函数对称性与函数图象变换总结

函数的图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。

由函数y = f (x)可得到如下函数的图象1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。

(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。

2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。

(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。

(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。

(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。

(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。

(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。

(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。

（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。

(留正去负，负上翻；)一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。

✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。

(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。

3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m 1倍得到。

高中数学函数图象的简单变换知识点总结高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。

一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到；1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。

②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。

1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。

【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。

二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象如：（i）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到；②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =-的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--=2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。

函数的对称问题湖南彭向阳一、函数的自对称问题1．函数 y=f(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=f(a-x ；特别，函数y=f(x 的图象关于y 轴对称f(x=f(-x.2．函数 y=f(x 的图象关于点(a,b 对称f(a+x+f(a-x=2b ；特别，函数y=f(x 的图象关于原点对称f(-x=-f(x.主要题型：1.求对称轴 (中心：除了三角函数y=sinx ， y=cosx 的对称轴〔中心〕可以由以下结论直接写出来 (对称轴为函数取得最值时的x=,对称中心为函数与x 轴的交点外，其它函数的对称轴(中心就必须求解，求解有两种方法，一是利用对称的定义求解；二是利用图象变换求解.例 1 确定函数的图象的对称中心.解析 1 设函数的图象的对称中心为〔h， k〕，在图象上任意取一点P 〔x， y〕，它关于〔 h， k〕的对称点为Q〔 2h-x， 2k-y 〕， Q 点也在图象上，即有，由于，两式相加得，化简得〔*〕.由于 P 点的任意性，即〔 * 〕式对任意 x 都成立，从而必有 x 的系数和常数项都为 0，即h=1，k=1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.解析 2 设函数，那么g(x为奇函数，其对称中心为原点，由于，说明函数f(x 的图象是由g(x 的图象分别向右、向上平移 1 个单位得到，而原点向右、向上分别平移 1 个单位得到点 (1,1.所以函数的图象的对称中心为〔1,1〕.例 2 曲线 f(x=ax 3+bx2+cx ，当 x=1-时，f(x有极小值；当x=1+时，f(x有极大值，且在x=1 处切线的斜率为.(1 求 f(x ；(2 曲线上是否存在一点P，使得 y=f(x 的图象关于点P 中心对称？假设存在，求出点P 的坐标，并给出证明；假设不存在，请说明理由.解析 (1 =3ax2+2bx+c ，由题意知 1- 与 1+ 是 =3ax2+2bx+c=0 的根，代入解得 b=-3a， c=-6a.又 f(x 在 x=1 处切线的斜率为，所以，即3a+2b+c=，解得. 所以f(x .f(x0+x+f(x0-x=2y0 ，(2 假设存在P(x0 ， y0，使得f(x 的图象关于点P 中心对称，那么即，化简得.由于是对任意实数x 都成立，所以，而 P在曲线y=f(x上.所以曲线上存在点P，使得y=f(x的图象关于点P 中心对称 .2.证明对称性：证明对称性有三种方法，一是利用定义，二是利用图象变换，三是利用前面的结论 ( 函数 y=f(x的图象关于点(a,b对称f(a+x+f(a-x=2b来解决.例 3 求证函数的图象关于点P〔 1,3 〕成中心对称.证明 1 在函数的图象上任意取一点A〔x， y〕，它关于点P〔 1,3 〕的对称点为 B〔2-x ， 6-y 〕，因为，所以点 B 在函数的图象上，故函数的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .证明2因为.由于是奇函数，所以的图象关于原点对称，将它的图象分别向右平移 1 个单位，向上平移 3 个单位，就得到函数的图象，所以的图象关于点P〔 1,3 〕对称 .所以的图象关于点 P〔 1,3 〕对称 .3．函数的对称性求函数的值或参数的值:由函数的对称性求值，关键是将对称问题转化为等式问题，然后对变量进行赋值求解. 例4 定义在R 上的函数f(x的图象关于点对称，且满足那么f(1+f(2+f(3++f(2005 的值为〔〕.A ．解析由f(x 的图象关于点，即，即对称，那么说明函数，又，函数 f(x是偶函数是奇函数，也就是有，所以.所以，又，即 f(x 以 3 为周期， f(2=f(-1=1 ， f(3=f(0=-2 ，所以 f(1+f(2+f(3+ +f(2005=668 〔 f(1+f(2+f(3 〕 +f(2005=f(2005=f(1=1 ，选 D.例 5 函数f(x=的图象关于点中心对称，求f(x.解析 1 设 f(x图象上任意一点A〔 x，y〕，它关于点的对称点为B，由于 A、 B 都在 f(x上，所以，相加整理得，解得 a=1.所以 f(x=.解析 2 由上面的公式有，代入化简整理得a=1.解析 3 由题意知将函数y=f(x的图象向左平移 1 个单位长度，向下平移个单位长度得y=的图象，它关于原点对称，即是奇函数，=，即 y=，它是奇函数必须常数项为0，即 a=1.二、函数的互对称问题1． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线x=a 对称f(a+x=g(a-x ；2． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=b 对称f(x+g(x=2b ；3． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于点 (a ， b 对称f(a+x+g(a-x=2b.4． y=f(x 与 y=g(x 的图象关于直线y=x 对称f(x 和 g(x 互为反函数 .记住这些结论不仅仅便于解决选择填空题，也便于解答题中的图象互相对称的函数解析式的求解问题 . 主要题型：1. 判断两个函数图象的对称关系例 6 在同一平面直角坐标系中，函数f(x=2x+1与g(x=21-x的图象关于(.A．直线ｘ＝ 1 对称 B. ｘ轴对称C.ｙ轴对称D. 直线ｙ＝ｘ对称解析作为一个选择题，可以取特殊点验证法，在f(x上取点(1,4，g(x上点(-1,4，而这两个点关于y 轴对称，所以选择 C.当然也可利用上面的结论解决，因为f(-x=2-x+1=g(x，所以f(x、g(x的图象关于y 轴对称，选 C.2．证明两个函数图象的对称性：一般利用对称的定义，先证明前一个函数图象上任意一点关于直线 ( 点的对称点在后一个函数的图象上，再证明后一个函数图象上任意一点关于直线( 点的对称点也在前一个函数的图象上，这两个步骤不能少.当然也可利用上面的结论来解决.例 7 函数f(x=x3-x，将y=f(x的图象沿x 轴、 y 轴正向分别平行移动t 、 s 单位，得到函数 y=g(x 的图象 . 求证： f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.解析由得g(x=(x-t3-(x-t+s.在 y=f(x的图象上任取一点P(x1,y1 ，设Q(x2,y2是P 关于点 A 的对称点，那么有，∴x1=t -x2, y1=s-y2.代入 y=f(x ，得 x2 和 y2 满足方程：s-y2=(t-x23-(t-x2，即y2=(x2-t3-(x2-t+s，可知点 Q(x2,y2 在 y=g(x 的图象上 .反过来，同样可以证明，在y=g(x的图象上的点关于点 A 的对称点也在y=f(x的图象上，因此，f(x和g(x的图象关于点A〔〕对称.3．由两个函数图象的对称性求参数值：首先必须根据对称性由函数求出另一函数的解析式，然后再由条件确定参数的值.例 8 f(x 是定义在上的偶函数，g(x的图象与f(x的图象关于直线x=1 对称，且当时， g(x=2a(x-2-3(x-23 ，其中为常数，假设f(x 的最大值为12，求 a 的值 .解析由于 g(x 的图象与 f(x 的图象关于直线x=1 对称，所以 f(1+x=g(1-x ，即 f(x=g(2-x.当时，，所以f(x=g(2-x= 2a(2-x-2-3(2-x-23=-2ax+3x3，因为f(x 是偶函数，所以当时，， f(x=f(-x=2ax-3x3.因为当时，=-2a+9x2 ≤ -2a+9<0，所以f(x 在上是减函数，从而f(x 在上是增函数，所以f(x 的最大值为f(1=f(-1=2a-3=12 ，即.。

函数的对称性 一、有关对称性的常用结论（一）函数图象自身的对称关系1、轴对称(1))(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称；(2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+⇔()(2)f x f a x =- ⇔()(2)f x f a x -=+；（3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2b a x +=对称。

2、中心对称（1）)(x f -=－)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点对称；.（2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称⇔)()(x a f x a f --=+⇔()(2)f x f a x =-- ⇔)2()(x a f x f +=-；（3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称⇔b x a f x a f 2)()(=++-⇔b x f x a f 2)()2(=+-（4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)2,2(c b a + 对称。

（二）两个函数图象之间的对称关系 1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2a b x -=对称。

