：D3.设集合{}2414,8120A y x y B xx x x⎧⎫=+≤≤≤=-+≤⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （）A.{}28x x ≤≤∣B.{}26xx ≤≤∣C.{}46xx ≤≤∣ D.{}68xx ≤≤∣【答案】C 【解析】【分析】由不等式性质可知，当1,4x y ==时，4y x +取得最大值8，利用x y ≤对4y x+进行放缩，然后结合基本不等式可得4y x+的最小值为4，得集合A ；解一元二次不等式求出集合B ，然后由交集运算可得答案.【详解】因为14x ≤≤，所以1114x≤≤，得414x ≤≤，又14y ≤≤，所以428y x≤+≤，当1,4x y ==时，4y x+取得最大值8；又x y ≤，所以444y x x x +≥+≥=，当且仅当2x y ==时等号成立，所以4y x+的最小值为4，所以[]4,8A =.由28120x x -+≤解得[]2,6B =，所以[]4,6A B ⋂=.故选：C4.已知2sin cos 3A B +=，cos sin 1A B +=，则()sin A B +=（）A.518-B.49C.13-D.16【答案】A 【解析】【分析】将题干两式两边平方，结合平方关系及两角和的正弦公式计算可得.【详解】因为2sin cos 3A B +=，cos sin 1A B +=，所以()24sin cos 9A B +=，()2cos sin 1A B +=，即224sin 2sin cos cos 9A A B B ++=，22cos 2cos sin sin 1A A B B ++=，两式相加可得()422sin cos sin cos 19A B B A ++=+，所以()5sin 18A B +=-.故选：A5.波斯诗人奥马尔•海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程32(0,0)x a x b a b +=≠>的几何求解方法.在直角坐标系xOy 中，,P Q 两点在x 轴上，以OP 为直径的圆与抛物线C ：2x ay =交于点R ，RQ OQ ⊥.已知x OQ =是方程32x a x b +=的一个解，则点P 的坐标为（）A.2,0b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,0b a ⎛⎫⎪⎝⎭C.2,0a b ⎛⎫⎪⎝⎭D.,0a b ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】求得以OP 为直径的圆的方程，与抛物线的方程联立，消去y ，可得x 的方程，由题意考虑两个三次方程有相同的解，可得所求点的坐标．【详解】设(,0)P t ，OP 的中点为,02t ⎛⎫⎪⎝⎭，则以OP 为直径的圆的方程为22224t t x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与抛物线2:C x ay =联立，可得2242124t t x x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简可得4220x x tx a-+=，由于RQ OQ ⊥，可得R ，Q 的横坐标相等，则方程32x a x b +=和方程320x x t a-+=有相同的解，即有2b a t =，解得2bt a=，则2,0b P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A ．6.小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有X 个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且()1,0,1,,1617P X i i === .在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为（）A.45B.1316C.1417D.56【答案】C 【解析】【分析】记事件i A ：16个饺子中有i 个香菇肉馅饺子，0,1,,16i =⋅⋅⋅，事件B ：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子.先利用全概率公式求()P B ，然后再由条件概率公式可得()014|17P A B =.【详解】记事件i A ：16个饺子中有i 个香菇肉馅饺子，0,1,,16i =⋅⋅⋅，事件B ：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子.则()0|1P B A =，()13|16P B A =，()232216C 1|C 40P B A ==，()333316C 1|C 560P B A ==，当4,5,,16i =⋅⋅⋅时，()|0i P B A =，由题知，()117i P A =，所以()()()16113111|117164056014i i i P B P A P B A =⎛⎫==+++= ⎪⎝⎭∑，又()()()0001|17P BA P A P B A ==，所以()()()0011417|11714P BA P A B P B ===.故选：C7.若函数()ln f x x x x x a =-+-有且仅有两个零点，则a 的取值范围是（）A.()1,00,e e ⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭B.()2,00,e e ⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭C.()2,00,3e ⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭ D.()1,00,3e⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用函数与方程的思想将函数有两个零点转化为函数y x a =-与函数ln y x x x =-的图象有两个交点，求导并画出函数ln y x x x =-的图象求得切线方程，再由数形结合即可求得a 的取值范围.【详解】由()0f x =可得ln x a x x x -=-，则函数y x a =-与函数ln y x x x =-的图象有两个交点；设()ln g x x x x =-，则()ln g x x '=-，令()ln 0g x x '=->，解得01x <<；令()ln 0g x x '=-<，解得1x >；所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减；令()1g x '=，解得1e x =，可求得()g x 的图象在1e x =处的切线方程为1ey x =+；令()1g x '=-，解得e x =，可求得()g x 的图象在e x =处的切线方程为e y x =-+；函数y x a =-与函数ln y x x x =-的图象如图所示：切线1ey x =+与ey x =-+在x 轴上的截距分别为1,e e -,当0a =时，y x a =-与函数ln y x x x =-的图象有一个交点，故实数a 的取值范围为()1,00,e e⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭.故选：A8.以半径为1的球的球心O 为原点建立空间直角坐标系，与球O 相切的平面α分别与,,x y z 轴交于,,A B C三点，OC =，则224OA OB +的最小值为（）A. B. C.18D.【答案】C 【解析】【分析】不妨设A 、B 、C 均在正半轴，设球O 与平面α切于点H ，连接CH 并延长交AB 于点Q ，连接OQ ，由勾股定理求出CH ，利用三角形相似求出HQ ，即可求出OQ ，再通过证明AB ⊥平面OCQ 得到AB OQ ⊥，则22224104OA OB QB QA +=++，再由三角形相似得到2QA QB ⋅=，最后利用基本不等式计算可得.【详解】根据对称性，不妨设A 、B 、C 均在正半轴，设球O 与平面α切于点H ，连接CH 并延长交AB 于点Q ，连接OQ ，则OH ⊥平面ABC ，CO ⊥平面AOB ，OQ ⊂平面AOB ，所以CO OQ ⊥，又OH CQ ⊥，所以Rt Rt CHO OHQ ∽，即OH CH HQOH=，又1OH =，OC =，所以1CH ==，则1HQ =，所以OQ ==又OH ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以OH AB ⊥，CO ⊥平面AOB ，AB ⊂平面AOB ，所以CO AB ⊥，又OH CO O = ，,OH CO ⊂平面OCQ ，所以AB ⊥平面OCQ ，又OQ ⊂平面OCQ ，所以AB OQ ⊥，所以()22222244OA OB OQ QA OQ QB+=+++22254OQ QB QA =++22104QB QA =++，又Rt Rt OQA BQO ∽，即QA OQ QOBQ=，所以22OQ QA QB =⋅=，所以()22224104102218OA OB QB QA QB QA +=++≥+⋅=，当且仅当22QA QB ==时取等号，即224OA OB +的最小值为18.故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键是根据题意画出图形，推导出OQ =、2QA QB ⋅=，利用勾股定理转化计算，结合基本不等式求出最小值.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设函数()cos sin f x x x =+，则（）A.()f x 是偶函数B.()f x 的最小正周期为πC.()f x 的值域为⎡-⎣D.()f x 在7,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】对于A 选项，利用奇偶性的定义进行判断即可；对于B 选项，利用周期性的定义进行判断即可；对于C 选项，首先证明函数()f x 的周期为2π，然后分0x π≤<与[],2x ππ∈两种情况分别讨论函数的值域，进而进行判断选项的正误即可；对于D 选项，当7,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得()cos sin 4x x x f x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，进而判断函数的单调区间即可.【详解】对于A 选项，已知()cos sin f x x x =+且定义域为R ，由于()()()()cos sin cos sin f x x x x x f x -=-+-=+=，得()f x 是偶函数，故A 选项正确；对于B 选项，()()()()cos sin cos sin f x x x x x f x πππ+=+++=-+≠，得()f x 的最小正周期不是π，故B 选项错误；对于C 选项，由于()()()()2cos 2sin 2cos sin f x x x x x f x πππ+=+++=+=，得()f x 的周期为2π，当[)0,x Îp 时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于0x π≤<，得5444x πππ≤+<(4x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭当[],2x ππ∈时，()cos sin 4x x x f x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，由于2x ππ≤≤，得59444x πππ≤+≤4x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭.综上所述可得()f x 的值域为⎡-⎣，故C 选项正确；对于D 选项，当7,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos sin 4x x x f x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，由于74x ππ<<，得5244x πππ<+<，根据余弦函数性质可知()f x 在7,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调递增.故D 选项正确.故选：ACD10.在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（）A.212y c x c x =+ B.12x c y x c +=+C.()12ln y c x c =++ D.21x c y c e+=【答案】ABC 【解析】【分析】将非线性模型，通过变形转化为线性模型，再利用最小二乘法进行线性回归分析．【详解】对于选项A ：21212y y c x c x c x c x =+⇒=+，令y u x=则12u c x c =+；对于选项B ：112122222212121211111x c c c c c x c c y y x x c x c x c y c c c c c c +--+==+⇒-=⇒==⋅++++----令21212111c u u x y c c c c =⇒=⋅+---；对于选项C ：()()112122ln ln y c y c x c y c x c ex c -=++⇒-=+⇒=+即12()cye e x c =⋅+令y u e =则11122()cccu e x c e x c e =⋅+=⋅+⋅；对于选项D ：2112ln ln x c y c ey c x c +=⇒=++令ln u y =则12ln u x c c =++此时斜率为1，与最小二乘法不符．