推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。

推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。

2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点)2,2(c a b -对称。

推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2(a b -对称。

第四讲：函数图象的对称性与变换一、 两个函数的图象的对称性：1、y=f 〔x 〕与y=-f 〔x 〕关于x 轴对称。

2、y=f 〔x 〕与y=f 〔－x 〕关于y 轴对称。

3、 y=f 〔x 〕与y=－f 〔－x 〕关于原点对称。

4、y=f 〔x 〕与y=f 1-〔x 〕关于直线y=x 对称,〔或y=f 〔x 〕与x=f 〔y 〕关于直线y=x 对称〕。

5、y=f 〔x 〕与y=f 〔2a －x 〕｛注：y=f 〔a+x 〕与y=f 〔a －x 〕关于直线x=0对称｝关于直线x=a 对称。

6、y=f 〔x 〕与y=－f 〔2a －x 〕+2b 关于点〔a,b 〕对称.二、 一个函数的图象的对称性：1、关于直线x=a 对称时，f 〔x 〕=f 〔2a －x 〕或f 〔a －x 〕=f 〔a+x 〕,特例：a=0时，关于y 轴对称，此时 f 〔x 〕=f 〔－x 〕为偶函数。

2、y=f 〔x 〕关于〔a,b 〕对称时,f 〔x 〕=2b －f 〔2a －x 〕，特别a=b=0时， f 〔x 〕=－f 〔－x 〕，即f 〔x 〕关于原点对称，f 〔x 〕为奇函数。

3、y=f 〔x 〕关于直线y=x+b 对称时,由上面知y=f 〔x 〕关于直线y=x+b 对称的函数的解析式是y=f 1-〔x+b 〕+b 。

它与y=f 〔x 〕应是同一函数，所以：f 〔x 〕＝f1-〔x+b 〕+b 。

特别当b ＝0时，f 〔x 〕＝f 1-〔x 〕，即一个函数关于直线y=x 对称时，它的反函数就是它本身。

4、类似4有y=f 〔x 〕关于直线y=－x+b 对称时, f 〔x 〕＝b －f 1-〔b －x 〕。

特别当b ＝0时，f 〔x 〕＝－f 1-〔－x 〕, f 〔x 〕关于直线y=－x 对称.5、假设f(a+x)=f(b-x)，那么f(x)的图像关于直线2b a x +=对称， 三：图象平移与伸缩变换、翻折变换。

1、平移变换〔向量平移法那么〕：y=f 〔x 〕按a ＝〔h,k 〕平移得y=f 〔x －h 〕+k,即F 〔x,y 〕=0按a ＝〔h,k 〕平移得F 〔x －h,y －k 〕=0,当m>0时,向右平移，m<0时,向左平移。

反函数●知识梳理1.反函数定义：若函数y=f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x=ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x=ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y=f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x=f －1（y ）. 在函数x=f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数x=f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y=f －1（x ）.2.互为反函数的两个函数y=f （x ）与y=f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x 对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y=f （x ），得到x=f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y=f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y=f （x ）的值域〕.一. 条件存在型例1.函数f x x ax ()=--223在区间[]12，上存在反函数的充要条件是（ ） A. (]a ∈-∞，1 B. [)a ∈+∞2， C. (][)a ∈-∞+∞，，12 D. []a ∈12， 二. 式子求解型 例2.函数y x x =-≤2310()的反函数是（ ）A. y x x =+≥-()()113 B. y x x =-+≥-()()113 C. y x x =+≥()()103 D. y x x =-+≥()()103三.求定义域值域型 例3.若fx -1()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。

四.性质判断型例4. 函数y e e x x=--2的反函数是（ ）A. 奇函数，在（0，+∞）上是减函数；B. 偶函数，在（0，+∞）上是减函数C. 奇函数，在（0，+∞）上是增函数；D. 偶函数，在（0，+∞）上是增函数 五. 反函数求值型例5. 设352)(-+==x x x f y ，已知 y=g(x)的图象与)1(1+=-x f y 的图象关于直线y=x 对称，则 g(4)= 。

函数的变换（平移，对称，翻折，周期）【自主梳理】1．() (0)y f x a a =+>的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到．() (0)y f x a a =->的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到． 2．() (0)y f x b b =+>的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到．() (0)y f x b b =->的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到． 3．() (0)y Af x A =>的图象可由()y f x =图象上所有点的纵坐标变为 ，不变而得到．4．() (0)y f ax a =>的图象可由()y f x =图象上所有点的横坐标变为 ，不变而得到． 【自我检测】1．若()f x 的图象过(0,1)点，则(1)f x +的图象过点 ． 2．函数2xy =的图象向右平移2个单位所得函数解析式为 ． 3．将函数lg()y x =-的图象 可得函数lg(1)y x =-+的图象．4．函数xy x a =-+的图象的对称中心为(1,1)--，则a = ． 5．将函数1cos 2y x =图象的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标扩大为原来的2倍，所得函数解析式为 ． 6．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再向 平移个单位长度． 二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）设函数()y f x =图象进行平移变换得到曲线C ，这时()y f x =图象上一点(2,1)A -变为曲线C 上点(3,3)A '-，则曲线C 的函数解析式为．（2）如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是．（3）要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos2y x =的图象． （4）若函数()2sin y x θ=+的图象按向量(,2)6π平移后，它的一条对称轴是4x π=，则θ的一个可能的值是．【例2】作出下列函数的图象．（1）12x y -= （2）211x y x +=-【例3】（1）函数()24log 12y x x =-+的图象经过怎样的变换可得到函数2log y x =的图象？（2）函数21cos cos 12y x x x =+⋅+的图象可由sin y x =的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【自主梳理】1．（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于对称；（3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于 对称． 2．奇函数的图像关于对称，偶函数图像关于对称．3．若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称． 4．对0a >且1a ≠，函数xy a =和函数log a y x =的图象关于直线对称．5．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．6．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像．3．函数y e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称．4．将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x =对称，则C '的解析式为 ．5．设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关 于 对称． 6．若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ． 二、课堂活动：（1（2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为．①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称；③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 是偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称．（3）将曲线lg y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是．【例2】作出下列函数的图象：（1）12log ()y x =-；（2）12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）2log y x =；（4）21y x =-．【例3】（1）将函数12log y x =的图象沿x 轴向右平移1个单位，得图象C ，图象C '与C 关于原点对称，图象C ''与C '关于直线y x =对称，求C ''对应的函数解析式； （2）已知函数()y f x =的定义域为R ，并且满足(2)(2)f x f x +=-．①证明函数()y f x =的图象关于直线2x =对称；②若()f x 又是偶函数，且[]0,2x ∈时，()21f x x =-,求[]4,0x ∈-时()f x 的表达式．一.周期函数的定义：设函数y=f(x)的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。

函数图象的几种常见变换⑪ 平移变换：左右平移---“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑫翻折变换：()|()|→f x f x ；“下沿X 轴翻折到上面”()(||)→f x f x .“右往左翻折—沿Y 轴”⑬对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关 于直线x a =对称；⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称；⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-确定)；⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2a b x +=对称；⑧函数()y f x =,()y A f x =-的图像关于直线2A y =对称(由()()2f x A f x y +-=确定)；⑨函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =--的图像关于点22(,)m n对称；⑩函数()y f x =与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称；曲线1C ：(,)0f x y =,关于y x a =+,y x a =-+的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=；曲线1C ：(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=. 9.函数的周期性：⑪若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ；⑫若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ；⑬若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ；⑭若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；⑮()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -；⑯()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-,则()y f x =的周期为2||a ；。

常有函数性质汇总及简单评论对称变换常数函数 f ( x)= b( b∈R)y b1）、y=a和 x=a的图像和走势2）、图象及其性质：函数 f ( x)的图象是平行于x 轴或与 x 轴重合（垂直于y 轴）的直线O一次函数 f ( x)= kx+b ( k≠ 0, b∈R)1) 、两种常用的一次函数形式: 斜截式——y点斜式—— f ( x)= kx+ 2）、对斜截式而言，k、 b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势：b3）、 |k| 越大，图象越陡；|k| 越小，图象越缓和Ox4）、定义域： R值域： R单一性：当0 时；当k<0 时k>奇偶性：当 b=0时，函数 f ( x)为奇函数；当b≠0时，函数 f ( x)没有奇偶性；反函数：有反函数（特别状况下：K=± 1 而且 b=0 的时候）。

增补：反函数定义：例题：定义在 r 上的函数 y=f （x） ; y=g（x）都有反函数，且 f （ x-1 ）和 g-1 (x) 函数的图像对于Rg（ 5） =2016，求 f （ 4） =周期性：无5）、一次函数与其他函数之间的练习1 、常用解题方法：2）点对于直线（点）对称，求点的坐标f( x)=bxy=x 对称，若2、与曲线函数的联合运用反比率函数f ( x )= k ( k ≠ ， 值不相等永不订交； k 越大，离坐标轴越远 )x 0 kk>0 时，函数 f ( x ) 的图象分别在第一、第三图象及其性质：永不订交，渐趋平行；当象限；当 k<0 时，函数 f ( x ) 的图象分别在第二、第四象限； yf ( x )=双曲线型曲线， x 轴与 y 轴分别是曲线的两条渐近线； ax b既是中心对成图形也是轴对称图形cx d定义域：( ,0) (0, )值域： ( ,0) (0, )xO单 调 性：当 k> 0 时；当 k< 0 时 周期性：无奇 偶 性：奇函数反 函 数：原函数自己增补： 1、反比率函数的性质2、与曲线函数的联合运用（常观察有无交点、交点围城图行的面积）——下手点常有两个——⑴直接带入， 利用二次函数鉴别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形联合判断未知数取值（计算面积基本方法也鉴于此）3、反函数变形（如右图）1）、 y=1/ （x-2 ）和 y=1/x-2 的图像挪动比较2）、 y=1/(-x) 和 y=- （ 1/x ）图像挪动比较 3）、 f ( x )=ax b( c ≠ 0 且 d ≠ 0) （增补一下分别常数）cx d（对照标准反比率函数，总结各项内容）二次函数y f ( x )=一般式： f ( x ) ax 2 bx c(a 0) 极点式： f ( x )a( x k ) 2 h(a 0)两根式： f ( x ) a( x x 1 )( xx 2 )( a 0)图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，极点坐标为②当 a 0 时，张口向上，有最低点当 a0时。

函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（ ） A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域； （2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ）.A.3B.4C.6D.84.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x =+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32x y =；②2-=x y ；③21x y =；④1-=x y ；⑤31x y =；⑥23x y =；⑦34x y =； ⑧21-=x y ；⑨35x y =.常规函数图像有：函数代号 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号HI指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像(一)复习指导单调性：设函数y ＝f (x)定义域为A ，区间MA ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＞0时，就称f(x)在区间M 上是增函数，当Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0时，就称f(x)在区间M 上是减函数．如果y ＝f(x)在某个区间M 上是增(减)函数，则说y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y=f(x)的单调区间．函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f(x 1)与f(x 2)的大小．利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的．对于y=f[φ(x)]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u=φ(x)，然后分别根据u=φ(x)，y=f(u)在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律．此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述．奇偶性：(1)设函数f(x)的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f(－x)=－f(x)，则这个函数叫做奇函数；设函数f(x)的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f(－x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数．函数的奇偶性有如下重要性质：f(x)奇函数f(x)的图象关于原点对称．f(x)为偶函数f(x)的图象关于y 轴对称．此外，由奇函数定义可知：若奇函数f(x)在原点处有定义，则一定有f(0)=0，此时函数f(x)的图象一定通过原点．周期性：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，则函数f(x)叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．关于函数的周期性，下面结论是成立的．(1)若T 为函数f(x)的一个周期，则kT 也是f (x)的周期(k 为非零整数)．(2)若T 为y=f(x)的最小正周期，则||T 为y=Af(ωｘ+φ)+b 的最小正周期，其中ω≠０．对称性：若函数y=f(x)满足f(a －x)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线2ba x对称，若函数y=f (x)满足f(a －x)=－f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(2ba ，0)对称．函数的图象：函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用．(1)利用平移变换作图：y=f(x)左右平移y=f(x ＋a) y=f(x)上下平移y=f(x)＋b(2)利用和y=f(x)对称关系作图：y=f(－x)与y=f (x)的图象关于y 轴对称；y=－f(x)与y=f(x)的图象关于x 轴对称y=－f(－x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称；y=f -1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x 对称(3)利用y=f(x)图象自身的某种对称性作图y=|f(x)|的图象可通过将y=f(x)的图象在x 轴下方的部分关于x 轴旋转180°，其余部分不变的方法作出．y=f(|x|)的图象：可先做出y=f(x)，当x ≥0时的图象，再利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质，作出y=f(x)(x＜0)的图象．此外利用伸缩变换作图问题，待三角的复习中再进行研究．还要记住一些结论：若函数y=f(x)满足f (a －x)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线2ba x对称，若函数y=f (x)满足f(a －x)=－f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(2ba ，0)对称．(二)解题方法指导例1．设a ≠０，试确定函数21)(xax x f 在(－1，1)上的单调性．例2．讨论xxx f 2)(的增减性．例3．f(x)在(－∞，2)上是增函数，且对任意实数x 均有f(4－x)=f(x)成立，判断f(x)在(2，+∞）上的增减性．例4*．已知函数f(x)的定义域为R ，对任意实数m ，n ，都有21)()()(n f m f n m f 且当21x时，f(x)＞0．又.0)21(f (Ⅰ)求证;1)21(,21)0(f f (Ⅱ)判断函数f(x)的单调性并进行证明例5．在R 上求一个函数，使其既是奇函数，又是偶函数例6．判断下列函数的奇偶性)1lg()()1(2xxx f (2)11)()(xx aa x x f (其中φ(x)为奇函数，a ＞0且a ≠1)．例7．设函数])1,1[(1)(2x bxxa x x f 是奇函数，判断它的增减性．例8．设f(x)是定义域为R 且以2为一个周期的周期函数，也是偶函数，已知当x ∈[2，3]时f (x)=(x －1)2+1，求当x ∈[1，2]时f(x)的解析式．例9．作出112xx y的图象，并指出函数的对称中心，渐近线，及函数的单调性．例10．作出函数的图象(1)1)1(32x y(2)y=|lg|x||例11．(1)作出方程｜x ｜+｜y ｜=1所表示的曲线．(2)作出方程｜x －1｜+｜y+1｜=1所表示的曲线．例12．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x 2+2x ．(1)求函数g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)≥f(x)－｜x －1｜．例题解析例1解：任取x 1，x 2∈(－1，1)，且Δx=x 2－x 1＞0，则)1)(1()1)((11)()(2221211222122212x x x x x x a x ax x ax x f x f y由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以Δx=x 2－x 1＞0，1＋x 1x 2＞0，1－21x ＞0，1－22x ＞0．因此当a ＞0时，Δy=f(x 2)－f(x 1)＞0，当a ＜0时，Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0．所以当a ＞0时f(x)在(－1，1)上是增函数，当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．例2分析：可先在(0，＋∞）上研究f(x)的增减性，然后根据f(x)的奇偶性判断其在(－∞，0)上的增减性，而当x ＞0时，有,222)(xxx f 当且仅当x x2即2x 时“=”成立，即当2x 时，f(x)取得最小值,2由此可知x=2是函数单调区间的一个分界点．解：任取x 1，x 2∈(0，2]，且Δx=x 2－x 1＞0则)21)(()2()2()()(2112112212x x x x x x x x x f x f y因为,2021x x Δx=x 2－x 1＞0，且02121x x ，因此Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0，故f(x)在]2,0(上是减函数．同理可证f(x)在),2[是增函数．又由),(2)(x f xxx f 可知f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，所以可知f(x)在]2,(上是增函数，在)0,2[上是减函数．综上所述，x xx f 2)(在]2,(和),2[上是增函数，在)0,2[，]2,0(上是减函数．例3解：任取x 1，x 2∈(2，＋∞），且x 1＜x 2，则由2＜x 1＜x 2得2＞4－x 1＞4－x 2 因为f(x)在(－∞，2)上是增函数，所以有f(4－x 1)＞f(4－x 2)而由已知又有f(4－x 1)=f(x 1)，f(4－x 2)=f(x 2)，所以f(x 1)＞f(x 2)，故f(x)在(2，＋∞）上是减函数．小结：注意体会解题中的划归思想．此题若是一个小题，由f(4－x)=f(x)可知f (x)的图像关于x=2对称，立即就可以判断出f(x)在(2，＋∞）上是减函数．例4分析：判断这类抽象函数的单调性，关键是根据已知去创造条件，利用单调性的定义进行和判断，可以采用分析法寻求解题思路．解：(Ⅰ)由f(m ＋n)=f(m)＋f(n)21得f(0)=f(0＋0)=2f(0)21有f(0)=－21又由及0)21(f 得1)21(f (Ⅱ)任取x 1，x 2∈R 且Δx ＝x 2－x 1＞0则212112x x 根据已知可得)21(12x x f 则有21)()()()(1121122x f x x f x x x f x f 21)(21)21()21(21)()2121(112112x f f x x f x f x x f ).(1)(11)()21(0111x f x f x f f 函数f(x)在R 上为增函数．例5解：设所求的R 上的函数为f(x)，则由函数奇偶性定义得f(－x)=－f(x)①，f(－x)=f(x)②，联立①②，消去f(－x)，得f(x)=0．显然函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数，所以f(x)=0就是所求的函数．例6解：(1)因为对任意x ∈R ，都有0||122xx x xx x，所以函数定义域为R任取x ∈R ，则－x ∈R 且有)()1lg()1lg()1lg()(2122x f xxxxxx x f 所以)1lg()(2xxx f 是奇函数(2)函数的定义域为R ．任取x ∈R ，则－x ∈R ，且有.11)(11)(11)()(xx xxxx aa x a a x aa x x f 所以11)()(xx aa x x f 是偶函数．例7解：显然x ∈[－1，1]，－x ∈[－1，1]，因为f(x)为奇函数，所以对区间[－1，1]内任意实数x 均有f(－x)=－f(x)成立，即1122bx xa x bxxa x ，也就是1122bxxa x bxxa x 这是关于x 的恒等式，比较两端分子分母对应项的系数，可得a=b=0．所以1)(2xx x f 任取x 1，x 2∈[－1，1]，且Δx=x 2－x 1＞0 则)1)(1()1)((11)()(2221211221122212xxx x x x x x x x x f x f y因为－1≤x 1＜x 2≤1，所以Δx=x 2－x 1＞0，1－x 1x 2＞0，因此Δy=f(x 2)－f(x 1)＞0，所以当x ∈[－1，1]时1)(2xx x f 为增函数．注：此题也可以通过f(0)=0，f(－1)=－f (－1)求得a=b=0例8分析：此题的解答要抓住两个关键点，一个是f(x)为偶函数，再一个是f(x)为周期函数，通过画出草图，就会发现可以先求出当x ∈[－3，－2]时函数的解析式，在利用周期性求出当x ∈[1，2]时f(x)的解析式，要注意体会划归的思想方法．解：当x ∈[－3，－2]时－x ∈[2，3]所以f(－x)=(－x －1)2＋1=(x ＋1)2＋1，因为f(x)是偶函数，因此当x ∈[－3，－2]时，f(x)=(x ＋1)2＋1当x ∈[1，2]时，x －4∈[－3，－2]，有f(x －4)=(x －4＋1)2＋1=(x －3)2＋1，因为2为f(x)的周期，可知－4也为f(x)一个周期，有f(x －4)=f(x)故x ∈[1，2]时f(x)=(x －3)2＋1．例9解：因为112112x x x y所以将xy1的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位，即可得到112xx y的图象，如图由图象可以得到：对称中心为(－1，2)渐近线分别为x=－1，y=2函数在(－∞，－1)和(－1，＋∞）上都是增函数．例10解：(1)将函数32x y的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即可的得到1)1(32xy ，如图．(2)y=｜lg ｜x ｜｜为偶函数，当x ＞0时先作出y=lg x 的图象，在根据奇偶性作出y=lg ｜x ｜的图象，最后将y=lg ｜x ｜在横轴下面的图象关于x 轴旋转180°，其余部分不变．即可得到y=｜lg ｜x ｜｜的图象，如图．例11分析，曲线｜x ｜＋｜y ｜=1是关于x 轴，y 轴和原点的对称图形，利用对称性可以很快的作出曲线，至于曲线｜x －1｜＋｜y ＋1｜=1，只需通过将曲线｜x ｜＋｜y ｜＝1适当平移即可得到．解：(1)先作出线段x ＋y=1(x ≥1，y ≥1)，再作出该线段分别关于x 轴，y 轴和原点分别对称的线段，就得到方程｜x ｜＋｜y ｜=1所表示的曲线，如图．(2)将(1)中方程｜x ｜＋｜y ｜=1所表示的曲线右移一个单位，下移一个单位就得到方程｜x －1｜＋｜y ＋1｜=1所表示的曲线，如图．例12解：(1)设f(x)上任意一点P(x 0，y 0)关于原点的对称点为P (x ，y)则220y y x x 即yy x x 00因为点P(x 0，y 0)在f (x)=x 2＋2x 的图像上，所以20xy 2x 0，即－y=(－x)2＋2(－x)故g(x)=－x 2＋2x ．(2)由g(x)≥f(x)－｜x －1｜得2x 2≤｜x －1｜当x ≥1时，不等式化为2x 2－x ＋1≤0，此式无实数解．当x ＜1时，不等式化为2x 2＋x －1≤0解得211x，因此g(x)≥f(x)－｜x －1｜解集为].21,1[。