故选：ABC11.已知()1212,x x x x >是方程()2*210x px p --=∈N的两根，数列{}na 满足12a=，22a p =，()1223n n n a pa a n --=+≥.{}n b 满足()1n n b f x =，其中()πsin 2f x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.则（）A.2342a p =+B.()12nn nf a x b +-=C.存在实数r ，使得对任意的正整数n ，都有n b r <D.不存在实数r ，使得对任意的正整数n ，都有n b r >【答案】ABC 【解析】【分析】先证明1112n n n a x x --=+，22n b -<<，然后对于A ，可直接使用3212a pa a =+验证；对于B ，使用1112n n n a x x --=+和()1n n b f x =即可验证；对于C 和D ，直接使用22n b -<<即可验证.【详解】由于()1212,x x x x >是方程2210x px --=的两根，故122x x p +=，121x x =-.并可解出1x p =+2x p =-用数学归纳法证明：对任意的正整数n ，有1112n n n a x x --=+.当1n =时，由121x x =-知12,0x x ≠，故00112211a x x ==+=+，结论成立；当2n =时，有11212122a p x x x x ==+=+，结论成立；假设当2n k =-，以及1n k =-时结论都成立，这里3k ≥，则33212k k k a x x ---=+，22112k k k a x x ---=+.此时有122k k k a pa a --=+()()223312122k k k k x x x x p ----=+++()()()2233121221k k k k x x x x p ----=+-+-()()()223312121212k k k k x x x x x x x x ----=++-+1221221121221212k k k k k k x x x x x x x x x x ------+++--=1112k k x x --=+，故结论对n k =也成立.综上，对任意的正整数n ，有1112n n n a x x --=+.由于12a =是偶数，且由*p ∈N 知22a p =是偶数，且()1223n n n a pa a n --=+≥，可知每个n a 都是偶数.所以()()()1111122112πππsin sin sin 222nnn n n n n n n n n b f x x x x x x x x a x +⎛⎫⎡⎤⎡⎤===+-=-⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦()1121212ππsin π1sin 222n a nn nn n a x x x x ++⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故21πsin 2n n n b x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⋅.而10x p =+>，故11nnx x =.又因为21x p p ==-=≤<，故211nx -<<，从而)221ππππsin sin sin sin2222nn n n x x p x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭.所以11πsin 2n n nb x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⋅.构建()πsin ,02f x x x x =-<<，则()cos 10x x f '=->在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒成立，则()()00f x f >=，可得πsin ,02x x x ><<成立.由于111x p =+≥>，知11x >，1ππ022n x <<.故1111πππsin 2222nn n n nb x x x x ⎛⎫=≤=<⎪⋅⎭⋅⎝，即22n b -<<.对于A ，有()22223121212242a x x x x x x p =+=+-=+，故A 正确；对于B ，有()()()212112nn n nnn n f a x f x x x f x b +-=-==+，故B 正确；对于C ，由于2nb <，故存在实数2r =，使得对任意的正整数n ，都有n b r <，故C 正确；对于D ，由于2n b >-，故存在实数2r =-，使得对任意的正整数n ，都有n b r >，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，先研究数列的各个性质，得到1112n n n a x x --=+和22n b -<<，相比直接通过题目条件判断选项，这样做四个选项将更加容易判断.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的右顶点与上顶点的直线斜率为53-，则C 的离心率为______.【答案】45##0.8【解析】【分析】利用斜率计算公式、离心率计算公式即可得出结论.【详解】椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的右顶点(),0a 与上顶点(0,)b 的直线斜率为53-，则53b a -=-,即53b a =，可知其焦点在y 轴上，则C 的离心率为45c e b ====.故答案为：4513.将()()*21n n +∈N个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱的中点重合.设最下方正方体的下底面ABCD 的中心为O ，过O 的直线l 与平面ABCD 垂直，以O 为顶点，l 为对称轴的抛物线()20y axa =>在01y n ≤≤+的部分可以被完全放入立体图形中.若1n =，则a的最小值为______；若a 有解，则n 的最大值为______.【答案】①.4②.2【解析】【分析】将命题转化为对任意的0,1,2,...,k n =，在1k y k ≤≤+时恒有1122k k x -+≤≤成立，然后研究不等式，再次转化为4a ≥，且()214a n n -≤，最后根据题目要求讨论即可.【详解】抛物线的一部分()20,01y axa y n =>≤≤+可以被完全放入立体图形中，当且仅当对任意的0,1,2,...,k n =，在1k y k ≤≤+时恒有1122k k x -+≤≤成立.即对任意的0,1,2,...,k n =，有12k -≤12k +≤，此即12k -≤()14a k +≥.这等价于4a ≥，且对任意的0,1,2,...,k n =，有12k -≤.由于当0,1k =时必有12k -≤4a ≥，且当2k n ≤≤时，必有12k -≤这等价于4a ≥，且当2k n ≤≤时，必有()241k a k ≥-，即()241ka k ≤-，令1k t =+即4a ≥，且当11t n ≤≤-时，有()241t a t+≤.当2n ≥时，由于()241411t t t t +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于10t >递增，故条件等价于4a ≥，且()241na n ≤-.回到原题.当1n =时，条件等价于4a ≥，所以a 的最小值为4；若a 有解，则等价于1n =或()2441nn ≤-，即()21n n -≤，解得3322n +≤≤.结合n 是正整数，知n 的最大值为2.故答案为：4；2.14.若函数()23π()sin π4344f x a x ax x a ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭（其中0a >）在区间[]0,5上恰有4个零点，则a 的取值范围为___________________.【答案】114[,)207⋃319288[,)42031212⎫⎫⎪⎪⎧⎫⋃⋃⋃⎨⎬⎬⎬⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭【解析】【分析】分别分析()2434g x ax x a =-++和()3πsin π4h x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的零点个数求解即可，同时要注意重根问题的检验.【详解】当0a >，设()3πsin π4h x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2434g x ax x a =-++，则()g x 为开口向上的二次函数，()()()Δ164344322a a a a =-+=--+，①当23a =，()0g x =有唯一解3x =，此时()23πsin π34h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23π3π31ππ,34412t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()0h x =有三个解，且均不为3，符合题意；②当2,03a >∆<，()0g x =无解，故()3πsin π4h x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭区间[]0,5上恰有4个零点，则3π3π5π4π4a ≤-<，解得319420a ≤<，符合题意；③当20,03a <<∆>，()g x 的对称轴20x a =>，且()()52816,274g a g a =-=-，（i ）当47a =，()()250g g ==，此时()0g x =有两个解：2和5，43π3π59ππ,74428t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()0h x =有三个解，且与()0g x =的解2，5不重合，不合题意，（ii ）当4273a <<，且()()250g g =>，此时()0g x =有两个解，且均属于()2,5，3π3π3ππ,5π444t a x a ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，若()0h x =有2个解，故3ππ5π2π4a ≤-<，解得7112020a ≤<，则a ∈∅，舍去；（iii ）若()0h x =有3个解，故3π2π5π3π4a ≤-<，解得113204a ≤<，若此时()0g x =有2个解，则必须有1个重根，下面检验重根情况：3πππ4a x k -=，则()43=Z 4k x k a +∈，()0h x =的3个解为3711,,444x a a a=，且[]315(1,2,5411a ∈⊄，[]7735(,]2,54211a ∈⊆，[]1111(,5]2,543a ∈⊆，故重根可能为74a ，114a ，34a.令()24340g x ax x a =-++=，023a <<，解得12x x ==当2x 重合，若2114x a =，则114a =（0a >），解得229842,1273a -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，满足题意；若274x a =，则74a =，即14-=，无解；若234x a =，34a =，即54-=，无解；当1x 重合，若134x a =，则34a =84127a =<（舍去）；若174x a =，则74a =25384127a -=>，符合题意；若1141x a =，则114a =34-=，无解，舍去；（iv ）当407a <<，()()250g g =<，此时()0g x =有1个解，设为m ，则()1,2m ∈，3π3π3ππ,5π444t a x a ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，故3π2π5π3π4a ≤-<，解得113204a ≤<，又407a <<，综合得114207a ≤<，同理（iii ）的分析，[]32115(,1,241611a ∈⊆，[]7735(,]2,54211a ∈⊆，此时()0h x =有三个解，且与()0g x =的解不重合，符合题意，综上所述：114207a ≤<或19232020a ≤<或23a =故答案为：114[,)207⋃319288[,)42031212⎫⎫-⎪⎪⎧⎫⋃⋃⋃⎨⎬⎬⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点问题，关键是根据二次函数特征讨论判别式及区间端点与5的关系.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.平面1234,,,αααα两两平行，且i α与1i α+的距离均为,1,2,3d i =.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，且112314,,,A B C D αααα∈∈∈∈.（1）求d ；（2）求1α与平面1A BD 夹角的余弦值.【答案】（1）5d =（2）5【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究点面距离计算即可；（2）利用空间向量计算面面夹角即可.