函数图像的对称专题一、图像的对称变换（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像____ 去下翻上_____得到；“去下翻上”详解：x 轴及其上方的图像不动，x 轴下方的图像（如果有的话）沿x 轴对称翻折到x 轴上方. （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像______去左翻右____得到。

“去左翻右”详解：y 轴及其右边的图像不动，y 轴左边的图像（如果有的话）去掉 ，并将y 轴右边的图像沿y 轴对称翻折到y 轴左边.（3）关于,(,)x a y b y x a b ===，， 的对称翻折见二（二） 【例1】(1)2()2||3f x x x 的增区间是_________________.(1,0),(1,)(2)2()|2||3|f x x x k 的增区间是________________;(3,1),(0,1),(3,)(3)若2()|2||3|f x x x k 有6个零点，则k 的取值范围是________.(3,4)二、 图像的对称（一）自对称图一图二 图三1.基本结论：（1）若()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图象关于直线2a bx +=成轴对称（图一）． 特殊化： ()()f a x f a x -=+⇔()y f x =的图象关于直线x a =对称； 再特殊化： ()()f x f x -=⇔()y f x =的图象关于直线0x =对称；（2）若()y f x =满足()()f a x f b x +=--，则()y f x =的图象关于点(,0)2a b+成中心对称（图二）． 特殊化： ()()f a x f a x -=-+⇔()y f x =的图象关于点(,0)a 对称； 再特殊化： ()()f x f x -=-⇔()y f x =的图象关于点(0,0)对称.一般化：()()2()2()f a x f a x b f a x b f a x -++=⇔-=-+()2(2)f x b f a x ⇔=--()y f x ⇔=的图象关于点(,)a b 对称（图三）．2.核心原理：中点坐标公式.从而易得()(2)f x f a x =-()()f a x f a x ⇔-=+3.梳理成表格：一般情况关于直线___对称)()(x b f x a f -=+差个 负号 ↔ )()(x b f x a f --=+关于点___对称 特殊化：上式b a =时 关于直线___对称 )()(x a f x a f -=+ 差个 负号 ↔ )()(x a f x a f --=+关于点___对称 更特殊：上式0=a 时关于 ___对称 )()(x f x f -=差个 负号 ↔)()(x f x f --=关于 ___对称3.核心原理：中点坐标公式【例2】（1）若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x +--=，则()f x 的图象的对称轴为________；1x = （2）若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=-，则()f x 的图象的对称轴为________；2x =-（3）若函数()f x 满足：(22)(22)0f x f x +--=，则()f x 的图象的对称轴为________．2x = （4）若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图象的对称中心为________；(10)， （5）若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=--，则()f x 的图象的对称中心为________；(20)-， （6）若函数()f x 满足：(2)(2)2f x f x ++-=，则()f x 的图象的对称中心为________．(21)， （7）已知函数1(bx f x x a-=-满足6)2()(=-+x f x f ，则=a ________;=b _________.1,3 （8）已知函数1312()(1)12x x f x x ---=+-++,则(2)()f x f x -+=______________.2 (9)已知函数()y f x =的图象关于1(,)2对称，则1()()...20222022f +2020...()2022f +2021()2022f +=_________.20212. （二）两个函数图像的对称初步（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于_______对称； （2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于________对称； （3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于______对称； （4）函数)2(x a f y -=的图像与函数()y f x =的图像关于______对称（图四）； （5）函数2()y b f x 的图像与函数()y f x =的图像关于_______对称（图四）；图四（6）函数2(2)ybf a x 的图像与函数()y f x =的图像关于_________对称（图四）；（7）函数)(y f x =的图像与函数()y f x =的图像关于直线_________对称. 核心原理仍然是_____中点坐标公式______（图四）.【例3】(1) 函数1lg600100y x=-与 x y lg =的图像关于______对称.(3,1)-（2）已知x x g lg )(=， )(x f 的图像与)(x g 的图像关于)1,2(对称，则)(x f 的解析式是________. (3)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )解析:C 由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．三、图像的应用（综合练习与巩固）【1】将函数()f x 的图象关于y x =对称，然后向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（）BA ．()ln 1f x x =-B ．()ln 1f x x =--C ．()1ln f x x =-D ．()1e xf x --=【2】若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )图象的对称轴方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2解析：A 因为f (2x ＋1)是偶函数，所以f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)，所以f (x )＝f (2－x )， 所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝1.【3】对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确是_______________. 解析: ①②.作出f (x )的图象，可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．【4】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f +的值为__________.0A ．1-B ．1C ．0D ．无法计算解析:由题意，得(()1)g x f x ---=，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数， ∴()()g x g x -=-，()()f x f x -=，∴()()11f x f x =--+，∴()(2)f x f x +=-，∴()()4f x f x =+，∴()f x 的周期为4，∴()20171f f =（），()()20193(1)f f f ==-，又∵()1100()f f g -===（），∴()()201720190f f +=．【5】若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=-+，且与直线2y kx k =-交于四个点，则这四个点的横坐标之和x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =__________.8.【6】已知函数满足22|1|,1(43,1x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩则方程()12xf x -=的解的个数为______. 3 【变式一】已知函数满足22|1|,1(43,1x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩则方程[()]0f f x =的解的个数为______. 5 【变式二】 已知函数满足22|1|,1(43,1x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩则方程[()]0f f x ≤的解集为__________. (,6][2,0][22,4]-∞--+【7】已知函数2()2||1f x x x =+-,则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0解析:D.函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)， 即f (x 1)－f (x 2)<0.思考： 若上题的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，呢？【8】已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,1][23,+)∞B ．(0,1][3,)+∞C ．(0,2][23,+)∞D ．(0,2][3,+)∞解析:B.在同一直角坐标系中，分别作出函数221()(1)f x mx m x m ⎛=-=-⎝与()g x x m =+的大致图象．分两种情形： （1）当01m <≤时，11m≥，如图①，当[]0,1x ∈时，()f x 与()g x 的图象有一个交点，符合题意． （2）当1m >时，10m<<，如图②，要使()f x 与()g x 的图象在[]0,1上只有一个交点，只需()()11g f ≤，即211()m m +≤-，解得3m ≥或0m ≤（舍去）．综上所述，(][0,13),m ∈+∞．故选B ．【9】函数0.5()|log |2x f x x -=的零点个数为________．解析:2.由()0f x =，得0.51|log |2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，作出函数105log ||y x =．和212xy ⎛⎫=⎪⎝⎭的图象， 由上图知两函数图象有2个交点，故函数()f x 有2个零点．【变式一】函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为________． 解析：2.由f (x )＝0，得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x.【变式二】0.5()|log |(0)f x x k k =->的零点是1,x x ，则（ ）A A.11x x = B.11x x < C.11x x > D.112x x <【变式三】0.5()|log |2xf x x -=的零点是1,x x ，则（ ）B A.11x x = B.11x x < C.11x x > D.112x x <【10】（波浪锯齿形）若定义在R 上的偶函数f (x )满足(2)()f x f x -=，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有_______个.解析: 4.因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为2.当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x .函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点的个数等于函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故选B.【11】（波浪锯齿形）定义在R 上的奇函数f （x ），满足(2)()f x f x -=，且f （x ）在区间[0，1]上 是减函数，则（ ）C ．A ．f （x ）的图象关于直线x ＝2对称B ．f （x ）的图象关于直线(3,0)-对称C ．(3)(2018)(2019)f f f -<<D ．[11，12] 是f （x ）的一个单调增区间 【12】已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0 在 R 上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)令 F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出 F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解； 当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立， 应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．四、真题赏析（全国卷中的对称）全国卷是“对称热爱狂”.新课标高考十六年以来（2007-2022）的和新高考三年以来（2020-2022），全国卷函数小题大约有共120道左右的，和对称有关的真题超过40道，占三分之一，是函数板块第一高频考点.现积累如下. 1.基础的对称【1】（2007全国一，文9，理9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件【2】（2014全国一，文5，理3）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ C ） A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数【3】（2014全国二，文15）偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________.3【4】（2008全国一，理9）设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ D ）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，解析：由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x xx-<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或.【5】（2014全国二，理15）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.（1,3-）【6】（2020新高考全国一卷8）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A. [)1,1][3,-+∞B. 3,1][,[01]--C. [1,0][1,)-⋃+∞D. [1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【7】（2004全国一，理2，文,2）已知函数=-=+-=)(.)(.11lg)(a f b a f x xx f 则若（ ） A ．b B ．－b C ．b 1D ．－b1【8】（2009全国二，文3）函数22log 2xy x-=+的图像（A ）（A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称 （C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称【9】（2017全国一，文9）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则( C ) A ．()f x 在（0,2）单调递增 B ．()f x 在（0,2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称【10】（2018全国三，文7）下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称 的是（B ）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+【11】（2021全国乙，文理4）设函数1(1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. ()11f x -- B. ()11f x -+ C. ()11f x +- D. ()11f x ++【答案】B【解析】由题意可得1()11xf x x-==-++，对于A ，()2112fx --=-不是奇函数；对于B ，()211f x x -=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()212f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【12】（2015全国一，理13）若函数()ln(f x x x =+为偶函数，则a =.【13】（2021新高考全国一，13）已知函数()()32xx a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【答案】1【解析】因为()()32xx a f x -=⋅-，故()()32xf x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()32222xx x x xa x a -⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：1【14】（2007全国一，文、理14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y xx =>的图像关于直线y x =对称，则()f x =__________．【15】（2008全国一，文8、理6）若函数(1)y f x =-的图像与函数ln 1y x =+的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ）A ．21x e -B ．2xe C ．21x e +D ．22x e +【16】（2008全国二，文4、理3）函数1()f x x x=-的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称【17】（2012全国新课标，理12）设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ A ）()A 1ln 2- ()B2(1ln 2)-()C 1ln 2+ ()D 2(1ln 2)+解析:函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为122x e d -=,设函数min min 111ln 2()()1()1ln 222x g x e x g x e g x d -'=-⇒=-⇒=-⇒=由图象关于y x =对称得：PQ 最小值为min 22(1ln 2)d =-【18】（2015全国一，文12）设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =（C ）（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4此题的出现，提醒我们，理解到本质最重要.否则纲貌似超了，说不超说超纲也不超.【19】（2013全国一，理16）若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值是______.16【20】（2018全国二，文12，理11）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…（C ）A ．50-B ．0C ．2D ．50【21】（2021全国甲，理12）设函数()f x 的定义域为R ，()1fx +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 94-B. 32-C.74D.52【答案】D 【解析】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．955122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，133512222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以935222f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．2.和零点有关的对称问题（或利用对称性求值）见下：1.具体函数对称性【22】（2010全国一理10）已知函数()|lg |f x x =,若0a b <<,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是（ A ）(A))+∞ (B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞【23】（2010全国一文7）已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是（C ）(A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞【24】（2011全国新课标文12）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =， 那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（A ）A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个【25】（2010全国一理15）直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是. (1,5)4解析:在同一直角坐标系内画出直线1y =与曲线2y x x a =-+,观图可知，a 的取值必须满足1,414a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩解得514a <<. 【26】（2015全国二文12）设函数()()2111ln x x x f +-+=，则使得()()12->x f x f 成立的x 的取值范围是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，131- C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，3131--【27】（2016全国二文12）已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑ (B)(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m【28】（2020全国二理9）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在1(,)2-单调递减 C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x⎫≠±⎨⎩，关于坐标原点对称， 又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当1,2x ⎛∈-⎪⎝时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在1,2⎛-⎪⎝上单调递增，()ln 12y x =-在1,2⎛-⎪⎝上单调递减，()f x ∴在1,2⎛-⎪⎝上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛∈-∞-⎪⎝时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x +⎛=----==+⎪-⎝，2121x μ=+-在1,2⎛-∞- ⎪⎝上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛-∞- ⎪⎝上单调递减，D 正确. 故选：D.【29】（2020全国三理16）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】对于命题①，12622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，12622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎭，则6f π⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛-=-+=--=-+=- -⎝，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，1sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝，1sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝，则2f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误.故答案为：②③. 【30】（2022全国甲文理5）函数()33cos x x x -=-在区间ππ,2⎡-⎥⎣的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】令()()33cos ,,2xxf x x x ππ-⎤=-∈-⎥⎦， 则()()()()()33cos 33cos xx x x f x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈⎪⎝时，330,cos 0xx -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.【31】（2022全国新高考全国一卷9）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛=++> ⎝的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎝中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 1 B.32C.52D. 3【答案】A【解析】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得23πππω<，解得23ω<<，又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎝对称，所以3,2k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以2,6k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 22f x x π⎛=++ ⎝， 所以5sin 21244f ππ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A【32】（2022全国新高考全国二卷9）函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象以2π,03⎛ ⎝中心对称，则（ ）A. y =()f x 在5π0,12⎛ ⎝单调递减B. y =()f x 在π11π,1212⎛-⎪⎝有2个极值点C. 直线7π6x =是一条对称轴 D. 直线2y =是一条切线【答案】AD【解析】由题意得：2π4πsin 03f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，k ∈Z ， 即4ππ,3k k ϕ=-+∈Z ，又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故2π()sin 23f x x ⎛= ⎝．对A ，当5π0,12x ⎛∈⎪⎝时，2π2π3π2332x ⎛+⎪⎝，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12⎛ ⎝上是单调递减；对B ，当π11π,1212x ⎛∈-⎪⎝时，2ππ5π2322x ⎛+⎪⎝，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π23x +，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点； 对C ，当7π6x =时，2π2π3x +，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y ⎛'=+=- ⎝得：2π1cos 23x ⎛+=- ⎝， 解得2π2π2π3x +=+或2π4π2π,3x k k +=+∈Z ,从而得：πx k =或ππ,3x k k =+∈Z ,所以函数()y f x =在点0,2⎛ ⎝处的切线斜率为02π2cos13x k y =='==-，切线方程为：(0)2y -=--即2y =．故选：AD ．【33】（2022全国新高考全国一卷10）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC【解析】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得3x -<<，所以()f x 在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增，所以x =是极值点，故A 正确；因(103f -=+>，103f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝上有一个零点，当x ≥()03f x f ⎛≥ ⎝，即函数()f x 在3⎛∞ ⎝上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象， 所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确； 令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+， 故D 错误.故选：AC2.抽象函数对称性（或虽为具体函数但是具体函数虚晃一枪的对称）【34】（2009全国一，理11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ D ） (A) ()f x 是偶函数(B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数【35】（2021新高考全国二8）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A. 102f ⎫-= ⎪⎭B. ()10f -=C. ()20f =D. ()40f =【答案】B【解析】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+，所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，故()()110f f -=-=，其它三个选项未知.故选：B.【36】（2011全国新课标理12）函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于(D) （A ）2 (B) 4 (C) 6(D)8总结：换元后提取对称性【37】（2012全国新课标文16）设函数()f x =(x +1)2+sin x x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____解析()f x =22sin 11x x +++，设()g x =()1f x -=22sin 1xx ++，则()g x 是奇函数， ∵()f x 最大值为M ，最小值为m ，∴()g x 的最大值为M-1，最小值为m －1， ∴110M m -+-=，M m +=2. 总结：拆分后提取对称性【38】（2016全国二，理12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m x y x y x y ⋅⋅⋅则1)mi i xy ==∑ （B ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m总结：换元后提取对称性【39】（2017全国三，理11,文12）已知函数211()2()x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（C ）A ．12-B ．13C ．12D ．1总结：换元后提取对称性，背景在课本《必修一》P83,B 组4.【40】（2018全国三文16）已知函数())1f x x =+，()4f a =，则()f a -= ______．2-【41】（2022全国乙卷理12）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221(k f k==∑（ ）A. 21-B. 22-C. 23-D. 24-【答案】D【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-， 因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=， 代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=-，()()()()46222510f f f +++=-⨯=-.因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=， 联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024.(k f f f f f f f f f k=+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑【42】（2022全国新高考全国一卷12）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f ⎛- ⎪⎝，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A. (0)0f =B. 102g ⎛-= ⎪⎝ C. (1)(4)f f -= D. (1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】因为322f ⎛-⎪⎝，(2)g x +均为偶函数， 所以322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即32f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,2x =对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以102g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【43】（2022全国新高考全国二卷8）若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221(k f k ==∑（ ）A. 3-B. 2-C. 0D. 1【答案】A【解析】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．。