【小问1详解】如图所示，建立以D 为中心的空间直角坐标系，易知()()()()111,0,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1A B C D ，则()()()1110,1,1,1,0,1,0,1,1AB B C CD ==--=-，设平面1α的一个单位法向量为(),,m a b c =，显然(),,m a b c =也是平面234,,ααα的一个法向量，由点到面的距离公式知：111d m AB m B C m CD =⋅=⋅=⋅，或111d m AB m B C m CD =-⋅=-⋅=-⋅，即0,2b c a c b c b c a +=--=-+⇒=-=，又1m ==，所以可得2555a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，此时12555,0,,555m d m AB ⎛⎫=-=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，或55a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时1,0,,555m d m AB ⎛⎫=-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭ 故55d =；【小问2详解】设平面1A BD 的一个法向量为(),,n x y z =，易知()()10,1,1,1,1,0A B DB =-= ，则100n A B y z n DB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11,1y x z =-⇒==-，即()1,1,1n =-- ，设1α与平面1A BD 夹角为θ，则355cos cos ,5n m n m n m θ⋅====⋅，即1α与平面1A BD夹角的余弦值为5.16.斜二测画法是一种常用的工程制图方法，在已知图形中平行于y 轴的线段，在直观图画成平行于y '轴（由y 轴顺时针旋转45 得到）的线段，且长度为原来的12，平行于x 轴的线段不变.如图，在直角坐标系xOy 中，正方形ABCD.定义如下图像变换：1T 表示“将图形用斜二测画法变形后放回原直角坐标系”；()2T i 表示“将图形的横坐标保持不变，纵坐标拉伸为原来的1i i+倍”.（1）记正方形ABCD 经过两次1T 变换后所得图形为2222A B C D ，求22,A B 的坐标；（2）在第i 次复合变换中，将图形先进行一次1T 变换，再进行一次()2T i 变换，1,2,...,i n =.记正方形ABCD 进行n 次复合变换后所得图形为n n n n A B C D .过n A 作n n C D 的垂线，垂足为n H ，若n nn nD H m H C <恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）21288A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，21288B ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭（2）862,3⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）将题目中涉及的变换通过2*2数表呈现，然后研究复合变换的表示法，再求得结果；（2）先求得n 次复合变换对应的数表，然后计算出,,n n n C D H 的坐标，最后利用数列作为工具将不等式n nn nD H m H C <转化为关于数列不等式的恒成立问题，再通过讨论求出m 的取值范围.【小问1详解】先进行一些准备工作.我们用2*2数表来作为变换的记号.如果一个变换F 将点(),x y 变为点(),ax by cx dy ++，这里,,,a b c d ∈R ，则我们记a b F c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭.则根据定义可知114204T ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，()21010T i i i ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭.然后，对1111a b U c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，2222a b V c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，记“先经过变换V ，再经过变换U ”的变换为UV ，则(),x y 经过变换V 后变为()2222,a x b y c x d y ++，再经过变换U 后变为()()()()()122122122122,a a x b y b c x d y c a x b y d c x d y ++++++，即()()()()()1212121212121212,a ab c x a b b d y c a d c x c b d d y ++++++.这表明1212121212121212a a b c a b b d UV c a d c c b d d ++⎛⎫=⎪++⎝⎭.回到原题，由于1214204T ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，故112222111011444448122220010084444TT ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪⋅+⋅⋅+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.所以(A，B 分别被11T T变成21,288A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，21,288B ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】定义数列{}n p 如下：124p =，)12n n p p n -=≥.然后我们用数学归纳法证明：()()()()2121212111...210n p T n TT n T T TT T ⎛⎫ ⎪-= ⎝.当1n =时，由()12111110010110444410202001100204442p T T ⎛⎫⎛⎛⎛⎫⋅+⋅⋅+⋅⎪ ⎪⎛⎫ ⎪⎪==== ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭ ⎪⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭知结论成立；假设当n k =时结论成立，即()()()()2121212111...210k p T k TT k T T TT T ⎛⎫ ⎪-= ⎝.则()211011001011444412022210100001414414T k T k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⋅+⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪+===+ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⋅+⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪ +++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以将两个变换复合，就得到()()()()()212121212111...21T k TT k TT k T T TT T +-11402041k p k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=⎪+ ⋅ ⎪⎝+⎝⎭1101442201004141k k p k k p k k ⎛⎫⋅+⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪= ⎪++ ⋅+⋅⋅+ ++⎝1204k p ⎛+ = ⎪⎪ ⎪⎝⎭110k p +⎛⎫⎪= ⎝，故结论对1n k =+也成立.综上，对任意的正整数n ，有()()()()2121212111...210n p T n TT n T T TT T ⎛⎫ ⎪-= ⎝.这表明，(A，)C，()0,0D 在经过变换()()()()2121212111...210n p T n TT n T T TT T ⎛⎫ ⎪-= ⎝后将得到1n n A ⎫+⎝，)n C ，()0,0n D .这表明直线n n C D 的方程为0y =，从而n H 的坐标是),0n .由{}np 的递推式及1p=可直接得到...n p =+.记q =01q <<，且22...nn p q q nq =+++.对于11x -<<，我们有1211...1n n x x x x x+-=++++-，两边同时对x 求导可得()()()()1212111123...1n nn x n x x x xnx x +---+-=++++-，再同乘x ，就得到()()()()1123211123...1n n n x x n x x x x x nx x ++--+-=++++-.取x q =，就有()()()()11221112...1n n n n q q n q q q q nq p q ++--+-=+++=-.这表明()()()()1121111n n n q q n q q p q ++--+-=-，再进一步进行变换即可得到()()()()()()()111222211111111n n n n n q q n q q n q qq p qq q q ++++--+-+==------.这直接推出()()()()1222211111n n n n q qq qp qq q q +++=--<----.同时，计算可知()()())222221167491111qq ++=====-⎛- ⎝.从而由22...0nn p q q nq =+++>，()2161821618 1.54314949491n qp q ++⨯<=<=<-，知0n <<.故点),0nn H一定在)nC 和()0,0nD 之间，即在线段n n C D 内部.这就得到了1nnn n n n D p p H H C ==-.最后，我们需要求m 的取值范围，使得不等式n n n n D H m H C <恒成立，即1n npm p -<恒成立.由()211qq <-，知()210q q -->.若()21qm q q≥--，则()()()()2222111111111111111n n n n n q p p qm q p p p q q q q q --+==-<-==---------，满足条件；若1n n p m p -<恒成立，则()1n n p m p <-恒成立，首先有1101m pp >>-.从而由()1n n p m p <-恒成立可知1n mp m <+恒成立.由()()()12221111n n n n q qq p q q q +++=-----，知()()()122211111n n n q qq mqm q q +++--<-+--恒成立.即()()()122211111n n n q q qmqm q q ++++>--+--恒成立.假设()2011qm m q ->+-，记()211q mA m q =-+-.由01q <<，知当()212log2qA q n -+>，且()23811q n A q +>-时，有以下结论：①由()212log2qA q n -+>知()2221n q Aq +<-；②由于对0α>，()11n α++展开后的二次项为()212n n α+，故()()()212211124n n n n ααα+++>≥+.从而由()23811qn A q +>-知()()()()()212221211121111111441n n q n q n n q q q A q ++⎛⎫- ⎪⎛⎫-+⎛⎫⎝⎭=+->+=+>⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，即()1112n n q A q++<-.故此时有()()()12221122111n n n q q A A q mA qm q q ++++<+==--+--，这与()()()122211111n n n q q qmq m q q ++++>--+--恒成立矛盾.所以()2011qmm q -≤+-，故()()211m q m q +≤-，从而()()21m q q q --≥.而()210q q -->，故()21qm q q≥--.综上，不等式n n n n D H m H C <即1nn p m p -<恒成立的充分必要条件是()21q m q q≥--.最后，直接计算得到()22381333118q q q q q q ++====-+---.所以m的取值范围是8,3∞⎡⎫++⎪⎢⎪⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，使用反证法否定()2011qmm q ->+-时，需要找到使得不成立的n 对应的条件，而这需要细致的讨论.如果仅仅通过n q 的“指数衰减”这种直观层面的理解一笔带过，直接“得到”()()122111n n n q q Aqq ++++<--在n 足够大时成立，则从逻辑上是不能走通的，特别是由于此时()111n n q q++-中含有一个单调递增的因式()1n +，直接使用幂函数的性质并不能得到期望的结果，必须细致讨论.17.已知函数()()1122e ,e e e 1x xx x f x m m g x -=+-=++.