高三数学暑假班（教师版）教师日期学生课程编号10 课型复习课题对称性与周期性、函数的图像教学目标1．掌握函数的对称性、周期性等性质，熟悉常考题型2．掌握函数的图象变换的基本模型，能应用基本模型解决实际问题教学重点1．函数的周期、对称问题的综合2．函数图像变换的基本模型的分析教学安排版块时长1例题解析80 2巩固训练30 3师生总结10 4课后练习30一、对称性（一）一个函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称性） 1、轴对称()()()f a x f b x f x +=-⇔ 的图象关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称 推论1、()()()f a x f a x f x +=-⇔的图象关于直线x a =对称 推论2、()(2)()f x f a x f x =-⇔的图象关于直线x a =对称 推论3、()(2)()f x f a x f x -=+⇔的图象关于直线x a =对称2、中心对称()()2()f a x f b x c f x ++-=⇔的图象关于点(,)2a bc +对称 推论1、()()2()f a x f a x b f x ++-=⇔的图象关于点(,)a b 对称 推论2、()(2)2()f x f a x b f x +-=⇔的图象关于点(,)a b 对称 推论3、()(2)2()f x f a x b f x -++=⇔的图象关于点(,)a b 对称（二）两个函数的图象对称性（互对称性）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、()y f x =与()y f x =-图象关于y 轴对称 2、()y f x =与()y f x =--图象关于原点对称 3、()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称 4、()y f x =与其反函数1()y fx -=图象关于直线y x =对称※5、函数()y f a x =+与()y f b x =-图象关于直线2b ax -=对称 对称性与周期性、函数的图像知识梳理推论1、函数()y f a x =+与()y f a x =-图象关于直线0x =对称 推论2、函数()y f x =与(2)y f a x =-图象关于直线x a =对称 推论3、函数()y f x =-与(2)y f a x =+图象关于直线x a =-对称二、周期性：()()f x T f x += 1、T 必须是常数，且不为零；2、等式必须对于定义域上的所有x 值都成立；3、如果T 是函数()f x 的一个周期，则(0)kT k k ∈≠Z 且都是()f x 的周期． 周期函数的定义域是无界的，存在无数个周期．【思考】是否存在函数为周期函数，但是无最小正周期？ 存在，常值函数 函数关系()x a b ∈≠R 且周期说明 )()(x f T x f =+T)()(x f T x f -=+ T 2)(1)(x f T x f ±=+ T 2)()(T x f T x f -=+ T 2 )()(T x f T x f --=+ T 4⎩⎨⎧-=+-=+)()()()(x b f x b f x a f x a f )(2a b -正（余）弦函数相邻两条对称轴间的距离为12周期 ()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为偶函数 a 2⎩⎨⎧--=+--=+)()()()(x b f x b f x a f x a f )(2a b -正（余）弦函数相邻两个对称中心间的距离为12周期 ()()()f a x f a x f x +=--⎧⎨⎩为奇函数a 2()()()()f a x f a x f b x f b x +=-⎧⎨+=--⎩ 4()b a -正（余）弦函数相邻一条对称轴和一个对称中心间的距离为14周期 ()()()f a x f a x f x +=-⎧⎨⎩为奇函数 4a()()()f a x f a x f x +=--⎧⎨⎩为偶函数4a1．1(1)1()f x f x +=-，3T =； 2．1()(1)1()f x f x f x -+=+，2T =；3．1()(1)1()f x f x f x ++=-，4T =； 4．(1)()(2)f x f x f x +=++，6T =；5．(1)()(2)f x f x f x +=+g ，6T =．三、图像变换问题平移 变换向左移)0(>a a 个单位 向右移)0(>a a 个单位 向上移(0)b a >个单位 向下移(0)b a >个单位按向量(,)a h k =r平移)(x f y =的图像)(a x f y +=→的图像 )(x f y =的图像()y f x a →=-的图像 )(x f y =的图像b x f y +=→)(的图像 )(x f y =的图像()y f x b →=-的图像 )(x f y =的图像k h x f y +-=→)(的图像 伸缩 变换每点纵标伸)0(>a a 倍 每点横标伸)0(>a a 倍)(x f y =的图像)(x af y =→的图像)(x f y =的图像⎪⎭⎫⎝⎛=→x a f y 1的图像绝对值 变换关于y 轴对称 将x 轴下方图像翻上)(x f y =的图像|)(|x f y =→的图像 )(x f y =的图像|)(|x f y =→的图像一、对称性与周期性【例1】已知函数()1x af x x a -=--的图象的对称中心是(4,1)，则a = ．【难度】★ 【答案】3【例2】（2010上海春18）已知函数xx f 241)(-=的图像关于点P 对称，则点P 的坐标是（ ）．A ．)21,2(B ．)41,2(C ．)81,2( D ．(0,0)【难度】★★【答案】C【例3】已知函数a x x x x f -+-++=11)(的图像关于垂直于x 轴的直线对称，则a 的取值集合是 ． 【难度】★★ 【答案】{}3,0,3-【例4】已知定义在R 上的函数()f x 满足：222,[0,1),()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩．且(2)()f x f x +=，25()2x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[8,3]-上的所有实根之和为 ． 【难度】★★【答案】26(1)11-⨯--=-例题解析【例5】函数2()f x ax bx c =++的图像关于任意直线l 对称后的图像依然为某函数图像，则实数a 、b 、c 应满足的充要条件为 ．【难度】★★★【答案】20,40a b ac <-=【解析】由题意，得函数图象上有且仅有一个点【例6】若关于x 的方程(2008)()0+-=f x f a x 恰有2009个根，且所有根的和为2009，则实数a 的值为 ． 【难度】★★★ 【答案】2010【解析】(2008)y f x =+与()y f a x =-关于20082a x -=对称【例7】已知函数()y f x =既为偶函数，又是以6为周期的周期函数，若当[0,3]x ∈时，2()24f x x x =-++，则当[3,6]x ∈时，()f x =__________．【难度】★★【答案】21020x x -+-【解析】若[3,6]x ∈，则6[3,0]x -∈-，6[0,3]x -∈22()(6)(6)(6)2(6)241020f x f x f x x x x x =-=-=--+-+=-+-【例8】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数．若方程()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++= ． 【难度】★★ 【答案】8-【解析】12342(6)228x x x x +++=⨯-+⨯=-【例9】已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈Z ，都有()()()11f x f x f x =-++．若()()12,13f f -==，则()()20122012f f +-=__________．【难度】★★ 【答案】5- 【解析】()()()()()()()()112112f x f x f x f x f x f x f x f x =-++⎧⎪⇒+=--⎨+=++⎪⎩ ()()()()52116f x f x f x f x T ⇒+=-+=---=-⇒=⎡⎤⎣⎦()()()()()()2012201222115f f f f f f ⇒+-=+-=---=-【例10】（2011上海高考理13）设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x xg x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 ． 【难度】★★★ 【答案】[15,11]-【解析】若[4,5]x ∈，则1[3,4]x -∈则()()(1)1(1)1[1,6]f x x g x x g x x g x =+=+-=-+-+∈- ※值域为[15,8][1,6][4,11][15,11]---=-UL U UL【巩固训练】1．已知函数2221()()21mx mx m f x m x x -+-=∈-+R ，则该函数的对称轴方程为 ． 【难度】★ 【答案】1x =2．已知(1)f x +是偶函数，则函数(2)y f x =的图象的对称轴方程是 ． 【难度】★ 【答案】12x =3．若函数()y f x =满足：对于任意的x ∈R 有(1)()f x f x +=-成立，且当[)1,2x ∈时，()21f x x =-，则(1)(2)(3)(2006)f f f f ++++=L ．【难度】★ 【答案】04．函数()y f x =的图象沿x 轴正方向平移2个单位，得图象1c ，图象1c 关于y 轴对称图象为2c ，那么2c 对应的函数解析式是 ．【难度】★★【答案】(2)y f x =-- 5．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 至少为 ．【难度】★★ 【答案】56．若函数()y f x =满足()(2)20f x f x +-+=，则()y f x =图象的对称中心是 ． 【难度】★★ 【答案】(1,1)- 7．（1）函数()y f k x =-和函数()y f x k =-的图象关于直线 对称； （2）函数()y f k x =-和函数()y f k x =+的图象关于直线 对称． 【难度】★★【答案】x k =；0()x y =轴8．定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2-=，则当]2,4[--∈x 时，函数)(x f 的最小值为 ． 【难度】★★ 【答案】41-9．已知函数1()()f x m x x =+的图象与函数11()()24h x x x=++的图象关于点(0,1)A 对称． （1）求m 的值； （2）若()()4ag x f x x=+在(]0,2上为减函数，求a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】（1）14m =；（2）3a ≥10．设),()(+∞-∞是x f 上的奇函数，对任意实数x ，都有)()2(x f x f -=+，当11x -≤≤时，()sin f x x =．（1）试证：直线x = 1是函数)(x f 图象的一条对称轴； （2）证明：函数)(x f 是以4为周期的函数； （3）求]5,1[∈x 时，)(x f 的解析式；（4）若集合{}(),A x f x a x =>∈R 是非空集合，求a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】（1）提示：证明(1)(1)f x f x +=-； （2）提示：证明(4)()f x f x +=；（3）sin(2)[1,3]()sin(4)(3,5]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩；（4）sin1a <．11．已知二次函数2()f x ax bx =+对任意x ∈R 均有)2()4(x f x f -=-成立，且函数的图像过点A 3(1,)2．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x t x -≤的解集为[4,]m ，求实数t m 、的值． 【难度】★★★【答案】 （1）2()(4)(2)f x ax bx x f x f x R 对任意恒有=+?=-Q 成立，且图像过点3(1,)2A ，22(4)(4)(2)(2),3.2a x b x a x b x a b ìï-+-=-+-ïï\íï+=ïïî化简22(4)(4)(2)(2)(126)0a x b x a x b x 2b -4a x a b -+-=-+-+-=，得()．此一元一次方程对x R Î都成立，于是，2401260b a a b ì-=ïïíï-=ïî，即2b a =． 进一步可得121a b ìïï=ïíïï=ïî．21()2f x x x 所求函数解析式为\=+． （2）()[4]f x t x m -?Q 的解集为，， 2221(),220[4,],42x t x t x x tx t t m m 即的解集是且.\-+-?+-? 224220m x tx t t 、是方程的两根\-+-=．于是，24242m t m t tì+=ïïíï=-ïî，解此方程组，得120()82m m t t 祆==镲镲眄镲==镲铑或舍去．※128m t ì=ïïíï=ïî．二、函数的图像【例11】分别画出以下函数的图像：（1）2||y x x =-； （2）2||y x x =-； （3）2|2|3y x x =+-；（4）lg |1|y x =-； （5）2(1)3y x -=-+； （6）()2lg 2y x =-．【难度】★★ 【答案】略【例12】手机产业的发展催生了网络新字“孖”．某学生准备在计算机上作出其对应的图像，其中(2,2)A ，如图所示．在作曲线段AB 时，该学生想把xyO AB223函数12,[0,2]y x x =∈的图像作适当变换，得到该段函数的曲线．请写出曲线段AB 在[2,3]x ∈上对应的函数解析式________． 【难度】★★【答案】12222y x =-+（）【例13】设定义域为R 的函数|lg |1||,1,()0,1,x x f x x -≠⎧=⎨=⎩关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同实数解，求实数b 、c 需要满足的条件． 【难度】★★【答案】0b <且0c =【解析】lg lg |||lg ||||lg |1||x x x x →→→-或lg |lg ||lg ||||lg |1||x x x x →→→-令()t f x =，则20t bt c ++=由题意，得121220000t t t b t t t c t +=->>⎧⎧⇒⎨⎨⋅===⎩⎩解得，0b <且0c =【例14】已知函数()1f x x =-，关于x 的方程2()()0f x f x k -+=，给出下列四个命题：① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根． 其中真命题的序号为 ． 【难度】★★ 【答案】①②③④【解析】方法一：212()()y f x f x k y =-=-=，易得，1y 为偶函数 当0x ≥时，21(1)(2)1(1)|1|(1)01x x x y x x x x x --≥⎧=---=⎨-≤<⎩方法二：令|()||||1|t f x x ==-，则2(0)k t t t =-+≥当14k =，1212t t ==，4个不同的实根 当104k <<，121012t t <<<<，8个不同的实根当0k =，120,1t t ==，5个不同的实根 当0k <，1t >，2个不同的实根【例15】（2014浦东二模理18）方程27lg(100)(||200)(||202)2x x x -=---的解的个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【难度】★★ 【答案】B【解析】21lg(100)2lg 100y x x =-=-关于100x =对称，27(||200)(||202)2y x x =---为偶函数，且0x ≥的部分的对称轴为201x =， 两个函数在100x =的左侧和右侧分别有1个和3个交点，∴选B【例16】定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，()1|2|f x x =--，②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为31542,,,,,x x x x x ⋅⋅⋅，则12345x x x x x ++++=______．【难度】★★ 【答案】50【解析】在同一直角坐标平面内作出()y f x =与1y =的图象123452,2612,21836x x x x x =+=⨯=+=⨯=※1234550x x x x x ++++=【例17】已知函数()f x 满足：※对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；※当(1,2]x ∈时，()2f x x =-．若()(2020)f a f =，则满足条件的最小的正实数a 是 ．【难度】★★★ 【答案】36【解析】21010101020202020(2020)2(1010)2(505)2222822f f f f ⎛⎫⎛⎫=====-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L (1,2]x ∈时，()2f x x =-，()[0,1)f x ∈ (2,4]x ∈时，()4f x x =-，()[0,2)f x ∈……1(2,2]n n x +∈时，1()2n f x x +=-，()[0,2),n f x n ∈∈Z显然，()28f a =，a 必须最小，(32,64]a ∈，(32,64]x ∈，()64f x x =-，∴min 36a =【例18】定义在R 上的函数)(x f ，当(1,1]x ∈-时，x x x f -=2)(，且对任意的x 满足(2)()f x af x -=（常数0>a ），则函数)(x f 在区间(5,7]上的最小值是 ．【难度】★★【答案】36 【解析】1()(2)f x f x a =-，可以看成平移2个单位后，再将纵坐标变为原来的1a倍，易得341a -【例19】已知函数D x x f y ∈=),(，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有)()(x f m T x f ⋅=+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类周期函数，周期为T ．（1）已知 1=T ，)(x f y =是[)∞+,0上m 级类周期函数，且)(x f y =是[)∞+,0上的单调递增函数，当[)1,0∈x 时，xx f 2)(=，求实数m 的取值范围；（2）已知当[]4,0∈x 时，函数x x x f 4)(2-=，若)(x f 是[)∞+,0上周期为4的m 级类周期函数，且)(x f y =的值域为一个闭区间，求实数m 的取值范围． 【难度】★★★【答案】（1）※[)1,0∈x 时，xx f 2)(=，※当[)2,1∈x 时，12)1()(-⋅=-=x m x mf x f ，当[)1,+∈n n x 时，)()2()1()(2n x f m x f m x mf x f n-==-=-=Λn x n m -⋅=2，即[)1,+∈n n x 时，nx nm x f -⋅=2)(，*n ∈N ，※)(x f 在[)∞+,0上单调递增，※0>m 且()1122----⋅≥⋅n n n n n n m m ，即2≥m ．（2）※当[]4,0∈x 时，[]0,4-∈y ，且有)()4(x mf x f =+，※当[]4,44,x n n n ∈+∈Z 时，()()2()(4)(4)444n n f x mf x m f x n m x n x n ⎡⎤=-==-=---⎣⎦L ，当10≤<m 时，[]0,4)(-∈x f ；当01<<-m时，[]mxf4,4)(--∈；当1-=m时，[]4,4)(-∈xf；当1>m时，(]0,)(∞-∈xf；当1-<m时，()+∞∞-∈,)(xf；综上可知：01<≤-m或10≤<m．【巩固训练】1．函数(),01,10x by a a b+=<<-<<的图象为（）．A．B．C．D．【难度】★【答案】C2．已知,,m n m nαβαβ∈<<R、、、，若αβ、是函数()2()()7f x x m x n=---的零点，则m nαβ、、、四个数按从小到大的顺序是（用符号<“”连接起来）．【难度】★【答案】m na b<<<3．若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是.【难度】★【答案】4．关于x的方程243x x a x-+-=有三个不相等的实数根，则实数a的值是．【难度】★【答案】1-或34-21xy=+y b=b[]1,1-5．若直线1y kx =+与曲线11y x x x x=+--有四个不同交点，则实数k 的取值范围是（ ）． A ．11,0,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．11,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭【难度】★★【答案】A6．在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()1lg 01sin 02x xf x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ．【难度】★★【答案】3【解析】利用将0x >时的图象关于原点对称，看和0x <时的图象的交点个数，所以答案为37．定义函数348122()1()222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为 ． 【难度】★★ 【答案】221 【解析】转化为6()f x x=，作出两个函数的图象， 可得交点的横坐标分别为3362、、，※和为2218．已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f ．当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=．设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim ．（其中n *∈N ）【难度】★★ 【答案】32【解析】1(2)(),[0,)3f x f x x +=∈+∞【图象右移2个单位的同时，纵坐标变为原来的13】 ※1(1)1a f ==，21(3)3a f ==，…，11(21)3n n a f n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭※113lim 11213n n a S q →∞===--9．已知函数)(x f y =的定义域和值域都是]1,1[-（其图像如下图所示），函数],[,sin )(ππ-∈=x x x g ．