（1）当0m =时，证明：()exf x -<；（2）当0x <时，()g x t ≥，求t 的最大值；（3）若()f x 在区间()0,∞+存在零点，求m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）2e（3）()0,1【解析】【分析】（1）求定义域，作商法结合基本不等式比较出()exf x -<；（2）对()g x 求导，变形后，构造()()ln G x x x =-+，求导，再构造()()1H x G x G x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求导得到单调性，结合()10H -=得到()g x 的单调性和极值，最值情况，求出答案；（3）令122e0e 1xxm m -+-=+，当0m =时，由于220e 1x >+恒成立，故无解，当0m ≠时，()122e 11e x x m-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()()12e 11e x xF x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0x >，求导得到函数单调性，又x 趋向于0时，()F x 趋向于2，故()2F x >，从而得到22m>，得到答案.【小问1详解】()122e e 1xxf x m m -=+-+定义域为()(),00,∞∞-⋃+，当0m =时，()22e 1xf x =+，0x ≠，由于2020,e e 1x x->+>，令()2222e 2e 11e 1e 1e e x xx x x xh x -=÷==≤+++，当且仅当1e e xx=，即0x =时，等号成立，又0x ≠，故()e xf x -<；【小问2详解】当0x <时，()g x t ≥，()1121e e 1e e xx x x x x g x x x-='=-⋅，设()()ln G x x x =-+，则()11G x x'=+，令()()1H x G x G x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()()22111111H x G x G x x x xx ⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭'''()2222211112110x x x x x x x x+++=+++==≥，故()()1H x G x G x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在(),0∞-上单调递增，又()10H -=，故当1x <-时，()()10H x G x G x ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，即()1G x G x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()11ln ln x x x x ⎛⎫-+<-+ ⎪⎝⎭，故()11e e x x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以11e e xx x x >，则()11e e 0xxx x g x x'-=<在(),1∞--恒成立，当10x -<<时，同理可得11e e xxx x<，则()11e e 0xx x x g x x'-=>在()1,0-上恒成立，故()g x 在(),1∞--上单调递减，在()1,0-上单调递增，故()g x 在=1x -处取得极小值，也是最小值，()112e g --=，故2e t ≥，所以t 的最大值为2e；【小问3详解】0x >，令122e0e 1xxm m -+-=+，当0m =时，220e 1x =+，由于220e 1x>+恒成立，故无解，舍去；当0m ≠时，()122e 11e xxm-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()()12e 11e xx F x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0x >，()()111122222221112e ·1e e 1··e e e ·2e 2e xx x x x xx xF x x x x ---⎛⎫⎛⎫=--+=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，下面证明23e 126xx x x >+++,0x >，令()23e 126xx x s x x =----，0x >，则()2e 12xx s x x =---'，0x >，其中()00s '=，令()()2e 12xx t x s x x ==---'，0x >，则()e 1xt x x ='--，0x >，其中()00t '=，令()()e 1xw x t x x ==--'，0x >，则()e 1xw x '=-，0x >，当0x >时，()e 10xw x ='->，故()()e 1xw x t x x ==--'在()0,∞+上单调递增，故()>0t x '，故()()2e 12xxt x s x x ==---'在()0,∞+上单调递增，故()0s x '>，故()23e 126xx xs x x =----在()0,∞+上单调递增，故23e 1026xx x x ---->，即23e 126xx x x >+++,0x >，则123111e 126xx x x>+++，0x >，则122222222332211212223311111e e e e2xx x xx x x x x x x x x x >++++---=----，222222111111123e e 3e xx x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-≥-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()210,1e x ∈，而13>，故122202211e e x x x x --->，则()0F x '>，故()F x 在()0,∞+上单调递增，又x 趋向于0时，()F x 趋向于2，故()2F x >，故令22m>，解得01m <<，此时()122e 11e xx m -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有解，故存在零点，故m 的取值范围是()0,1.【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.18.设双曲线22:12x C y -=，直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点.（1）求m 的取值范围；（2）已知C 上存在异于,A B 的,P Q 两点，使得PA PB QA QB t ⋅=⋅=.（i ）当4t =时，求,P Q 到点()2,m m --的距离（用含m 的代数式表示）；（ii ）当2t =时，记原点到直线PQ 的距离为d ，若直线PQ 经过点(),m m -，求d 的取值范围.【答案】（1）()(),11,-∞-⋃+∞（2）（i ）2m ；（ii ）1d >【解析】【分析】（1）利用直线与双曲线的位置关系结合韦达定理计算即可；（2）（i ）设,A B 及其中点坐标，根据极化恒等式、弦长公式计算即可；（ii ）设PQ 直线方程，结合（i ）的结论知P Q 、既在圆上也在双曲线上，分别联立直线与圆、双曲线方程消去y 得出两个一元二次方程，由P Q 、横坐标均满足方程得出参数关系式，化简求k ，再分类讨论结合判别式、点到直线的距离公式计算范围即可.【小问1详解】联立直线与双曲线方程得2222142202x y x mx m y x m ⎧-=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，则()222Δ164228801m m m m =-+=->⇒>或1m <-，即m 的取值范围为()(),11,∞∞--⋃+；【小问2详解】（i ）设()()1122,,,A x y B x y ，则12122y y x x m +=++，由（1）可知：212124,22x x m x x m +=-=+，则12122,22x x y y m m ++=-=-，设AB 中点为D ，则()2,D m m --，而()222214224PA PB PA PB PA PB PD BA ⎛⎫⎛⎫+-⋅=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()222214224QA QB QA QB QA QB QD BA ⎛⎫⎛⎫+-⋅=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以PD QD ==，又由弦长公式可知：12AB x =-==，所以2PD QD m ===，即,P Q 到点()2,m m --的距离为2m ；（ii ）由（i ）知，当2t =时，PD QD ===则P Q 、在圆()()222242x m y m m +++=-上，由题意知直线PQ 斜率存在，不妨设其方程为：()2y k x m m k ⎛=++≠±⎝⎭，与双曲线联立()()()()22222212412120220y k x m mk x km k x m k x y ⎧=++⇒--+-+-=⎨--=⎩，与圆联立()()()()()()222222221222220242y k x m m k x m k k x m k x m y m m ⎧=++⎪⇒+++++++=⎨+++=-⎪⎩，即P Q 、横坐标均满足上述方程，所以()()()()22222224121212122222km k m k k k m k k m k -+-+--==+++++，化简得()()()()()()222222221211222122122k k k k kk k k k k k k +-=⇒++=-+++++，即()()22210kk -+=，解之得k =12k =-，当22k =时，()()222222212121122m k k k m k -+--=-=+++，则()()()2222222122220mk m k m k ++=++⇒-=，显然恒成立，又()()()()22222221Δ22241228233m k k k m k km m ⎡⎤⎡⎤=++-+++=+-⎣⎦⎣⎦，①k =()2123Δ01m m >⇒>⇒>+而由（1）知：1m >，又1>，所以1m >，此时3d ==>=；②k =时，()2123Δ01m m >⇒>⇒>-，同理知m >，所以1d ==>=；当12k =-时，()()2222222121221522m k k k m k -+--==+++，显然()()2222212022m k m k -+-<<++，上式无解，舍去；易知6313>，所以综上有1d >.【点睛】思路点睛：第二问先由极化恒等式得出P 、Q 的轨迹圆，第一小问根据弦长公式计算即可；第二小问分别联立直线与圆、双曲线的方程，利用同解方程得出参数关系式，从而计算出k 的取值，再分类讨论k 的不同取值结合判别式计算即可.19.在概率较难计算但数据量相当大､误差允许的情况下，可以使用UnionBound （布尔不等式）进行估计概率.已知UnionBound 不等式为：记随机事件1,,n A A ，则()()121nn ii P A A A P A =⋃⋃⋃≤∑ .其误差允许下可将左右两边视为近似相等.据此解决以下问题：（1）有n 个不同的球，其中k 个有数字标号.每次等概率随机抽取n 个球中的一个球.抽完后放回.记抽取t 次球后k 个有数字标号的球每个都至少抽了一次的概率为()P t ，现在给定常数p ，则满足()P t p ≥的t 的最小值为多少？请用UnionBound 估计其近似的最小值，结果不用取整.这里n 相当大且远大于k ；（2）然而实际情况中，UnionBound 精度往往不够，因此需要用容斥原理求出精确值.已知概率容斥原理：记随机事件1,,n A A ，则()()()1212112111.k k nk n a a a k a a a nP A A A P A A A -=≤<<<≤⋃⋃⋃=-∑∑ .试问在（1）的情况下，用容斥原理求出的精确的t 的最小值是多少（结果不用取整）？n 相当大且远大于k .（1）（2）问参考数据：当x 相当大时，取111e xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【答案】（1）ln 1k n p ⎛⎫⎪-⎝⎭（2）1ln 1k n p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设事件i A 为抽取t 次未取到()i i k ≤号球，求得()i P A ，再求()P t ，利用布尔不等式及111e xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭解不等式即可；（2）由容斥原理得()()2121C 1C t t tk k k k n n n k P t k n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，采用换元法、二项式定理及适当放缩得()1e kt n P t -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同取对数解不等式即可.【小问1详解】设事件i A 为抽取t 次未取到()i i k ≤号球，则()1ti n P A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由题意可知()()()1211111tkk i i n P t P A A A P A k p n =-⎛⎫=-⋃⋃≈-=-≥ ⎪⎝⎭∑ ，而1111e e t t t n tnnn n n n ⋅--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11111e e ln tt t n n n p p t k k p n k k n -----⎛⎫-=-≥⇒≥⇒≥- ⎪⎝⎭，解之得ln 1k t n p ⎛⎫≥⎪-⎝⎭，即满足()P t p ≥的t 的最小值为ln 1k n p ⎛⎫⎪-⎝⎭；【小问2详解】结合（1）及容斥原理可知：()()()()121211211111kk nk k a a a k a a a nP t P A A A P A A A -=≤<<<≤=-⋃⋃=--∑∑ ()2121C 1C tttk k k k n n n k k n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，①令11tx n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则由上可知：et n x -=，易知1t tn k k n n -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于012011220111111C 1C 1C 1C 1kkk k k k k k k k n n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，由于n 相当大且远大于k ，所以222011C 1C 10kk k k k n n -⎛⎫⎛⎫-+-≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故010111111C 1C 11kk k k k k n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11tktkn k x n n -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，。