定义：当])1,1[(0)(11-∈=x x f 且]),[()(212ππ-∈=x x x g 时，称2x 是方程0))((=x g f 的一个实数根．则方程0))((=x g f 的所有不同实数根的个数是 ． 【难度】★★ 【答案】810．（2012上海理13）已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 ． 【难度】★★ 【答案】54【解析】由题意，得110,02()11010,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，从而22110,02()11010,12x x y xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎩．左图中的图形进行分割和重新拼合后能得到右图中的矩形．故，所求图形的面积155224=⨯=．11．已知函数21(1),02,()1(2),2,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨-≥⎪⎩若对于正数n k （*N ∈n ），直线x k y n ⋅=与函数)(x f y =的图像恰有12+n 个不同交点，则2nk = ． 【难度】★★★ 【答案】1214()n n n ++ 【解析】n y k x ⇔=⋅与从左往右数的第1n +个半椭圆弧相切22222[(21)](2)1(14)(42)(44)0n n n n x n y k x n x n n y k x⎧-++⋅=⇒+-+++=⎨=⋅⎩ 212104()n n k n n +∆=⇒=+1、函数作图的难点问题（1）()y f x =?(||)y f x a −−−−−−→=+如何变换 方法一：()()0,+(||)0,a x a x a y f x y f x a y f x a a x a >===−−−−−−→=−−−−−−−−−−−−−−−−−−→=+<=左移保留右边图像，去掉左边图像右移并作关于对称图像方法二：()()0,(||)0,y y a y f x y f x y f x a y a >=−−−−−−−−−−−−−−−−−→=−−−−−−→=+<保留轴右边图像，去掉轴左边图像左移并作关于轴对称图像右移（2）()y f x =?(||)y f x a −−−−−−→=+如何变换 ()()0,+(||)0,a y y y f x y f x a y f x a a y >=−−−−−−→=−−−−−−−−−−−−−−−−−→=+<左移保留轴右边图像，去掉轴左边图像右移并作关于轴对称图像．2、函数作图的一些建议（1）作图前先分析函数的奇偶性、对称性、周期性等性质；反思总结（2）遇到含绝对值的函数，做好分类讨论去绝对值的准备； （3）合理利用平移变换和对称变换进行作图方法的设计． 如：（2016浦东二模理14）关于x 的方程11sin 211x x π=--在[2016,2016]-上解的个数是 ． 看作1111y x =--与21sin 2y x π=在[2016,2016]-图象交点的个数问题1y ：111()1y y x x =−−−−−−→=-向右移个单位偶函数111()111y y x x −−−−→=−−−−−−→=---右翻左向右移个单位偶函数如图可知，两函数图象在[1,3]-上有3个交点， 在[2016,2015)--、[2015,2014)--、…、[2,1)--、(3,4]、(4,5]、…、(2015,2016]均只有1个交点，∴共4031个交点，∴∴解的个数是40311．对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：※若)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图象关于点(1,0)A 对称； ※若函数)1(-x f 的图象关于直线1=x 对称，则)(x f 为偶函数； ※若对x ∈R ，有则),()1(x f x f -=-2是)(x f 的一个周期； ※函数)1()1(x f y x f y -=-=与的图象关于直线1=x 对称． 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号） 【知识点】对称性、周期性 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】①②③④ 课后练习2．已知函数2()|2|f x x ax a =-+（x ∈R ），给出下列四个命题：※ 当且仅当0a =时，()f x 是偶函数； ※ 函数()f x 一定存在零点； ※ 函数在区间(,]a -∞上单调递减；※ 当01a <<时，函数()f x 的最小值为2a a -．那么所有真命题的序号是 ．※※ 【知识点】函数图象与函数性质的综合 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】①④3．给出定义：若（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：※函数的定义域为，值域为；※函数在上是增函数；※函数是周期函数，最小正周期为1；※函数的图像关于直线对称．其中正确命题的序号是 ．【知识点】新定义、函数图象与函数性质的综合 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】①③④4．（2014宝山一模14）关于函数()1x f x x =-给出下列四个命题：※当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值； ※方程()(0)f x kx b k =+≠一定有解；※如果方程()f x k =有解，则解的个数一定是偶数；※()y f x =是偶函数且有最小值．则其中真命题是 ．（只要写标题号） 1122m x m -<+≤{}x m =(){}f x x x =-()y f x =R 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()y f x =11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =()y f x =2kx =()k Z ∈【知识点】函数图象与函数性质的综合 【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】②④5．（2014嘉定一模13）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________． 【知识点】函数图象与函数性质的综合【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】47【解析】※()f x 为偶函数，※1a =- 设C x x =，则B x x =-，3D x x =C D 、关于1x =对称13212x x x ⇒+=⨯⇒=，※1724t f ⎛⎫== ⎪⎝⎭6．（2014闵行二模理14）对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：※任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；※()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；※函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ※对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 则其中所有真命题的序号是 ．【知识点】函数图象与函数性质的综合【题型】填空题 【难度】★★ 【答案】①③【解析】图象右移2个单位的同时，纵坐标变为原来的12※[0,),()[1,1]x f x ∈+∞∈-，该命题正确※※1()(2)2f x f x =- ※2111(2)(22)(24)()222k f x k f x k f x k f x +=⋅+-=⋅+-==L※()2(2)kf x f x k =⋅+，该命题错误※如图，()y f x =与ln(1)y x =-图象的交点有3个，该命题正确※反例：当52x =时，555159222248f ⎛⎫⋅=⋅=> ⎪⎝⎭ ※正确的序号为※※7．（2015虹口二模理14）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k = ．【知识点】函数图象与函数性质的综合 【题型】填空题 【难度】★★★ 【答案】436-【解析】“()()f x T f x T +=+”表示函数图象向右平移T 个单位后，再向上平移T 个单位2()1()(0)g T T T g T g T T⎧=⇒=⎨=+=⎩，由于()g x 是R 上的奇函数，※可得()[]2,1,0g x x x =-∈- 零点个数问题转化为函数()y g x =与y kx =的交点问题， 要有8个交点，表示2()(3)3,[3,4]y g x x x ==-+∈的图象与y kx =相切2436(6)1200k k x k x ∆>⎧⇒=-⎨-++==⎩方程的8．已知：()x f y =是最小正周期为2的函数，当[]1,1-∈x 时，()2x x f =，则函数()x f y =()x ∈R 图像与x y 5log =图像的交点的个数是（ ）．A ．8B ．9C ．10D ．12 【知识点】函数周期、图象综合 【题型】选择题 【难度】★★ 【答案】C9．对于函数()y f x =，定义：若存在非零常数M T 、，使函数()f x 对定义域内的任意实数x ，都满足()()f x T f x M +-=，则称函数()y f x =是准周期函数，常数T 称为函数()y f x =的一个准周期．如函数()(1)()xf x x x =+-∈Z 是以2T =为一个准周期且2M =的准周期函数．（1）试判断2π是否是函数()sin f x x =的准周期，说明理由； （2）证明函数()2sin f x x x =+是准周期函数，并求出它的一个准周期和相应的M 的值；（3）请你给出一个准周期函数（不同于题设和（2）中函数），指出它的一个准周期和一些性质，并画出它的大致图像． 【知识点】新定义、函数周期与函数图象综合、探究性问题 【题型】选择题 【难度】★★★【答案】（1）()sin f x x =Q ，(2)()sin(2)sin 0f x f x x x ππ∴+-=+-=2π∴不是函数()f x 的准周期 （2）(2)()[2(2)sin(2)](2sin )24sin 2sin 4f x f x x x x x x x x x πππππ+-=+++-+=++--=Q※()2sin f x x x =+是准周期函数，2T π=是它的一个准周期，相应的4M π= （3）① 写出一个不同于题设和（2）中函数，如3sin ,2(1),23sin ,[]xy x x y x y x x y x =+=+-=+=等得1分(0),()sin(),()cos()y kx b k y kx b A x y kx b a x ωϕωϕ=+≠=+++=+++， 或其它一一次函数（正比例函数）与周期函数的线性组合的具体形式得3分 ② 指出所写函数的一个准周期，得2分③ 指出它的一些性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、…， （写出一条得1分，写出两条以上得2分，可以不证明） ④ 画出其大致图像，得3分． Oxy1234123455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5。