【选考专题】浙江省杭州建人高复2020届高三4月模拟试题一、选择题I（本大题共20小题，每小题2分，共40分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）位于我国松辽盆地的钻井“地壳一号”目前钻探到7018米，其钻机塔身自下而上涂满代表不同地层的标准色。

下图为地层对应标准色图。

完成1～2题。

1．“地壳一号”钻探到7000多米的意义包括①研究土壤结构②研究气候变化③勘探地下能源④研究地幔结构A．①② B．①③C．②③ D．②④2．代表恐龙灭绝年代的地层标准色为A．紫 B．蓝C．绿 D．黄下图是我国东南地区某河流顺直河道附近的地质剖面图。

据图完成3～4各题。

3．该河流的流向是A. 自东南向西北B. 自东北向西南C. 自西南向东北D. 自西北向东南4．近年来，M处出现丰水期水位下降，沉积物减少的趋势，其原因最可能是A. 上游拆除水电站B. 下游整治疏通河道C. 上游城市进程加快D. 下游修建跨河大桥在四川某山区，土壤呈碱性的山坡以柏树为主，土壤呈酸性的山坡以松树为主。

该山区用柏树叶烟熏制作的腊肉富有独特的味道，但四川以外地区却少有销售。

完成5～6题。

5．该山区柏树和松树的分布，体现了地域分异的A．纬度地带分异规律B．干湿度地带分异规律C．垂直分异规律D．地方性分异规律6．影响该腊肉较少在四川以外地区销售的因素是A．气候 B．生产技术C．交通运输 D．消费状况下图为“我国部分地区主要土地利用类型分布示意图”，读图完成7～8题。

7. 目前，甲、乙、丙所在区域的主要生态问题分别是A、森林减少、土地荒漠化、湿地破坏B、土地荒漠化、湿地破坏、森林减少C、森林减少、湿地破坏、土地荒漠化D、湿地破坏、土地荒漠化、森林减少8．丙所在区域农业可持续发展应采取的主要措施是A．开辟水源，合理灌溉B．退耕还湿，建保护区C．合理采伐，及时抚育D．植树造林，保持水土谚语云：云向东，有雨变成风（雨停只刮风），下图为北半球锋面气旋系统示意图。

2020年浙江省高考数学模拟试卷（4月份）一．选择题（共10小题）1．设集合A＝{x∈N||x|＜4}，B＝{x|2x≤4}，则A∩B＝（）A．{x|x≤2}B．{x|﹣4＜x≤2}C．{0，1，2}D．{1，2}2．设复数z满足i•z＝2+3i，其中i为虚数单位，在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知q是等比数列{a n}的公比，首项a1＜0，则“0＜q＜1”是“数列{a n}是递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设x，y满足，则|x+4y|的最大值为（）A．0B．1C．2D．55．函数y＝﹣cos x•ln|x|的图象可能是（）A．B．C．D．6．随机变量X满足P（X＝p）＝p，P（X＝1﹣p）＝1﹣p，随机变量Y＝1﹣X，则（）A．E（X）≥E（Y），D（X）≥D（Y）B．E（X）≥E（Y），D（X）＝D（Y C．E（X）≤E（Y），D（X）≥D（Y）D．E（X）≤E（Y），D（X）＝D（Y）7．已知正四面体ABCD中，E，F分别是线段BC，BD的中点，P是线段EF上的动点（含端点）．P A与平面BCD所成的角为θ1，二面角A﹣EF﹣D的平面角为θ2，二面角A﹣CD﹣B的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ3≤θ2B．θ3≤θ1≤θ2C．θ1≤θ2，θ1≤θ3D．θ1≤θ3，θ2≤θ38．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，满足|PF1|＝|F1F2|，PF2与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．39．已知a∈R，函数f（x）＝，则函数y＝f（x）的零点个数不可能为（）A．0B．1C．2D．310．已知数列{a n}满足：a1＝1，．（1）数列{a n}是单调递减数列；（2）对任意的n∈N*，都有；（3）数列是单调递减数列；（4）对任意的n∈N*，都有．则上述结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共7小题）11．若log3m＝2，则m＝9；＝6．12．《九章算术》中有这样的描述：“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤四丈”，其中“广”是东西走向的意思，“袤”是南北走向的意思．若有几何体的三视图如图，则该几何体的体积为60，表面积为54+8（不需填单位）．13．已知多项式（2x+a）5＝a0+a1x+…+a5x5+（1+x）2，若a0＝0，则a＝1；若a2＝﹣41，则a1+a2+…+a5＝﹣1．14．在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，AB＝AD＝1，AC＝2，则BC＝；若O是△ABD的外接圆圆心，则BO＝．15．设点P（1，y0），若圆O：x2+y2＝1上存在点Q，使得，则y0的取值范围是[﹣，]．16．地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库，当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有336种．17．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，圆O是△BCD的内切圆，P是圆O上的动点，M为AB的中点，N为边AD上的动点（包含端点），则的最大值为+4．三．解答题（共5小题）18．已知函数．（Ⅰ）若f（x+φ）为偶函数，且φ∈（0，π），求φ；（Ⅱ）在△ABC中，角A满足f（A）＝1，sin B＝2sin C，a＝2，求△ABC的面积．19．如图，已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1，BB1，CC1，DD1均垂直于平面ABCD，AD ∥BC，AB＝BC＝CD＝AA1＝CC1＝2，BB1＝1，AD＝DD1＝4．（Ⅰ）证明：A1C1⊥平面CDD1C1；（Ⅱ）求直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值．20．已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}的前n项和T n＝1﹣b n．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，试比较R n与T n的大小．21.如图，椭圆：的上顶点A恰为抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，B，C是抛物线上的两个动点．（Ⅰ）若点P（2，1），且满足PC⊥CB，求点B横坐标的取值范围；（Ⅱ）若A，B，C三点共线，过坐标原点O的直线l平分BC，且与椭圆交于M，N两点，求△BMN面积的最大值．22．已知函数f（x）＝ax+lnx，g（x）＝f（x）（x﹣lnx）﹣x2，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a∈Z，且函数g（x）只有一个零点，求a的最小值．。

浙江省建人高复2021届高三下学期第四次月考第|一卷 (选择题 共40分 )一、选择题：本大题共10小题 ,每题4分 ,共40分．在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的．1. 设i 是虚数单位 ,复数i 21-的虚部是( ▲ )A. -2B. 2C.i 2-D.i 22. 设U R = ,{|1}P x x => ,{|02}Q x x =<< ,那么()U C P Q =( ▲ )A.{|0}x x ≤B.{|1}x x ≤C.{|2}x x ≥D.{|12}x x x ≤≥或3.在等比数列{}n a 中 ,n S 表示前n 项和 ,假设3223a S =+ ,4323a S =+ ,那么公比q =( ▲ )4. 如图1 ,函数)2sin()(φ+=x A x f 2||,0(πφ<>A )的图象过点)3,0( ,那么)(x f 的图象的一个对称中|心是( ▲ )A.(,0)3π- B.(,0)6π-C.(,0)6πD.(,0)4π5.设z x y =+ ,其中,x y 满足20200x y x y y m +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩,假设z 的最||大值为12 ,那么z 的最||小值为( ▲ ) A.8-B.6-6.直线230x y --=与圆22:(2)(3)9C x y -++=交于,E F 两点 ,那么ECF ∆的面积为( ▲ )A.23 B.52C.553 D.43 7.在(1 +x )5 +(1 +x )6 +(1 +x )7的展开式中,含x 4项的系数是等差数列 a n =3n －5的( ▲ )A.第2项B.第11项C.第20项D.第24项8.以下说法正确的选项是( ▲ )A. "假设1a > ,那么21a >〞的否命题是 "假设1a > ,那么21a ≤〞B.{}n a 为等比数列 ,那么 "123a a a <<〞是 "45a a <〞的既不充分也不必要条件C.假设,a b R ∈ ,那么1a b +>是1a b +>的充分而不必要条件；D. "tan 3α≠〞必要不充分条件是 "3πα≠〞9. 过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点2(,0)F c 作圆222a y x =+的切线 ,切点为M ,延长2M F 交抛物线24y cx =-于点,P 其中O 为坐标原点 ,假设21()2OM OF OP =+ ,那么双曲线的离心率为( ▲ )A.7224-B.7224+C.231+D.251+10．()||x f x xe = ,又)()()(2x tf x f x g -=()t R ∈ ,假设满足()1g x =-的x 有四个 ,那么t 的取值范围是( ▲ )A. 21(,)e e +-∞-B. 21(,)e e ++∞C. 21(,2)e e +-- D. 21(2,)e e +第二卷 (非选择题 共110分 )二、 填空题: 本大题共7小题 ,多空题每题6分 ,单空题每题4分 ,共36分．11.1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ,那么cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭ =____▲ __； cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭ =____▲ . 12.假设函数()()1log 1n f x x =-++经过的定点F (与n 无关 )恰为抛物线2y ax =的焦点 ,那么点F 的坐标是____ ▲ _____； a =___ ▲ _____.13.设正实数a ,b 满足1a b += ,那么22a b +最||小值是 ▲a b +最||大值是▲ .14.某几何体的三视图如下列图 ,那么它的外表积为 ▲ , 体积为 ▲ .15.一个袋中装有10个大小相同的黑球 ,白球和红球．从袋中任意摸出2个球 ,至||少得到1个白球的概率是79．从袋中任意摸出3个球 ,记得到白球的个数为ξ ,那么随机变量ξ的数学期望ξ=E ▲ .16.(cos ,3sin ),(2cos ,3sin ),(1,0)A B C ααββ-是平面上三个不同的点 ,且满足关系,CA BC λ=那么实数λ的取值范围是 ▲17.设函数2()2152f x x ax a =-+-的两个零点分别为12,x x ,且在区间12(,)x x 上恰好有两个正整数 ,那么实数a 的取值范围 ▲ .三、解答题：本大题共5小题 ,共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.(本大题共14分)函数()cos(2)sin26f x x x π=-+.(Ⅰ )求函数()f x 的最||小正周期；(Ⅱ )在ABC ∆中 ,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足(2)cos cos a c B b C -= ,求()2Af 的取值范围.19. (本小题总分值15分 )如图 ,PDCE 为矩形 ,ABCD 为梯形 ,平面PDCE平面ABCD ,90BAD ADC ,12AB ADCD a ,2PD a .(Ⅰ)假设M 为PA 中点 ,求证：//AC 平面MDE ； (Ⅱ)求平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值.20. (本小题总分值15分 )函数ax x x ax x f --++=23)1ln()(．(Ⅰ) 假设32=x 为)(x f y =的极值点 ,求实数a 的值； (Ⅱ) 假设1-=a 时 ,方程xbx x f =---3)1()1(有实根 ,求实数b 的取值范围．21. (本小题总分值15分 )设,x y R ∈ ,向量,i j 分别为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量 ,假设向量(3)a x i y j =++, (3)b x i y j =-+,且||||4a b +=．(Ⅰ )求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；(Ⅱ )设椭圆22:1164x y E += ,P 为曲线C 上一点 ,过点P 作曲线C 的切线=+y kx m交椭圆E 于A 、B 两点 ,试证：∆OAB 的面积为定值.22. (本小题总分值15分 )数列}{n a 中 ,41,121==a a ,且),4,3,2()1(1 =--=+n a n a n a nn n ．(Ⅰ )求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ )求证：对一切*N n ∈ ,有2221276n a a a +++<．参考答案一、选择题 (共10小题 ,每题4分 ,总分值40分.在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的 )二、填空题 (共7小题 ,多空题每题6分 ,单空题每题4分 ,总分值36分 )11．13 ; 79- 12． (0, -1) ； 14-13．214． 2+ ； 3π15．3216． []1,2-17． 3119,106⎛⎤⎥⎝⎦三、解答题 (共5小题 ,总分值74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )18． (本小题总分值14分 )(Ⅰ )解：化简得())6f x x π+ ,故函数()f x 的最||小正周期为π.(Ⅱ )解：∵ (2a -c )cosB =bcosC 由正弦定理得(2sinA -sinC)cosB =sinBcosC∴2sinAcosB -sinCcosB =sinBcosC ∴2sinAcosB =sin(B +C)∵A B C π++= ∴sin()sin 0B C A +=≠ ,∴1cos ,23B B π== ∴203A π<<,())26A f A π=+∈.19． (本小题总分值15分解：(Ⅰ) 证明:连结PC ,交DE 与N ,连结MN ,PAC ∆中 ,,M N 分别为两腰,PA PC 的中点 ∴//MN AC …………2分因为MN ⊂面MDE ,又AC ⊄面MDE ,所以//AC 平面MDE …………4分(Ⅱ) 设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ ,以D 为空间坐标系的原点 ,分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系 ,那么2),(,,0),(0,2,0)P a B a a C a(,,2),(,,0)PB a a a BC a a =-=-设平面PAD 的单位法向量为1n , 那么可设1(0,1,0)n =设面PBC 的法向量2(,,1)n x y = ,应有22(,,1)(,,2)0(,,1)(,,0)0n PB x y a a a n BC x y a a ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 即：200ax ay a ax ay ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ ,解得：2222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ,所以222(,22n = ∴1212212cos 2||||12n n n n θ⋅===⨯ 所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值为1220． (本小题总分值15分 )解： (Ⅰ )a x x ax a x f --++='231)(21)]2()23(3[22++--+=ax a x a ax x∵32=x 为()f x 的极值点 ,∴2'()03f∴22223()(32)(2)033a a a 且0132≠+a ∴0=a .又当0=a 时 ,'()(32)f x x x ,从而23x为()f x 的极值点成立 . (Ⅱ )假设1-=a 时 ,方程xbx x f =---3)1()1( 可得x b x x x =-+--)1()1(ln 2即322ln )1()1(ln x x x x x x x x x x b -+=-+--=在0>x 上有解 即求函数32ln )(x x x x x g -+=的值域．法一：)(ln 2x x x x b -+= 令2ln )(x x x x h -+=由xx x x x x h )1)(12(211)(-+=-+=' ∵0>x ∴当10<<x 时 ,0)(>'x h ,从而)(x h 在(0,1)上为增函数； 当1>x 时 ,0)(<'x h ,从而)(x h 在(1 , +∞)上为减函数 .∴0)1()(=≤h x h ,而)(x h 可以无穷小 . ∴b 的取值范围为]0,(-∞. 法二：2321ln )(x x x x g -++='xx x x x x g 126621)(2---=-+='' 当6710+<<x 时 ,0)(>''x g ,所以)(x g '在6710+<<x 上递增； 当671+>x 时 ,0)(<''x g ,所以)(x g '在671+>x 上递减； 又0)1(='g ,∴令0)(0='x g ,67100+<<x . ∴当00x x <<时 ,0)(<'x g ,所以)(x g 在00x x <<上递减； 当10<<x x 时 ,0)(>'x g ,所以)(x g 在10<<x x 上递增； 当1>x 时 ,0)(<'x g ,所以)(x g 在1>x 上递减；又当+∞→x 时 ,-∞→)(x g ,)41(ln )(ln ln )(232+≤-+=-+=x x x x x x x x x x x g当0→x 时, 041ln <+x ,那么0)(<x g ,且(1)0g = 所以b 的取值范围为]0,(-∞.21． (本小题总分值15分 )(Ⅰ)解：∵ (3)a x i y j =++ , (3)b x i y j =-+ ,且||||4a b +=4=∴ 点M (x ,y )到两个定点F 1 (,0 ) ,F 2,0 )的距离之和为4 ∴ 点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点的椭圆 ,设所求椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b +=>>则c =, 2a = ∴2221b a c =-=其方程为2214x y += (Ⅱ )证明：设11(,)A x y ,22(,)B x y ,将=+y kx m 代入椭圆E 的方程 ,消去x 可得222(14)84160+++-=k x kmx m 显然直线与椭圆C 的切点在椭圆E 内 ,由韦达定理则有,0>∆∴：122814+=-+kmx x k ,212241614-=+m x x k . 所以12||-=x x 因为直线=+y kx m 与y 轴交点的坐标为(0,)m ,所以∆OAB 的面积121||||2=-=S m x x== 设2214=+m t k 将=+y kx m 代入椭圆C 的方程 ,可得222(14)8440+++-=k x kmx m由0∆= ,可得2214=+m k 即1=t , 又因为=S ,故=S .22． (本小题总分值15分 ) (Ⅰ )由 ,对2≥n 有11)1()1(11---=--=+n a n n a n a n a n n n n ,两边同除以n ,得)1(1)1(111---=+n n a n na n n , 即)111()1(111nn a n na n n ---=--+ , 于是 ,)111(111)1(1112121---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k , 即2),111(1)1(12≥---=--n n a a n n ,所以123)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ,2,231≥-=n n a n ． 又1=n 时也成立 ,故*,231N n n a n ∈-=． (Ⅱ )当2≥k ,有)131431(31)13)(43(1)23(122---=--<-=k k k k k a k , 所以2≥n 时 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112212n n a a nk k n k k .6761113121311=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n又1=n 时 ,.67121<=a 故对一切*N n ∈ ,有6712<∑=nk k a ．。

2020年浙江省高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x∈N||x|<4}，B={x|2x≤4}，则A∩B=()A. {x|x≤2}B. {x|−4<x≤2}C. {0,1，2}D. {1,2}2.设复数z满足i⋅z=2+3i，其中i为虚数单位，在复平面内，复数z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知q是等比数列{a n}的公比，首项a1<0，则“0<q<1”是“数列{a n}是递增数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设x，y满足{x−y≥0x+2y≤3x−2y≤1，则|x+4y|的最大值为()A. 0B. 1C. 2D. 55.函数y=−cosx⋅ln|x|的图象可能是()A. B.C. D.6.随机变量X满足P(X=p)=p，P(X=1−p)=1−p，随机变量Y=1−X，则()A. E(X)≥E(Y)，D(X)≥D(Y)B. E(X)≥E(Y)，D(X)=D(Y)C. E(X)≤E(Y)，D(X)≥D(Y)D. E(X)≤E(Y)，D(X)=D(Y)7.已知正四面体ABCD中，E，F分别是线段BC，BD的中点，P是线段EF上的动点(含端点).PA与平面BCD所成的角为θ1，二面角A−EF−D的平面角为θ2，二面角A−CD−B的平面角为θ3，则()A. θ1≤θ3≤θ2B. θ3≤θ1≤θ2C. θ1≤θ2，θ1≤θ3D. θ1≤θ3，θ2≤θ38.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，满足|PF1|=|F1F2|，PF2与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的离心率是() A. √2 B. √3 C. √5 D. 39. 已知a ∈R ，函数f(x)={x 2−ax +a,x <1lnx −ax,x ≥1，则函数y =f(x)的零点个数不可能为( )A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=12an +1(n ∈N ∗)．(1)数列{a n }是单调递减数列； (2)对任意的n ∈N ∗，都有a n ≥13； (3)数列{|a n −12|}是单调递减数列；(4)对任意的n ∈N ∗，都有|a n+1−a n |≤23⋅(611)n−1．则上述结论正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 若log 3m =2，则m =______；2log 23+30+log 39=______．12. 《九章算术》中有这样的描述：“今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤四丈”，其中“广”是东西走向的意思，“袤”是南北走向的意思．若有几何体的三视图如图，则该几何体的体积为______，表面积为______(不需填单位)．13. 已知多项式(2x +a)5=a 0+a 1x +⋯+a 5x 5+(1+x)2，若a 0=0，则a =______；若a 2=−41，则a 1+a 2+⋯+a 5=______．14. 在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，AB =AD =1，AC =2，则BC =______；若O 是△ABD 的外接圆圆心，则BO =______． 15. 设点P(1,y 0)，若圆O ：x 2+y 2=1上存在点Q ，使得∠OPQ ≥π6，则y 0的取值范围是______．16. 地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库，当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有______种． 17. 矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，圆O 是△BCD 的内切圆，P 是圆O 上的动点，M 为AB 的中点，N 为边AD 上的动点(包含端点)，则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=2sinxsin(x+π3)−12．(Ⅰ)若f(x+φ)为偶函数，且φ∈(0,π)，求φ；(Ⅱ)在△ABC中，角A满足f(A)=1，sinB=2sinC，a=2，求△ABC的面积．19.如图，已知多面体ABCD−A1B1C1D1，AA1，BB1，CC1，DD1均垂直于平面ABCD，AD//BC，AB=BC=CD=AA1=CC1=2，BB1=1，AD=DD1=4．(Ⅰ)证明：A1C1⊥平面CDD1C1；(Ⅱ)求直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值．20.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n，数列{b n}的前n项和T n=1−b n．(Ⅰ)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)设R n=1S1+1S2+⋯+1S n，试比较R n与T n的大小．21.如图，椭圆：x22+y2=1的上顶点A恰为抛物线x2=2py(p>0)的焦点，B，C是抛物线上的两个动点．(Ⅰ)若点P(2,1)，且满足PC⊥CB，求点B横坐标的取值范围；(Ⅱ)若A，B，C三点共线，过坐标原点O的直线l平分BC，且与椭圆交于M，N两点，求△BMN面积的最大值．22.已知函数f(x)=ax+lnx，g(x)=f(x)(x−lnx)−x2，a∈R．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若a∈Z，且函数g(x)只有一个零点，求a的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵A={0,1，2，3}，B={x|x≤2}，∴A∩B={0,1，2}．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，指数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：由题知，z=2+3ii =2i+3=3−2i，对应的点(3,−2)，在复平面内位于第四象限，故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数的几何意义和除法运算，是基础题．3.答案：C解析：解：在等比数列{a n}中，a n+1−a n=a1q n−1⋅(q−1),a1<0，若数列{a n}是递增数列，则0< q<1；反之，若0<q<1，则a n+1−a n=a1q n−1(q−1)>0，数列{a n}是递增数列，所以“0<q<1”是“数列{a n}是递增数列”的充要条件．故选：C．本题考查等比数列的性质及充要条件的判定．此题借助于等比数列的性质来考查充要条件的判定，易忽视前提条件：首项a1<0．4.答案：D解析：解：作出可行域如图中的阴影部分(含边界)所示，设z=x+4y，因为直线z=x+4y的斜率为−14>−12，目标函数z=x+4y中的z随直线x+4y=0向上平移而增大，所以目标函数z=x+4y在点A(1,1)处取得最大值5，在点C(−1,−1)处取得最小值−5，故|x+4y|的最大值为5，故选：D．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．解析：解：因为y=−cosx⋅ln|x|为偶函数，定义域为{x|x≠0}，故排除C，D；当x=π时，y=lnπ<2，排除B；故选：A．由函数为偶函数，可排除C，D，由lnπ<2，可排除B，由此得出正确选项．本题考查函数图象及性质，属于基础题．6.答案：B解析：解：∵P(X=p)=p，P(X=1−p)=1−p，∴E(X)=p2+(1−p)2，∵Y=1−X，∴E(Y)=1−E(X)=2p(1−p)，由基本不等式可知E(X)≥E(Y)．又D(Y)=D(1−X)=D(X)，故选：B．先根据随机变量X的概率分布，计算出E(X)，由于Y=1−X，所以可得出E(Y)，D(X)和D(Y)的大小关系．本题考查随机变量的期望和方差，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：如图所示，设点O为底面BCD的中心，作OH⊥EF于点H，连接AH，AO，PO，则θ1=∠APO，θ2=∠AHO，二面角A−CD−B与二面角A−BC−D相等，所以θ3=∠AEO．因为OH≤OP≤OE，所以tanθ2≥tanθ1≥tanθ3，所以θ2≥θ1≥θ3，故选：B．如图，作OH⊥EF得到θ1=∠APO，θ2=∠AHO，θ3=∠AEO.根据OH≤OP≤OE，则可得θ2≥θ1≥θ3，本题考查空间角的直观分析．数形结合，属于中档题．8.答案：D解析：解：设双曲线焦距为2c，由题意得|PF1|=|F1F2|=2c，所以|PF2|=2c−2a．如图，在等腰△PF1F2中，cos∠PF2F1=c−a2c，又由PF2与双曲线的一条渐近线平行知cos∠PF2F1=ac，所以c−a2c =ac，解得c=3a，则该双曲线的离心率e=3，故选：D．由三角形的余弦定理和双曲线的渐近线可得所以c−a2c =ac，化简可得c=3a，再由离心率公式可得所本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出a 、c 关系，是解决本题的关键． 9.答案：D解析：解：令f(x)=0，得a =g(x)={x 2x−1,x <1；lnxx,x ≥1．当x <1且x ≠0时，g(x)=x 2x−1=11x−(1x)2=1−(1x −12)2+14；故其在(−∞,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减； 且g(0)=0； 当x ≥1时，g(x)=lnx x，g′(x)=1−lnx x 2；故g(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，且g(1)=0其余对应的g(x)>0 画出y =g(x)的图象如图所示．由图象可知，y =g(x)与y =a 的交点个数可能是0个，1个和两个；不可能是3个； 故选：D ．把所求问题通过整理，转化为求g(x)={x 2x−1,x <1；lnxx ,x ≥1．与y =a 的交点个数问题，画出图象，借助于图象求解即可．本题考查了方程的根与函数的零点的关系，同时考查了数形结合的数学思想以及转化思想，属于基础题． 10.答案：C解析：解：由题可知a 1=1,a 2=13,a 3=35>a 2，故(1)不正确； 由题意得a n >0，则|a n+1−12||a n −12|=12an+1<1，故数列{|a n −12|}为单调递减数列，故(3)正确； 因为a 1=1,a 2=13.所以当n ≥3时，|a n −12|<16，则13<a n <23，故a n ≥13(n ∈N ∗)，故(2)正确； 因为|a n+2−a n+1||a n+1−a n |=22an+3≤611，所以|a n+1−a n |≤|a 2−a 1|⋅(611)n−1=23⋅(611)n−1，故(4)正确．综上，正确结论的个数为3，故选：C ．(1)，(3)可利用作差法来解决，(2)，(4)运用到的是基本不等式的性质，也可以采用作差法来解决大小的问题．本题考查数列与不等式的综合、迭代法、通项公式与递推关系之间的推导．11.答案：9 6解析：解若log3m=2，则m=9，2log23+30+log39=3+1+2=6．①利用指数为对数逆运算，a x=y，则x=log a y，从而得出答案．②利用对数运算公式a log a N=N，求出答案．本题考查对数的运算，属于基础题．12.答案：60 54+8√26解析：解：由题意可知，该几何体是一个底面为等腰梯形的横放的直四棱柱(如图所示)．易知，底面是上底为2，下底为4，高为5的等腰梯形，故S底面=12(2+4)×5=15．梯形的腰长为√52+11=√26又因为柱体的高为4，故侧面积S侧=(2+4+2√26)×4=24+8√26．故表面积为S表=2S底+S侧=54+8√26．该几何体的体V=S底×ℎ=15×4=60．故答案为：60 54+8√26因为正视图、俯视图都是矩形，所以初步判断是一个柱体，再结合侧视图可知，这是一个底面为梯形的直四棱柱．据此计算体积、表面积．本题考查空间几何体的三视图的识图问题，以及四棱柱的表面积、体积计算问题，同时考查了学生的直观想象、数学运算以及逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．13.答案：1 −1解析：解：由题可知(2x+a)5−(1+x)2=a0+a1x+⋯+a5x5，令x=0，则a5−1=a0=0，故a=1；若a2=C53×22×a3−1=−41，则a=−1，∴(2x−1)5−(1+x)2=a0+a1x+⋯+a5x5；令x=0可得a0=−2，令x=1可得a0+a1+a2+⋯+a5=15−22=−3；故a1+a2+⋯+a5=−1．故答案为：1，−1．把已知等式变形，整理后令x=0可得第一个空，根据a2求得a，再令x=1即可求解结论．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．14.答案：3√22√14 7解析：解：因为AD平分∠BAC，所以ABAC =BDCD=12；所以cos∠BAD=cos∠CAD，由余弦定理得AB2+AD2− BD22AB⋅AD =AD2+AC2−DC22AD⋅AC，即1+1−BD22×1×1=1+4−4BD22×1×2，解得BD=√22，所以CD=√2，所以BC=3√22；在△ABD中，由余弦定理得cosB=AB2+BD2−AD22AB⋅BD =√24，所以sinB=√1−cos2B=√1−216=√144，由正弦定理得BO=AD2sinB=2×√144=√147．根据角平分线定理和余弦定理，列方程求得BD的值，从而求得CD、BC的值；在△ABD中由余弦定理求得cos B的值，再计算sin B，由正弦定理求出BO的值．本题考查了正弦定理、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．15.答案：[−√3,√3]解析：解：如图，找临界情况：当PQ与圆O相切，且∠OPQ=π6时，y0=±√3，所以当−√3≤y0≤√3时，符合题意．故答案为：[−√3,√3]结合已知可找临界情况，可先求出当PQ与圆O相切时的y0即可求解．本题考查直线与圆的位置关系，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．16.答案：336解析：解：根据题意，分2步进行分析：(1)：首先把四辆车排列有A44种排法，再把两个连续的空车位捆绑与另一空车位往4辆车中插入有A52种方法，由乘法原理有A44A52种停法；(2)：因为红、白两车相邻的情况有A33A22A42种．则符合要求的停车方法有A44A52−A33A22A42=336种．故停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有336种．故答案为：336．根据题意，首先用捆绑法与插空法计算恰有两个连续的空车位必须相邻的所有停车方法，再计算红白两车相邻的停车法；结合题意，用间接法，两数相减，即可得答案．本题考查排列组合的应用，本题运用间接法，捆绑法，插空法，可以避免讨论，简化计算．属于中档题．17.答案：√13+4解析：解：先固定点P ，则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤max{MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }，易得圆O 的半径为1，以C 为坐标原点建立如图所示坐标系，则M(3,2)，D(0,4)， 设P(x,y)，则对应的圆的方程为：(x −1)2+(y −1)2=1； ∴MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −3,y −2)，MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,2)； 利用投影可得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤0， MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3)(x −3)+2(y −2)=−3x +2y +5； ∵(x −1)2+(y −1)2=1；故可得：x =1+cosα，y =1+sinα；∴MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +2y +5=2sinα−3cosα+4=√13sin (α−φ)+4，其中tanφ=32； 所以：MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为：√13+4． 故MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为√13+4． 故答案为：√13+4．先根据条件把所求问题转化，再建立坐标系，通过点的坐标转化以及三角函数的有关知识即可求解结论．本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)f(x)=2sinx(12sinx +√32cosx)−12=sin 2x +√3sinxcosx −12=1−cos2x 2+√32sin2x −12=sin (2x −π6)，则f(x +φ)=sin (2x +2φ−π6)，由f(x +4)为偶函数可知f(0+φ)=sin (2φ−π6)=±1，所以2φ−π6=π2+kπ(k ∈Z)， 解得φ=π3+kπ2(k ∈Z)．又因为φ∈(0,π)，所以φ=π3或56π．(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(A)=sin (2A −π6)=1⇒A =π3，sinB =2sinC ⇒b =2c ，所以由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc⇒c =23√3，b =43√3，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×43√3×23√3×√32=23√3．解析：(Ⅰ)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． (2)利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19.答案：(Ⅰ)证明：如图，连接AC ， ∵AA 1//CC 1，且AA 1=CC 1，∴四边形ACC 1A 1为平行四边形，即A 1C 1//AC ．又底面ABCD 为等腰梯形，且AB =BC =CD =2，AD =4，∴AC ⊥CD ． ∵CC 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴CC 1⊥AC ．又CD ∩CC 1=C ，∴AC ⊥平面CDD 1C 1， ∴A 1C 1⊥平面CDD 1C 1；(Ⅱ)解：法一、由题意得BC 1=2√2，延长DC ，D 1C 1，AB ，A 1B 1交于点G ，取CG 中点M ，连接BM ，AC ．∵BM//AC//A 1C 1，BM ⊄平面A 1B 1C 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， ∴BM//平面A 1B 1C 1，∴点B 到平面A 1B 1C 1的距离和点M 到平面A 1B 1C 1的距离相等． 由(Ⅰ)知A 1C 1⊥平面CDD 1C 1， 又A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴平面A 1B 1C 1⊥平面CDD 1C 1．过点M 作MH ⊥GD 1于点H ，则MH ⊥平面A 1B 1C 1， 即点M 到平面A 1B 1C 1的距离为MH =√22．设直线BC 1与平面A 1B 1C 1所成的角为θ， 则sinθ=MH BC 1=√222√2=14，即直线BC 1与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为14；解法二、以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，过点D 且垂直于平面ADD 1A 1的直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(3,√3,0),A 1(4,0,2),B 1(3,√3,1),C 1(1,√3,2)， BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2),A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,√3,0)，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)．设平面A 1B 1C 1的法向量n⃗ =(x,y,z)， 由{n ⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +√3y =0n ⃗ ⋅B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +z =0，令x =1，得n ⃗ =(1,√3,2)．设直线BC 1与平面A 1B 1C 1所成的角为θ，则sinθ=|cos 〈BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 1,n ⃗ 〉|=2√2⋅2√2=14，即直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为14．解析：(Ⅰ)连接AC，由已知可得四边形ACC1A1为平行四边形，即A1C1//AC.再由已知证明CC1⊥AC.结合直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面CDD1C1，从而得到A1C1⊥平面CDD1C1；(Ⅱ)法一、延长D1C1，AB，A1B1交于点G，取CG中点M，连接BM，AC.证明BM//平面A1B1C1，可得点B到平面A1B1C1的距离和点M到平面A1B1C1的距离相等．由(Ⅰ)知A1C1⊥平面CDD1C1，可得平面A1B1C1⊥平面CDD1C1.过点M作MH⊥GD1于点H，则MH⊥平面A1B1C1，求得点M到平面A1B1C1的距离为MH=√22.设直线BC1与平面A1B1C1所成的角为θ，可得sinθ，得到直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值；法二、以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，过点D且垂直于平面ADD1A1的直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出BC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标与平面A1B1C1的一个法向量n⃗，由BC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与n⃗所成角的余弦值可得直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值．本题考查直线与平面垂直的判定、线面角，考查空间想象能力和运算求解能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+2n−(n−1)2−2(n−1)=2n+1，经检验当n=1时a1=3，也成立，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n+1(n∈N∗)；当n≥2时，b n=T n−T n−1=b n−1−b n，∴b nb n−1=12，当n=1时，b1=12，∴数列{b n}的通项公式为b n=12n(n∈N∗)；(Ⅱ)∵1S n =1n(n+2)=12(1n−1n+2)，R n=12×(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2)=12×(1+12−1n+1−1n+2)<34．当n≥2时，T n=1−b n=1−12≥T2=34>R n，且T1>R1，∴T n>R n(n∈N∗)．解析：(Ⅰ)运用数列的递推式：当n≥2时，a n=S n−S n−1，计算可得a n；运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得所求b n；(Ⅱ)求得1S n =1n(n+2)=12(1n−1n+2)，由数列的裂项相消求和可得R n，讨论当n≥2时，n=1时，R n与T n的大小可得所求关系．本题考查数列的通项与求和，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)由题易知A(0,1)，则p2=1，则抛物线的方程为x2=4y．设B(x1,x124),C(x2,x224)．∵PC⊥CB，∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,x 224−1)⋅(x 1−x 2,x 12−x 224)=(x 2−2)(x 1−x 2)+x 22−44⋅x 12−x 224=0， 化简得1+(x 2+2)(x 1+x 2)16=0，即x 1=−16x2+2−x 2=−[(x 2+2)+16(x2+2)]+2∈(−∞,−6]∪[10,+∞)，故点B 橫坐标的取值范围为(−∞,−6]∪[10,+∞)． (Ⅱ)设直线BC ：y =kx +1,B(x 1,x 124),C(x 2,x 224)，联立{y =kx +1x 2=4y得x 2−4kx −4=0，显然△>0，∴{x 1+x 2=4kx 1x 2=−4，∴BC 的中点坐标为(2k,2k 2+1)．设直线MN 的方程为y =mx ，其中m =2k 2+12k．联立{y =mx x 2+2y 2=2得(1+2m 2)x 2=2，∴x M =−x N =√2√1+2m 2， ∴|MN|=2√1+m 2|√2√1+2m 2．由点到直线的距离公式可知，点B 、C 到MN 的距离分别为d 1=|x 124−mx |√m 2+1，d 2=|x 224−mx |√m 2+1．且点B ，C 在直线MN 的两侧， ∴d 1+d 2=|(x 124−mx )−(x 224−mx )|√m 2+1=|x 1+x 24(x −x )−m(x −x )|√m 2+1=4|k−m|⋅√k 2+1√m 2+1． ∵MN 平分BC ，∴S △BMN =S △CMN ， ∴S △BMN =12(S △BMN +S △CMN )=|MN|4⋅(d 1+d 2)=2|k −m|√k 2+1|√2√1+2m 2=2√k 2+14k 4+6k 2+1．设k 2+1=t ，t ≥1， ∴k 2+14k 4+6k 2+1=t4(t−1)2+6(t−1)+1=14t−1t−2≤1，即当k =0时，(S △BMN )max =2．解析：(Ⅰ)先根据椭圆的几何性质求出点A 的坐标，从而得到抛物线的方程，设B(x 1,x 124),C(x 2,x 224)，结合PC ⊥CB ，利用平面向量数量积的坐标运算，构造等式，用x 2表示出x 1，然后利用对勾函数的性质即可得解；(Ⅱ)设直线BC 的方程为y =kx +1，联立该方程与抛物线的方程，结合韦达定理可求得BC 中点的坐标；再设直线MN 的方程为y =mx ，联立该方程与椭圆的方程，可求得M 、N 的坐标，进而求得线段|MN|的长，以及利用点到直线的距离公式可求得B 、C 两点到直线MN 的距离d 1，d 2，由于MN 平分BC ，所以S △BMN =12(S △BMN +S △CMN )=|MN|4⋅(d 1+d 2)，最后对其进行化简整理，即可得解．本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，涉及曲直联立、点到直线的距离公式、平面向量数量积的坐标运算、利用对勾函数、换元法等求最值，具有一定的综合性，考查学生转化与化归的思想和运算能力，属于难题．22.答案：解：(Ⅰ)由题意可知x >0，f′(x)=a +1x ．当a ≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a <0时，f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a ,+∞)上单调递减．(Ⅱ)解法一：由题意可知x >0，且g(x)=(ax +lnx)(x −lnx)−x 2=0⇔(a +lnx x)(1−lnx x)=1．令t =lnx x,t ∈(−∞,1e ],则(a +t)(1−t)=1．记φ(t)=t 2+(a −1)t +1−a =0，(∗)当a ≤−1时，a +t <0，1−t >0，与(a +t)(1−t)=1相矛盾，此时(∗)式无解； 当a =0时，φ(t)=t 2−t +1=0无解；当a =1时，(∗)式的解为t =0，此时g(x)=0有唯一解x =1； 当a ≥2时，{t 1t 2=1−a <0t 1+t 2=1−a <0，φ(1e )=1e 2+(a −1)(1e −1)≤1e 2+1e −1<0，所以(∗)式只有一个负根t 0，g(x)=0有唯一解，故a 的最小值为1． 解法二：由题得g(x)=(ax +lnx)(x −lnx)−x 2=0⇔(a +lnx x)(1−lnx x)=1，令t =lnx x，则a =11−t −t ．再令k =1−t ，则a +1=k +1k ． 记y =k +1k ,k =1−lnx x，函数y =k +1k 和函数k =1−lnx x的图象如图所示：当a +1<2，即a <1时，显然不成立；当a +1≥2，即a ≥1时，由a ∈Z ，得方程a +1=k +1k 存在唯一解k 0，且k 0≥1． 此时k =1−lnx x亦存在唯一解x 0．综上，a的最小值为1．解析：(Ⅰ)可求得f′(x)=a+1x(x>0)，分a≥0与a<0两类讨论可得函数的单调情况；(Ⅱ)解法一：由g(x)=0，可得(a+lnxx )(1−lnxx)=1，令t=lnxx,t∈(−∞,1e]，则(a+t)(1−t)=1，记φ(t)=t2+(a−1)t+1−a=0，(∗)分a≤−1，a=0，a=1三类讨论，可得a的最小值；解法二：由题得g(x)=(ax+lnx)(x−lnx)−x2=0⇔(a+lnxx )(1−lnxx)=1，令t=lnxx，则a=1 1−t −t，再令k=1−t，则a+1=k+1k，记y=k+1k,k=1−lnxx，作出函数y=k+1k和函数k=1−lnxx的图象，分析可求得a的最小值．本题考查导数在研究函数中的应用，突出考查推理论证能力，考查分类与整合思想、等价转化思想及数形结合思想的综合运用，属于难题．。